Trabalhando Matemática: percepções

Trabalhando Matemática: percepções
contemporâneas
18, 19 e 20 de Outubro
João Pessoa, Paraíba.
2012
CONHECENDO OS NÚMEROS COMPLEXOS E ANALISANDO A SUA
FORMA DE INSERÇÃO NO LIVRO DIDÁTICO DO ENSINO MÉDIO
Raquel PRISCILA Ibiapino
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
Valéria JULIANA Raposo
Universidade Estadual da Paraíba
[email protected]
RESUMO
Neste trabalho faremos uma apresentação dos Números Complexos e um estudo epistemológico do
mesmos, além de analisarmos a forma como este conteúdo está inserido nos livros didáticos de
Matemática. Para tal, analisamos livros do 3º ano do Ensino Médio, publicados entre 2002 e 2005. A
nossa pesquisa têm em seu referencial teórico as orientações dadas pelo PCNEM e OCN, além de textos
sobre a história dos Números Complexos, evolução do conceito de número e contribuições adquiridas em
reflexões na sala de aula. Nosso estudo revela que os Números Complexos devem ser vistos não apenas
como necessidade para se resolver equações do 3º grau, mas também os mesmos devem ser reconhecidos
como necessários à resolução de outras questões presentes no cotidiano dos alunos.
Palavras-chaves: Números Complexos, livro didático, epistemologia.
1. Introdução
É possível observar que o surgimento dos números aconteceu de forma
ordenada, sendo que todos os números sempre estiveram postados no universo, uns
óbvios, outros ocultos, como os irracionais, mas coube ao ser humano descobri-los de
acordo com a necessidade de cada época. O nosso objetivo nesse documento é conhecer
os Números Complexos, investigando o porquê do seu surgimento, qual sua
necessidade, além de analisarmos nos livros de Matemática para o Ensino Médio,
publicados entre 2002 e 2005, a forma como esse conteúdo está apresentado.
Na análise dos livros didáticos serão observadas as seguintes questões: qual a
necessidade de abordagem dos Números Complexos e se é feito um estudo
epistemológico, como é abordado, além de observar se é feita relação entre os Números
Complexos e o cotidiano. A partir daí observaremos se é valorizada a reflexão por parte
dos professores antes de apresentarem o conteúdo, reflexão essa que deve ser feita de
modo que valorize a aprendizagem, procurando meios para inseri-lo no contexto
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escolar, dando sentido ao que se está estudando através da apresentação de aplicações
no cotidiano.
De acordo com leituras feitas do livro Matemática cujo autor é Paiva (2009),
observa-se que a descoberta do número como abstração de quantidades observadas no
cotidiano foi o primeiro, e talvez o mais importante feito matemático da humanidade.
Houve uma longa e árdua caminhada desde os números naturais até os complexos
(Paiva, 2009).
Tomaremos como base para os nossos estudos textos sobre a História dos
Números Complexos, o PCNEM (2002) e o PCN+ (2002), além de textos que tratam da
evolução do conceito de número e da insuficiência dos reais, descoberta de um novo
número e análise de livros didáticos do Ensino Médio, publicados entre 2002 e 2005,
dando-se ênfase as questões citadas anteriormente.
2.
Epistemologia dos Números Complexos
Buscaremos nesta seção discutir e apresentar o surgimento dos Números
Complexos, a necessidade de se trabalhar com eles, além de apresentar a forma como
ele é abordado nos livros didáticos de matemática, observando se são feitas relações
com o cotidiano.
Os Números Complexos surgiram no Renascimento (1400-1600), quando houve
um grande desenvolvimento da Matemática na Europa, sendo estimulados pelo
desenvolvimento comercial e pelo crescimento das cidades européias. Não foram
aceitos espontaneamente como números, pois não existia um sentido físico e nem
tampouco um significado geométrico em uma raiz de um número negativo. Só que para
se resolver equações cúbicas os matemáticos utilizavam a fórmula de CardanoTartaglia, e foi aí que o matemático Bombeli notou que havia uma necessidade de se
trabalhar com os números imaginários. O desenvolvimento de regras para se trabalhar
com esses números proporcionou um avanço na área da matemática e ciências afins
(EVES, 2004).
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No início do século XVI, os matemáticos pesquisaram a obtenção de fórmulas
para se resolver equações com grau maior que dois. Em particular, tomou-se a equação
y³ + py + q = 0, em que a e b são números reais. Conduzindo o matemático Gerolamo
Cardano a apresentar a fórmula que permitia resolver tal equação:
Y= 2 √∆ 2 √∆, ∆ 4 27
3
3
Por que surgiram os Números Complexos e qual a necessidade?
De acordo com (AMORIM; SEIMITZ; SCHMITT, 2006) a percepção numérica
é uma aptidão inata que permite até mesmo a uma criança que nunca teve contato com
os números, perceber que foram retirados alguns objetos de um determinado conjunto.
Já a habilidade para contar não é inata. Uma das evidências para se afirmar isso é o fato
de ainda hoje existirem tribos cujas possibilidades numéricas se resumem à percepção e
cujos indivíduos são incapazes de formalizar a idéia abstrata de número. Muitas dessas
tribos antigamente estabeleciam parâmetros e utilizavam símbolos para medir
quantidades, de acordo com o cotidiano de cada um.
A numeração escrita surgiu na pré-história, por causa da necessidade que o
homem sentia em medir os seus bens. Bastante tempo se passou, até que os homens
sentiram a necessidade de criar um símbolo para registrar o nada. O uso do símbolo para
o zero revolucionou a escrita dos números, facilitando muito a linguagem matemática.
Até o século XVII, os matemáticos estavam limitados ao campo dos números naturais,
de forma que até as operações mais simples nem sempre eram possíveis. Sentiu-se então
a necessidade de ampliar o campo dos operandos, momento em que se juntaram aos
naturais o zero e os números negativos, surgindo os números inteiros representados por:
Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} (AMORIM; SEIMTZ; SCHMITT, 2006).
As operações diretas (adição e multiplicação) eram sempre possíveis, enquanto
as operações inversas (subtração e divisão) só eram possíveis sobre certas restrições.
Hoje se diz que o conjunto dos números naturais é fechado em relação às operações de
adição e multiplicação e em relação à subtração e divisão não o é. Superou-se o
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problema da subtração, mas da divisão não, pois Z não é fechado em relação à divisão
(AMORIM; SEIMTZ; SCHMITT, 2006).
Surgiu então, novamente, a necessidade de ampliação e foram criados as frações
ou números racionais representados por: Q= {a/b; a, bєZ, com b≠0}. Logo, descobriuse que os racionais não eram suficientes para representar todos os números. Era certo
que a medida de um segmento representava um número, mas a diagonal de um
quadrado de lado um cm não podia ser representada como quociente de dois inteiros
(AMORIM; SEIMTZ; SCHMITT, 2006).
Atualmente, dizemos que a raiz quadrada de dois não é um racional. Esses
números não racionais foram chamados de irracionais. Foi definido, então, um conjunto
mais amplo em relação biunívoca com a reta numérica, chamado de números reais e
representado pelo símbolo R. Diz-se que os reais completam a reta. Sendo que por
algum tempo os matemáticos pareciam satisfeitos, só que ainda existiam problemas
práticos cuja solução passava pela resolução de equações polinomiais. Apesar de terem
certeza da solução real, esbarravam em ocasiões com números diferentes.
O matemático Nicolau Fontana (Tartaglia) desenvolveu a fórmula para encontrar
uma das raízes de equações polinomiais de grau 3, do tipo x³+px+q=0, publicada por
Cardano e recebendo injustamente o seu nome:
2 2 3 2 2 3
Vamos ver como funciona. Considere a equação x³-6x+9=0. Assim:
9 2 9 2 6 3 9 2 9 2 6 3 3
3
9 2 √49 4 9 2 √49 4 √8 √1 2 1 3.
3
Parece simples de se resolver, mas na maioria das vezes nos deparamos com números
negativos dentro da raiz quadrada, mesmo sabendo que devem existir três raízes reais.
Por exemplo, y=x²-15 com a hipérbole de equação y=4÷x. Se analisarmos
geometricamente, veremos que devem existir três soluções reais.
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Já, algebricamente, igualando as duas equações para y, temos: x-15=4÷xx³15x-4=0, isto é, nos deparamos com o problema de encontrar raízes de um polinômio de
grau 3. Vamos ver o que acontece quando usamos a fórmula de Cardano, aliás, de
Tartaglia.
4 2 4 2 15 3 4 2 4 2 15 3
3
2 √4 125 2 √4 125 2 √121 2— 121
3
3
Por outro lado, podemos tentar resolver a equação pesquisando raízes inteiras.
Verifica-se que x-4 é uma solução; ³ 15 4 0 → 4. 4 1 → 2 √3; 2 √3 são as outras duas raízes reais, portanto o número estranho
produzido pela fórmula de Tartaglia é real.
Mas que números estranhos seriam esses? Se não existiam, precisavam ser
criados. Foi o que Bombelli fez, ainda no século XVI. Mais uma vez, então, o campo
numérico foi ampliado, surgindo o conjunto C, os Números Complexos. Logo, observase que os Números Complexos surgiram a partir da necessidade de resolução de
equações do 3º grau e não das do 2º grau, ao contrário do que muitos pensam. Temos,
finalmente, que: o conjunto dos números naturais está contido nos inteiros, que está
contido nos reais e que está contido nos complexos. Notação: &∁(∁)∁*∁+.
3.
Abordagem dos Números Complexos no livro didático de Matemática
Em geral, os Números Complexos são introduzidos nos livros didáticos do 3º
ano do Ensino Médio de diversas maneiras. Uma delas é a apresentação como números
do tipo a+bi, com a e b sendo números reais e i² = -1, também são definidos como pares
ordenados (a, b).
Faremos uma análise de três livros didáticos destinados ao 3º ano do ensino
médio, publicados em 2002 e 2005, analisando algumas questões, como: a forma de
abordagem dos Números Complexos se há um estudo crítico dos princípios e resultados
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obtidos pelos matemáticos ou se apenas é apresentado o assunto como certo, óbvio e se
é feita uma relação entre os Números Complexos e o cotidiano, apresentando
aplicações.
a. Quadro comparativo das obras analisadas e Resultados
Tabela 1- Comparativo das obras analisadas
Livros
Abordagem
dos Números
Complexos
Apresentação
dos Números
Complexos
Estudo
epistemológico
desses números
Relação entre os Números
Complexos e o cotidiano
Matemática
Ensino
médio.
Longen,
Adilson.
Editora:
Positiva,
2005.3ª série
do Ensino
médio
São abordados
através da
necessidade
de se resolver
equações do
3º grau.
São apresentados
na forma z=a+bi,
com a, bєR e
i=√, e na
forma
trigonométrica.
É feita uma
apresentação do
desenvolvimento
dos estudos
voltados a
resolução de
equações de 3º
grau com raízes
quadradas
negativas.
Não faz relação entre os
Complexos e o cotidiano,
apresentando apenas
abordagens algébricas,
trigonométricas, não
apresentando aplicações
práticas.
Matemática
Aula por
Aula. Silva,
Cláudio
Xavier.
Editora: FTS,
2005. 3ª série
do Ensino
médio.
Não apresenta
necessidade
de se trabalhar
com os
Complexos,
elencando
apenas as
contribuições
de alguns
matemáticos
para esse
estudo.
São apresentados
na forma de dois
pares ordenados,
(a, b) e (c, d), do
produto
cartesiano,
R×R= {(x, y)
/xєR, yєR}, onde
R é o conjunto
dos números
reais, forma
algébrica,
trigonométrica e
geométrica.
Não apresenta
um estudo
crítico dos
resultados
obtidos pelos
matemáticos,
fazendo apenas o
seu uso como
correto.
Não faz relação entre os
Complexos e o cotidiano,
sendo feito apenas abordagens
algébricas, trigonométricas e
geométricas, sem dar ênfase
às aplicações práticas.
Matemática.
Sérgio,
Marcondes
Gentil.
Editora:
Ática, 2002.
Série Novo
São abordados
através da
necessidade
de se resolver
equações do
2º grau, com
∆- 0.
São apresentados
na forma z=a+bi,
com a, bєR e
i=√,·, sendo a
a parte real ® e
bi a parte
imaginária (Im)
Não faz um
estudo crítico
dos Números
Complexos,
apresentando
apenas a forma
algébrica como
Não é feita relação entre os
Números Complexos e o
cotidiano, apresentando
apenas abordagens algébricas,
geométricas e trigonométricas,
sem aplicações práticas.
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Ensino
médio.
e também é feita
a representação
gráfica, além da
forma
trigonométrica
ou polar.
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coerente.
De acordo com nossa avaliação, observamos que os dois livros mais recentes,
publicados em 2005, fazem uma apresentação algébrica e trigonométrica, mas apenas o
de Adilson Longen (2004) aponta a necessidade de se trabalhar com os Números
Complexos, afirmando que é devido a necessidade de se resolver equações do 3º grau,
enquanto o de Silva Cláudio (2005) não faz essa abordagem. Já o de Sérgio Marcondes
(2002), apresenta os Complexos da mesma forma que os outros dois livros, afirmando
que é abordado devido à necessidade de se resolver equações do 3º grau.
Relacionado ao estudo epistemológico, os livros analisados não apresentam um
estudo crítico dos Complexos, elencando apenas no de Silva Cláudio, as contribuições
de alguns matemáticos para esse estudo. Por fim, analisei a relação entre os Números
Complexos e o cotidiano, em que constatamos que em nenhum dos livros trabalha-se
esse conteúdo apresentando aplicações no cotidiano, sendo apresentados apenas
cálculos envolvendo o conceito em questão.
Já a abordagem dos Números Complexos no livro de Adilson Longen é feita
devido a necessidade de se resolver equações do 3º grau, enquanto Silva Claúdio não
apresenta necessidade de se trabalhar com esses números, enfatizando apenas as
contribuições de alguns matemáticos para essa estudo e, Sérgio Marcondes aborda os
Números Complexos como necessidade de se resolver equações do 2º grau, com ∆<0.
Também observamos a relação entre os Números Complexos e o cotidiano, e
chegamos a conclusão de que não é feita nenhuma relação desse tipo nos livros
observados, sendo apresentado apenas abordagens algébricas, trigonométricas e
geométricas, sem ênfase a aplicações práticas.
Portanto, é perceptível que é necessário urgentemente que se adapte ao ensino
dos Complexos novas formas de trabalho com esse conteúdo em sala de aula. Entre as
possibilidades pode-se fazer uso de alguma tendência metodológica na área da
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Educação Matemática, tais como a resolução de problemas ou a modelagem, pois
segundo nossa avaliação, fica claro que o livro didático não têm motivado a
aprendizagem dos nossos alunos.
4.
Considerações finais
De acordo, com o estudo feito, observamos que é preciso uma mudança
metodológica para que se tenha uma aprendizagem eficaz, que além de apresentar
aplicações dos Números Complexos em problemas vistos no cotidiano, apresente
aplicações em outras áreas do conhecimento.
Nesse sentido, entendemos que os Complexos devem ser vistos não apenas
como sendo necessidade ao se resolver equações do 3º grau, mas também como uma
ferramenta necessária para se resolver outras questões presentes no cotidiano, tais como:
nas engenharias e na física moderna. A primeira aplicação de números complexos na é a
teoria de circuitos elétricos, que parece ter sido realizada pelo cientista alemão Hermann
von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos
elétricos de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur
Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (18711941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo Impedância (inventado
por Heaviside), assim como os números complexos para os elementos dos circuitos
elétricos CA, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos são
fundamentais para a Engenharia Elétrica. Na física moderna, temos a utilização dos
Complexos em circuitos elétricos, monofásicos, RC( em ondas que regem o movimento
dos elétrons), dentre outras aplicações não citadas nesse documento. Os livros didáticos
avaliados precisam fazer essa abordagem, pois os Números Complexos estão sendo
trabalhados de forma desconexa, sem elo com os outros conteúdos.
Portanto, antes de trabalhar com estes números, devemos refletir no sentido de
que possamos fazer uma abordagem que valorize aspectos do cotidiano, fazendo uso de
uma ferramenta auxiliar motivadora, como exemplo os quadrados mágicos.
5.
Referências Bibliográficas
Trabalhando Matemática: percepções
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2012
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, 2002.
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais,
Brasília: MEC, 2002.
BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide -2ª Ed - São
Paulo: Bliicher, 1996. pág.197-198.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Higyno
Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
LONGEN, Adilson. Matemática. Ilustrações Rodrigo Fernando Cavalari, Tiago
Brayner Curitiba: Positivo, 2004.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. 1ª Ed. São Paulo: Moderna, 2009. Capítulo
8. pág.325-372.
SÉRGIO, Marcondes Gentil. Matemática. Série Novo Ensino Médio. Volume único. 6ª
Ed. 7ª impressão. São Paulo: Editora Ática, 2002.
SCHMITT; AMORIM, Jodette Gukher; SEIMETZ, Rui. Trigonometria e Números
Complexos. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 2006. Capítulo 9. Pág. 65-81.
SILVA, Claúdio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2005.