Capítulo 6 Independência das Equações - DECOM

EA-513 – Circuitos Elétricos I
DECOM-FEEC-UNICAMP
Capítulo 6
Independência das Equações
EA-513 – Circuitos Elétricos I
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6.1 Grafo de uma Rede
Estudo de como os elementos de uma rede elétrica são conectados (topologia).
Topologia de redes: fornece um método sistemático para a determinação de
quantas equações são necessárias para a análise,
quantas delas são independentes e a escolha do melhor
conjunto de equações para a análise direta.
Problema a ser resolvido: análise de redes complicadas, geralmente não
planares e com muitos laços.
Circuitos não planares: não permitem a análise por malhas e a aplicação direta
da lei de Kirchhoff de tensão.
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Circuito não planar: 15 laços.
b
1
2
3
4
5
c
a
d
6
9
e
+
7
-
vg
8
f
Desejamos obter um conjunto de equações independentes!
(1, 3, 4, 5)
(1, 3, 7, 9)
(2, 3, 5, 6)
(1, 2, 8, 9)
(1, 2, 4, 6)
(4, 5, 7, 9)
(2, 3, 4, 5, 8, 9)
(1, 2, 5, 6, 7, 9)
(1, 3, 5, 6, 8, 9)
(2, 3, 7, 8)
(2, 3, 4, 6, 7, 9)
(4, 6, 8, 9)
(5, 6, 7, 8)
(1, 3, 4, 6, 7, 8)
(1, 2, 4, 5, 7, 8)
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Desejamos saber quais laços são independentes.
Então, precisamos saber como os elementos são conectados ⇒ grafo de rede:
b
1
ramo
2
3
4
a
nó de rede
5
c
d
6
9
e
7
8
f
Contém 9 ramos e 6 nós (+1 nó se considerarmos o nó entre 9 e vg).
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Grafo de rede é conexo se existe um percurso de um ou mais ramos entre
quaisquer dois nós.
Exemplo de grafo de rede não conexo:
a
c
b
d
e
f
sem ligação
g
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6.2 Árvore e Co-Árvore
Árvore é uma porção conexa de um grafo (subgrafo) que contém todos os nós
mas nenhum laço.
Exemplo:
3
3
2
4
5
2
2
6
1
7
grafo
1
1
árvore
7
árvore
Total de árvores: 24
3 ramos determinam uma árvore, mais que isso formam um laço.
Combinação de 7 ramos 3 a 3 = 35, entretanto, 11 delas não são árvores.
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Ramos do grafo que não estão na árvore são denominados enlaces.
Enlaces mais os seus nós = co-árvore da árvore correspondente.
Exemplo:
3
2
4
5
1
6
7
árvore
co-árvore
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Generalização:
Grafo com B ramos e N nós:
• em qualquer árvore existem N nós e N − 1 ramos.
• número de enlaces em uma co-árvore qualquer é B – N + 1.
3
3
2
5
1
4
2
4
6
5
7
1
grafo
6
7
árvore
co-árvore
Grafo: B = 7 ramos e N = 4 nós:
Árvore: N = 4 nós e N − 1 = 3 ramos.
Co-árvore: B – N + 1 = 4 enlaces .
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6.3 Equações Independentes de Tensões
Se todas as tensões dos ramos de uma árvore são reduzidas a zero
substituindo os ramos por curto-circuitos
todos os nós da árvore estarão no mesmo potencial
todas as tensões de enlace serão zero
Então, tensões de enlace dependem das tensões de ramo da árvore.
Se uma tensão de enlace for independente das tensões da árvore, ela não pode
ser forçada a zero por curto-circuito no ramo da árvore.
Conclusão: As N – 1 tensões de ramo de uma árvore são independentes e
podem ser usadas para encontrar as tensões de enlace.
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Exemplo:
v3
+
–
+
v2
–
+
v4
–
+
+
+
v5
v1
v6
–
–
Pela lei de Kirchhoff de tensão:
–
v4 = v3 − v2
v5 = v1 − v2
v6 = v1 − v3
tensões de enlace
tensões de ramo da árvore
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Procedimento para se obter as equações de tensões de ramo da árvore:
• Abre-se um ramo da árvore separando-a em duas partes.
• Correntes fluem entre as duas partes através do ramo aberto e pelos
enlaces.
• Aplica-se a lei de Kirchhoff de corrente, a soma algébrica destas
correntes em um dado sentido é zero.
• Escreve-se a equação de tensões.
• Repete-se este procedimento para os outros ramos da árvore.
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I
Exemplo:
a
+
+
a
+
+
v1
-
1Ω
v1
–
0,5 Ω
b
+
c
2Ω
b
20 V
+ v2 -
v2
–
–
c
+
20 V +
-
1Ω
v1 + v2
+
20 – v1
11 A
–
–
d
20 – v1 – v2
–
d
Imaginando ramo a-b (v1) aberto ⇒ a árvore é dividida em 2 partes.
Estas partes são conectadas pelo ramo a-b e os enlaces: (a, c), (b, d) e (d, c)
como indicado pela linha marcada com I.
Correntes no sentido da seta:
v1 + v2 v1 20 − v1
+ −
− 11 = 0
1
1
2
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a
+
+
a
+
+
v1
-
1Ω
v1
–
0,5 Ω
b
+
c
2Ω
–
b
20 V
+ v2 -
v2
–
c
+
20 V +
-
1Ω
II
v1 + v2
+
20 − v1
11 A
–
–
d
20 − v1 – v2
–
d
Imaginando ramo b-c (v2) aberto ⇒ a árvore é dividida em 2 partes.
Estas partes são conectadas pelo ramo b-c e os enlaces: (a, c) e (d, c) como
indicado pela linha marcada com II.
v +v
v
Correntes no sentido da seta: − 1 2 − 2 + 11 = 0
1
0,5
Resolvendo as equações, obtemos v1 = 8 [V ] e v2 = 1 [V ]
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O conjunto de corte do grafo é o conjunto mínimo de elementos que, quando
cortado ou removido, separa este grafo em duas partes.
As duas partes determinadas por um corte no grafo serão ou um nó ou um
supernó.
Então, a soma algébrica das correntes que deixam qualquer das partes é zero.
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CS
Exemplo:
i1
i2
i1
i3
i4
i5
i2
i3
i6
i4
i5
i7
i7
Grafo
Árvore e enlaces
i6
CS = conjunto de corte {i7, i5, i3, i2}
Lei de Kirchhoff de corrente: i2 – i3 + i5 + i7 = 0
Mesma equação para a Lei de Kirchhoff de corrente aplicada no supernó
contendo i6.
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CS-1
i1
i2
CS-3
i3
i4
CS-2
CS-1: i1 – i2 = 0
CS-2: i4 + i5 – i3 + i2 = 0
CS-3: i2 – i3 + i6 = 0
i5
i7
i6
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Conjunto de corte não baseado na árvore dada:
i1
i2
i3
a
i4
i5
i6
i7
Conjunto de corte incidente: elementos conectados (ou incidentes) ao nó a.
i1 – i3 + i5 + i4 = 0
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Obs.: Na análise de circuito, onde as incógnitas são as tensões, precisamos
encontrar apenas os valores das N – 1 tensões de ramos de árvore
que constituem um conjunto independente.
Portanto, só N – 1 equações independentes de tensão são
necessárias para a análise.
Outro conjunto possível de N – 1 tensões independentes é o de nós de
não referência, usado no método nodal.
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Exemplo: Relação das tensões de nós com as tensões dos ramos da árvore.
a
+
+
a
+
+
v1
-
1Ω
v1
–
0,5 Ω
b
c
b
20 V
–
c
+
20 – v1
11 A
–
–
d
nó de referência
20 – v1 – v2
–
d
nó de referência
Tensões de nós de não referência: va, vb, vc
va = 20
vb = 20 – v1
vc = 20 – v1 – v2
–
+
+ v2 2Ω
v2
+
20 V +
-
1Ω
v1 + v2
v1 = va - vb
v2 = vb - vc
20 = va
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6.4 Equações Independentes de Corrente
Forma sistemática para escrever as equações de laços para uma rede
genérica com B ramos e N nós.
Para uma dada árvore existem B – N + 1 enlaces.
Supondo que todas as correntes de enlaces são iguais a zero, isto é, que os
enlaces são circuitos abertos, e que a árvore não contém laços, então todas
as correntes da árvore dependem das correntes de enlace.
Assim, pode-se expressar as correntes da árvore em termos das correntes
de enlace.
Note que se a corrente de árvore for independente das correntes de enlace,
ela não poderá ser igualada a zero ao se abrir os enlaces.
Note ainda que se o enlace não for tornado um circuito aberto, existirá um
laço no grafo e uma corrente fluirá no enlace.
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As B – N + 1 correntes de enlace são um conjunto independente.
A análise do circuito necessita de B – N + 1 equações independentes.
Processo sistemático para calcular B – N + 1 laços independentes:
• a partir da árvore adiciona-se um dos enlaces.
• determina-se o laço que contém aquele enlace.
• remove-se este enlace e adiciona-se outro à árvore, determinando
o 2º laço.
• continua-se até que os B – N + 1 laços sejam encontrados.
O conjunto é independente porque cada laço contém um enlace diferente.
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b
Exemplo:
1
2
3
4
5
c
a
d
6
9
e
8
Laço I: enlace 2 + ramos 1, 8, 9.
f
Laço II: enlace 3 + ramos 7, 9, 1.
Laço III: Enlace 4 + ramos 5, 7, 9.
Laço IV: Enlace 6 + ramos 5, 7, 8.
7
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a
Exemplo:
a
i2
1Ω
i2
i1 – i2 + 11
1Ω
0,5 Ω
20 V +
-
b
11 – i2
11 + i1
c
i1
2Ω
11 A
b
c
i1
11 A
d
d
Lei de Kirchhoff de tensão:
Laço 1: 2i1 – 20 + 1·(i1 – i2 + 11) = 0
i1 = 6 A
Laço 2: 1·i2 – 0,5·(11 – i2 ) – 1·(i1 – i2 + 11) = 0
i2 = 9 A
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Caso geral para as redes planares:
1.
Inicia-se por separar o circuito planar em M malhas.
4
1
2.
3
2
Reconstrói-se o circuito uma malha de cada vez.
•
Primeira malha tem o mesmo número k1 de nós e ramos.
1º ramo possui 2 nós e cada ramo
4 ramos e 4 nós
adicional acrescenta 1 nó, o último
ramo não adiciona nó.
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3.
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Cada malha subseqüente é formada pela conexão de ramos e nós às
malhas anteriores.
•
Cada ramo adicionado acrescenta um nó, a não ser no último
ramo onde nenhum nó é acrescentado. Assim, o número de nós
adicionado é menor em uma unidade que o número de ramos.
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4.
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Se a segunda malha acrescenta k2 ramos, então ela adiciona k2 – 1 nós, e
assim por diante.
5.
A última malha adiciona kM ramos e kM – 1 nós.
6.
Se no grafo inteiro o número de ramos é B e o número de nós é N, temos:
k1 + k2 + ... + kM = B
(k1) + ( k2 – 1 ) + ... + ( kM – 1 ) = N
k1 + k2 + ... + kM – (M – 1) = N
B – (M – 1) = N
M=B–N+1
Número de enlaces no grafo.
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Correntes de malha constituem um conjunto de correntes que descreve
completamente uma rede planar.
Nº de correntes independentes de malha = Nº de correntes independentes de
enlace.
Pois, cada nova malha contém pelo menos um ramo inexistente na malha
anterior.
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6.5 Aplicação em um Circuito
b
2Ω
10 V +
-
c
+ -
1/2 Ω
3v2
d
2v1
a
+
v2
-
+
v1
e
2Ω
6A
1/3 Ω
1/3 Ω
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I
+
+
b
v1
+
3v2
c
e
+
10 V
–
–
II
d
+
v2
2v1
6A
–
–
a
Ramo b-e:
v1 vbc
+
+ 2vdc + 6 + 3vae = 0
2
2
Ramo a-d: 2vdc − 2v1 + 3v2 = 0
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b
+
+
Por inspeção:
vbc = v1 − 3v2
v1
+
3v2
c
–
–
vae = v1 − 10
e
+
10 V
vdc = v1 − 3v2 + v2 − 10 = v1 − 2v2 − 10
d
+
v2
2v1
6A
v1 vbc
+
+ 2vdc + 6 + 3vae = 0
2
2
–
–
2vdc − 2v1 + 3v2 = 0
a
Substituindo vbc, vdc e vbe nas expressões e resolvendo, obtemos:
v1 = −11 [V ]
e
v2 = −20 [V ]
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6.6 Equivalência Estrela-Triângulo (Y−
−∆ ou T−
−Π)
i1
R1
i2
R2
2
1
v1 = ( R1 + R3 ) i1 + R3 i2
v1
+
-
+
-
R3
v2
v2 = R3 i1 + (R2 + R3 ) i2
3
i1
v1
+
-
Ra
1
i2
2
Rb
Rc
3
+
-
v1 =
Rc (Ra + Rb )
Rc Rb
i1 +
i2
Ra + Rb + Rc
Ra + Rb + Rc
v2 =
R (R + Rc )
Rc Rb
i1 + b a
i2
Ra + Rb + Rc
Ra + Rb + Rc
v2
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v1 = ( R1 + R3 ) i1 + R3 i2
v1 =
v2 = R3 i1 + ( R2 + R3 ) i2
Rc ( Ra + Rb )
Rc Rb
i1 +
i2
Ra + Rb + Rc
Ra + Rb + Rc
R1 + R3 =
R3 =
Rc ( Ra + Rb )
Ra + Rb + Rc
v2 =
Rc Rb
R (R + Rc )
i1 + b a
i2
Ra + Rb + Rc
Ra + Rb + Rc
R2 + R3 =
Rb ( Ra + Rc )
Ra + Rb + Rc
Rc Rb
Ra + Rb + Rc
R1 =
Ra Rc
Ra + Rb + Rc
R2 =
Ra Rb
Ra + Rb + Rc
R3 =
Rc Rb
Ra + Rb + Rc
Produto das resistências ∆ adjacentes
Resistência Y =
Soma das resistências ∆
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Alternativamente, resolvendo as equações para o circuito triângulo:
R R + R2 R3 + R1R3
Ra = 1 2
R3
Resistência ∆ =
R R + R2 R3 + R1R3
Rb = 1 2
R1
R R + R2 R3 + R1R3
Rc = 1 2
R2
Soma do produto das resistências Y duas a duas
resistência Y oposta