MTODO DE INDUO MATEMTICA

MÉTODO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
Se pretendemos provar que uma propriedade A(n) se verifica no conjunto IN, devemos
provar que:
9 A(n) verifica-se para o número 1
9 supondo-se a propriedade A(n) verificada pelo número natural p, arbitrário,
então a propriedade A(n) verifica-se para p + 1, (ou seja, A(p + 1) é verdadeira), o que
se exprime dizendo que a propriedade A(n) é hereditária.
Então, podemos concluir que A(n), ∀n ∈ N , é verdadeira.
EXERCÍCIOS
Recorrendo ao método de indução matemática, prova que:
1. a soma dos n primeiros termos da sucessão u n = 2n − 1 é dada por S n = n 2
2. 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2
l
3. a sucessão dos números triangulares:
⎧t1 = 1
cuja definição por recorrência é ⎨
⎩t n = t n−1 + n, para n > 1
tem o seguinte termo geral t n =
1 2n −1
1 1 1
+ + + ... + n = n , ∀n ∈ N
4.
2
2
2 4 8
n2 + n
2
EXEMPLO:
Seja a sucessão an
1
⎧
⎪⎪a1 = 2
definida por recorrência ⎨
⎪an+1 = 1 , n > 1
⎪⎩
2 − an
Utilizando o método de indução matemática, demonstrar que an =
n
, ∀n ∈ N
n +1
DEMONSTRAÇÃO
Verifiquemos que é válida para n=1.
a1 =
1
1
; a1 =
, logo é válida
2
1+1
Suponhamos que se verifica para a ordem p, isto é,
ap =
p
(hipótese de indução)
p +1
Será que se verifica para p+1? Isto é, a p +1 =
p +1
?
p+2
Aplicando a hipótese de indução, na definição de recorrência, vem que:
a p +1 =
1
p
2−
p +1
=
1
p +1
=
2p + 2− p p + 2
p +1
Assim, fica provado que a referida propriedade é verificada para n=1 e é hereditária, ou seja,
fica provado que é válida para todo o n ∈ N .
Provar, por indução matemática, que: 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2
DEMONSTRAÇÃO
Verifiquemos que é válida para n=1.
3=3 (proposição verdadeira)
Suponhamos que a propriedade se verifica para a ordem p, isto é,
3 + 9 + 15 + ... + (6 p − 3) = 3 p 2 (hipótese de indução)
Provemos que se verifica para a ordem p+1, isto é, que
3 + 9 + 15 + ... + (6( p + 1) − 3) = 3( p + 1) ou seja 3 + 9 + 15 + ... + (6 p + 3) = 3( p + 1)
2
2
Se adicionarmos 6 p + 3 , nº primo que se segue ao 6 p − 3 , aos dois membros da hipótese de
indução, fica-se com 3 + 9 + 15 + ... + (6 p − 3) + 6 p + 3 = 3 p 2 + 6 p + 3 , que é o mesmo que
3 + 9 + 15 + ... + (6 p − 3) + 6 p + 3 = 3( p + 1)
2
Depois de provado que a propriedade é verificada para n=1 e é hereditária, pode-se concluir
que é válida para todo o n ∈ N
A sucessão dos números triangulares:
⎧t1 = 1
cuja definição por recorrência é ⎨
⎩t n = t n−1 + n, para n > 1
n2 + n
tem o seguinte termo geral t n =
2
DEMONSTRAÇÂO
Começamos por verificar que a propriedade é válida para n=1.
Na sucessão de recorrência tem-se que t1 = 1
Pelo termo geral t1 =
12 + 1
=1
2
Como 1=1 é proposição verdadeira, a propriedade é válida para n=1.
Mostremos que a propriedade é hereditária
Supondo que esta propriedade é válida para a ordem p,
tp =
p2 + p
(hipótese de indução)
2
provemos que esta propriedade é válida para a ordem p+1, isto é que:
t p +1 =
( p + 1)2 + ( p + 1)
2
que é o mesmo que t p +1 =
p2 + 3p + 2
2
(1)
Atendendo à definição t p +1 = t p + p + 1
Substituindo t p pela expressão obtida na hipótese de indução, podemos escrever
t p +1 =
p2 + p
p2 + 3 p + 2
+ p + 1 ⇔ t p +1 =
2
2
(2)
Como (1)=(2), acabamos de provar a hereditariedade desta propriedade
Ficou assim provado que a propriedade é verificada para n=1 e é hereditária, portanto fica
provado que é válida para todo o n ∈ N