Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I
Propaganda
Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I - EEL420 Módulo 1 Ampère Volta Kirchhoff Coulomb Joule Watt Conteúdo 1 – Circuitos de parâmetros concentrados e leis de Kirchhoff.............................................................1 1.1 – Conceitos................................................................................................................................1 1.1.1 – Cargas elétricas...............................................................................................................1 1.1.2 – Corrente elétrica..............................................................................................................1 1.1.3 – Tensão elétrica................................................................................................................3 1.1.4 – Potencia e energia:..........................................................................................................3 1.1.5 – Modelos...........................................................................................................................3 1.1.6 – Elementos concentrados..................................................................................................4 1.1.7 – Circuitos concentrados....................................................................................................4 1.1.8 – Circuitos distribuídos......................................................................................................4 1.1.9 – Leis de Kirchhoff............................................................................................................4 1.2 – Representação de circuitos concentrados................................................................................4 1.3 – Sentidos de referência para elementos de circuito..................................................................5 1.4 – Leis de Kirchhoff....................................................................................................................6 1.5 – Absorção e Fornecimento de Energia.....................................................................................7 1.6 – Exercícios................................................................................................................................8 1.7 – Soluções................................................................................................................................11 1 Circuitos de parâmetros concentrados e leis de Kirchhoff 1.1 Conceitos 1.1.1 Cargas elétricas Qualquer matéria é formada por átomos. O átomo de hidrogênio é o mais simples, o qual é constituído por duas partículas (as cargas positivas chamadas de prótons e as cargas negativas chamadas de elétrons), conforme figura abaixo. A unidade da carga elétrica é o Coulomb (C). Normalmente o átomo é eletricamente neutros o que significa que apresentam elétrons e prótons em igual número. Retirando elétrons deste átomo ela apresentará carga positiva, ao passo que adicionando elétrons ao átomo ele passa a ter carga negativa. Os materiais fáceis retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...) ao passo que os materiais onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...). 1.1.2 Corrente elétrica A corrente elétrica corresponde ao movimento de cargas por unidade de tempo que atravessam uma determinada superfície, conforme indicado na figura abaixo. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1 A corrente elétrica é medida em Ampère (A) e definida, matematicamente como i≈ q t Em engenharia o significa variação e no caso da corrente ela é obtida pela razão entre a variação de carga e a variação de tempo. Na verdade a corrente é dada pela variação de carga por unidade de tempo. Se esta razão for avaliada para uma variação temporal muito pequena (tendendo a zero) esta razão entre duas variações pode se expressa pelo conceito de derivada de forma que i= dq , onde q é a carga (Coulomb – C) e i é corrente (Ampères – A) dt assim, a corrente é a derivada da carga com relação ao tempo, ou seja, a variação infinitesimal da carga com relação ao tempo. Graficamente a operação de derivada é equivalente ao cálculo da inclinação de uma curva. Na equação acima, a carga pode ser obtida pela operação inversa da derivada, a integral. A integral é representada pelo símbolo ∫. dq=i⋅dt ∫ dq=∫ i⋅dt q=∫ i⋅dt Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2 Graficamente a operação de integral corresponde ao cálculo da área abaixo de uma curva. 1.1.3 Tensão elétrica A tensão elétrica corresponde a diferença de potencial (ddp) necessária para mover uma unidade de carga através de um elemento. A tensão é medida em Volt (V), e definida como v≈ w q ou, em termos de derivada v= dw , onde w é energia, (Joule – J) e v é tensão (Volts – V) dq onde w é energia (Joule – J), v é tensão e q é carga. 1.1.4 Potencia e energia: Potência corresponde ao trabalho ou energia por unidade de tempo. p= dw , onde p é potência (Watts – W). dt p= dw dw dq = ⋅ =v⋅i dt dq dt 1.1.5 Modelos Conjunto de elementos ideais que representam ou aproximam propriedades de elementos ou fenômenos físicos (análogo das partículas e corpos rígidos da física). Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 3 1.1.6 Elementos concentrados Elementos que apresentam comprimento muito menor do que o comprimento de onda da máxima frequência que atua no circuito (análogo dos sistemas mecânicos puntuais). 1.1.7 Circuitos concentrados Interligação de elementos concentrados 1.1.8 Circuitos distribuídos Circuitos formados por um conjunto de circuitos concentrados. 1.1.9 Leis de Kirchhoff Leis que relacionam correntes e tensões em circuitos concentrados (um caso particular das equações de Maxwell). Para elementos de 2 terminais, a corrente de entrada é igual à corrente de saída e a diferença de potencial entre seus terminais é bem determinado e só varia no centro do elemento. 1.2 Representação de circuitos concentrados Circuitos concentrados são representados por elementos de 2 terminais interligados por fios em pontos chamados NÓS. Os fios não apresentam queda de tensão, portanto todos os pontos interligados por fios apresentam a mesma tensão elétrica com relação a um ponto de referência qualquer. Entre dois nós estão os elementos de dois terminais também chamados de ramos, braços ou bipolos. No centro destes elementos se concentra a diferença de potencial entre seus terminais. A figura abaixo representa um circuito concentrado. Os retângulos representam os elementos e as linhas os fios. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 4 Para o circuito acima, alguns autores definem uma série de conceitos: NÓ – O ponto ao qual estão ligados dois ou mais elementos; NÓ ESSENCIAL – O ponto ao qual estão ligados três ou mais elementos; CAMINHO – Sequência de elementos (não repetidos) ligados entre si; RAMO – Caminho que liga dois Nós; RAMO ESSENCIAL – Caminho que interliga dois Nós Essenciais; LAÇO – Caminho cujo último Nó coincide com o primeiro; MALHA – Laço que não inclui nenhum outro Laço. 1.3 Sentidos de referência para elementos de circuito Para equacionar corretamente o comportamento de cada elemento de uma rede vamos arbitrar sentidos de referência para tensão e corrente neste elemento. Por convenção consideraremos que uma vez determinado o sentido para a tensão, o sentido para a corrente também estará determinado e vice-versa. Os sentidos que adotaremos são apresentados na próxima figura. CUIDADO: Os métodos de análise de circuitos que serão estudados costumam arbitrar sentidos para as correntes ou para as tensões. Sendo assim, a variável não determinada diretamente fica indiretamente determinada pelos sentidos de referência adotados aqui. Os Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 5 circuitos não devem ser equacionados em função dos sentidos de referência, mas os sentidos de referência devem ser utilizados como parte dos métodos de análise de circuitos. v t =v A t−v B t Considerar tensão e correntes positivas sempre que elas possuírem os sentidos de referência apresentados. Durante os cálculos, se alguma grandeza apresentar resultado negativo significa que o sentido adotado para esta grandeza está trocado. 1.4 Leis de Kirchhoff A Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) diz que para qualquer circuito de elementos concentrados, para qualquer dos seus nós e para qualquer instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço saindo de um nó é zero. Adotaremos como convenção que correntes saindo do nó são positivas e correntes chegando ao nó são negativas. Como consequências da LCK, que se aplica a qualquer circuito concentrado, temos: 1) existe uma dependência linear entre as correntes de braço; 2) existe uma conservação de cargas em todos os nós do circuito; A Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) diz que para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer de seus percursos fechados e para qualquer instante de tempo a soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer percurso fechado é zero. Adotaremos como convenção que os braços cujos sentidos de referência concordam com o sentido em que percorremos um caminho fechado são positivos e os que não concordam são negativos. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 6 Como consequência da LTC, que se aplica a qualquer circuito concentrado, temos: 1) existe uma dependência linear entre as tensões de braço de um percurso fechado. 1.5 Absorção e Fornecimento de Energia Supondo que exista uma corrente circulando pelo circuito da figura abaixo é de se esperar que corrente em cada elemento do circuito seja igual em módulo (LCK). Desta forma não haverá acumulo de cargas nos nós A e B. Também é de se esperar que a diferença de tensão sobre cada elemento do circuito seja a mesma, assim, o somatório das tensões na malha é zero (LTK). Esta situação está bem representada na figura. Observe que, desta forma, um elemento de circuito apresenta os sentidos de referência adotados e o outro elemento não. O elemento que apresenta os sentidos de referência estabelecidos tem corrente e tensão positivas, resultando em potência positiva (p>0). Isto significa que este elemento está absorvendo (dissipando ou armazenando) energia. O elemento que não apresenta a tensão ou a corrente com os sentidos de referência terá uma destas grandezas negativas e, portanto, potência negativa (p<0). Isto significa que este elemento está fornecendo energia. Este exemplo pode ser generalizado: Toda vez que um elemento de circuito apresentar potência positiva ele está absorvendo energia e toda vez que um elemento de circuito apresentar potência negativa ele está fornecendo energia. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 7 Também ocorre que o somatório algébrico das potências de todos os elementos de um circuito resulta em valor nulo, ou seja, toda energia gerada no circuito é absorvida pelo próprio circuito. Isto significa que não é possível criar energia. Observa-se que estes valores de potência positiva ou negativa dependem dos sentidos de referência adotados. Os sentidos adotados neste texto correspondem a convenção passiva para corrente no sentido convencional. Livros que adotam corrente no sentido eletrônico ou outros sentidos de referência para corrente e tensão podem utilizar sinais opostos na potência para representar absorção e fornecimento de energia. 1.6 Exercícios 1) Uma antena de rádio, com 3 m de comprimento está sendo irradiada por uma onda eletromagnética com frequência de 100 MHz. Podemos estudar esta antena utilizando as leis de Kirchhoff? 2) Utilizando a LCK equacione as correntes para os nós 1, 2, 3 e 4 da figura abaixo. Determine a relação entre I X e I Y . Sugestão: considere corrente positiva aquela que sai do nó e negativa aquela que chega no nó. 3) Utilizando a LTK determine as equações para os diferentes laços e malhas da figura abaixo. Sugestão: adote um sentido para percorrer os laços ou malhas e some as tensões cujo primeiro sinal encontrado é positivo e subtraia aqueles cujo sinal for negativo. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 8 4) Para o circuito abaixo, sabendo que I 1=2 , I 3 =1 , I 7 =2 e I 8=3 , determine as demais correntes. A partir dos sentidos de referência adotados e considerando V 1=V 3=V 6=V 9=1 determine as demais tensões. 5) Para a figura abaixo, determinar as tensões v 3 , v 5 , v 8 , v 9 , v 10 e v 11 . 6) Assumindo os sentidos associados para correntes e tensões, e sabendo que v 1=1V , v 2=2V , v 3=3V , i 1=i 3=1mA : a) Identifique os ramos que fornecem energia e os que absorvem energia; b) Calcule a potência total absorvida e a potência total fornecida; Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 9 7) Dado o gráfico da potência entregue a um elemento, desenhe a curva da energia. 15 potência (W) 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -5 -10 -15 tempo (s) 8) Para o mesmo elemento do problema 7, considerando que a tensão sobre o elemento é dada pelo gráfico abaixo, determine a forma de onda da corrente i(t) sobre este elemento. 4,5 4 3,5 tensão (V) 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 tempo (s) Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 10 9) A figura abaixo apresenta as formas de onda de tensão e corrente sobre um elemento. Determinar se este elemento absorve ou fornece energia. 1.7 Soluções 1) Uma antena de rádio, com 3 m de comprimento está sendo irradiada por uma onda eletromagnética com frequência de 100 MHz. Podemos estudar esta antena utilizando as leis de Kirchhoff? Uma onda de 100 MHz apresenta comprimento de onda de = v 3⋅108 = =3m . f 100⋅106 Como o comprimento da antena é de 3 m este circuito não pode ser analisado pelas leis de Kirchhoff. Observe que para um mesmo instante de tempo mas em dois pontos da antena, distantes 2 m um do outro, temos tensões diferentes para cada ponto. Isto leva a uma circulação de corrente pela antena que não pode ser explicada pelas leis de Kirchhoff. 8 v A=v0⋅sen 2⋅⋅10 ⋅t v B=v0⋅sen 2⋅⋅108⋅t 4⋅ . 3 Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 11 2) Utilizando a LCK equacione as correntes para os nós 1, 2, 3 e 4 da figura abaixo. Determine a relação entre I X e I Y . Sugestão: considere corrente positiva aquela que sai do nó e negativa aquela que chega no nó. Nó 1: I1-I4+IX=0 Nó 2: -I1-I2+I3=0 Nó 3: -I3+I4+I5=0 No4: I2-I5+IY=0 Como IX=I6-I7 e IY=-I6+I7 então IX=-IY 3) Utilizando a LTK determine as equações para os diferentes laços e malhas da figura abaixo. Sugestão: adote um sentido para percorrer os laços ou malhas e some as tensões cujo primeiro sinal encontrado é positivo e subtraia aqueles cujo sinal for negativo. Adotando sentido horário, começando dos nós inferiores a esquerda: Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 12 Malha 1: +V1+V5-V4=0 Malha 2: -V6+V4+V3=0 Malha 3: -V3-V5+V2=0; Outros caminhos fechados podem ser equacionados mas não trazem informação adicional para a solução do problema. +V1+V5+V3-V6=0 (combinação das equações das malhas 1 e 2) -V6+V4-V5+V2=0 (combinação das equações das malhas 2 e 3) +V1+V2-V3-V4=0 (combinação das equações das malhas 1 e 3) -V6+V1+V2=0 (combinação das equações das malhas 1, 2 e 3) 4) Para o circuito abaixo, sabendo que I 1=2 , I 3 =1 , I 7 =2 e I 8=3 , determine as demais correntes. A partir dos sentidos de referência adotados e considerando V 1=V 3=V 6=V 9=1 determine as demais tensões. Para as tensões -V1+V2-V3=0, logo -1+V2-1=0, portanto V2=2 +V6+V7+V9=0, logo1+V7+1=0, portanto V7= -2 Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 13 +V5+V3-V6=0, logo V5+1-1=0, portanto V5=0 +V4-V5+V8=0, logo V4+V8=0 mas os valores individuais de V4 e V8 não podem ser determinados. Para as correntes I1+I2=0, logo I2= -2 -I2-I3-I6+I7=0, logo -(-2)-1-I6+2=0, portanto I6= 3 -I7+I9=0, logo I9=2 I4-I8=0, logo I4=3 -I1+I3-I4-I5=0, logo -2+1-3-I5=0, portanto I5= -4 5) Para a figura abaixo, determinar as tensões v 3 , v 5 , v 8 , v 9 , v 10 e v 11 . +V7-V6-V5=0, logo +(-3)-2-V5=0, portanto V5= -5 -V1+V5+V2+V11=0, logo -10+(-5)+5+V11=0, portanto V11=10 -V2+V6-V12+V4-V10=0, logo -5+2-8+(-3)-V10=0, portanto V10= -14 V3, V8 e V9 não podem ser determinados individualmente pois não há três equações independentes que envolvam esta três incógnitas. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 14 6) Assumindo os sentidos associados para correntes e tensões, e sabendo que v 1=1V , v 2=2V , v 3=3V , i 1=i 3=1mA : a) Identifique os ramos que fornecem energia e os que absorvem energia; b) Calcule a potência total absorvida e a potência total fornecida; -V1+V4+V2=0, logo -1+V4+2=0, portanto V4= -1V -V2+V5+V3=0, logo -2+V5+3=0, portanto V5= -1V I1+I2+I3=0, logo 1m+I2+1m=0, portanto I2= -2mA p1=V1·I1=1·1m=1mW p2=V2·I2=2·-2m= -4mW p3=V3·I3=3·1m= 3mW p4=V4·I4=V4·(-I1)= -1·(-1m)=1mW p5=V5·I5=V5·I3= -1·1m= -1mW ptot = p1+p2+p3+p4+p5 = (1-4+3+1-1)m = 0W 7) Dado o gráfico da potência entregue a um elemento, desenhe a curva da energia. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 15 15 potência (W) 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -5 -10 -15 tempo (s) [0;1]: w=−5⋅t 2 [1;2]: w=−5−10⋅t −1 [2;3]: w=−1510t−2 [3;): w=−5 8) Para o mesmo elemento do problema 7, considerando que a tensão sobre o elemento é dada pelo gráfico abaixo, determine a forma de onda da corrente i(t) sobre este elemento. 4,5 4 3,5 tensão (V) 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 tempo (s) [0;1]: i=−5t Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 16 [1;2): i=− 5 t (2;3): i=5 (3;): i=indeterminado 9) A figura abaixo apresenta as formas de onda de tensão e corrente sobre um elemento. Determinar se este elemento absorve ou fornece energia. Da esquerda para direita: Enquanto i(c1)>0 e v(c1)<0 a potência e negativa (fornece energia) Enquanto i(c1)>0 e v(c1)>0 potência positiva (absorve energia) Enquanto i(c1)<0 e v(c1)>0 potência negativa (fornece energia) Enquanto i(c1)<0 e v(c1)<0 potência positiva (absorve energia) Um novo ciclo acontece e todos os eventos anteriores se repetem. Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 17
