Quedas de tensão: Qual é a condutividade do cobre?

Quedas de tensão: Qual é a condutividade do cobre? Quando
se considera a reactância? Porquê?
Aplicar a fórmula para a queda de tensão de uma linha concreta é algo
normalmente muito simples mas é extraordinariamente usual
encontrar cálculos da queda de tensão considerando valores da
condutividade (γ) a 20 ºC. Suposição que nos pode levar facilmente a
erros até 28 %. Igualmente a reactância é esse “estranho convidado”
que pode aparecer nos cálculos em determinadas situações.
A influência da condutividade do condutor
É muito fácil ver que tomar γ = 56 mm/ (Ω·mm²) para o cobre e 35 para o alumínio
(valores a 20 ºC) é um erro dado que na maioria dos casos já se parte de uma
temperatura ambiente standard de 20 ºC para instalações enterradas e de 30 ºC para
instalações ao ar, facto ao qual temos que adicionar o correspondente efeito Joule
(aquecimento do condutor pela sua resistência eléctrica) para encontrarmos que o nosso
cabo apresenta uma condutividade significativamente distinta. Assim nos cabos termo
estáveis (como Afumex 1000 V, Retenax Flex…) podemos alcançar 90 ºC em regime
permanente e em cabos termoplásticos (como Afumex Plus, Wirepol Flex…) podemos
chegar a 70 ºC.
Esclarecemos com um exemplo:
Suponhamos uma instalação que responde aos seguintes dados:
Sistema de instalação: cabo Afumex 1000 V (máximo 90
ºC em condutor) multipolar fixado directamente á parede
Monofásica com U = 230 V
Intensidade de corrente: I = 70 A
cosφ = 0,9
Comprimento da linha: 48 m
Máxima queda de tensão admitida: 5 %
Condições standard de instalação: 30 ºC de temperatura
sem influência térmica de outros circuitos em redor.
Afumex 1000 V (AS)
A condutividade (γ) do cobre é 56 m/(Ω·mm²) a 20 ºC mas se a temperatura do condutor
aumenta a condutividade reduz-se. Para um cabo termo estável pode chegar a ser de 44
m/(Ω·mm²).
Quer dizer se calculamos a secção pelo critério da queda de tensão na linha do
enunciado com a hipótese de γ = 56 m/(Ω·mm²) obteremos o seguinte resultado.
S
2  L  I  cos  2 x 48 x70 x0,9

 9,39mm 2  10 mm²
  U
56 x11,5
Se não calculamos a temperatura do condutor, deveríamos aplicar a hipótese mais
desfavorável, que é considerar o condutor à sua máxima temperatura (90 ºC) e a
condutividade passa a ser 44 m/(Ω·mm²) e a secção por queda de tensão é:
S
2 x 48 x70 x0,9
 11,95mm 2  16 mm²
44 x11,5
Quer dizer, o resultado é uma secção superior.
Comprovemos agora o valor real à temperatura a que está o condutor. Para isso
previamente devemos obter a secção pelo critério da intensidade admissível. Como se
trata de cabo fixado directamente à parede em instalação monofásica (QUADRO 52-C2,
dos condutores de 90 ºC carregados, páginas 98 e 99 das Regras Técnicas das
Instalações Eléctricas de Baixa Tensão) em condições standard. Na tabela de
intensidades admissíveis podemos obter a secção pelo critério da intensidade admissível
obteremos que a secção é de 10 mm² (primeira secção que supera os 70 A do enunciado)
e a intensidade máxima que pode suportar o condutor é de 80 A.
Recordando a fórmula da temperatura do condutor:
θ = θ0 + (θmáx - θ0) · (I / Imáx)2
-
θ: temperatura real estimada no condutor
θ0: temperatura ambiente (do condutor sem carga)  30 ºC
θmáx: temperatura máxima admissível para o condutor segundo o seu isolamento
 como o cabo Afumex 1000 V Iris Tech (AS) é termo estável  90 ºC
-
I: intensidade prevista para o condutor  70 A
Imáx: intensidade máxima admissível para o condutor de 10 mm² conforme o tipo
de instalação  80 A (este valor é o que pode apresentar maiores duvidas na
hora de ser obtido. É o valor da intensidade máxima admissível nas condições de
instalação que temos, como temos condições standard, vale o valor directo da
tabela, se assim não fosse seria necessário afecta-lo dos coeficientes de
correcção correspondentes)
Substituindo:
θ = 30 + (90 – 30) · (70/80)² = 75,94 ºC
Como a resistividade à temperatura θ responde à seguinte expressão…
ρθ = ρ20 · [1 + α · (θ – 20)]
ρ75,94 = 1/56 x [1 + 0,00392 x (75,94 – 20)] = 0,0218 Ω mm²/m 
γ75,94 = 1/0,0218 = 45,87 m / Ω mm²
Que substituído na fórmula resulta:
S
2  L  I  cos  2 x 48 x70 x0,9

 11,46mm 2  16 mm²
  U
45,87 x11,5
Como a secção obtida é maior que a suposta inicialmente (10 mm²) devemos iterar com
o valor de 16 mm² introduzindo na fórmula inicial o valor de Imáx que corresponde à
secção de 16 segundo a tabela (107 A). Se com este valor obtemos 16 mm² de secção
por queda de tensão quererá dizer que é o valor solução ao coincidir a suposição inicial
e o resultado.
Repetimos para 16 mm²:
θ = 30 + (90 – 30) · (70/107)² = 55,68 ºC
ρ55,68 = 1/56 x [1 + 0,00392 x (55,68 – 20)] = 0,02035 Ω mm²/m 
γ55,68 = 1/0,02035 = 49,14 m/Ω mm²
Que substituído na fórmula resulta:
S
2  L  I  cos  2 x 48 x70 x0,9

 10,70mm 2  16 mm²
  U
49,14 x11,5
Como coincide com a suposição inicial (Imáx tomada para 16 mm² e secção obtida 16
mm²) a solução correcta é 16 mm², a temperatura real do condutor será de 55,68 ºC e
em consequência a condutividade real γ = 49,14 m/Ω mm².
Com isto se demonstra que considerar a condutividade de 56 m/Ω mm² teria sido um
erro uma vez que nos levava a uma solução de 10 mm² e a queda de tensão neste caso
seria:
U 
2  L  I  cos  2 x 48 x70 x0,9

 13,18V
 S
45,87 x10
Percentualmente:
ΔU (%) = 13,18/230 x 100 = 5,73 % (supera o limite estabelecido inicialmente de 5%).
A queda de tensão real com o condutor de 16 mm² é:
U 
2  L  I  cos  2 x 48 x70 x0,9

 7,69V
49,14 x16
 S
ΔU (%) = 7,69/230 x 100 = 3,34 %
Resumindo:
T do condutor (ºC)
20
90
55,68
Condutividade
m/(Ω·mm²)
56 (teórica)
44 (teórica)
49,14 (real)
Secção
(mm²)
10
16
16
queda de tensão
5,73 % (real)
13,18 V (real)
3,73 % (teórico)
8,59 V (teórico)
3,34 % (real)
7,69 V (real)
A influência da reactância da linha
Algo similar ao que sucede com o valor da condutividade acontece com a reactância das
linhas. Quando a secção solução pelo critério da queda de tensão é igual ou maior que
120 mm² é necessário considerar a reactância da linha, que pode simplificar-se em geral
independentemente da secção do condutor e da natureza do mesmo no valor de 0,08
Ω/km.
Isto é fácil de ver se tivermos em conta o delineamento geral para os cálculos de queda
de tensão nas linhas:
Diagrama vectorial que representa a diferença de potencial U2 na carga frente a U1 na geração
Da figura, tendo em conta que os valores de φ em geral não são muito elevados e que θ
é muito pequeno se depreende:
ΔU = U1 – U2 ≈ AB – BC = R I cosφ + X I senφ
No caso de linhas trifásicas a queda de tensão entre fases vem afectada da raiz quadrada
de 3:
ΔU||| = √3 (R I cosφ + X I senφ)
Destas expressões se depreende que se a secção do condutor não é muito elevada, a
parcela influída pela resistência (R I cosφ) é notavelmente superior ao da reactância (X I
senφ) e este último pode-se desprezar. No entanto se a secção aumenta, tendo em conta
que a reactância és praticamente constante (≈ 0,08 Ω/km), a queda de tensão fica muito
enfluênciada por X e já não devemos subestimar o seu valor. Para S = 120 mm² de
cobre R ≈ 0,207 Ω/km y X ≈ 0,08 Ω/km.
Com base na fórmula geral de queda de tensão e extraindo a secção do condutor S, dado
que R = L/(γ·S) obtemos:
Monofásica
S
2  L  I  cos 
  (U  2  10 3  x  L  I  sen )
Trifásica
S
3  L  I  cos 
  (U  1,732  10 3  x  L  I  sen )
Onde:
-
S = secção do condutor em mm²
cos φ = coseno do ângulo φ entre a tensão e a intensidade
L = comprimento da linha em m
I = intensidade de corrente em A
γ = condutividade do condutor em m/(Ω·mm²)
ΔU = queda de tensão máxima admissível em V
x = reactância da linha em Ω/km
É fácil ver que o denominador das expressões anteriores pode ser negativo. Acontece
quando se combinam uma intensidade muito alta e um comprimento elevado. Nesse
caso o que nos diz o cálculo é que não se pode ter uma secção (por maior que seja) para
respeitar a máxima queda de tensão que queremos. E por isso devemos pensar em
realizar a instalação em média tensão. Nesse caso para transmitir a potência prevista
eleva-se a tensão reduzindo a intensidade com o que se produz uma baixíssima queda de
tensão percentual.
Se tivéssemos que transmitir 700 A a uma distância de 350 m com uma linha trifásica
de cabo termo estável a 400 V de tensão entre fases e cosφ = 0,8 a secção necessária de
cabo de cobre para uma queda de tensão máxima admissível de 5% (20 V) calcular-se-ia:
S
3  L  I  cos 
3 x350 x700 x0,8

 20965mm 2
3
3
  (U  1,732  10  x  L  I  sen ) 44 x(20  1,732 x10 x0,08 x350 x700 x0,6)
Também podemos pensar no caso em que o denominador será positivo mas próximo a
zero. Igualmente nos diz que devemos pensar em media tensão já que ao ser muito
pequeno o denominador da secção resultado nos induz a instalar muitos cabos por fase
inviabilizando económica e tecnicamente a instalação.
Baixemos agora a intensidade do problema anterior a 600 A:
S
3  L  I  cos 
3 x350 x600 x0,8

 2602mm 2
3
  (U  1,732  10  x  L  I  sen ) 44 x(20  1,732 x10 3 x0,08 x350 x600 x0,6)
11 cabos de 240 mm² de cobre por fase. E se formos subindo ligeiramente a intensidade
veremos como dispara muito mais o número de cabos por fase.
Estes dois possíveis resultados indicam-nos que a linha está “mantendo” muita potência
em forma de campos magnéticos pela reactância indutiva dos condutores.