a) b) c) d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FACULDADE DE ECONOMIA DO PORTO
LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO
EXAME 10.01.2006 – VERSÃO A
OBSERVAÇÕES:
(i) A duração da prova é de 2 horas;
(ii) Não é permitida a consulta de quaisquer elementos, nem são prestados quaisquer
esclarecimentos;
(iii) Responda ao Grupo I na tabela constante desta página, assinalando com uma cruz a
resposta certa. No final destaque esta folha e proceda à sua entrega;
(iv) Certifique-se de que a versão identificada nesta página corresponde à versão do seu
enunciado;
(v) No Grupo I a cada resposta certa são atribuídos “+0,83(3)” valores e a cada resposta
errada são atribuídos “-0,21” valores;
(vi) Responda aos Grupos II e III em folhas separadas, de modo claro e perceptível, e
indique o número de folhas entregues (incluindo a folha de resposta ao Grupo I);
(vii) Não se esqueça de se identificar de modo legível e completo em todas as folhas
entregues.
NOME:
NÚMERO:
GRUPO I (10 Valores)
VERSÃO A
a)
b)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/6
c)
d)
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MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO
EXAME 10.01.2006 – VERSÃO A
GRUPO I (10 Valores)
1. O valor actual corresponde:
a) Ao valor capitalizado para a futura data de vencimento do capital e dos juros de uma
aplicação financeira.
b) ***Ao valor descontado para a data corrente de fluxos monetários que serão
recebidos/pagos em datas futuras.
c) Ao valor inicialmente depositado numa conta bancária.
d) Ao valor resultante da capitalização durante n períodos de uma dada soma inicial.
2. Se, na contratação de um empréstimo (em que fica devedor), tudo o resto igual, puder
optar por uma taxa de juro de 10% ao ano capitalizável semestralmente, por uma taxa de
juro de 10% ao ano capitalizável trimestralmente ou por uma taxa de juro de 10% ao
ano capitalizável mensalmente, opta pela:
a) ***Hipótese de capitalização semestral.
b) Hipótese de capitalização trimestral.
c) Hipótese de capitalização mensal.
d) É indiferente, dado que a taxa de juro é sempre de 10% ao ano.
3. Suponha que acaba de fazer dois depósitos bancários, um de EUR 10 000 e outro de
EUR 9000. O primeiro vence juros à taxa nominal de 10% ao ano capitalizável
semestralmente. O segundo vence juros à taxa de 10% ao ano capitalizável
continuamente. Quantos anos são necessários para que o saldo acumulado do segundo
depósito iguale o saldo acumulado do primeiro depósito?
a) 50,256 anos.
b) 48,412 anos.
c) ***43,543 anos.
d) O saldo do primeiro depósito será sempre superior ao saldo do segundo depósito.
R: 10000(1+10%/2)2n = 9000e10%n, implica n = 43,543.
4. Admitindo que todos os meses, com excepção de Agosto, poupa EUR 100, que
canaliza (no final de cada mês) para um depósito bancário que rende juros à taxa anual
nominal de 6% capitalizável mensalmente. O valor da poupança de cada ano acumulado
em 31 de Dezembro equivale a:
a) EUR 1272.
b) EUR 1166.
c) EUR 1234.
d) ***EUR 1132.
R: 100[(1+0,5%)12-1]/0,5% - 100(1+0,5%)4 = 1131,54.
5. Considere que recebeu, de herança, um produto financeiro que lhe dá direito a
receber uma renda perpétua. Sabe-se que o próximo termo da renda se vence
exactamente de hoje a um ano, e terá um valor de EUR 1000. Segundo os cálculos de
um competente especialista, considerando uma taxa de juro efectiva de 5% ano, o valor
actual desta herança é de EUR 50 000. Qual a taxa a que crescem os termos da renda?
a) 1% ao ano.
b) 2% ao ano.
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c) ***3% ao ano.
d) 4% ao ano.
R: 50 000 = 1000/(5%-g). Resolvendo em ordem a g, obtém-se: g = 3%.
6. Suponha que contraiu um empréstimo de EUR 10 000, a reembolsar segundo o
sistema de reembolsos constantes em 5 anos (com os pagamentos a ocorrerem no final
de cada ano), acordando uma taxa de juro efectiva de 8% ao ano. Quanto pagará de
juros pelo terceiro ano do empréstimo:
a) EUR 800.
b) EUR 640.
c) ***EUR 480.
d) EUR 320.
R: Reembolso periódico = 10 000/5 = 2000. Capital em dívida no final do segundo ano
(início do terceiro ano) = 10 000 – 2*2000 = 6000. Juros do terceiro ano = 6000*8% =
480.
7. Sabe-se que o PIB de um dado país cresceu a uma taxa de 3% ao ano durante 10
anos. Qual o crescimento acumulado atingido ao fim de 8,5 anos?
a) 25,50%.
b) 27,55%
c) 26,20%
d) ***28,56%.
R:
(1+3%)8,5-1 = 28,56%.
8. Sabe-se que um índice de preços de Paasche (base 1 em 2004) apresenta um valor de
0,80 referido a 1974. Em face disto, pode afirmar-se que:
a) ***Um índice de preços Laspayres (de base 1 em 1974) apresenta em 2004 o valor de
1,25.
b) Um índice de preços Paasche (de base 1 em 1974) apresenta em 2004 o valor de 1,25.
c) O valor do cabaz original aumentou 25%.
d) Nenhuma das alíneas anteriores está certa.
R:
LPt,0 = 1/PP0,t. Donde LPt,0 =1/0,8 = 1,25.
9. A produção de cerejas do Senhor João foi vendida em 1974 por EUR 125 000. A
produção de 2004 foi vendida por EUR 750 000. Sabe-se que a produção de 2004, em
1974, teria sido vendida por EUR 620 000.
a) O índice de preços de Laspayres apresenta um aumento de 500%, entre 1974 e 2004.
b) O índice de preços de Paasche apresenta um aumento de 500%, entre 1974 e 2004.
c) O índice de quantidades de Paasche apresenta um aumento de 396%, entre 1974 e
2004.
d) ***O índice de quantidades de Laspayres apresenta um aumento de 396%, entre
1974 e 2004.
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R:
Base em 1974 = 1.
LQ2004,1974 = 620 000/125 000 = 4,96.
Donde 4,96/1-1 = 396%.
10. O número de telemóveis por cada 1000 habitantes em 2002 para vários países da
Europa é o seguinte:
Portugal Espanha Finlândia
825,20
824,20
867,44
França
647,00
Suécia
888,85
Reino Unido
840,73
Fonte: World Development Indicators
Após calcular os índices simples para todos os países poderá afirmar:
a) Se a base (100) escolhida for Portugal todos os índices são superiores a 100.
b) ***O índice da Suécia com base 100 em Portugal é igual a 107,7.
c) Se a base escolhida for a Finlândia o índice de Espanha é superior ao de Portugal.
d) Qualquer que seja a base escolhida a média dos 6 índices calculados é sempre igual.
R: (888,85/825,20)*100 = 107,7.
11. Num país onde a taxa de conclusão do ensino secundário é de 60%, 10% dos
habitantes são licenciados. Em outro país onde a taxa de conclusão do ensino
secundário é de 80%, 15% dos habitantes são licenciados. A elasticidade da obtenção de
licenciatura em relação à conclusão do ensino secundário é de (resolva partindo do
primeiro país para o segundo):
a) ***+1,5.
b) +0,25.
c) +1,5 p.p..
d) +0,25 p.p..
Elasticidade = [(15%-10%)/10%]/[(80%-60%)]/60% = +1,5.
12. Uma amostra:
a) É constituída pela totalidade dos membros de um dado grupo, ie, todos os elementos
que apresentam característica(s) comum(ns).
b) ***Corresponde a um subconjunto de uma dada população.
c) É a unidade da população que é objecto de observação.
d) É qualquer medida descritiva de uma característica de uma população.
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GRUPO II [5 VALORES]
O quadro seguinte contém dados do sector Industrial em Portugal:
Índices
(base 100: 2000)
Mês
Horas
Emprego
Remunerações
trabalhadas
Maio 2005
84,0
95,9
87,1
Junho 2005
83,7
103,3
86,6
Julho 2005
83,6
112,2
86,0
Variação
homóloga do
Emprego (%)
-4,9
-4,8
-4,8
Fonte: INE
a) (1 valor) Calcule a taxa de crescimento média mensal do Emprego na indústria
entre Maio e Julho de 2005. Interprete o valor obtido.
R: (83,6/84)1/2 – 1 ≈ – 0,238%
Entre Maio e Julho de 2005 o emprego diminuiu, em média por mês, 0,238 %.
b) (1 valor) Calcule e interprete o valor da elasticidade das Remunerações em
relação ao número de horas trabalhadas entre Maio e Julho de 2005.
R: (112,2/95,9 -1)/ (86/87,1-1) ≈ – 13,46
Em média, entre Maio e Julho de 2005 o aumento de 1% no número de horas
trabalhadas traduz-se numa diminuição de 13, 46 % nas remunerações.
c) (1 valor) Calcule o valor do índice mensal do Emprego na indústria para o mês
de Maio de 2004 (base 100: 2000).
R: Emp05.05 = Emp05.04 × (1 + h05,04:05) ⇔ 84 = Emp05.04× (1 – 4,9%) ⇔
Emp05.04 ≈ 88,33
d) (1 valor) Calcule, para o período em causa, um índice (base 100: Maio de 2005)
da Remuneração por Trabalhador na indústria.
Remuneração por trabalhador
(Rem / Emprego)
Índice base 1: 2000
Remuneração por trabalhador
Índice base 100: Maio de 2005
Maio 95
95,9/84 = 1,1417
Junho 05
103,3/83,7 = 1,2342
Julho 05
112,2/83,6 = 1,3421
100
1,2342/1,1417×100=
= 108,1
1,3421/1,1417×100=
= 117,6
e) (1 valor) Considere os seguintes dados adicionais referentes ao Índice de Preços
no Consumidor (IPC) para o ano de 2005 (base 100: 2002):
Maio
Junho
Julho
108
108
108,4
Determine a taxa de crescimento real das Remunerações na indústria entre Maio
e Julho de 2005.
R: (1 + δnominal) = (1 + δreal) × (1 + δpreços)
δreal = (112,2/95,9) / (108,4/108) – 1 ≈ 16,57 %.
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EXAME 10.01.2006 – VERSÃO A
GRUPO III [5 VALORES]
Considere um contrato de aquisição de um bem cujo valor é de EUR 100 000. O
comprador compromete-se a pagar uma renda mensal postcipada de termos constantes e
a pagar, no final do contrato, um valor residual de 10% do valor do bem adquirido. A
duração do contrato é de 4 anos, a taxa nominal contratada é 6% ao ano.
a) (1 valor) Qual a taxa semestral efectiva equivalente à taxa contratada?
R: 1,0056 −1 ≈ 3,04 %
b) (1 valor) Qual o valor da mensalidade contratada?
R: 100 000 – 10 000 × 1,005-48 = P × (1 − 1,005-48)/0,005
P ≈ 2163,65
c) (1,5 valores) Qual o valor do juro e da amortização do capital incluídos no 20º
termo da renda?
R:
Alternativa 1:
Capital em dívida após 19º pagamento (ie,no ínício do 20º período):
C19 = 100 000 × 1,00519 – 2163,65 × (1,00519 – 1) / 0,005 = 2163,65 × (11,005-29)/0.005 + 10000 × 1,005-29 = 66 927.
J20,19 = 66 927 x 0,005 = 334,63.
P20 = 2163,65. Donde M20 = 2163,65 – 334,63 = 1829,02.
Alternativa 2:
M1 = 2163,65 – 100 000 × 0,005 = 1663,65
M20 = 1663,65 × 1,00519 ≈ 1829,02
J20,19 = 2163,65 - 1829,02 ≈ 334,63
d) (1,5 valor) Imagine que decorridos dois anos sobre a data da transacção (isto é,
imediatamente a seguir a pagar a 24ª renda), o comprador decidiu reembolsar
todo o montante em dívida. Sabendo que, nos termos do contrato, tal reembolso
não implicava qualquer penalização para o devedor, diga qual o valor a pagar
pelo comprador?
R: C24 = 100 000 × 1,00524 – 2163,65 × (1,00524 – 1) / 0,005 ≈ 57 690,1
6/6