Gabaritos - IME-USP

Lista 4 com respostas
Professora Nataliia Goloshchapova
MAT0112 - 1◦ semestre de 2015
Exercı́cio 1.
Estude a posição relativa das retas r e s.
(a) r : X = (1, −1, 1) + λ(−2, 1, −1), s :
(b) r :
x−y−z =2
,s:
x+y−z =0
(c) r :
x+1
2
=
y
3
(d) r :
x+3
2
=
y−1
4
=
y+z =3
x+y−z =6
2x − 3y = 5
x + y − 2z = 0
z+1
2 ,
s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0)
2x − y + 7 = 0
= z, s :
x + y − 6z = −2
(e) r : X = (8, 1, 9) + λ(2, −1, 3), s : X = (3, −4, 4) + λ(1, −2, 2)
Solução 1.
Dica: comece com posição dos vetores diretores.
(a) Paralelas distintas
(b) Concorrentes em P = (1, −1, 0)
(c) Reversas
(d) Coincidentes (r = s)
(e) Concorrentes em P = (−2, 6, −6)
Exercı́cio 2.
Dadas as retas r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, 7) + λ(2, 1, −3),
obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s, e paralela a
~u = (1, −5, −1).
Solução 2.
Sejam P e Q os ponos de interseção da reta t com as retas r e s. Note que
−−→
P Q||~u.
1
Exercı́cio 3.
Estude a posição relativa de r e π e , quando forem transversais, obtenha o
ponto de interseção P .
(a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1), π : x − y − z = 2
(b) r :
x−1
2
x−y+z =0
, π : X = (0, 1/2, 0) + λ(1, −1/2, 0) + µ(0, 1, 1)
2x + y − z − 1 = 0
x−y =1
, π :x+y =2
x − 2y = 0
(c) r :
(d) r :
= y = z, π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0)
(e) r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1), π : X = (1, −1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1, −1, 0)
(f) r :
x+2
3
=y−1=
z+3
3 ,
π : 3x − 6y − z = 0
Solução 3.
Dica: comece com posição do vetor diretor e vetor normal.
(a) São transversais, P = (1, 0, −1)
(b) São paralelos
(c) r está condita em π
(d) São paralelos
(e) São transversais, P = (−1/9, −4/9, −1/9)
(f) São paralelos.
Exercı́cio 4.
Verifique se a reta
1
(x − 7) = −(y + 3) = z − 4
3
intersecciona os planos π1 : 6x + 4y − 5z = 4 e π2 : x − 5y + 2z = 12 no mesmo
ponto. Verifique se essa reta é coplanar com a reta determinada pela interseção
desses planos.
Solução 4.
Ache os pontos da interseção da reta com os planos usando equações parametricas da reta. Para segunda parte verifique se as retas são coplanares usando
criterio da coplanaridade.
2
Exercı́cio 5.
Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 .
(a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1), π2 : X = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 0) +
µ(−1, −1, −2)
(b) π1 : X = (4, 2, 4) + λ(1, 1, 2) + µ(3, 3, 1), π2 : X = (3, 0, 0) + λ(1, 1, 0) +
µ(0, 1, 4)
(c) π1 : 2x − y + 2z − 1 = 0, π2 : 4x − 2y + 4z = 0
(d) π1 : x − y + 2z − 2 = 0, π2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1)
Solução 5.
Dica: ache equação geral de cado plano e use as regras que comparam os coeficientes das equações gerais do plano.
(a) São iguais.
(b) São transversais.
(c) São paralelos distintos.
(d) São transversais.
Exercı́cio 6.
Considere os planos α : x − y + z − 3 = 0 e β : 2m2 x − (m + 1)y + 2z = 0.
(a) Determine m, em cada caso, para que os planos α e β sejam: paralelos,
concorrentes e concorrentes ortogonais.
(b) Para m = −1 encontre a equação da reta de intersecção entre α e β.
Solução 6.
(a) Aqui basta utilizar aquelas regras que comparam os coeficientes das equações
gerais do plano.
Exercı́cio 7.
Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = (1, 1, 1) e é concorrente
com s : x √
= 2y = 2z, sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é
igual a 1/ 3.
Solução 7.
−−→
Seja Q o ponto de interseção das retas r e s. O vetor P Q é o vetor diretor da
r. Use a formula para cosseno da medida angular entre r e s e o fato que Q ∈ r
(para parametrizar Q).
3
Exercı́cio 8.
Determine o ponto P na reta r : X = (0, 2, 0) + λ(0, 1, 0) e o ponto Q na reta
s : X = (1, 2, 0) + λ(0, 0, 1), tais que a reta P Q forme ângulos de 45◦ com r e
de 60◦ com s.
Solução 8.
−−→
Note que P Q é o vetor diretor da reta P Q. Parametrize P e Q usando o fato
que P ∈ r e Q ∈ s, depois use a formula para cosseno da medida angular entre
duas retas.
Exercı́cio 9.
Obtenha uma equação geral do planos que contém r e forma ângulo de θ radianos
com π.
(a) r : x = z + 1 = y + 2, π : x + 2y − 3z + 2 = 0, θ = π/3
(b) r : X = (8, 0, 0) + λ(−8, 0, 8), π : x + z + 1 = 0, cos θ =
p
2/3
Solução 9.
Note que o vetor diretor da reta r é perpendicular ao vetor normal do plano π.
Usando este fato aplique a formula para cosseno do ângulo entre π e r.
Exercı́cio 10.
Ache a distância entre duas retas paralelas: 3x + 2y = 6 e 6x + 4y = 9. (Porque
essas retas são paralelas?)
Solução 10.
Use o fato que a distância entre duas retas paralelas é a distância entre um
ponto (qualquer) de uma reta e outra reta. Aplique a formula para a distância
entre um ponto e a reta no plano.
Exercı́cio 11.
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t.
(a) r : x − 1 = 2y = z, s : x = y = 0, t : x − 2 = z = 0
(b) r : x = y = z, s : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0), t : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, −1)
Solução 11.
Seja P um ponto na reta r que equidista das retas s e t. Parametrize o ponto
P e use a formula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Exercı́cio 12.
Ache as equações dos planos paralelos ao plano 3x−2y +6z +8 = 0 e que distam
2 desse plano.
4
Solução 12.
Lembre que o vetor N que é ortogonal ao plano dado é (3, −2, 6). Então o que
você procura é um plano que possui o mesmo vetor ortogonal mas que dista 2.
A equação do segundo plano será: π2 : 3x − 2y + 6z + d = 0 com d a determinar.
A distância entre os planos é dada tomando um ponto do primeiro plano, por
exemplo, P = (0, 1, −1) e agora usando a fórmula da distância de um ponto
√
a um plano obteremos que 2 = dist(P, π2 ) = |(3)(0)+(−2)(1)+(6)(−1)+d|
e basta
32 +22 +62
resolver esta equação.
Exercı́cio 13.
Determine a reta r que contém o ponto A, é paralela ao plano π, e que dista d
da reta s.
(a) A = (1, 3, −1), π : x + z = 2, s : x − z = y + 2 = z − x + 4, d = 3.
(b) A = (1, 2, 0), π : x + y + z = 1, s : X = (0, 3, 2) + λ(1, 1, 0), d = 2.
Solução 13.
Use o fato que o vetor diretor da reta r é perpendicular ao vetor normal do
plano π. Aplique a formula para a distância entre duas retas no espaso para
obter o vetor diretor da r.
Exercı́cio 14.
Calcule
m em cada caso, usando a informação
dada sobre as retas:
x − my + 1 = 0
x+y−z =0
y
r:
,s:x= m =z et:
y−z−1=0
y+z+1=0
(a) r e s são paralelas
(b) r, s e t são paralelas a um mesmo plano
(c) r e t são concorrentes
(d) s e t são coplanares
(e) r e s são reversas
Solução 14.
Dica: calcule o vetor diretor para cada reta.
(a) m = 1
(b) m = 1 ou m = 0 (os vietores diretores das reas são coplanares neste caso)
(c) m qualquer
(d) m = 0 (use o criterio da coplanaridade)
(e) m é qualquer número real diferente de 0 e 1 (use o criterio da reversidade).
5
Exercı́cio 15.
Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha,
quando for o caso, uma equação geral
do plano determinado por elas.
x=z−2
r : X = (1, m, 0) + λ(1, 2, 1) e s :
y = nz − 1
Solução 15.
Dica: ache os vetores diretores para cada reta. Se n = 2 as retas são paralelas
distintas para todo m. Se n 6= 2 as retas são reversas para todo m.
Exercı́cio 16.
Sejam r : X = (n, 2, 0) + λ(2, m, n) e π : nx − 3y + z = 1. Usando, em cada
caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n:
(a) r e π são paralelos
(b) r e π são transversais
(c) r está contida em π
Solução 16.
Dica: estude a posição relativa do vetor diretor da r e vetor normal do plano π.
√
(a) m = n 6= ± 7
(b) m 6= n
√
(c) m = n = ± 7
Exercı́cio 17.
Mostre que os planos bx − ay = n, cy − bz = 1 e az − cx = m se interceptam
numa reta se e somente se al + bm + cn = 0.
Solução 17.
Pegue a reta r de encontro de dois planos e ache o criterio para r pertencer o
terceiro plano (lembre que a reta pertence ao plano se e somente se dois pontos
dessa reta pertencem ao plano).
Exercı́cio 18.
Para que valores de m existe uma única reta paralela ao vetor ~u = (1, 1, 0)
que seja concorrente com r : X = (2, −1, 1) + λ(1, m, 3) e s : X = (3, 1, 1) +
λ(1, 1, m)?
Solução 18.
Use dica de Ex.2
6
Exercı́cio 19.
Seja α um dos ângulos formados pelas retas ax + by = c e y = px + q. Dê uma
expressão para | cos α|.
Solução 19.
Obtenha os vetores diretores dessas retas (b, −a) e (1, p). Assim,
| cos α| = √
(b, −a)(1, p)
p
b2 + a2 1 + p2
Exercı́cio 20.
Obtenha uma equação vetorial da reta r, concorrente com s : 2x − y + z + 6 =
0 = x − z e contida em π1 : 3x − 2y − 2z + 7 = 0, sabendo que a medida angular
entre r e π2 : x + y = 2 é arccos(1/3).
Solução 20.
Para obter o vetor diretor da reta r use o fato que a reta esta contida em π1 e o
fato sobre medida angular. Para obter o ponto inicial da reta r ache o ponto de
encontro dos 3 planos 2x − y + z + 6 = 0, x − z = 0 e π1 : 3x − 2y − 2z + 7 = 0.
Exercı́cio 21.
São dados o ponto P = (0, 1, 0), o plano π : 2x + y + z − 4 = 0 e a reta
s : X = (1, −1, 1) + λ(2, 3, 1). Obtenha equações da reta que contém P e
é concorrente
com s, de tal modo que a medida angular entre ela e π seja
√
arccos( 35/6).
Solução 21.
Seja Q o ponto de encontro da reta desejada com a reta s. Parametrize o vetor
−−→
P Q e use a formula da medida angular entre ela e π.
Exercı́cio 22.
Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em
(a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c) prove que
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2.
d2
a
b
c
Solução 22.
~ || =
d = d(P, π) = ||P roj~n AP
1
d2
=
2
2
~ ~
||AP
n||
||~
n||
= √||(0,0,c)(cb,ac,ab)||
⇒ d2 =
2
2
2
(cb) +(ac) +(ab)
2
(cb) +(ac) +(ab)
(abc)2
7
(abc)2
(cb)2 +(ac)2 +(ab)2
⇒