equac¸ ˜oes alg ´ebricas

9.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
1).– Notação algébrica ou literal
2).– Simplificação de expressões e igualdades algébricas
3).– Os dois tipos de igualdades algébricas: identidades e equações
4).– Equações de primeiro grau
5).– Equações redutíveis às de primeiro grau
6).– Exercícios e problemas
1).– Notação algébrica ou literal
Ideia de expressão algébrica
Exemplos iniciais
Abaixo estão expressas (= traduzidas) em linguagem algébrica várias frases. Numa primeira leitura
verifique que cada uma delas está correta. Depois, reescreva-as usando outras letras que x e y.
“Um número aumentado de 7” → x + 7
“Um número diminuído de 5” → x − 5
“O triplo de um número” → 3x
“A metade de um número” → x/2
“Três números consecutivos” → x, x + 1, x + 2
“Três números de mesma paridade consecutivos” → x, x + 2, x + 4
“O valor de x notas de 5 R$” → v = 5x
“Um número mais 4 é igual a um segundo número” → x + 4 = y
“Um número é o dobro de um segundo número” → x = 2y
“Um número é igual a 5 mais o triplo de um segundo número” → x = 5 + 3y
“A área A de um retângulo de lados ` e w” → A = `w
“O perímetro p do retângulo acima” → p = 2` + 2w.
Contraexemplos iniciais
Abaixo são dadas tentativas de tradução em linguagem algébrica. Lendo-as com muito cuidado,
explique por que cada uma das expressões dadas não é uma tradução fiel da respectiva frase.
“Três números pares consecutivos” → x, x + 2, x + 4
“Um número aumentado de 7 é igual a um segundo número” → x + 7 = x
“Um número é a metade de um segundo número” → x/2 = x
Exercício
Usando as letras x, y e outras que forem necessário, escrever em linguagem algébrica as afirmações
seguintes. Em cada caso, explicitar o significado que V. escolheu para x e eventuais outras letras que
tenha usado.
a). Idade de Maria daqui a 12 anos.
b). A quarta parte de um número mais seu consecutivo.
c). A idade de uma senhora é igual a (o dobro da idade de
seu filho) menos 5 anos.
d). Comprimentos dos lados de um retângulo cuja base
tem 6 metros a mais que sua altura.
e). A soma do quadrado de um número com seu consecutivo.
f). O produto de um número por seu consecutivo iguala 10.
g). A diferença entre os quadrados de dois números consecutivos.
i). 25% de um número.
j). José é 5 anos mais moço do que Maria.
k). Subtrair 7 do quadrado do dobro de um número.
Exercício
Denotando por x o número de ovelhas de um rebanho, pede-se escrever com notação algébrica:
a). o número de patas do rebanho;
b). o número de patas depois que morreram 6 ovelhas;
c). o número de ovelhas depois de terem nascido 18 cordeiros;
d). o número de ovelhas daqui a 2 anos, supondo que o crescimento do rebanho é de 25% ao ano.
Resp.:
(d) Pelo que V. aprendeu no cálculo de percentagens: x → 1, 25x → 1, 252 x, e usando algebra diretamente: x → x + x/4 → x + x/4 + (x + x/4)/4. Comprove que as duas expressões se equivalem (para
mostrar e entender o significado dessa equivalência, talvez seja conveniente ler a próxima seção).
Exercício
Escreva em português o significado das seguintes expressões algébricas:
p
a). 1 + x
b). 5x − 2
c). 2n.
d). 2n, 2n + 1, 2n + 2
e). 2n, 2(n + 1), 2(n + 2).
Resp. parcial:
d). supondo n indique um número inteiro, temos um número par e os dois inteiros que lhe sucedem.
e). dica: 2(n + 1) = 2n + 2.
Exercício
Beto tem 100 reais a mais que Ana; Carlos tem o dobro de Beto; Diana tem 400 reais a menos do que
Carlos. Denotando por x o quanto tem Ana, escrever em termos de x o quanto tem cada um dos demais
amigos.
Resp.:
Diana tem 2(x+100)-400 reais.
Para fins deste texto, denominaremos expressão algébrica a todo resultado
que se obtém ao combinar números e letras com as quatro operações e as
operações de radiciação (extração de raiz quadrada, cúbica, etc.).
2
A ideia de igualdade algébrica
Para fins deste texto, denominaremos igualdade algébrica a toda relação de
igualdade entre duas expressões algébricas:
(expr. alg. 1) = (expr. alg. 2) .
Exemplo
p
Duas expressões algébricas são 2 − x 2 − 1 + x e x 3 /3. Igualando-as temos a igualdade algébrica 2 −
p
x 2 − 1 + x = x 3 /3. Note que é perfeitamente válido ocorrer que uma das duas expressõespalgébricas
p
seja uma constante, como é o caso das igualdades algébricas: 2 − x 2 − 1 + x = 0 e x − x 2 x 3 /3 = 5.
Outros exemplos de igualdades algébricas: ax + b = 0, ax + b = c x + d , ax 2 + bx + c = 0, 1 − 2x = 1/x 2 ,
(x − y)(x + y 2 ) = 3, ax 2 + bx y + c y 2 = 4, etc.
2).– Simplificação de expressões e igualdades algébricas
Nas expressões e identidades algébricas que acima encontramos, e também nas que adiante encontraremos, todas as letras usadas representam números. Como tal, elas podem ser transformadas
de acordo com as mesmas regras operacionais que usamos ao trabalhar com os números. Isso nos
possibilita simplificar essas expressões, e assim tornar bem mais fácil raciocinar com elas.
– Caso da simplificação de uma expressão algébrica
Essa pode ser o membro esquerdo ou o direito de uma igualdade algébrica, ou então uma única
expressão isolada que estamos considerando no início da resolução de um problema. Em tais casos,
o mais simples que se pode fazer é usar as propriedades associativa, comutativa e distributiva.
Exemplo 1
“A soma de três números consecutivos vale 48” fica expressa como x + (x + 1) + (x + 2) = 48, a qual pode
ser simplificada para 3x +3 = 48, se usarmos a comutatividade e associatividade da adição de números.
Abreviamos isso como x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 48.
Exemplo 2
No caso dos amigos Ana, Beto, Carlos e Diana, a expressão da quantia de Diana pode ser simplificada
observando que 2(x + 100) − 400 é o mesmo que 2x + 200 − 400, ou seja: 2x − 200.
Exemplo 3
Um jogo de futebol teve um público de 11 219 pagantes. Estes tiveram a possibilidade de escolher entre
dois tipos de ingressos: um de 8 R$ e outro de 13 R$. Pede-se expressar o valor da arrecadação em
termos do número x de pessoas que pagaram o menor ingresso.”
Solução. Dos 11 219 pagantes, como x pagaram 8 R$, segue que 11219−x pagaram 13 R$. O total pago
pelos primeiros foi de 8x reais e o pago pelos segundos foi de 13(11 219 − x) reais, logo a arrecadação
pode ser escrita como 8x + 13(11 219 − x) reais.
A expressão acima responde ao pedido neste problema, mas ela pode ser simplificada, observando
que 8x + 13(11 219 − x) = 8x + 13 × 11 219 − 13x = 8x + 145 847 − 13x = 145 847 − 5x, de modo que uma
maneira mais simples de expressarmos a arrecadação em termos de x é 145 847 − 5x .
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– Caso da simplificação de uma igualdade algébrica
A ideia é simples: fazemos a mesma transformação nos dois membros da igualdade. Mas, é essencial
termos um cuidado: é necessário que cada transformação feita possa ser desfeita. Dizemos que
devemos transformar a igualdade algébrica numa outra a ela equivalente. Podemos resumir a
simplificação como uma sucessão de aplicações das duas regras abaixo.
(Como veremos adiante, tal equivalência é crucial na resolução de equações, pois garante que ao
simplificarmos uma equação não estaremos nem perdendo e nem ganhando soluções.)
As regras abaixo, mostram as maneiras básicas de passarmos de uma igualdade A = B
entre duas expressões algébricas para outra igualdade a ela equivalente.
Regra 1 – somando ou subtraindo
a ambos os lados de uma igualdade um mesmo número ou uma mesma expressão algébrica C , obtemos uma igualdade equivalente:
A =B
equivale a
A +C = B +C
A =B
equivale a
A −C = B −C
Em particular:
A =B
equivale a
A −B = 0
Regra 2 – multiplicando ou dividindo
por um mesmo número não nulo (ou uma mesma expressão algébrica não nula) ambos
os lados de uma igualdade, obtemos uma igualdade equivalente:
A =B
equivale a
cA =cB
A =B
equivale a
C A =C B
(se c 6= 0)
(se C 6= 0)
Exemplo
Simplificar a igualdade algébrica x + 3(x − 2) = 2x − (5 + 3x) + 3.
Solução. Iniciamos aplicando a distributividade para eliminar os parêntesis, e depois a comutatividade e associatividade: x +3(x −2) = 2x −(5+3x)+3 ⇐⇒ x +3x −6 = 2x −5−3x +3 ⇐⇒ 4x −6 = −x −2.
Passemos, enfim, a transformar simultâneamente os dois membros da igualdade, usando as regras
acima. Com a Regra 1 e C = 6, fazemos a transformação 4x − 6 = −x − 2 ⇐⇒ 4x = −x + 4. Novamente,
a Regra 1, agora com C = x, dá 4x = −x + 4 ⇐⇒ 5x = 4. Conclusão: x + 3(x − 2) = 2x − (5 + 3x) + 3
equivale a 5x = 4. Esta última, pela Regra 2 e C = 1/5, equivale a x = 4/5.
Exercício (Cuidado!)
Explique por que x = 2 não é equivalente a x 2 = 4
Exemplo 1 (continuação)
Temos 3x + 3 = 48 ⇐⇒ 3x + 3 − 3 = 48 − 3 ⇐⇒ 3x = 45 , onde a principal transformação feita foi o uso
da Regra 1, com C = −3.
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Exemplo 3 (continuação)
Se for dada a informação adicional de que a arrecadação do jogo foi de 108 227 R$, isso pode ser
expresso em termos da igualdade algébrica 145 847 − 5x = 108 227 , e esta pode ser sucessivamente
simplificada:
145 847 − 5x = 108 227 ⇐⇒ −5x = 108 227 − 145 847 ⇐⇒ 5x = 37 620
onde foram usadas: Regra 1 com C = 145847, e Regra 2 com C = −1.
Exercício
As figuras abaixo representam três salas, sendo que as partes em cor escura representam a superfície de um tapete. Indicando por A a área não atapetada da sala, pede-se:
a). para cada sala, achar uma igualdade algébrica expressando a área A em termos de x, a, b;
b). simplificar essas igualdades algébricas.
Resp. parcial:
a). A = 100(400 − x) ⇐⇒ A = 40000 − 100x.
3).– Os dois tipos de igualdades algébricas: identidades e equações
Identidade numérica
é toda igualdade algébrica, envolvendo uma ou mais letras, que se transforma numa
igualdade entre números para toda e qualquer escolha dentre as possíveis escolhas de
valor numérico dessas letras.
Exemplos de identidades: (x − y)(x + y) = x 2 − y 2 , x 3 − 1 = (x − 1)(x 2 + x + 1).
Equação numérica
é toda igualdade algébrica que não é uma identidade. Dizendo por extenso: uma equação
é toda igualdade algébrica, envolvendo uma ou mais letras, que se transforma numa
igualdade entre números apenas para algumas dentre as possíveis escolhas de valor
numérico dessas letras. Ou seja, uma equação é uma igualdade algébrica condicional!
As escolhas positivando a igualdade são denominadas soluções ou raízes da equação.
Exemplos de equações: x 2 − 1 = 0 (raízes x = 1 e x = −1), 2x + 1 = 13 (uma raiz é x = 6).
Note que certamente x 2 + 1 = 0 não é uma identidade para os números reais, logo é
uma equação; mas nenhum x real verifica x 2 + 1 = 0. Conclusão: temos de incluir entre
as equações aquelas que não têm nenhuma raiz (não têm solução), como é o caso de
x 2 + 1 = 0, onde consideramos como possíveis valores de x os números reais.
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Exercício
Considerando como conjunto dos possíveis valores de x o conjunto dos números reais, classifique cada
igualdade algébrica abaixo como equação, equação sem solução ou identidade.
a). (1 + 2x)2 = 1 + 4x 2
b). x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2
c). 9 − 25x 2 = (5x + 3)(3 − 5x)
d). 3(2x + 4) − 2x = 14 − 2(1 − 2x).
Convenções
Nesta aula, trabalharemos apenas com equações onde os possíveis valores das letras envolvidas
ficam restritos aos números reais. Eventualmente, poderemos encontrar uma equação onde é
pedido achar apenas raízes num dado subconjunto dos reais, tais como o subconjunto dos reais
positivos, ou o dos reais inteiros, ou o dos números racionais, etc.
Também pode ocorrer que tal restrição não seja feita explicitamente, ficando subentendida pelo
contexto do problema. Por exemplo, se o problema trata de áreas de figuras, deve-se entender que
somente devemos procurar raízes entre os números reais positivos.
O domínio de uma equação é o conjunto dos números onde temos de procurar suas raízes.
Incógnitas e coeficientes
Nesta aula, o mais comum é trabalharmos com equações envolvendo uma única letra (tipicamente
x ou y); ela será denominada incógnita da equação, pois desejamos descobrir quais de seus
possíveis valores verificam a respectiva igualdade algébrica (estes valores são o que denominamos
soluções ou raízes da equação).
Ocasionalmente, e principalmente em assuntos mais teóricos, trabalharemos com equações onde
aparecem várias letras; em tais casos uma delas tipicamente será indicada por x ou y e funcionará
como incógnita (valores a achar), enquanto que para as demais letras costuma-se usar a, b, c, etc.,
e elas serão denominadas coeficientes da equação, sendo que se supõe que seus valores serão
escolhidos posteriormente. Em aplicações, os coeficientes expressam características físicas ou
geométricas do problema em estudo. A prática esclarecerá melhor essas sutilezas.
Exercício (é vergonhoso desconhecer a terminologia matemática básica)
Abaixo são transcritas respostas de alunos para a pergunta: “O que é uma equação?”. Explique por que
cada uma delas é insatisfatória.
a). É uma relação de igualdade entre variáveis e números.
b). É uma expressão com diversas operações e números matemáticos.
c). É o mesmo que expressão algébrica.
d). É todo conjunto de operações entre números e incógnitas.
6
4).– Equações do primeiro grau
Existem dois tipos básicos de equações do primeiro grau
4 ax = b, onde x é a incógnita e a 6= 0, b são os coeficientes.
4 ax + b = 0, onde x é a incógnita e a 6= 0, b são os coeficientes.
O domínio dessas equações (ou seja, o conjunto onde devemos buscar as raízes x) é o dos números
reais, a menos que o contexto do problema faça restrições.
Raı́zes das equações do primeiro grau se o domı́nio é o conjunto dos reais
4 ax = b tem exatamente uma raiz: x = b/a.
Prova. Usando a Regra 2 de simplificação, com c = 1/a, temos ax = b ⇐⇒ x = b/a.
4 ax + b = 0 tem exatamente uma raiz: x = −b/a.
Prova. Pela Regra 1, com c = −b, temos ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b, e pela Regra 2, com c = 1/a, temos
ax = −b ⇐⇒ x = −b/a.
Raı́zes das equações do primeiro grau se o domı́nio é um subconjunto dos reais
4 se b/a é um número de tal domínio, a equação ax = b tem exatamente uma raiz: x = b/a; caso
b/a não pertença ao domínio, a equação não tem raízes.
4 se −b/a é um número de tal domínio, a equação ax = b tem exatamente uma raiz: x = −b/a; caso
−b/a não pertença ao domínio, a equação não tem raízes.
5).– Equações redutı́veis às de primeiro grau
Uma equação é redutível a equações do primeiro grau se –fazendo simplificações equivalentes como
as explicadas anteriormente, seção 2, ou de outros tipos– conseguimos transformar essa equação em
uma ou mais equações do primeiro grau o conjunto das raízes dessas sendo igual ao conjunto das
raízes da equação original. Vamos entender melhor isso, considerando exemplos de tais reduções.
4 Redução e solução da equação ax + b = cx + d
Regra 1 com C = −b − cx:
ax + b = cx + d ⇐⇒ ax − cx = −b + d ⇐⇒ Ax = B , com A = a − c e B = d − b.
De modo que (se A 6= 0, ou seja: se a 6= c):
x=
B d −b
=
A a −c
se a 6= c,
e, claro, se o contexto do problema aceita (d − b)/(a − c) como um possível valor para x.
4 Redução e soluções da equação (ax + b)(cx + d) = 0
Usando que o produto de dois números reais dá zero quando, e só quando, ao menos um desses dois
números é zero, vemos que o conjunto das raízes de (ax + b)(c x + d ) = 0 é igual a união do conjunto
das raízes de ax + b = 0 com o conjunto das raízes de c x + d = 0.
(Note que a equação dada foi redutível a duas equações do primeiro grau e não a um sistema de
equações do primeiro grau! Em sistemas achamos as raízes comuns a todas a equações.)
Exemplo
¡
¢¡
¢
(3x + 1)2 = 16 ⇐⇒ (3x + 1)2 − 16 = 0 ⇐⇒ (3x + 1) − 4 (3x + 1) + 4 = 0
logo as raízes de (3x + 1)2 = 16 são as de (3x + 1) − 4 = 0 (ou seja 3x = 3) mais as de (3x + 1) + 4 = 0 (ou
7
seja 3x + 5 = 0). De modo que as raízes de (3x + 1)2 = 16 são x = 1 e x = −5/3.
Note o erro muito comum: (3x + 1)2 = 16 ⇐⇒ 3x + 1 = 4 ∴ 3x = 3 ∴ x = 1.
4 Redução e solução da equação
ax+b
cx+d
=e
Aqui, somente podemos considerar como possíveis valores de x os que verificam c x + d 6= 0, ou seja x
tem de ser distinto do que chamamos valor proibido (ou interdito): −d /c. Em outras palavras: só
podemos buscar raízes x com x 6= −d /c. Vejamos, então, como reduzir e resolver a equação.
Usando a Regra 2 (com C = cx + d ) caímos no formato ax + b = C x + D, com C = ce e D = d e. De
modo que a equação original tem como raiz
x=
D − b dc − b
=
a −C
a − ce
desde que a 6= ce
e x 6= −
d
c
Na prática simplificamos esse raciocínio do seguinte modo: observamos quem é o valor proibido,
reduzimos a equação para o formato ax + b = C x + D, achamos a raiz deste e verificamos se ela é
diferente do valor proibido.
Exemplo
3
Seja resolver a equação 4x−3
x−1 = 2 .
Valor proibido: x = 1. Reduções: original ⇐⇒ 8x − 6 = 3x − 3 ⇐⇒ 5x = 3 ⇐⇒ x = 3/5. Finalmente,
como o valor proibido é diferente de x = 3/5, segue que a raiz da equação original é x = 3/5.
Exercícios
Resolver cada equação abaixo reduzindo a uma ou mais equações do primeiro grau.
a). (x + 2)(2x − 9) = 0
b). 5x(x + 3) − 7x 2 = 0
c). (x − 1)(2x + 3) = (x − 1)(x − 6)
d). (5x + 2)2 = (x + 1)2
Dica: use a identidade a 2 − b 2 = (a + b)(a − b).
Resp.:
a). x=-2, x=9/2.
b). x=0, x=15/2.
c).x=-9, x=1.
d). x=-1/4, x=-1/2.
Exercício
Para cada equação abaixo, ache os x proibidos e depois resolva a equação.
3
1
4
a). 2−x
b). x+2
= 3x
c). 2x − 7 = 2x−7
x−1 = 2
Resp.:
a). proibidos x = 1, raízes x = 4/3.
b). proibidos x = 0 e x = −2, raízes x = 1/2.
c). proibido x = 7/2, raízes x = 5/2 e x = 9/2.
– Exercı́cios de revisão –
Exercício
V. Concorda com a seguinte resolução?
1
(x − 1)(x + 1)
= 2 − ⇐⇒ x 2 − 1 = 2x − 1 ⇐⇒ x 2 = 2x ⇐⇒ x(x − 2) = 0
x
x
Dica: existe x proibido? Como corrigir a primeira “equivalência”?
8
(x−1)(x+1)
x
∴
x = 0 e x = 2.
= 2 − x1 ⇐⇒ ?
Exercício
Tendo em mente a igualdade algébrica x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 , verifique se é completamente aceitável a
seguinte “definição”: Denominamos equação toda igualdade algébrica na qual ao menos uma letra
representa um valor incógnito.
Exercício
Cada problema a seguir, mediante escolha adequada de uma variável, pode ser expresso em termos de
uma equação que é pedido escrever e resolver.
1). José somou 17 à sua idade, duplicou o resultado e achou 48. Qual sua idade?
2). Num jardim, um terço da área é um canteiro de flores, um sexto por folhagens e os restantes
150 m2 por um gramado. Qual a área do jardim?
3). Que número inteiro temos de somar tanto ao numerador quanto ao denominador de 3/7 para
resultar no dobro deste número?
4). Um quarto de um capital (quantia de dinheiro) gera juros de 10% ao ano, um terço deste mesmo
capital gera juros de 8% e o restante juros de 12%. No final do ano, o ganho total foi de 1 220 R$.
Qual o valor inicial do capital?
5). Achar os menores dois inteiros consecutivos cuja soma vale 206.
6). O salário fixo de um vendedor é de 1 100 R$. O total que ele recebe no final do mês é esse fixo
mais uma comissão de 4% do que ele vendeu. Quanto ele tem de vender para receber um total
de 1 500 R$?
Resp.:
1). x = idade de José; 2(x + 17) = 48 dá x = 7.
2). x = área do jardim; x/3 + x/6 + 150 = x, logo x = 300 m2 .
3). n = número inteiro a achar; (3 + n)/(7 + n) = 6/7; n proibido -7, n procurado 21.
4). x = capital inicial; 0, 1 · x/4 + 0, 08 · x/3 + 0, 12 · 5/12 = 1 220, logo x = 12 000.
5). n = menor par procurado; n + (n + 2) = 206, segue n = 102, como este valor de n realmente é par, a
resposta é 102 e 104.
6). x = valor das vendas; 1100 + 0, 04x = 1500.
Problema 1
Uma escola comprou 25 exemplares de um livro. Outra escola conseguiu o mesmo livro por 2 R$ a menos, o que lhe
permitiu comprar 5 livros a mais do que a primeira e com o
mesmo gasto. Quanto pagou por livro a primeira escola?
Problema 4
Deseja-se dividir igualmente uma certa quantia de dinheiro
entre várias pessoas. Se dermos 20 R$ a cada uma delas, sobram 40 R$, e se déssemos 25 R$ a cada ficariam faltando 75
R$. Quantas são essas pessoas e qual a quantia de dinheiro
a distribuir?
Problema 2
Temos 3 caixotes com garrafas de suco de uva. O primeiro
caixote tem 30 garrafas a mais do que o terceiro, e o segundo
tem 6 garrafas a menos do que o terceiro. Sabendo que o total
de garrafas nos 3 caixotes é 150, quantas tem cada caixote?
Problema 5
Achar todas as frações ordinárias a/b, com a Ê 1 e b Ê 4,
tais que somando um a seu numerador obtemos uma fração
que representa o mesmo número racional que a fração que
resulta subtraindo três do denominador da fração original.
Respostas
1). 25p = 30(p − 2), logo p = 22.
2). (g + 30) + (g − 6) + g = 150, logo g = 42.
3). `2 + 84 = (` + 6)2 , logo 84 = 12` + 36, logo ` = 4.
4). 20n + 40 = 5n − 75, logo n = 23 e quantia = 500 R$.
a
5). 3a+3
.
Problema 3
Partindo de um quadrado, se aumentarmos de 6 cm cada
lado, obtemos um novo quadrado cuja área é 64 cm 2 maior
do que a do original. Qual o valor do lado de cada quadrado?
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