Um resumo superficial

Indução matemática versus indução empírica (nas ciências naturais)
Nas ciências naturais, utiliza-se a indução empírica. Ou seja, a partir de um grande número de observações
particulares selecionadas adequadamente, formula-se leis que devem reger determinados fenômenos. A
validade de um teorema matemático, no entanto, se estabelece de forma completamente diferente. Verificar
que certa afirmação vale para um grande número de casos particulares (como se faz nas ciências naturais)
não permitirá concluir que esta afirmação é válida. O princípio da indução ou princípio da indução finita, é
utilizado para provar que a proposição vale para todos os casos.
Indução Matemática
Indução matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número
infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado
vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos:
1.A base: mostrar que o enunciado vale para n = 1.
2.O passo indutivo: mostrar que, se o enunciado vale para n=k, então o mesmo
enunciado vale para n=k+1. Ou seja, você acredita que a propriedade vale pra k e
com esta hipótese mostra que para k+1 também é válida.
Esse método funciona provando que o enunciado é verdadeiro para um valor inicial, e então provando que o
processo usado para ir de um valor para o próximo é valido. Se ambas as coisas são provadas, então qualquer
valor pode ser obtido através da repetição desse processo. Para entender por que os dois passos são
suficientes, é útil pensar no efeito dominó: se você tem uma longa fila de dominós em pé e você puder
assegurar que:
1.O primeiro dominó cairá.
2.Sempre que um dominó cair, seu próximo vizinho também cairá. Então você pode
concluir que todos os dominós cairão.
Exemplo
Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:
para todos os números naturais n. Esta é uma fórmula simples para a soma dos números naturais de 1 a n. A
prova de que o enunciado é verdadeiro para todos os números naturais n é dada a seguir.
Prova por indução:
O primeiro passo consiste em determinar a base da prova por indução. Neste caso, tomaremos n = 1.
Claramente, do lado esquerdo da equação fica 1 e do lado direito 1(1 + 1) / 2, resolvendo dá 1=1. Então o
enunciado é verdadeiro para n= 1.
Agora precisamos provar que o enunciado vale para n = k
(Neste caso apenas tocamos a hipótese de n=k para n=k-1 e, portanto, devemos mostrar que vale para
n=k que é o sucessor de k-1).
Por hipótese de indução, a equação vale para n = k-1, ou seja:
Adicionando k a ambos os lados, a igualdade se mantém, então:
Por manipulação algébrica, temos:
Logo:
Simbolicamente, mostramos que:
Por indução, no entanto, podemos concluir que a propriedade P(n) vale para todos os números naturais n:
1.Primeiro provamos que a base de indução (n=1, neste caso) é verdadeira;
2.Depois, por hipótese de indução temos que P(k-1) é verdadeiro, então
precisamos provar que P(k) também é verdadeiro.
3.Provando que o passo da indução está correto, concluímos que P(n) é
verdadeiro para qualquer número n natural.
Referência: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica