ESTUDO DE UM CIRCUITO RC COMO FILTRO 1. Objectivo 2

Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
T6
Física Experimental I - 2007/08
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ESTUDO DE UM CIRCUITO RC COMO FILTRO
1.
Objectivo
• Estudo do funcionamento, em regime estacionário, de um circuito RC como filtro, ao qual se
aplica uma tensão alternada sinusoidal.
• Medir a resposta do multímetro à frequência1.
2.
Introdução
Neste trabalho vamos considerar tensões e correntes alternadas, isto é, tensões e correntes
cujo sentido e valor variam periodicamente. A tensão alternada mais comum é uma tensão alternada
sinusoidal que varia no tempo de acordo com a equação
sen
(1)
em que V0 é a amplitude da tensão. A frequência angular ω, é dada por:
2
(2)
A representação gráfica de uma tensão alternada sinusoidal (eq.1) de amplitude V0, terá,
então, a forma representada na fig.1.
V
T/2
T
3/2T
2T
t
Figura 1: Representação de uma tensão alternada sinusoidal de amplitude V0 em função do tempo.
1
A tensão alternada pode ser também caracterizada pelo seu valor eficaz que representa o valor da tensão
contínua que provoca a mesma dissipação de energia numa resistência e é definida pela expressão
.
T6 - Circuito RC
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Quando se aplica aos extremos de um circuito uma tensão alternada sinusoidal atingido o
regime permanente, o circuito é percorrido por uma corrente alternada sinusoidal com a mesma
frequência da tensão aplicada, mas há em geral, uma diferença de fase entre as duas.
Tomando como origem do tempo o instante em que a tensão se anula (eq. 1) vem para a
corrente
sen
em que
(3)
é a diferença de fase entre a tensão aplicada ao circuito e a corrente no circuito.
V,i
V(t)
i0
i(t)
ωt
-i0
Figura 2: Representação gráfica de uma tensão e de uma corrente alternada que apresentam uma diferença de fase ϕ.
Neste trabalho pretende-se estudar o funcionamento em regime de corrente estacionária de
um circuito RC, que apresenta os dois elementos, resistência e condensador, associados em série,
como representado na fig. 3.
Figura 3: Esquema do circuito RC série.
Em regime estacionário de corrente contínua as resistências são os únicos elementos
passivos que é necessário considerar já que idealmente os condensadores se comportam, neste
regime, como circuitos abertos. Pelo contrário no regime estacionário de corrente alternada
sinusoidal todos os elementos são intervenientes.
Vamos agora estudar o sinal de saída deste circuito, isto é, o sinal aos extremos do
condensador VC(t) ou da resistência VR(t), quando se aplica ao circuito um sinal sinusoidal que
constitui a tensão de entrada Ve(t). Neste caso todas as tensões e correntes são alternadas
sinusoidais.
2(7)
T6 - Circuito RC
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Por vezes e por razões de ordem prática utiliza-se uma representação complexa do tipo:
cos
sen
(4)
0 e j é a unidade imaginária, não se utilizando a letra i devido à possibilidade de
onde
confusão com intensidade de corrente.
Adoptando a representação complexa a tensão de entrada vem na forma:
(5)
e a corrente no circuito será
(6)
sendo φ é a diferença de fase entre a corrente no circuito e a tensão de entrada
. Nesta
representação as grandezas observáveis são os coeficientes da parte imaginária.
Para a tensão aos terminais da resistência podemos escrever
(7)
Vamos procurar a expressão da grandeza ZC, que permite generalizar ao condensador a
proporcionalidade entre a tensão e a corrente, traduzida pela lei de Ohm para o caso das
resistências,
(8)
Se tivermos em consideração a definição de intensidade de corrente que atravessa uma secção do
circuito, da relação Q = CV e usando (8) resulta:
(9)
Comparando (6) e (9) chegamos à expressão de ZC que designamos por impedância do
condensador:
(10)
Aplicando a 2ª lei de Kirchhoff à única malha que constitui o circuito RC podemos escrever
a relação entre os valores instantâneos das tensões
(11)
De (7) e (8) e substituindo ZC pela sua expressão (10) vem:
(12)
ou
(13)
, expresso pela 2ª parcela de (13), pode ainda ser escrito na forma,
(14)
3(7)
T6 - Circuito RC
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Então, a tensão aos extremos do condensador está atrasada de relativamente à corrente no circuito.
sen
Se
é a tensão que aplico ao circuito, as grandezas que observo são os
coeficientes da parte imaginária de (13) e vem:
sen
e
sendo
sen
cos
(15)
as amplitudes das tensões na resistência e no condensador,
respectivamente. Em termos de amplitudes podemos escrever
| | .
A diferença de fase φ entre a corrente i(t) no circuito e a tensão de entrada Ve(t) depende
dos valores de R e C do circuito e pode ser obtida de (15) fazendo t = 0,
0
sen
cos
(16)
donde
tg
(17)
A partir de (13) obtém-se a impedância Z do circuito dividindo Ve pela corrente i que
percorre o circuito:
(18)
O módulo da impedância do circuito é
| |
(19)
A associação de vários componentes lineares tais como resistências, condensadores e
indutores permite construir circuitos com objectivos precisos. Como a impedância de um
condensador varia com a frequência, a associação de um condensador em série com uma resistência
constitui um filtro em que determinadas frequências são atenuadas. Designam-se, então, por filtros
os circuitos eléctricos, activos ou passivos, que têm a propriedade de actuar selectivamente sobre as
tensões a eles aplicadas em função da frequência das mesmas. São representados por um quadruplo,
isto é, têm dois fios na entrada e dois fios na saída:
Filtro
V
Figura 4: Representação esquemática de um filtro sendo Ve a tensão de entrada e Vs a tensão de saída
Se a banda de frequências que atravessa o dispositivo se situa do lado das altas frequências,
o filtro chama-se passa-alto, no caso inverso designa-se por passa-baixo,
4(7)
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Se ω for grande VC0 é pequeno e toda a tensão aparece aos extremos da resistência.
Tomando a tensão de saída aos extremos da resistência construímos um filtro passa-alto (fig.5 a). Se
ω for pequeno, VC0 é grande e toda a tensão aparece aos extremos do condensador. Tomando a
tensão de saída aos extremos do condensador construímos um filtro passa-baixo (fig.5 b). Além
destes filtros há ainda, com significado evidente, os filtros elimina banda.2
A expressão da razão entre a diferença de potencial de saída e a diferença de potencial de
entrada é para o filtro passa-alto:
(20)
e para o filtro passa-baixo:
(21)
Figura 5: Representação de um circuito RC: (a) Filtro passa-alto; (b) Filtro passa-baixo.
O valor de referência que separa a banda de frequências que é cortada da banda que não é
alterada pelo filtro, é designado por frequência de corte, fc. Este valor é determinado como a
frequência para a qual a amplitude da tensão de saída é
3.
√
da amplitude da tensão de entrada.
Para resolver antes da aula de realização do trabalho
A um circuito RC série em que R = 5 kΩ e C = 10 nF é aplicada uma tensão alternada sinusoidal de
amplitude 6.0 V e período 0.08 ms.
a. Escreva em função do tempo a expressão da tensão aplicada.
b. Qual será o valor indicado num multímetro para esta tensão?
c. Determine a frequência de corte.
d. Calcule o módulo da impedância do circuito na posição de corte.
2
Para mais detalhe ver M. C. Abreu et al. "Física Experimental - Uma introdução", Lisboa (1994).
5(7)
T6 - Circuito RC
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4.
Realização experimental
Material
Um condensador, uma resistência, um gerador de sinais, um osciloscópio e fios de ligação.
Obtenção de dados e análise dos resultados
1.
Monte o circuito (a) da figura 6, notando que o osciloscópio não ocupa uma posição fixa3.
2.
Regule o gerador de sinal de forma a fornecer uma tensão sinusoidal de amplitude 6 V com
uma frequência de 1 kHz. Note bem: A parte restante do trabalho é realizada tendo o cuidado de
não alterar o valor da amplitude do sinal.
C R OSC. OSC. R Ve
(a)
Ve
C (b)
Figura 6: Esquema das montagens experimentais. (Ve - gerador de sinal)
3.
Meça a amplitude do sinal de saída (aos terminais da resistência) fazendo variar a frequência
do sinal de entrada, entre 10 Hz e 1 MHz. Deve pensar previamente quais são os valores de
frequência para os quais vai medir a tensão de saída e medi-la cuidadosamente com o osciloscópio
em cada caso.
4.
Explicite o cálculo da frequência de corte em função dos valores da resistência e da
capacidade.
5.
Trace o gráfico da variação de Vs0/Ve0 em função da frequência e determine a frequência de
corte e, a partir desta, a capacidade do condensador.
6. Sem alterar a amplitude do sinal de entrada, meça com o multímetro o valor dessa tensão
para vários valores de frequência. Compare esses valores com os valores lidos no osciloscópio e tire
conclusões.
7. Repita o gráfico anterior usando para a frequência uma escala logarítmica.
8. Monte o circuito da figura 6 (b).
3
Nestas montagens tem que haver muito cuidado em respeitar a posição da "massa"
6(7)
T6 - Circuito RC
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9. Repita o procedimento utilizado para o circuito da figura 6 (a).
10. Determine a frequência de corte dos dois circuitos, compare os valores e justifique o
resultado dessa comparação.
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