Modelagem da Propagação do Vírus HIV no Brasil sob

Modelagem da Propagação do Vírus HIV no Brasil sob dois enfoques
Carlos Fellip Rabadan Braga; Valdecir Marvulle
CMCC, Universidade Federal do ABC
Av. dos Estados, 5001, Santo André, SP
([email protected], [email protected])
Utilizando, de um lado, processos estocásticos, e de outro, equações diferenciais e suas aplicações em epidemiologia, foram criados
dois modelos da propagação do HIV na população brasileira: um estocástico e um determinístico. Estes modelos foram então
comparados com os dados reais fornecidos pelo Ministério da Saúde, afim de verificar qual deles fornece previsões mais “realísticas”
desta epidemia. Ambos modelos se mostraram compatíveis com a realidade.
Palavras-chave—Cadeias de Markov, Equações diferenciais, Modelagem Matemática, HIV, Modelo SI.
I.
INTRODUÇÃO
Desde 1983, quando Luc Montaigner isolou o vírus do HIV
(vírus da Imunodeficiência Adquirida) e os países começaram
a relatar casos de Síndrome da Aids, inúmeros modelos
determinísticos e estocásticos foram propostos para situações e
condições específicas. Uma parcela considerável destes
modelos encontram-se defasados, já que na época em que
estes modelos foram produzidos as premissas do modelo não
eram as mesmas que atuais. Vale também lembrar que os
pesquisadores possuíam menos conhecimento disponível sobre
a dinâmica populacional deste vírus. Mesmo atualmente, com
os coquetéis que diminuem a mortalidade por HIV, a alta taxa
de mutação do vírus ainda faz com que cientistas do mundo
todo dediquem muita atenção a esta doença. Utilizamos
métodos de modelagem matemática para determinarmos o
número final de infectados bem como o tempo necessário até a
estabilização da doença no Brasil.
II.
METODOLOGIA
Inicialmente buscou-se estudar o histórico do HIV na
populaçao brasileira através de uma fonte confiável que
fornecesse dados estatísticos do HIV. Estes dados foram
encontrados no site do Ministério da Saúde do Governo do
Brasil [1]. Com estes dados foi possível elaborar um conjunto
de premissas que descrevessem a dinâmica da doença, alguns
modelos epidemiológicos foram criados a partir destas
premissas, e dentre estes, dois foram escolhidos, pois melhor
representavam os dados e premissas, sendo um deles
determinístico e o outro estocástico. Foram feitas algumas
previsões com estes modelos que serão apresentadas neste
trabalho.
III.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Dentre os modelos determinísticos estudados [2,3], o
modelo Susceptível-Infectado (SI) foi o mais representativo.
As equações que representam o modelo estão a seguir:
dS 
 SI
dt N
dI

 S I
dt
N
O número total da população de risco é constante e vale
N=S+I, S(t) é a população de pessoas susceptíveis no tempo t
e I(t) representa o número de infectados. Este sistema de
equações diferenciais pode ser resolvido analiticamente, e
podemos mostrar que o mesmo é equivalente ao modelo de
crescimento logístico de uma população. Possui a seguinte
solução para o número de infectados:
I (t ) 
N
1 A e  t
Podemos ajustar esta solução aos dados reais de infectados
no Brasil, utilizando uma regressão não linear. Assim fazendo,
obtivemos os seguintes valores: β (taxa de propagação da
doença) = 0,247; A = 159,26 e N (número final de infectados)
= 620208,2 . Este valor para N obtido é condizente com a
previsão feita pelo Ministério da Saúde, para o qual a
epidemia no Brasil deve se estabilizar em cerca de 600 mil
casos. A regressão não-linear utilizada foi feita pelo método
dos mínimos quadrados, sendo que a solução ajustada para os
dados reais obteve um r-quadrado igual à 99,8% (ou seja,
99,8% dos pontos reais são explicados pelo ajuste desta curva)
e é representada a seguir:
0
0
0
1
0 1  b
0
0
1

0
b1
1  b2
0
P
0
b2
1  b3
0
...
...
...
...

0
0
0
 0
Gráfico 1:Curva Contínua – modelo SI; Pontos em forma de
cruz – dados reais.
Uma outra previsão importante que deve ser calculada é o
tempo T necessário para que a epidemia, partindo do seu
estado inicial, chegue até o seu estado estacionário (ou seja,
I(T)=N). O modelo SI, entretanto, não é capaz de prever este
tempo T, já que a solução tende assintoticamente ao valor
estacionário, e T seria infinito. Uma maneira para se estimar o
tempo T é calcular o tempo necessário para a infecção atingir
N-1 indivíduos, ou seja, I(T) = N-1. Assim fazendo, obtemos a
seguinte equação para T:
T
ln  A ( N  1) 

O valor obtido então, utilizando-se os valores de A, N e 
obtidos na regressão não linear, é de T ≈ 74,5 anos. Como o
primeiro caso do HIV relatado no Brasil foi em 1980, a
doença deverá estabilizar-se em 2054. Este resultado é
compatível com as previsões do Ministério da Saúde.
Gostaríamos agora de verificar se um modelo para a
propagação do HIV no Brasil baseado em processos
estocásticos [4] também seria compatível com a realidade. Foi
escolhido então um processo estocástico de nascimento. Aqui,
consideramos que a probabilidade de que haja um nascimento
(neste caso, um novo indivíduo infectado) no instante k é dada
por:
bk 
 k (N  k)
N
Com esta probabilidade e o seu complementar (a
probabilidade de que não haja um nascimento), podemos
montar um
processo de nascimento representado pela
seguinte matriz de probabilidades de transição:
...
...
...
...
...
...
0
0 
0

0
...

1 
Os estados 0 e N são absorventes, pois se ninguém estiver
contaminado a epidemia não se inicia, ou se todos estiverem
contaminados não haverão mais pessoas a serem
contaminadas. Neste modelo o tempo até todas as pessoas se
contaminarem é dado por:
T
N 1
1
k  I ( 0 ) bk

Através de uma rotina recursiva programada em Matlab foi
obtido o valor do tempo T=76,8 anos, ou seja, a epidemia
chegaria em seu ponto de saturação em 2056 (resultado
também compatível com as previsões do Ministério da Saúde
e com o modelo determinístico apresentado anteriormente).
AGRADECIMENTOS
Ao professor Valdecir por toda a orientação durante o
trabalho, ao professor Javier por auxiliar na utilização do
Matlab e a Ciência.
REFERÊNCIAS
[1].Ministério da Saúde. Departamento de DST, Aids e
Hepatites virais. Tabulação de dados – Casos de Aids.
Disponível em:
http://www.aids.gov.br/final/dados/dados_aids.asp
Acesso em: 7 out 2009.
[2]. COUTINHO, F. A. B. ; LOPEZ, L. F. ; BURATTINI,
M. N. ; MASSAD, E. . Modelling the natural history of HIV
infection in individuals and its epidemiological implications.
Bulletin of Mathematical Biology, v. 63, n. 6, p. 1041-1062,
2001.
[3]. MAY, R.M. ; ANDERSON, R.M. . Transmission
dynamics of HIV-infection. Nature, v. 326, n. 6109, p.137142, 1987.
[4]. ALLEN, J.S. .An introduction to Stochastic Processes
with application to Biology. New Jersey. Pearson Education
(2003).