Números inteiros: alguns critérios de divisibilidade

Números inteiros:
alguns critérios de divisibilidade
ANDRÉ FONSECA E TERESA ALMADA
UNIVERSIDADE LUSÓFONA
[email protected], [email protected]
36
GAZETA DE MATEMÁTICA r170
O
VSURJUDPDVGR(QVLQR%iVLFR
Demonstração. Comecemos por demonstrar o resultado
para d!3URFXUDPRVXPQ~PHURq de tal modo que a dife-
incluem vários critérios de
VHMDPtQLPDHQmRQHJDWLYDLVWRpSUHWHQGHPRV
rença
divisibilidade de números naturais.
encontrar o elemento mínimo do conjunto
1HVWHDUWLJRDSUHVHQWDPRVXPFULWpULR
é um número inteiro e
Como os elementos do conjunto X pertencem a
, se este
FRQMXQWRIRUQmRYD]LRH[LVWHRHOHPHQWRPtQLPRGHX. Como
de divisibilidade para números inteiros
TXHDSHVDUGRVHXQtYHOGHJHQHUDOLGDGH
, então
/RJR
, ou seja,
é um elemento do conjunto X e, portanto, o conjunto
tem uma demonstração muito simples.
X é não vazio. Seja r o elemento mínimo do conjunto X e seja
$SUHVHQWDPRVWDPEpPXPFULWpULRGH
q um número inteiro tal que
, ou seja,
GLYLVLELOLGDGHSRUTXHJHQHUDOL]DPRVD
Demonstremos que
. Se
, então
qualquer número primo com 10.
Como
*UDQGHSDUWHGRDUWLJRHVWiHVFULWDQXPD
pertence a X e
,
FKHJDPRVDXPDFRQWUDGLomR
OLQJXDJHPVLPSOHVHLQIRUPDOGHPRGR
3URYHPRV D XQLFLGDGH GRV Q~PHURV q e r QDV FRQGLo}HV
referidas demonstrando que se q , q’, r e r’GHVLJQDPQ~PHURV
a que possa ser lido mesmo por quem
LQWHLURVYHULÀFDQGRDVFRQGLo}HV
está a iniciar-se no estudo da matemática.
com
e
com
,
então
e
PRELIMINARES
Suponhamos que
0XLWDVTXHVW}HVUHODFLRQDGDVFRPRFRQFHLWRGHGLYLVLELOLGDGH HVWmR GLUHWDPHQWH OLJDGDV j SRVVLELOLGDGH GD GLYLVmR LQ-
teira no conjunto
. Como
, tem-se
.
Como
dos números inteiros. Começamos por
ver que realmente é possível efetuar a divisão inteira em
.
$QWHVSRUpPUHFRUGDPRVFRPRpTXHDSUHQGHPRVQRžFL-
e
concluímos que
, ou seja,
FORRDOJRULWPRGDGLYLVmR3RUH[HPSORSDUDGLYLGLUPRV
$VVLP
p(PKiGXDVYH]HVHVREUD3DUDGLYLGLUPRVSRU
Como d pertence a
SRUSHUJXQWDPRV´(PTXDQWDVYH]HVKi"µ$UHVSRVWD
isto é,
SHUJXQWDPRV ´(P TXDQWDV YH]HV Ki "µ ( D UHVSRVWD
pHVREUDP1DYHUGDGHSHUJXQWDU´TXDQWDVYH]HVKid
num número aµHTXLYDOHDSHUJXQWDU´TXDOpRQ~PHUR Pi[LPR GH d·V TXH Ki HP a"µ RX DLQGD D SHUJXQWDU
pPtQLPDHQmRQHJDWLYD"µ
“quando é que a diferença
.
. Então
e, portanto,
tais que
com
, ou seja,
.
H SRUWDQWR H[LVWHP q e r, únicos,
, então
Se
.
, terá de ser
/RJR
, com
.
9HMDPRVDOJXQVH[HPSORVGDGLYLVmRLQWHLUDHP .
Dizer que há “q vezes d em aµHTXLYDOHDGL]HUTXH
e que qpPi[LPRLVWRpDGLIHUHQoD
é mínima, ou seja,
Proposição 1. Se a e d são números inteiros e d é não nulo,
HQWmRH[LVWHPQ~PHURVLQWHLURVq e r, únicos, de tal modo que
e
Dividendo
Divisor
Quociente
Resto
-15
3
-5
0
15
-3
5
0
-21
6
-4
3
-21
-6
4
3
NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE rAndré Fonseca e Teresa Almada
37
Dados a e d números inteiros e supondo que d é diferente
dos ideais na teoria da divisibilidade.
de zero, dizemos que d é um divisor de a, ou que d divide a, ou
Observamos que se I é um ideal de
, então zero é um ele-
ainda que a é divisível por d, ou até mesmo que a é um múltiplo
mento de I. De facto, por IVHUQmRYD]LRH[LVWHXPHOHPHQWR
de d, se o resto da divisão inteira de a por d é zero, isto é, se
a em I. Da propriedade 2 resulta que
H[LVWLUXPQ~PHURLQWHLURq de tal modo que
de I$OpPGLVVRVHa é um elemento de I, o mesmo acontece
.
9HULÀFDPRVIDFLOPHQWHTXHVHXPQ~PHURLQWHLURa é divi-
sível por um produto
de números inteiros não nulos, en-
tão é divisível por cada um dos fatores
, então
e
com
, pois se a é um elemento de I, então, pela propriedade
é um elemento de I.
2,
. Com efeito, se
e
Proposição 2. Um subconjunto I de
.
No entanto, um número inteiro a ser divisível por
por
é um elemento
QmR JDUDQWH TXH a seja divisível pelo produto
é um ideal de
se,
e
HVyVHH[LVWHXPQ~PHURLQWHLURQmRQHJDWLYRn de tal modo
.
que
.
3RUH[HPSORpGLYLVtYHOSRUHSRUHQRHQWDQWRQmRp
GLYLVtYHO SRU +i QR HQWDQWR XPD FRQGLomR TXH JDUDQWH
Demonstração. Do que observámos antes decorre que os con-
que um número ao ser divisível por dois números é também
juntos da forma
GLYLVtYHOSHORVHXSURGXWR$GHPRQVWUDomRGHVWHUHVXOWDGR
um ideal de
que será apresentada mais à frente, envolve os conceitos de
n de tal modo que
Pi[LPRGLYLVRUFRPXPGHQ~PHURVSULPRVHQWUHVLHGHQ~resultados preliminares.
Ou
é não vazio, pois
2. Se a pertence a
e b pertence a
e m pertence a
, então
per-
, então ma pertence
.
tem as propriedades (1) a (3), dize-
é um ideal de
mamos um ideal de
'H DFRUGR FRP D SURSULHGDGH GD GHÀQLomR
5HFLSURFDPHQWHVHMDa um elemento de I e vejamos que a é
um múltiplo de n. Como n é diferente de zero, pela proposiomRSRGHPRVJDUDQWLUDH[LVWrQFLDGHQ~PHURVLQWHLURVq e
r de tal modo que
com estas propriedades cha-
, isto é, um ideal de
é um subconjunto
3. Se a é um elemento de I e
é um elemento de I;
é um número inteiro qual-
é um elemento de I.
Observamos que o conjunto
e
, então seria
DO $VVLP
SURSULHGDGHVHGDGHÀQLomRGHLGHé um elemento positivo de I e, portanto,
são
.
. Este facto evidencia o papel
GAZETA DE MATEMÁTICA r170
/RJR
, contrariando o facto de se ter
e, portanto,
é um elemento de
.
.
Esta proposição permite mostrar que dados dois números
LQWHLURVQmRDPERVQXORVH[LVWHHP RPi[LPRGLYLVRUFR-
e o conjunto
Um número inteiro d não nulo é divisor de um inteiro a se,
e só se, a é um elemento de
acontece com
tem-se que
2. Se a e b são elementos de I, então
, já que
. Se
um elemento de P. Dado que n é o elemento mínimo de P,
com as propriedades:
quer, então
3UHWHQGHPRV SURYDU TXH
.
. Como a e n são elementos de I, o mesmo
1. O conjunto I é não vazio;
38
que
.
$TXDOTXHUVXEFRQMXQWRGH
ideais de
é não vazio e os seus elementos são nú-
e
3RUTXHRFRQMXQWR
I de
, pelo que o conjunto P GHÀQLGR SRU
ou
sendo n um elemento de P, n é também um elemento de I.
;
.
3. Se a pertence a
mos que
. Supo-
de ideal, qualquer múltiplo de n é um elemento de I, já que
1. O conjunto
a
, então
meros naturais. Seja n o elemento mínimo de P e vejamos
priedades:
tence a
. Se
e seja a um elemento não nulo de I.
o conjun-
dos múltiplos de nWHPDVVHJXLQWHVSUR-
O conjunto
.
Seja I um ideal de
nhamos que
to de todos os múltiplos de n.
)DOWDPRVWUDUTXHVHI é
HQWmRH[LVWHXPQ~PHURLQWHLURQmRQHJDWLYR
PHURSULPR$QWHVGHRVUHFRUGDUPRVDSUHVHQWDPRVDOJXQV
Se n é um número inteiro, representamos por
são ideais de
PXPGHVVHVQ~PHURV$QWHVSRUpPUHFRUGDPRVDGHÀQLomR
GHPi[LPRGLYLVRUFRPXPGHGRLVQ~PHURVLQWHLURV
Dados números inteiros a e b, não ambos nulos, um número inteiro positivo d diz-se máximo divisor comum de a e b se
1. d é divisor de a e de b, ou seja, d é divisor comum de a e b;
2. Se c é divisor de a e de b, então c é um divisor de d.
Proposição 3. Se a e b são números inteiros não ambos nulos,
HQWmRH[LVWHHp~QLFRRPi[LPRGLYLVRUFRPXPGHa e b.
Demonstração. Consideremos o conjunto IGHÀQLGRSRU
e y são números inteiros arbitrários}.
3URYHPRVTXHI é um ideal de
plo,
. IpQmRYD]LRSRLVSRUH[HPsão elementos de I.
e
Se
são elementos de I, então,
e
é um elemento de I, e se
o que prova que
ideal de
Étiènne Bézout (1730–1783)
é um elemento de I e z é um número inteiro, então
Observamos que os números inteiros x e y referidos na identi-
é um elemento de I$VVLPI é um
GDGHGH%p]RXWQmRVmRGHWHUPLQDGRVGHPRGR~QLFR3RUH[HPplo, mdc (4, 6) = 2 e
.
Como a e b são elementos de I e a e b não são ambos nulos,
.
(VWD LGHQWLGDGH IRL SURYDGD SHOR PDWHPiWLFR IUDQFrV
HQWmRSHODSURSRVLomRH[LVWHXPQ~PHURLQWHLURSRVLWLYRd
Étiènne Bézout, autor de várias obras, das quais destaca-
de tal modo que
mos Théorie générale des équations algebriques(VWDREUDH[LVWH
3URYHPRVTXHdpRPi[LPRGLYLVRU
comum de a e b.
Como a e b são elementos de
, concluímos que d é um
divisor comum a a e a b. Suponhamos que c é um divisor de a
e de b. Então, a e b são elementos de
e, como este conjunto é
um ideal, todos os elementos de
são elementos de
é um elemento de
em particular o número
,
, o que
prova que c é um divisor de d.
QD %LEOLRWHFD 1DFLRQDO GH )UDQoD H SRGH VHU FRQVXOWDGD HP
http://www.bnf.fr/fr/acc/x.accueil.html
5HFRUGDPRV TXH p se diz primo se p DGPLWLU H[DWDPHQWH
dois divisores positivos distintos, a saber: o número 1 e o número
.
'HDFRUGRFRPDGHÀQLomRRVQ~PHURV
números primos, pois
Quanto à unicidade, observe-se que se d e d’ são ambos má[LPRV GLYLVRUHV FRPXQV GH a e de b HQWmR SHOD GHÀQLomR GH
, 0 e 1 não são
HWrPDSHQDVXPGLYLVRUSRVLWLYR
enquanto qualquer número inteiro positivo é divisor de 0.
'HFRUUHGDVGHÀQLo}HVGHQ~PHURSULPRHGHPi[LPRGL-
Pi[LPR GLYLVRU FRPXP SRGHPRV DÀUPDU TXH d divide d’ e
visor comum que se p é um número primo e a é um número
que d’ divide d. Em
inteiro não divisível por p, então mdc
, tem-se
ou
, mas como um
Pi[LPRGLYLVRUFRPXPpSRUGHÀQLomRXPLQWHLURSRVLWLYR
concluímos que
Dois números inteiros a e b dizem-se primos entre si se
mdc
.
.
.
Se a e b são números inteiros não ambos nulos, escrevemos
SDUDVLJQLÀFDUTXHdpRPi[LPRGLYLVRUFRPXP
Proposição 4. Sejam a, b e p números inteiros e suponhamos
de a e b.
que p é distinto de
Corolário. Identidade de Bézout. Se a e b são números inteiros
dividir b, sempre que p divida o produto ab.
, de 0 e de 1.
O número p é um número primo se, e só se, p dividir a ou
não ambos nulos e d = mdc(a,b)HQWmRH[LVWHPQ~PHURVLQWHLros x e y tais que
.
Demonstração. Suponhamos que p é um número primo e ad-
Demonstração. Da demonstração da proposição anterior decor-
mitamos que p divide o produto ab e não divide a. Queremos
re que d é um elemento do conjunto
mostrar que p divide b. Como p é primo e não divide a, então
e y são números inteiros arbitrários}.
$VVLPSRGHPRVJDUDQWLUDH[LVWrQFLDGHQ~PHURVLQWHLURV
x e y tais que
3HOD LGHQWLGDGH GH %p]RXW H[LVWHP Q~PHURV
mdc
inteiros
tais que
. Então,
.
NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE rAndré Fonseca e Teresa Almada
39
Como p divide o produto ab H[LVWH XP Q~PHUR LQWHLUR
. Substituindo ab QD LJXDOGDGH
q de tal modo que
, obtemos que
Critério de divisibilidade por 12. Um número inteiro é
divisível por 12 se, e só se, é divisível por 3 e por 4.
Critério de divisibilidade por 14. Um número inteiro é
,
ÀFDQGRDVVLPSURYDGRTXHp divide b.
GLYLVtYHOSRUVHHVyVHpGLYLVtYHOSRUHSRU
to, então p divide um dos fatores e provemos que p é um nú-
divisível por 15 se, e só se, é divisível por 3 e por 5.
5HFLSURFDPHQWHVXSRQKDPRVTXHVHp divide um produ-
Critério de divisibilidade por 15. Um número inteiro é
mero primo. Demonstremos que se d é um divisor positivo
de p, então
ou
.
Seja d um divisor positivo de p (QWmR H[LVWH XP Q~PHro inteiro k de tal modo que
. Todo o número inteiro
QmRQXORpGLYLVRUGHVLSUySULR$VVLPp divide dk pelo que,
. Substituindo d QD LJXDOGDGH
/RJR
Se k
Critério de divisibilidade por 21. Um número inteiro é
GLYLVtYHOSRUVHHVyVHpGLYLVtYHOSRUHSRU
Se a, b e n são números inteiros e
p divide d ou p divide k.
Se p divide d HQWmR H[LVWH XP Q~PHUR LQWHLUR q1 de tal
obtemos
GLYLVtYHOSRUVHHVyVHpGLYLVtYHOSRUHSRU
CONGRUÊNCIAS
usando a hipótese, se tem
modo que
Critério de divisibilidade por 18. Um número inteiro é
, ou seja, k
k,
ou k
. Se k = 1, então
, então
inteira por n. Neste caso escrevemos
.
.
9HULÀFDPRVIDFLOPHQWHTXHVHa, b e c são números inteiros,
Se p divide k H[LVWH XP Q~PHUR LQWHLUR q2 de tal modo
. Substituindo k QD LJXDOGDGH
que
k, obtemos
então
1. 5HÁH[LYLGDGH
e, consequentemente, d = 1.
, donde
;
2. Simetria: se
ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Proposição 5. Sejam a,
mos que
e
e
, então
3. Transitividade: se
números inteiros e suponha-
;
e
, então
.
são números primos entre si. Tem-se que o
é um divisor de a se, e só se, os números
produto
, dizemos que a é con-
gruente com b módulo n se a e bWrPRPHVPRUHVWRQDGLYLVmR
3RUTXHDUHODomRELQiULD
e
são divisores de a.
tem as propriedades
(1) a (3), dizemos que a relação é uma relação de equivalência.
Uma relação de congruência p XPD UHODomR GH HTXLYDOrQFLD
Demonstração. Conforme foi observado anteriormente, se a é
compatível com a operação de adição e com a operação de
divisível por
multiplicação.
, então
é divisível por
e por
nhamos que um número inteiro a é divisível por
com
por
e
. Supoe por
primos entre si e demonstremos que a é divisível
. Sejam
e
números inteiros x e y tais que
. Tem-se
,
o que prova que o produto
Demonstração. Suponhamos que
e
GAZETA DE MATEMÁTICA r170
, com
.
concluímos que n divide
Como
5HFLSURFDPHQWHVXSRQKDPRVTXHn é um divisor de
e seja q um número inteiro tal que
Sejam q1, q2,
Critério de divisibilidade por 6. Um número inteiro é divisível por 6 se, e só se, é divisível por 2 e por 3.
. Então, a e b
tem números inteiros q1, q2 e r tais que
VLELOLGDGH(QXQFLDPRVDWtWXORGHH[HPSORDSHQDVDOJXQV
desses critérios.
.
WrPRPHVPRUHVWRQDGLYLVmRLQWHLUDSRUnHSRUWDQWRH[LV-
divide a.
Esta proposição permite deduzir vários critérios de divi-
40
se, e só se, n é um divisor de
então
números inteiros tais que
SHODLGHQWLGDGHGH%p]RXWH[LVWHP
Como
Proposição 6. Se a, b e n são números inteiros e n é positivo,
e
e
, com
números inteiros tais que
,
.
.
Suponhamos que
CRITÉRIO GERAL DE DIVISIBILIDADE
. Então
Observamos que, dados números inteiros a e d, com d não nulo,
.
, então, pela unicidade do resto, obte-
Como
mos que
, ou seja
provar que a é divisível por d é mostrar que a divisão inteira
de a por dpH[DWDRXVHMDTXHRUHVWRGDGLYLVmRp]HURLVWRp
.
.
Proposição 7. Sejam a, b, c, d e n números inteiros com n positivo.
Se
e
e
.
, então
&RQVLGHUHPRVRQ~PHUR&RPRpVDELGRHVWHQ~PHro pode ser representado na forma
[й4[й3[й2[й1[й0.
Na verdade, qualquer número inteiro pode ser escrito na-
Demonstração. Suponhamos que
.
são múltiplos de n$VVLP
e
Então,
e
quela forma. Se
é a representação no sistema
decimal de um número inteiro a, então
é um múltiplo de n e, portanto,
.
3RU RXWUR ODGR
é múltiplo
de n, e, portanto,
'DGRVQ~PHURVLQWHLURVQmRQHJDWLYRVi e d, com d diferente de zero, representamos por
.
o resto da divisão inteira de
por d. Do que dissemos antes, resulta que
Se a e n são números inteiros e n é positivo, representamos
por
.
o conjunto de todos os números inteiros con-
JUXHQWHVFRPa módulo n$HVWHFRQMXQWRFKDPDPRVclasse
Proposição 8. Critério geral de divisibilidade.
de congruência módulo n do número inteiro a, isto é, o conjunto
Sejam
GHWRGRVRVQ~PHURVLQWHLURVTXHWrPRPHVPRUHVWRTXHa na
d números inteiros e suponhamos que d é não nulo.
e
Tem-se que o número a é divisível por d se, e só se, o núme-
divisão inteira por n.
ro inteiro
Tem-se
é divisível por d.
se, e só se,
É de notar que se a é um número inteiro, então
Demonstração. O número a é divisível por d se, e só se,
onde r é o resto da divisão inteira de a por n. Como os restos
Mas
possíveis na divisão inteira por n são os números inteiros de
0a
FRQFOXtPRVTXHH[LVWHPH[DWDPHQWHn classes de
FRQJUXrQFLDPyGXORn distintas.
3RU H[HPSOR DV FODVVHV GH FRQJUXrQFLD PyGXOR VmR
,
,
,
$FRPSDWLELOLGDGHGDUHODomR
e
.
FRPDVRSHUDo}HV
GHDGLomRHGHPXOWLSOLFDomRSHUPLWHGHÀQLUQRFRQMXQWRGDV
FODVVHVGHFRQJUXrQFLDPyGXOR n uma operação de adição e
XPDRSHUDomRGHPXOWLSOLFDomRGRVHJXLQWHPRGR
$VVLP
e
se, e só se,
3RUH[HPSOR
e, portanto,
a é divisível por d se, e só se, o número inteiro
e
.
é divisível por d.
NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE rAndré Fonseca e Teresa Almada
41
Corolário 1. Critério de divisibilidade por 2. Um número in-
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRDOJDULVPR
teiro
Corolário 6. Critério de divisibilidade por 8. Um número
inteiro
é divisível por 8 se, e só se, o número
das unidades, a0 , é um número par.
Demonstração. Como
então
é divisível por 8.
sempre que i > 0 e
,
e, portanto, de acordo com a proposição
Demonstração. Como
pre que
,
,
e
sem-
, então
anterior, a é divisível por 2 se, e só se, a0 é divisível por 2 ou,
equivalentemente, a0 é um número par.
/RJR GH DFRUGR FRP D SURSRVLomR R Q~PHUR
Corolário 2. Critério de divisibilidade por 3. Um número
inteiro
é divisível por 3 se, e só se, o número
é divisível por 3.
é divisível por 8 se, e só se, o mesmo acontece
com
, ou seja, um número inteiro
é divisível por 8 se, e só se, o número constituído pelos seus
Demonstração. Como
, qualquer que seja o i, então a
é divisível por 3 se, e só se,
WUrV~OWLPRVDOJDULVPRVpGLYLVtYHOSRU
, é divisível
SRU$VVLPXPQ~PHURLQWHLURpGLYLVtYHOSRUVHHVyVH
Corolário 7. Critério de divisibilidade por 9. Um número
DVRPDGRVVHXVDOJDULVPRVpGLYLVtYHOSRU
inteiro
Corolário 3. Critério de divisibilidade por 4. Um número
Demonstração. O resultado decorre imediatamente da propo-
inteiro
sição 8 e do facto de
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHDVRPD
pGLYLVtYHOSRU
é divisível por 4 se, e só se, o número
qualquer que seja o
.
a1 a0 é divisível por 4.
Demonstração. Como
,
e
, sempre que
i seja maior do que 1, então a é divisível por 4 se, e só se,
pGLYLVtYHOSRU$VVLPGHDFRUGRFRP
a proposição 8,
é divisível por 4 se, e só se,
é divisível por 4, ou seja, um número inteiro é divisível por
Corolário 8. Critério de divisibilidade por 10. Um número
inteiro
é divisível por 10 se, e só se,
.
Demonstração. 2UHVXOWDGRGHFRUUHGRFULWpULRJHUDOHGRIDFWR
de se ter
e
sempre que
.
4 se, e só se, o número constituído pelos seus dois últimos
DOJDULVPRVIRUGLYLVtYHOSRU
CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR UM NÚMERO
Corolário 4. Critério de divisibilidade por 5. Um número in-
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRDOJDULVPR
teiro
das unidades,
Seja a um inteiro e suponhamos que
, é zero ou cinco.
Demonstração. Como
tão
PRIMO SUPERIOR A 5
, sempre que
e
, en-
.
Notemos que o número inteiro
/RJRa é divisível por 5 se, e só se,
ou
/RJR
XPQ~PHURLQWHLURpGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRDOJDULVPR
Proposição 9. Critério de divisibilidade por 7. Um número
das unidades é 0 ou 5.
inteiro
Corolário 5. Critério de divisibilidade por 6. Um número
teiro
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRDOJDULV-
inteiro
mo das unidades é um número par e a soma
é divisí-
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRQ~PHURLQ-
pGLYLVtYHOSRU
Demonstração. Suponhamos que
. Então,
vel por 3.
Demonstração. De acordo com a proposição 5, o número a é
divisível por 6 se, e só se, é divisível por 2 e por 3. O resultado
decorre dos corolários 1 e 2.
42
GAZETA DE MATEMÁTICA r170
Vejamos que
pGLYLVtYHOSRU2UD
número inteiro kp de tal modo que
seja um múltiplo de p.
Se p é um número primo superior a 5, então p não divide
10, e, portanto, p H VmR SULPRV HQWUH VL 3HOD LGHQWLGDGH
GH%p]RXWH[LVWHPQ~PHURVLQWHLURVx e y de tal modo que
. Então
. Consideremos
é um múltiplo de p. Ora,
e vejamos que
3DUHFHHVWDUHQFRQWUDGRXPYDORUSRVVtYHOSDUD
. Colo-
FDVHQRHQWDQWRXPDTXHVWmR2VFRHÀFLHQWHVGDLGHQWLGD-
o que prova que o número
de de Bézout não são determinados de modo único. Como
UHVROYHUHVWDTXHVWmR"$SULPHLUDLGHLDTXHQRVRFRUUHpWR-
5HFLSURFDPHQWH VXSRQKDPRV TXH
.
mar para valor de
por p.
o resto da divisão inteira de
O resto é determinado de forma única. No entanto, se
Então, multiplicando ambos os membros por 10, obtemos,
e
, será que
WrP
e
o mesmo resto na divisão inteira por p? Vejamos que sim.
O que queremos provar é que
. De acor-
do com a proposição 6, tudo o que teremos de mostrar é que
/RJR
é um múltiplo de p.
'DLJXDOGDGH
decorre que
LJXDOGDGH
$VVLP
resulta que
SRGHPRVDÀUPDUTXH
o que prova que
$LJXDOGDGH
Observamos que este critério pode ser aplicado suces-
produto
e da
JDUDQWHTXHp divide o
$VVLP FRPR p não divide 10, pela pro-
VLYDPHQWH DWp REWHU XP Q~PHUR TXH VHMD IiFLO YHULÀFDU VH p
posição 4, p divide
a HDSOLTXHPRVRFULWpULRVXFHVVLYDPHQWHSDUDDYH-
está resolvida: dado um número primo p superior a 5 e nú-
P~OWLSORGH9HMDPRVXPH[HPSOR&RQVLGHUHPRVRQ~PHUR
ÀFDQGRDVVLPSURYDGRTXH
e
WrPRPHVPRUHVWRQDGLYLVmRLQWHLUDSRUp$TXHVWmR
ULJXDUPRV VH HVWH Q~PHUR p GLYLVtYHO SRU 2UD R Q~PHUR
meros inteiros x e y de tal modo que 10x+py =1, tomamos
SRU0DVpGLYLVtYHOSRUVHHVyVHЯ 1DWDEHODVHJXLQWHDSUHVHQWDPRVDOJXQVYDORUHVGHkp .
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHЯ pGLYLVtYHO
pGLYLVtYHOSRU'DPHVPDIRUPDpGLYLVtYHOSRUVHH
VyVHRPHVPRDFRQWHFHFRPЯ &RPR
,
HQWmRpGLYLVtYHOSRU
$QDOLVHPRVRFULWpULRGHGLYLVLELOLGDGHSRUXPQ~PHUR
inteiro
pGLYLVtYHOSRUVHHVyVHRPHVPRDFRQ-
tece com o número inteiro
$ SULPHLUD
SHUJXQWDTXHQRVRFRUUHpSRUTXrRQ~PHURHQmRRXWUR"
Qual é o papel do número 2 na demonstração deste critério?
$QDOLVDQGRYHULÀFDPRVTXHDUD]mRSDUDVHURQ~PHURp
o facto de
VHU XP P~OWLSOR GH ,VWR VXJHUH TXH
RFULWpULRWDOYH]SRVVDVHUJHQHUDOL]iYHODTXDOTXHUQ~PHUR
primo pVXSHULRUDVHSXGHUPRVJDUDQWLUDH[LVWrQFLDGHXP
para valor de kp o resto da divisão inteira de SЯ[ por p.
p
10x+py=1
(nº
primo)
(Id de Bézout)
p-x
SЯ[ STU
kp=r
(divisão de
p Яx por p)
11
12
1
13
22
22
5
36
23
16
55
26
31
33
3
NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE rAndré Fonseca e Teresa Almada
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Proposição 10. Critério de divisibilidade por um número
é divisível por p.
primo superior a 5. Seja p um número primo superior a 5 e
VHMDP[H\LQWHLURVWDLVTXH[py=1. Seja
o resto da divi-
são de pЯ[SRUp. Tem-se que um número inteiro
Observamos que da análise à demonstração que acabamos de apresentar se conclui que o critério de divisibilidade
é divisível por p se, e só se, o número inteiro
é
divisível por p.
pode ser estendido a qualquer número inteiro que seja primo
com 10.
9HMDPRVDOJXQVH[HPSORVGHDSOLFDomRGDSURSRVLomR
Demonstração. Suponhamos que
. Então,
O número 155023 é divisível por 11. De facto, o valor de
k 11 é 1&RQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGHQ~PHURV
é divisível por p. Ora,
Vejamos que
²= Z²=1 = 1540 Z²
² Z²=1
²=1 =11
155023 Z²=
Concluímos, uma vez que 11 é divisível por 11, que 155023 é
divisível por 11.
O número 96993 é divisível por 13. Neste caso, o valor de
k 13 é 1&RQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGHQ~PHURV
é um múltiplo de p, então
Como
é de
forma mpSDUDDOJXPQ~PHURLQWHLURm$VVLP
Z²=
²= Z²= Z²= Concluímos, uma vez que 13 é divisível por 13, que o mesmo
DFRQWHFHFRP
O número 1381675 é divisível por 17. Basta atender a que
o valor de k 17 é 1 H FRQVLGHUHPRV D VHJXLQWH VHTXrQFLD GH
números:
o que prova que
²=5 =138142 Z²=5
²=5 = 13804 Z²=5
Z²=5
²=5 = 1360 Z²=5
²=5
9HULÀFDPRVFRPR [TXHHQWmRpGLYLVtYHOSRU
5HFLSURFDPHQWHVXSRQKDPRVTXH
.
Então, multiplicando ambos os membros por 10, obtemos
O número 136078 é divisível por 19. De facto, o valor de k 19
é 17HFRQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGHQ~PHURV
Z² Z ²= Z
=
&RQFOXtPRVTXHpGLYLVtYHOSRU
O número 209921 é divisível por 23. Notemos que o valor
de k 23 é 16SHORTXHFRQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGH
números:
Como
é um múltiplo de p, então
SDUDDOJXPQ~PHURLQWHLURm.
$VVLP
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,
Z²= Z ²=16 = 2001 Z²=16 =184
Dado que 184 = 8=HQWmRFRQFOXtPRVTXHpGLYLORJR
GAZETA DE MATEMÁTICA r170
sível por 23.
O número 236205 é divisível por 29. Notemos que o valor
de k 29 é 26SHORTXHFRQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGH
números,
Z²= Z²=26= 0
236205 Z²= FRQFOXtPRVTXHpGLYLVtYHOSRU
O número 218922 é divisível por 31. Neste caso, o valor de
k 31 é 3&RQVLGHUDQGRDVHJXLQWHVHTXrQFLDGHQ~PHURV
Z²=3 = 21886 Z²= Z =31
SRGHPRVDÀUPDUTXHpGLYLVtYHOSRU
BIBLIOGRAFIA
1LYHQ,=XFNHUPDQ+0RQWJRPHU\+An Introduction to
the Theory of NumbersWK(GLWLRQ:LOH\6RQV
9DQGHU:DHUGHQ%Algebra6SULQJHU9HUODJ
OS AUTORES
André Fonseca obteve o grau de Doutor (PhD) em Matemática, no ano
de 2004, na Universidade de Leicester, Reino Unido, e efetuou um pós-doutoramento na Universidade de Chicago durante o ano 2005. Atualmente é
Professor no Departamento de Matemática da Universidade Lusófona de
Lisboa. Desenvolve investigação na área da Teoria de Representações.
Teresa Almada tem o grau de Doutor em Matemática pela Universidade
de Lisboa desde 1994. É diretora do Departamento de Matemática da Universidade Lusófona de Lisboa. Desenvolve investigação em Teoria dos Reticulados e em Álgebras da Lógica. Desde longa data que Teresa Almada se
interessa por questões relacionadas com o ensino da Matemática, a que tem
dedicado algum do seu tempo.
NÚMEROS INTEIROS: ALGUNS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE rAndré Fonseca e Teresa Almada
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