MARIA CRISTINA HUEB

UNIAN
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
MARIA CRISTINA HUEB
TRIGONOMETRIA: EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS
PARA A PRÁTICA DOCENTE
SÃO PAULO - SP
2014
MARIA CRISTINA HUEB
TRIGONOMETRIA: EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS
PARA A PRÁTICA DOCENTE
Projeto de Dissertação apresentado à Banca
Examinadora do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da Universidade Anhanguera
de São Paulo – UNIAN, como exigência parcial para
a obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática, sob orientação da Professora Doutora
Angélica da Fontoura Garcia Silva
SÃO PAULO
2014
H878t
Hueb, Maria Cristina
Trigonometria: expectativas institucionais para a prática docente. /
Maria Cristina Hueb. – São Paulo, 2014.
283 f ; il. ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática, Área de
concentração: Formação de Professores que Ensinam Matemática) –
Coordenadoria de Pós- graduação, Universidade Anhanguera de São
Paulo, 2014.
Orientadora: Professora Doutora. Angélica de Fontoura Garcia
Silva
1. Questões de concursos de matemática. 2. Documentos oficiais. 3.
Conhecimento profissional. 4. Docente. I. Título. II. Universidade
Anhanguera de São Paulo.
CDD 516.24
Autorizo, exclusivamente, para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Local e Data:
________________________________________________________
Assinatura:
________________________________________________________
Dedicatória
Dedico esse trabalho a minha amada
mãe,
WILMA
DA
SILVA
(in
memorian), por me ensinar a valorizar as
pessoas mais do que as coisas, por estar
presente em toda a minha vida, sem
medir esforços para que eu obtivesse
sucesso, tanto na vida pessoal quanto na
profissional. Infelizmente, eu não a terei
comigo nessa conquista, mas devo
agradecer-lhe por tanto amor a mim
dispensado.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, meus agradecimentos vão a DEUS, por me permitir mais essa
conquista. Momentos difíceis aconteceram durante todo esse processo como a perda da
minha mãe, mas fui reconduzida aos "trilhos" e, finalmente, consegui finalizar esse
trabalho;
À minha querida mãe, WILMA DA SILVA (in memorian), exemplo de dedicação e
amor cuja figura esteve ao meu lado no início desse trabalho, e que, com certeza, se
aqui estivesse, estaria comemorando comigo mais essa vitória;
À minha querida irmã RUTH GOMES e meus sobrinhos CAROLINE GOMES
DOS REIS, BRUNO GOMES DOS REIS e MARIA EDUARDA DOS REIS
VANDERLEI, por estarem presentes nos momentos mais difíceis da minha vida;
À Professora Dra. ANGÉLICA DA FONTOURA GARCIA SILVA, pelas
orientações, dedicação, sugestões, ajuda e, principalmente, pela paciência nos
momentos em que mais estive perdida;
Às Professoras membros da Banca Examinadora, MARLENE ALVES DIAS e
OLGA CORBO, pelas valiosas sugestões que muito contribuíram para aperfeiçoamento
desse trabalho, além da disposição em sempre elucidar dúvidas e dar sugestões tão
assertivas;.
Ao Professor Dr. RUY CÉSAR PIETROPAOLO pelas discussões e indicações de
caminhos para a construção do texto, no decorrer do processo;
À Professora Dra. NIELCE MENEGUELO LOBO DA COSTA pela sua presença
constante e apoio;
A todos os amigos, em especial, ALER DO AMARAL NETO, CRISTINA
SAMPAIO, MIGUEL VECHIONI JUNIOR, que souberam compreender a minha
reclusão, sem me abandonar em momento algum, principalmente, naquelas ocasiões em
que mais precisei de um ombro amigo;
Aos professores colegas do Curso de Mestrado em Educação Matemática da
Universidade Anhanguera de São Paulo, em especial, ALINE CYBIS, CÍCERO
SANTOS, CRISTINA SAMPAIO, ROSIVALDO SANTOS pelas discussões que nos
fizeram crescer como profissionais, além do grande elo de amizade estabelecido entre
todos nós;
À SEE/SP pela bolsa mestrado, sem a qual não seria possível o início e a conclusão
deste trabalho;
A todos que se fizeram presentes na minha vida em toda essa caminhada, tanto nos
bons quanto nos maus momentos, visto que nos momentos de adversidade sempre
somos impulsionados em seguir nosso caminho.
RESUMO
Essa pesquisa tem como finalidade investigar os conhecimentos necessários para o
professor de Matemática, no que diz respeito à abordagem da Trigonometria na
Educação Básica, levando-se em consideração as questões propostas em concursos
públicos promovidos pela SEE de São Paulo. Tal estudo tem caráter bibliográfico e
documental, a partir da análise de 20 questões de concursos realizados entre os anos de
2008-2013. No primeiro momento da pesquisa, buscaram-se provas realizadas pela
SEE/SP, efetuou-se uma revisão bibliográfica e constatou-se que a Trigonometria não é
um conteúdo com muitas publicações disponíveis para consulta. Dentre os trabalhos
encontrados, destacam-se os estudos de Spinelli e os Nacarato et al, que serviram como
ponto de partida à investigação. A seguir, houve a preocupação de definição da linha
teórica do objeto estudado e, nesse aspecto, figuram os autores Robert devido à
abordagem dos níveis de conhecimento esperados para a solução de uma tarefa (técnico,
mobilizável e disponível), e Shulman que trabalha com os tipos de conhecimentos
necessários ao professor (conhecimento do conteúdo específico, conhecimento
curricular do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo). Além dos documentos
anteriormente citados, documentos oficiais Federais e do Estado de São Paulo que
abordam a temática em questão foram analisados cujas orientações constituíram
material de fundamental importância para as análises existentes nesse trabalho. As
resoluções publicadas também foram foco de investigação devido à importância de se
conhecer quais são as competências e habilidades avaliadas pelos organizadores dos
certames. Para a apreciação das questões, foi estabelecida uma grade de análise para as
provas anteriormente selecionadas, que contém: expectativas institucionais, descrição da
tarefa, nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert), contexto
(real/artificial)
e
situação
(intramatemática/extramatemática),
categoria
de
conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa (Shulman). Por
fim, constatou-se que a trigonometria "aparece" entre 3% e 8% das questões de
concursos de professores, e dentre essas, as funções trigonométricas se sobressaem.
Palavras-chave: Trigonometria – Questões de Concursos de Matemática- Documentos
Oficiais- Conhecimento Profissional Docente.
ABSTRACT
This research has the object to investigate the required knowledge to the mathematics
teacher about the Trigonometry approach in basic education, taking in consideration the
proposals issues in the public tender promoted by São Paulo's Education Secretary. This
Study is bibliographic and documental, having like initial point, the analysis of 20
public contest questions between 2008 to 2013. In the research first moment, were
collected exams made by São Paulo's Education Secretary was done a bibliographic
reading and revision and was realized that the Trigonometry is not a content that have a
lot available material to be read. Among the studies found, Spinelli and Nacarato et al
had prominence and served as the investigation initial point. After, there was a concern
about the definition of the theoretical line from study object, in this aspect, were
highlighted Robert by the approach of the levels of knowledge waited for the solution of
a task (technical, mobilizable and available) and Shulman that works with the
knowledge required for teachers (the content specific knowledge, the curricular
knowledge from the content and the content pedagogical knowledge). To analyze this
questions, was created an analysis table for the exams previously selected, which have:
the institutional expectancy, task description, the knowledge level desired for the task
solution (Robert), the context (real/artificial), the situation (intra-mathematical or extramathematical) and the knowledge needed from the professional teachers for the task
solution (Shulman). At the end, was realized that Trigonometry had “shown up” among
3% and 8% from the questions of the public contests made to hire teachers, between
those questions, the trigonometry functions are highlighted.
Keywords: Trigonometry, Mathematics public contest questions', official documents,
teachers professional knowledge
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA ........................................................................ 15
1.1. SOBRE A TEMÁTICA ESCOLHIDA: DAS MOTIVAÇÕES PESSOAIS À PROPOSTA DE PESQUISA .......... 15
1.2. OBJETIVO ...................................................................................................................................... 23
1.3. PROBLEMA .................................................................................................................................... 23
1.4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................................................ 23
CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................... 29
2.1. INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETRIA: ... 29
2.1.1 UM ESTUDO SOBRE A TRIGONOMETRIA E A CONTEXTUALIZAÇÃO .................................................. 29
2.2. UM ESTUDO QUE ANALISA UMA PROVA SOB O PONTO DE VISTA DOS SABERES
DOCENTES ....................................................................................................................................... 36
2.3 INVESTIGAÇÕES QUE DISCUTEM O CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE .. 44
2.3.1.SHULMAN......................................................................................................................................... 44
2.3.2. ROBERT ........................................................................................................................................... 51
2.4 FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO SOB A PERSPECTIVA DE
ALINE ROBERT ............................................................................................................................... 51
CAPÍTULO 3 – A TRIGONOMETRIA NAS PROPOSTAS INSTITUCIONAIS NACIONAIS E
NO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO .......................................................................... 58
3.1. OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO (PCNEM,
2000) - LEGISLAÇÃO ....................................................................................................................... 58
3.2 DIRETRIZES CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO - PARECER CEB
N° 15/98 (DCNEM, 1998) ................................................................................................................... 61
3.3
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO (PCNEM, 2000) CONTEÚDO ESPECÍFICO .............................................................................................................. 64
3.4 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS ENSINO MÉDIO + - PCN+ (2002) ............. 67
3.5.
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO (OCEM, 2006)............... 75
3.5.1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................................... 76
3.6 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 2010, E OS CONCURSOS .................................................................................................................. 78
3.6.1 PRIORIDADE PARA COMPETÊNCIAS ................................................................................................ 79
3.6.2. CURRÍCULO DE MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL (CICLO II) E ENSINO MÉDIO .................. 80
3.6.3. A ORGANIZAÇÃO DOS CONTEÚDOS BÁSICOS: NÚMEROS, GEOMETRIA, RELAÇÕES ...................... 81
3.6.4. SOBRE O PROCESSO DE ENSINO DA TRIGONOMETRIA - APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS BÁSICOS
............................................................................................................................................................... 82
3.6.5. CADERNOS DO PROFESSOR E DO ALUNO ....................................................................................... 88
3.6.5.1. SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM ............................................................................................... 114
3.6.5.2. ANÁLISE DO CADERNO DO PROFESSOR .................................................................................... 114
3.6.5.3. CADERNO DO ALUNO ............................................................................................................... 116
3.6.6. - DOS CONCURSOS ...................................................................................................................... 116
3.6.6.1. DAS PROVAS ............................................................................................................................ 116
3.6.6.2. DAS RESOLUÇÕES SE 80 DE 09/06/2009 E SE 52 DE 14/08/2013 ............................................. 117
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DAS QUESTÕES DAS PROVAS E DOS CADERNOS DOS ALUNOS
.......................................................................................................................................................... 119
TAREFA 1 - SIMPLIFICADO 2009 - QUESTÃO 35.......................................................................... 119
TAREFA 2 - SIMPLIFICADO 2009 - QUESTÃO 50.......................................................................... 122
TAREFA 3 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 23 ............................................................................... 124
TAREFA 4 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 24 ............................................................................... 128
TAREFA 5 - MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 35 ............................................................ 130
TAREFA - 6 MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 51 ........................................................... 132
TAREFA 7 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 24.......................................................................... 135
TAREFA 8 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 25.......................................................................... 137
TAREFA 9 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 75.......................................................................... 140
TAREFA 10 - SIMPLIFICADO 2011 - QUESTÃO 38........................................................................ 143
TAREFA 11 - SIMPLIFICADO 2011 - QUESTÃO 56........................................................................ 145
TAREFA 12 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 46 .................................................................................... 147
TAREFA 13 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 53 .................................................................................... 150
TAREFA 14 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 31........................................................................ 153
TAREFA 15 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 34........................................................................ 155
TAREFA 16 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 51........................................................................ 157
TAREFA 17 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 71........................................................................ 159
TAREFA 18 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 77........................................................................ 161
TAREFA 19 - QUESTÃO 06 (CONCURSO PÚBLICO DE INGRESSO, TIPO 1, BRANCA, 2013, P.3).............. 163
TAREFA 20 - QUESTÃO 18 (CONCURSO PÚBLICO DE INGRESSO, TIPO 1, BRANCA, 2013, P.5).............. 166
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 167
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 177
ANEXOS........................................................................................................................................... 180
CADERNO DO PROFESSOR ..................................................................................................................... 180
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.1 ......................................................................................... 180
Anexo 2 - Resolução SE - 80, de 3-11-2009 ...................................................................................... 240
Anexo 3 - Resolução SE - 52, de 14-8-2013 .................................................................................... 264
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 - Publicações por tópico................................................................................................ 19
Figura 2 - Número de trabalhos de Trigonometria publicados por conteúdo - 2010 .................. 20
Figura 3 - Dissertações e Teses (2010) - Publicação da Revista Zetetiké - 2011 - Dados do
trabalho de Hueb (2013a) ............................................................................................................ 22
Figura 4 - Desenvolvimento de competências entre áreas .......................................................... 68
Figura 5 - Representação e comunicação .................................................................................... 69
Figura 6 - Investigação e compreensão ....................................................................................... 70
Figura 7 - Contextualização sociocultural ................................................................................... 71
Figura 8 - Relações, Números e Geometria ................................................................................ 81
Figura 9 - Números, Geometria e Relações ................................................................................ 82
Figura 10 - Conteúdo e habilidades 8° Ano do Ensino Fundamental .......................................... 83
Figura 11 - Conteúdo e habilidades 9° Ano do Ensino Fundamental .......................................... 84
Figura 12 - Conteúdos e habilidades 1 a Série do Ensino Médio ................................................. 85
Figura 13 - Conteúdos e habilidades 2 a Série do Ensino Médio ................................................ 86
Figura 14 - Conteúdos e habilidades 3a Série do Ensino Médio ................................................. 87
Figura 15 - Relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo .............................. 94
Figura 16 - Ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos ................................................ 100
Figura 17 - Polígono x Valor em graus dos ângulos central e interno....................................... 100
Figura 18 - Triângulo qualquer .................................................................................................. 102
Figura 19 - Atividade 2 Caderno do Professor - 4° Bimestre, 1 a série do Ensino Médio .......... 115
Figura 20 - Cordas e senos ........................................................................................................ 125
Figura 21 - Cordas e senos ........................................................................................................ 126
Figura 22 - Padrão geométrico - numérico ............................................................................... 141
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1- Tipo de Conhecimento - Shulman............................................................................... 48
Tabela 2 - Tipo de Conhecimento - Shulman.............................................................................. 49
Tabela 3 - Tipo de Conhecimento - Shulman .............................................................................. 50
Tabela 4 - Questões de trigonometria x concurso realizado .................................................... 169
Tabela 5 - Questões por tipo de conteúdo trigonométrico ...................................................... 170
Tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico .............................. 171
Tabela 7 - Expectativas institucionais ....................................................................................... 172
Tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento.................................................... 174
Tabela 9 - Contexto ................................................................................................................... 175
15
CAPÍTULO 1 - Configuração da Pesquisa
Neste capítulo destacamos minhas motivações pessoais e também as pesquisas cujas
questões estão relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem da
trigonometria, e que motivaram o desenvolvimento de nossa pesquisa. Além disso,
apresentamos estudos relacionados à formação de professores, que forneceram subsídios
para o exame dos dados, assim como nosso objetivo, nossa questão de pesquisa e
também considerações sobre os critérios de análise.
Cabe ressaltar ainda nossa opção por escrever somente parte do próximo subitem na
primeira pessoa do singular por considerar que descreverá experiências que dizem
respeito exclusivamente à pesquisadora. O restante do texto será escrito na primeira
pessoa do plural, por considerar que esse estudo recebeu contribuições de diversos
autores, além dos pressupostos dos teóricos que o apoiam.
1.1. Sobre a Temática Escolhida: das motivações pessoais
à proposta de pesquisa
Esse trabalho reflete uma grande transformação em minha carreira profissional. Meu
pai tinha a expectativa de que eu me tornasse médica, mas tal fato nunca ocorreu. Minha
vocação sempre esteve voltada para o trabalho com números e, por essa razão, ingressei
em um curso técnico de mecânica e, posteriormente, fui contratada como estagiária
técnica mecânica em uma grande empresa. A necessidade de ascensão profissional
determinou a minha formação continuada como engenheira mecânica.
Ao longo do tempo, as mudanças em minha vida se deram de forma natural. Em um
determinado momento, morando sozinha em uma cidade onde as pessoas ainda eram
desconhecidas, enxerguei uma oportunidade: a de lecionar em caráter excepcional1 a
disciplina de Física.
1
Caráter excepcional ocorre quando o professor tem aulas atribuídas, mas não possui habilitação na
disciplina que leciona. Cabe aqui ressaltar que existe uma classificação dos candidatos e, na época do
16
Assim, iniciei uma nova carreira, desta vez, na Educação. A partir daquela ocasião,
percebi que a carreira docente nos transforma e meu desejo foi exercer essa profissão.
Para que meu desejo se realizasse de forma mais completa, em 1998, fiz um curso
de Complementação Pedagógica que me habilitaria como professora de Matemática e,
com isso, poderia participar do processo de atribuição de aulas e, em seguida, ocupar
um cargo nessa área.
A participação em concursos para ingresso na carreira docente em 1998 e 20042 fez
com que eu repensasse tanto a minha formação inicial quanto minhas práticas docentes.
Pela vontade e necessidade de aprender sempre mais na minha área de atuação, realizei
diversos cursos de atualização. Os cursos realizados no Observatório da Educação3, por
exemplo, deram novo significado na minha formação docente. Um maior contato com o
referencial acadêmico abriu meus horizontes e ficou claro que muitas outras
transformações são possíveis.
Em 2012, me candidatei a uma vaga para o Curso de Mestrado em Educação
Matemática. Este trabalho é fruto do desenvolvimento inerente a novos conhecimentos
conquistados durante esse processo de formação continuada.
A linha de pesquisa adotada foi a Formação de Professores que ensinam
Matemática, visto que minha formação inicial não teve ênfase no aspecto pedagógico do
ensino de alguns conteúdos matemáticos e, por conseguinte, trouxe implicações na
prática docente. Sendo assim, acreditei que essa abordagem contribuiria para o meu
desenvolvimento profissional, corrigindo, desse modo, tal defasagem.
A dificuldade em ler e escrever se fez presente desde os primeiros dias de aula do
Mestrado. Parecia-me claro que por não errar na escrita, acentuação e pontuação, eu
meu ingresso, os bacharéis só poderiam ocupar tal função quando esgotadas todas as possibilidades de
atribuição de aulas para um professor habilitado.
2
Em 1998 fui aprovada, mas não pude me efetivar, pois não possuía o diploma no ato da inscrição. Em
2004, me efetivei no cargo de Professora de Matemática PEB II.
3
Parceria UNIAN e Diretoria de Ensino Região Norte 2, com financiamento da CAPES.
17
possuía uma boa formação leitora e escritora. Durante o período de estudos, entendi que
para escrever bem, é necessário ir além.
Um bom escritor é aquele que se faz entender pelo seu público e tenho muito a
aprender nesse quesito. Por todos esses problemas enfrentados, percebi o que motivou
autores dos Currículos tanto Estadual quanto Federal ao enfatizar as Competências
Leitora e Escritora de nossos alunos, sem contar com a preocupação da contextualização
das atividades propostas pelos professores.
A leitura dos documentos oficiais foi uma fase importante deste estudo, pois foi
marcada por descobertas que iam além da minha imaginação. Por outro lado, também
foi um passo decisivo no entendimento de quanto é importante o comprometimento dos
professores, de todas as disciplinas, em relação às Competências Leitora - Escritora de
nossos alunos.
A necessidade de saber o que outros autores escreveram foi de grande importância
para esta pesquisa, pois tal leitura me auxiliou na reflexão de como o ensino direcionado
ao desenvolvimento de tais competências pode ser empregado para que os alunos
possam ter maior envolvimento com o conteúdo, levando-se em consideração o
conhecimento prévio. Para esse mote, uso como referência A Construção do
Conhecimento entre o Abstrair e o Contextualizar: o caso do ensino da Matemática
(SPINELLI, 2011).
Durante a leitura de Spinelli (2011), pude verificar o estudo da Trigonometria na
solução de situações-problema contextualizadas que foi de fundamental importância na
decisão de abordar esse conteúdo matemático na análise de provas de concursos de
ingresso4, de processo simplificado5 e de promoção de docentes6. O documento citado
4
Ingresso: Concurso necessário para o provimento de cargos de professores de Matemática.
5
Processo Simplificado: É o concurso aplicado aos professores não efetivos da Rede Pública do Estado
de São Paulo. É realizado anualmente pelo Poder Público Paulista, no intuito de classificar os docentes
para a próxima atribuição de aulas.
6
Promoção de Docentes: Concurso realizado no âmbito da meritocracia, em que os docentes que
obtiverem a pontuação necessária para promoção recebem um acréscimo de aproximadamente 10% em
seus vencimentos atuais.
18
(SPINELLI, 2011) será discutido posteriormente no Capítulo 2: Revisão Bibliográfica e
Fundamentação Teórica.
Também busquei pesquisas realizadas sobre essa temática para que eu pudesse
entender as dificuldades encontradas pelo professor no processo ensino-aprendizagem
da matemática, particularmente da Trigonometria. O artigo: Saberes Docentes em
Matemática: uma análise da prova do concurso paulista de 2003 de Nacarato et al
(2005), me auxiliou na compreensão e reflexão sobre os saberes docentes. Os autores do
documento avaliaram as questões do concurso de ingresso de professores de
Matemática em 2003 à luz do edital de abertura do concurso e das orientações
curriculares vigentes. Enfatizaram a difícil posição em que se encontra o professor que,
por um lado, pode ser o autor de sua aula e, por outro, deve seguir regras explícitas e
implícitas encontradas nos documentos oficiais. (Nacarato et al, 2005) Esse estudo
também será abordado posteriormente no Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica e
Fundamentação Teórica.
Logo, houve a preocupação de abordar as linhas teóricas existentes sobre Educação
Matemática. Em investigações iniciais, a revista Zetetiké foi fonte de informações das
publicações de dissertações e teses. Essa pesquisa buscou trabalhos publicados no
período de 1998 – 2010 e foram encontradas 2.563 publicações. Na impossibilidade de
analisar a totalidade dos trabalhos, foi efetuado um recorte das dissertações e teses
publicadas no ano de 2010, totalizando 463 trabalhos analisados.
A pesquisa teve alguns enfoques: identificar as publicações relativas à formação de
professores e ao conteúdo específico de Trigonometria, a fim de que um número maior
de dados fosse coletado, enriquecendo a revisão bibliográfica.
O questionamento que se lança é: há muitas publicações sobre Trigonometria?
19
Publicações por tópico
60
30,00%
50
25,00%
24,58%
Número de publicações
40
30
20,00%
19,49%
15,25%
58
15,00%
46
20
10,00%
9,75%
36
6,78%
23
10
5,51%
16
5,00%
4,24%
13
3,81%
10
3,39%
2,97%
2,54%
9
8
7
6
TRIGONOMETRIA
RAZÃO,
PROPORÇÃO E
GRANDEZAS
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
3 1,27%
0
GEOMETRIA
EQUAÇÕES,
FUNÇÕES,
GRÁFICOS E
CONJUNTOS
NÚMEROS
PROBABILIDADE E
ESTATÍSTICA
CÁLCULO
ÁLGEBRA
RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
MATRIZES
1
0,42%
CÁLCULO MENTAL
0,00%
Conteúdos
Série1
Série2
Figura 1 - Publicações por tópico
FONTE: (HUEB, 2013a, p.8)
20
Percebe-se que a Trigonometria ainda é um conteúdo pouco estudado: apenas nove trabalhos publicados no ano de 2010, o que equivale a
3,81% do total das publicações nesse ano. Desse modo, vale o seguinte questionamento: quais são os tópicos da Trigonometria mais estudados?
O gráfico a seguir detalha as abordagens desses estudos:
Número de trabalhos de Trigonomentria publicados por conteúdo - 2010
5
40,00%
4,5
33,33%
4
30,00%
Número de publicações
3,5
3
22,22%
2,5
20,00%
2
1,5
3
1
11,11%
11,11%
11,11%
11,11%
10,00%
2
0,5
1
1
1
1
FENÔMENOS PERIÓDICOS
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
PRÁTICA DOCENTE
0
0,00%
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
CICLO E RAZÃO TRIGONOMÉTRICA
HISTÓRIA DE LIVRO
Conteúdos
Série1
Série2
Figura 2 - Número de trabalhos de Trigonometria publicados por conteúdo - 2010
FONTE: (HUEB, 2013b, p.9)
21
Pode-se verificar que as Funções Trigonométricas, Ciclo e Razão Trigonométrica
são os tópicos da Trigonometria mais estudados (mais de 55% da totalidade dos
trabalhos publicados). Refletindo sobre o que essas primeiras informações indicam,
outra questão preliminar se faz presente: é possível que os tópicos mais relevantes da
Trigonometria estejam sendo deixados de lado, levando-se em consideração uma escala
de prioridades indicadas pelas Orientações Curriculares?
A partir dessa indagação e visando ao entendimento desse tópico, buscou-se
identificar quais as abordagens mínimas necessárias relativas ao tema, e, nesse sentido,
as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) mencionam que: “é preciso dar
prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem
trabalhados.” (BRASIL, 2006, p. 71).
Constatou-se, em dados publicados na revista Zetetiké, que a formação docente é
uma linha de pesquisa bastante abordada em trabalhos publicados no ano de 2010,
alcançando 23,95% do total dos trabalhos catalogados pela citada revista.
22
PARETO - DISSERTAÇÕES E TESES REVISTA ZETETIQUE
1200
100,00%
99,14%
96,62%
1108
90,95%
100,00%
90,00%
1000
80,00%
76,71%
70,00%
800
60,00%
600
52,76%
52,76%
ESTUDOS
%
% ACUM
50,00%
503
40,00%
400
30,00%
299
23,95%
20,00%
200
14,24%
119
10,00%
5,67%
53
2,52%
0
ENSINO APRENDIZAGEM
FORMAÇÃO
HISTÓRIA
TIC
CURRÍCULO
18
0,86%
OUTROS
Figura 3 - Dissertações e Teses (2010) - Publicação da Revista Zetetiké - 2011 - Dados do trabalho de Hueb (2013a)
FONTE: (HUEB, 2013a, p.7)
0,00%
23
Em uma primeira análise de dados, algumas questões preliminares ajudaram a definir o
objeto deste estudo: existem dificuldades no ensino e na aprendizagem de Trigonometria?
Existem pesquisas que as relatam? Caso as pesquisas existam, como os PCN e as
Orientações Curriculares contribuem para a melhoria da qualidade do ensino de
Trigonometria? As avaliações institucionais refletem os conteúdos que “devem” ser
apresentados aos alunos?
Nesse sentido, não cabe, nessa pesquisa, responder a todos esses questionamentos, visto
que não há tempo hábil para análise detalhada desses pontos.
1.2. Objetivo
Investigar os conhecimentos necessários ao professor da Rede Pública do Estado de São
Paulo para ensinar Trigonometria na Educação Básica, com base nas questões propostas em
concursos públicos da Secretaria Estadual da Educação e nas orientações curriculares para
o desenvolvimento desse conteúdo.
1.3. Problema
Quais são os conhecimentos necessários ao professor de Matemática da Rede Pública
Estadual para ensinar noções relativas à Trigonometria na Educação Básica, na perspectiva
do Currículo Oficial e dos concursos públicos destinados à seleção de profissionais para
atuar na área?
1.4. Procedimentos Metodológicos
Essa é uma pesquisa bibliográfica e documental que busca identificar orientações
constantes em documentos oficiais para o ensino da trigonometria e as habilidades exigidas
24
aos professores que participam de concursos para ingresso, por meio do processo
simplificado e para a promoção profissional na rede pública estadual.
Esta pesquisa foi constituída da na busca de material que embasasse as análises dos
critérios utilizados para a seleção das diferentes questões das provas de concursos para
professores de Matemática no Estado de São Paulo, no que tange ao uso das orientações
constantes nos documentos oficiais e editais dos próprios concursos, aos resultados de
pesquisas mais recentes da área, aos níveis de conhecimento esperados conforme Robert
(1998) e às categorias de conhecimentos necessários ao professor indicadas por Shulman
(1987).
No início deste estudo, houve o levantamento das provas de concurso público para
professores de Matemática desde 1998. No entanto, não foi possível conseguir todas as
avaliações, já que uma das empresas responsáveis não disponibilizou tais provas na
internet. Desse modo, as avaliações analisadas foram: Ingresso/1998, Ingresso/2003,
Ingresso/2007,
Processo
simplificado/2009,
Ingresso/2010,
Formação/2010,
Promoção/2010, Processo simplificado/2011/2012, Promoção/2012, totalizando - 475
questões de vários conteúdos matemáticos.
Cabe ressaltar que as provas foram elaboradas por instituições diversas e com
finalidades distintas, variando, dessa forma, o número de questões de conteúdo matemático.
Em uma análise prévia, percebe-se que as provas dos diversos Concursos não possuíam
as mesmas diretrizes. Outro dado que deve ser levado em conta é que o novo Currículo do
Estado de São Paulo foi implementado no ano de 2008. Por essa razão, decidiu-se por
analisar as provas de Concursos de Professores de Matemática a partir desse ano.
Em um primeiro momento, verificou-se que existiam 20 questões sobre Trigonometria
que serão amplamente analisadas nesse trabalho.
25
Após a resolução de todas as questões, houve a pré-classificação destas, e a criação de
uma grade de análise que procurou contemplar os seguintes aspectos: expectativas
institucionais; descrição da tarefa; nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa;
categoria de conhecimento profissional docente e tipo de contexto, que serão descritos a
seguir:
Expectativas Institucionais: Nesse estudo, a análise das expectativas institucionais referese à identificação da coerência entre o que é proposto para ser trabalhado com os estudantes
nos currículos oficiais, ou seja, o estudo da prática docente sobre as noções em jogo e o que
é avaliado nas provas oficiais da profissão. Nesse sentido, é importante verificar se a prática
do professor é levada em conta quando as provas oficiais são elaboradas;
Descrição da tarefa: consiste na identificação e descrição das noções em jogo na questão;
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: Consiste em classificar a
tarefa segundo o nível de conhecimento esperado descrito por Robert (1998);
Tipo de Contexto: Corresponde à análise do tipo de contexto: real ou artificial. Tais
contextos podem ser apresentados em situações extramatemáticas ou intramatemáticas
(Real para uma situação extramatemática; Real para uma situação intramatemática;
Artificial para uma
situação extramatemática
e
Artificial para
uma situação
intramatemática);
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(Shulman): Consiste em classificar a tarefa segundo as categorias de conhecimentos
necessários ao professor, estabelecidas por Shulman (1987).
Para exemplificar cada um dos itens da nossa grade de análise, utilizamos, como
exemplo, a Questão 18, do Concurso de Ingresso, 2013, a seguir:
26
Questão 18 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1, branca, 2013, p.5)
A figura a seguir mostra o perfil de um muro de uma represa. A primeira parte da rampa
tem inclinação de 20° com a horizontal e a segunda parte tem inclinação de 50°.
Considerando, sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94, o valor aproximado da altura total do muro
(h) é de:
(A) 9,4 m
(B) 10,2 m
(C) 11,1 m
(D) 12,3 m
(E) 13,0 m
Grade de Análise
Expectativas Institucionais:
Ao analisar o enunciado da questão, constata-se que essa questão pode se distanciar das
orientações do documento oficial federal, conforme texto abaixo, caso a intenção tenha sido
o uso da fórmula da adição dos arcos trigonométricos:
Alguns tópicos usualmente presentes no estudo da trigonometria podem ser
dispensados, como, por exemplo, as outras três razões trigonométricas, as
fórmulas para sen (a + b) e cos (a + b), que tanto exigem dos alunos para serem
memorizadas. (BRASIL, 2006, p. 74)
É interessante notar que esse documento mostra que o professor pode dispensar o
conteúdo aos alunos, pois é imprescindível a memorização de fórmulas. Nas orientações
contidas no Currículo do Estado de São Paulo (2010) nota-se que, apesar de não
disponibilizar nenhuma atividade, especificamente, sobre a soma e/ou subtração dos arcos
27
trigonométricos, esta temática (soma) é indicada7 como conteúdo do 1° bimestre 2° ano do
Ensino Médio como observa-se nas indicações a seguir:
Dessa forma, é necessário dedicar períodos de aula para a apresentação do cálculo
de senos e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica a cargo do professor
definir a escala que julgar adequada à condução dessa atividade. (SÃO PAULO,
2009e, p.11)
Assim, para o Estado de São Paulo o estudo do cálculo de senos e/ou cossenos da soma
e/ou subtração dos arcos é um conteúdo que se supõe ser trabalhado pelos professores do
Ensino Médio. Logo, é conhecimento necessário ao professor de Matemática.
Descrição da tarefa:
A tarefa pode ser resolvida por meio de dois métodos: o primeiro consiste em
determinar a altura correspondente ao intervalo em que a rampa está inclinada de 20º, o que
requer apenas a aplicação da noção de seno do ângulo dado. Em seguida, utilizando a
fórmula do seno da soma de arcos, determina-se seno e cosseno de 50º, com a altura da
rampa associada à inclinação de 50º. Para determinar a altura h, basta somar os resultados
encontrados anteriormente; o segundo, por outro lado, corresponde à determinação da
altura da rampa com inclinação de 20º, assim como no método anterior, com a aproximação
por meio do seno dos arcos notáveis, a saber, seno de 45º e 60º.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (ROBERT, 1998):
Mobilizável - Nessa questão, o candidato encontra na figura dada dois ângulos não
notáveis: 20° e 50°. Enquanto o seno e cosseno de 20° são informados no enunciado da
questão, o valor numérico do seno de 50° precisa ser encontrado. O professor precisará
buscar uma fórmula que possa ser aplicada para encontrar o seno de 50°, de forma que
quando utilizar as relações trigonométricas no triângulo retângulo possa encontrar a altura
7
Utiliza-se a palavra indicada aqui, uma vez que os autores do Currículo Oficial consideram “fundamental
que a opção do professor seja apresentar o que for possível dos conteúdos de cada um dos bimestres, mas
que todos eles sejam tratados, mesmo que de uma maneira incipiente” (SÃO PAULO, 2009, p. 52, grifos
nossos). Nesse sentido, considera-se que há indicações para que se trabalhe tal conteúdo.
28
do triângulo relativa ao intervalo em que a rampa é inclinada segundo o ângulo de 50°.
Após encontrar as duas alturas, ele deverá proceder à soma de ambas.
Observa-se que se na tarefa dada a figura não estiver presente, o nível de conhecimento
passaria a ser o disponível, pois, o professor teria que buscar situações de referência dentro
do universo do seu conhecimento matemático.
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(SHULMAN, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Para resolver essa questão, o candidato precisa reconhecer a possibilidade de destacar
dois triângulos retângulos na figura dada. A partir dessa informação, são necessários, para
a resolução do problema, os conhecimentos específicos sobre: relações métricas e
trigonométricas no triângulo retângulo, valores numéricos do seno, cosseno e tangente dos
ângulos notáveis, seno da soma de dois arcos.
Nessa questão, é importante ressaltar a importância do conhecimento pedagógico do
conteúdo, pois o candidato pode resolver a questão proposta no concurso, lançando mão de
aproximações dos senos de 45° e 60°. A questão proposta propicia ao aluno uma outra
estratégia para que o conteúdo envolvido seja abordado As OCEM indicam que tanto as:
Sugestões quanto à forma de trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento
sempre que possível, destacando-se o valor formativo agregado e descartando-se
as exigências de memorização, as apresentações de "regras" desprovidas de
explicações, a resolução de exercícios repetitivos de "fixação" ou a aplicação
direta de fórmulas. (BRASIL, 2006, p. 70)
29
CAPÍTULO 2 - Revisão Bibliográfica e Fundamentação Teórica
Este capítulo tem como objetivo apresentar resultados de investigações realizadas que,
de alguma forma, estão relacionadas à temática desse estudo.
Nesse momento, os estudos que fundamentaram a análise e discussão dos resultados do
objeto de estudo escolhido serão apresentados.
2.1. Investigações sobre o ensino e a aprendizagem de
trigonometria:
Apresentaremos a seguir estudos que tratam do tema trigonometria.
2.1.1 Um estudo sobre a trigonometria e a contextualização
Spinelli (2011), em sua tese de doutorado "A Construção do Conhecimento Entre o
Abstrair e o Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática" relatou preocupações
surgidas no decorrer do exercício de sua profissão, em sala de aula, como, por exemplo: são
asseguradas aos alunos interpretações suficientemente abrangentes para a construção dos
conhecimentos matemáticos?
O autor também se preocupou em compreender as causas geradoras da falta de
motivação dos alunos pela aprendizagem matemática, desde as condições precárias de
espaços escolares até a carência de formação acadêmica dos professores. Na busca por
respostas aos questionamentos, o investigador percebeu a ausência de planejamentos
pedagógicos que aproximassem significados em construção daqueles já consolidados.
30
Para o autor, existe a necessidade da contextualização do ensino da Matemática, e a
partir dessa necessidade Spinelli decidiu a questão norteadora da pesquisa: "O que significa
contextualizar o ensino, de modo geral, nas diversas etapas de educação e, mais
especificamente, o que significa contextualizar o ensino da Matemática?" (SPINELLI,
2011, p.12)
Para discutir a temática, o autor fundamentou-se em estudos que discutem conceitos
como abstração, conhecimento teórico e contexto. Analisando os dois primeiros conceitos,
Spinelli decidiu investigar como se dá a compreensão dos conceitos e, para isso, baseou-se
na rede de significados discutidos nos estudos de Machado (2002). Abordou ainda um
segundo aspecto: a análise do que Henri Lefebvre denominou de "movimentos do pensar",
que conforme o autor é a relação dialética entre o abstrair e o pensar.
Para analisar a polissemia do contexto, o autor introduz o assunto referente à
necessidade de contextualização do ensino, fazendo menção ao fato de muitos atribuírem à
ausência de contextualização a responsabilidade pelas deficiências na aprendizagem.
O autor faz uma citação do documento Orientações Curriculares para o Ensino Médio Ciências da Natureza e suas Tecnologias para ilustrar o que ele chama de “maneira
ingênua” de interpretar o termo contextualização, dizendo que:
É na dinâmica de Contextualização/descontextualização que o aluno constrói
conhecimentos com significado, nisso se identificando com as situações que lhe
são apresentadas, seja em seu contexto escolar, seja no exercício de sua plena
cidadania. A contextualização não pode ser feita de maneira ingênua [...]. Em
outras palavras, a contextualização aparece não como uma forma de "ilustrar" o
enunciado de um problema, mas como uma maneira de dar sentido ao
conhecimento matemático na escola. (BRASIL, 2006, p.83 apud SPINELLI,
2011, p.30).
31
Em seguida, o autor destaca competências8 e habilidades9 associadas ao Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM), além de uma lista de "objetos do conhecimento" que
embasam a elaboração das questões, e comenta:
Contrariamente à proposta inicial, o ENEM acabou contribuindo para a
banalização da ideia de contextualização. Por vários motivos - ranqueamento,
contagem de pontos para vestibulares, prestígio etc. - o ENEM adquiriu
importância maior junto às escolas de Ensino Médio, que passaram a direcionar
seus cursos como preparação para o ENEM, sem perceberem que as questões que
compunham originalmente esse exame eram desenvolvidas sobre contextos
próximos da realidade do estudante do Ensino Médio, embora não exigissem,
explicitamente, o conhecimento de conteúdos específicos das disciplinas.”
(SPINELLI, 2011, p.34)
Em seu texto, Spinelli (2011) utiliza como exemplo uma questão do ENEM de 2009,
comentando que a questão apresenta dados e informações irrelevantes para a resolução do
problema, questionando se os longos textos utilizados que compuseram os enunciados
podem ser considerados elementos de contextualização de situações-problema e finaliza:
"O fato de a média de Matemática dos avaliados em 2009 ter sido a menor
dentre todas as disciplinas é, sem dúvida, indício da deficiência de nosso
processo de ensino-aprendizagem em Matemática, mas pode ser também
reflexo do modelo de questão escolhido para a constituição do exame."
(SPINELLI, 2011, p.36).
Ao abordar as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, o autor considera
como elementos contextuais relevantes, o trabalho e a cidadania. No entanto, ele chama a
atenção para o fato de que não se deve condicionar os conteúdos desenvolvidos no ensino
para fins imediatistas e profissionalizantes. Spinelli (2011) chama a atenção ainda para a
necessidade de se contextualizar, observando, no entanto, que "é preciso conter o exagero”.
(SPINELLI, 2011, p.45)
8
As competências do ENEM citadas por Spinelli são: Capacidade de expressão em diferentes linguagens,
capacidade de compreensão de fenômenos, capacidade de enfrentar situações-problema em diferentes
contextos, capacidade de construir argumentações consistentes, capacidade de elaborar propostas de
intervenção solidária na realidade.
9
Spinelli apenas indica que são utilizadas 21 habilidades, que estão associadas a uma ou mais competências
anteriormente citadas.
32
Destacando o papel que tem a constituição de contextos de ensino, na prática docente,
Spinelli afirma que:
[...] a perspectiva de que a constituição de contextos de ensino, compostos por
elementos estimuladores de relações entre significados conceituais, é uma das
condições principais para a tarefa docente. Tal ação, própria do âmbito das
disciplinas de cada área do conhecimento e, para além disso, a ser perseguida em
âmbitos que extrapolam as barreiras disciplinares, permite a constituição dos
mapas de relevância nos quais são destacados os conteúdos, os significados e os
percursos que relacionam uns e outros de modo a propiciar o aprendizado.
(SPINELLI, 2011, p.54-55)
Em seguida, o autor esquematiza as competências discentes e docentes. O autor destaca
as competências esperadas do professor, agrupadas em três eixos, à luz de Machado (2009),
que são: Autoridade - Tolerância, Tecedura - Mapeamento, Fabulação - Mediação.
Spinelli (2011) analisa os eixos citados em parágrafo anterior e ainda os relaciona com
a contextualização. Para o autor, a autoridade do professor pode ser observada quando ele
contextualiza seu trabalho e conduz os alunos por percursos estabelecidos, cabendo a esse
professor estimular ou refrear os discentes, sempre por meio da argumentação, de forma
que sejam evitadas práticas autoritárias.
Para o autor, o eixo Tecedura – Mapeamento também se relaciona com o contexto.
Define, inicialmente, contexto como um: "(...) conjunto de circunstâncias e detalhes que
acompanham um fato e contribuem para aclará-lo". A partir desta definição, o autor
conjectura que:
Para a” constituição de um contexto, precisamos considerar as características que
seus elementos possuem quando observados para além do contexto, ou seja,
precisamos compreender, da maneira mais ampla possível, as relações de
significado que se estabelecem entre os objetos a fim de selecionar aquelas que,
particularmente, interessam ao conjunto de relações que caracterizam o contexto
adotado. Quer dizer, precisamos observar e compreender o todo para que seja
possível selecionar uma parte que traduza significância aos objetos constituintes.
Tais ações podem ser traduzidas nas duas competências apontadas anteriormente,
ou seja, mapear e tecer. (SPINELLI, 2011, p. 60)
Para o terceiro eixo mediar - fabular, Spinelli (2011) indica a necessidade da
argumentação do professor para mobilizar os alunos na construção de conhecimento. Ao
33
professor também cabe construir narrativas, que estabelecem as ligações entre os
significados conceituais. O autor exemplifica narrativas relativas à trigonometria, em
características como: inclinação do telhado, tipo de telha, tipo de clima etc., comentando
que:
A importância do desenvolvimento de conteúdos com base em contextos com as
características apontadas não pode, todavia, obscurecer a necessidade de
rompimento das amarras do contexto, sob perigo de que significados dos objetos
de estudo possam ser construídos em função apenas de condições específicas, e
não possam ser extrapoladas para além da construção empírica determinada,
muitas vezes, pelas características do contexto adotado. (SPINELLI, 2011, p.67)
Spinelli (2011) aponta a Trigonometria como contexto de ensino voltado para
aplicações cotidianas e, dessa forma, acredita-se que o estudo desenvolvido pelo autor
sobre a contextualização foi de fundamental importância para o trabalho, uma vez que essa
temática é bastante valorizada e ajudou na análise de documentos oficiais como,
Parâmetros Curriculares Nacionais Para o Ensino Médio (2000), Currículo do Estado de
São Paulo (2010) e editais e questões de concursos públicos.
O autor relaciona a Trigonometria com outras áreas do conhecimento, especialmente a
Física com o estudo dos movimentos periódicos. Esse estudo chama a atenção também para
as relações que a Trigonometria mantém com outros conteúdos da própria Matemática,
como, por exemplo, os números complexos, História da Matemática. Além disso, o autor
utiliza as narrativas para desenvolver o conteúdo de Trigonometria e apresenta três
problemas:
– No primeiro problema, Spinelli (2011) associa funções trigonométricas como seno e
cosseno a ações cotidianas como as de ligar e desligar aparelhos de controle remoto e
procura problematizar as situações, a fim de que os alunos reflitam sobre o tema;
-- Spinelli (2011) apresenta, em seguida, uma situação na qual propõe a utilização de
softwares para desenhar gráficos. Nesse caso, o autor compara as funções dadas a uma
onda. É solicitado ao aluno que escreva o valor do comprimento da onda, da amplitude e da
frequência, nas unidades dadas;
34
– No terceiro problema, o autor solicita que o aluno represente a amplitude de uma onda em
um gráfico cartesiano, sendo dadas a frequência e a amplitude da onda.
Em seguida, Spinelli (2011) descreve e justifica suas escolhas:
No caso do exemplo da apresentação das funções trigonométricas, com base em
contexto voltado para aplicações cotidianas, nosso mapeamento identificou a
relevância dos significados de frequência de uma onda e da representação dessa
onda por intermédio de um gráfico cartesiano. Elaboramos, então, um percurso
que partiu da constatação da presença dos sinais eletromagnéticos à nossa volta,
seguiu para a identificação dos conceitos importantes para a compreensão da
fenomenologia associada, finalizando com a associação entre tais conceitos e a
representação cartesiana de uma função matemática. (SPINELLI, 2011, p.89)
O autor ainda abordou os "Contextos Interdisciplinares para o Ensino de Matemática"
(SPINELLI, 2011, p.90), e utilizou o fenômeno das marés para contextualizar o ensino.
Para o investigador, a contextualização da trigonometria, por meio da análise do
fenômeno das marés, pode ser utilizada, visto que tal fenômeno favorece a modelagem com
o uso das funções periódicas seno e cosseno, do modelo da circunferência trigonométrica e
das funções trigonométricas de modo geral.
Esse mesmo autor identifica as informações, os conhecimentos e as relações que
precisam ser consideradas na situação, como por exemplo, conhecimentos ligados à
mecânica clássica, ao uso do solo. Analisando a linha do pesquisador, observa-se que foi
utilizado o mapeamento com informações necessárias que possibilitariam transformar essas
mesmas informações em conhecimento e, observando as interações, mostradas nesse
estudo, nota-se que é possível trabalhar a interdisciplinaridade do fenômeno das marés nas
disciplinas de Matemática, Física, Geografia, além da Biologia e Química.
Para exemplificar tal afirmação, seguem algumas das atividades referentes ao fenômeno
das marés propostas pelo autor:
35
Atividade 1 - A periodicidade é representada por meio da evolução do comprimento da
sombra de uma estaca com o passar das estações do ano, de forma a permitir observar a
periodicidade do movimento da Terra ao redor do Sol. (SPINELLI, 2011, p.93);
Atividade 2 - Para construir o gráfico das marés, é necessário buscar dados em um site
previamente indicado, transferi-los para uma planilha Excel, desenhar o gráfico da
evolução das alturas das marés e, finalmente, realizar os ajustes necessários para que o
gráfico possa ser modelado por uma determinada equação.
Outro contexto analisado pelo autor foi o da História da Matemática que foi
exemplificado com uma proposta de atividade, na qual utiliza os Números Reais, cujo
desenvolvimento favorece a Intradisciplinaridade10 e a Transdiciplinaridade11 no Ensino da
Matemática. Podem-se indicar alguns exemplos relacionados pelo autor: as Matrizes e os
Números Complexos. No caso do conjunto dos Números Complexos, esse foi
contextualizado, utilizando outros blocos de conteúdos matemáticos, como, por exemplo, a
Trigonometria, a Geometria e as Matrizes.
Como conclusão, o autor observa que os documentos oficiais analisados por ele
orientam os currículos para a contextualização dos universos do trabalho, da cidadania, da
cultura, da tecnologia e da ciência. Além disso, o planejamento pedagógico e a abordagem
dos conteúdos de forma contextualizada também foram mencionados e comentados:
Na experiência cotidiana de professores é comum que os alunos contestem
questões componentes de avaliações individuais com argumentos do tipo "nas
aulas é feita uma coisa e na prova é cobrada outra". Nos casos em que tal
questionamento é pertinente, podemos inferir a responsabilidade à forma como as
situações de aprendizagem foram cumpridas no período antecedente à avaliação.
O provável desvio, nesse caso, se caracteriza pela condução dos conteúdos,
durante as aulas, por percurso sobre contexto único, justapondo-se à cobrança na
10
11
Intradisciplinaridade: São as conexões possíveis e/ou necessárias entre os diversos temas da Matemática.
Transdiciplinaridade: É o nível de interação entre as disciplinas de maior complexidade conforme Japiassú
(1976). Na transdiciplinaridade ocorre cooperação e diálogo entre os conhecimentos disciplinares (nível
inferior - interdisciplinaridade) e um "pensamento organizador que ultrapassa as próprias disciplinas."
(JAPIASSU, 1976, p.75)
36
avaliação de resolução de questão elaborada em um contexto diferente, sem que o
professor tenha estimulado seus alunos a extrapolarem, anteriormente, as
fronteiras do contexto anteriormente adotado. (SPINELLI, 2011, p. 126)
O contexto interdisciplinar, com base no fenômeno das marés, também é evidenciado
nas relações entre Matemática, Física, em outros componentes curriculares e nas sequências
de funções trigonométricas por ele previstas.
A importância do contexto interdisciplinar discutida nessa tese foi de fundamental
importância para análise das propostas apresentadas nos materiais de apoio do Currículo
Oficial do Estado de São Paulo uma vez que algumas das propostas indicadas pelo autor,
em sua tese, são apresentadas como sugestão aos professores que lecionam matemática para
o Ensino Médio nas escolas públicas paulistas.
2.2. Um estudo que analisa uma prova sob o ponto de vista dos
saberes docentes
O artigo Saberes Docentes em Matemática: Uma Análise da Prova do Concurso
Paulista de 2003, Nacarato et al (2005) chama a atenção para o fato de que a literatura
recente sobre formação de professores evidencia que o saber docente nem sempre é
considerado na implementação de políticas públicas. Nesse estudo os autores buscam
analisar as provas de matemática do concurso para professor de Educação Básica-PEB II,
realizado no Estado de São Paulo em 2003, para discutir as contradições entre as
concepções de professores possuidores de saberes docentes e professores competentes.
Nacarato et al (2005) iniciam seus estudos a partir de resultados de dados, por exemplo,
de Marcelo Garcia (1998) sobre o Paradigma do Pensamento do Professor. Afirmam que
A formação de professores tem demonstrado que o professor é um profissional
que tem seus próprios saberes e produz novos, sendo capaz de (re) significar,
mediante práticas reflexivas e investigativas, sua própria atividade docente e
suas teorias práticas. (NACARATO et al, 2005, p.61)
37
Para os autores, o professor transforma o seu trabalho coletivo pedagógico em um
processo de formação continuada, destacando-se: a prática reflexiva, desenvolvimento
profissional, saberes docentes, trabalhos colaborativos e coletivos. Os construtos citados:
"[...] trazem - alguns explicitamente e outros implicitamente - a ruptura com o modelo da
racionalidade técnica, no qual o professor é considerado apenas um reprodutor de teorias
elaboradas por especialistas". (NACARATO et al, 2005, p.61)
O artigo indica que o Banco Mundial vem definindo prioridades, estratégias e
conteúdos que são adotados nas reformas educativas em diversos países. Essa política
sedutora de governantes e acadêmicos, segundo os autores, é evidenciada em algumas
ações: avaliações da Educação Básica, avaliação do Ensino Superior, currículo nacional,
avaliação do livro didático, diretrizes curriculares para a formação de professores,
certificação de competência docente, dentre outros.
Em seguida, os autores apresentam um estudo realizado pelo grupo, que dizia respeito
aos saberes docentes. Foram investigadas 18 dissertações e teses defendidas no período de
1998 - julho/2003. As pesquisas analisadas indicaram uma convergência para três
dimensões não excludentes: a dimensão subjetiva - o "saber ser"; a dimensão do
conhecimento acadêmico (conhecimento matemático e das ciências da educação) - "o
saber"; e a dimensão da prática - "o saber fazer". Para os autores, o processo de formação
de professores não deve ser centrado na transmissão de conteúdos específicos.
Com relação às políticas públicas, segundo os autores, essas não levam em
consideração as contribuições advindas das pesquisas, ou, quando as consideram, são
adaptadas a um modelo avaliativo alinhado às exigências externas.
Adair Mendes Nacarato et al (2005) consideram que o discurso oficial vem substituindo
o constructo saberes docentes pelo conceito de "competência", e essas são utilizadas nos
contextos curriculares e avaliativos de atuação profissional.
38
Antes de analisar as provas, os autores apresentam uma breve discussão do que vem a
ser o Conceito de Competência na Formação do Professor. Apresentam o contexto de
renovação curricular da França (1988-1990) em que o termo Competência foi criado e
difundido em outros países. No Brasil, chamam a atenção para “a forma avassaladora, sem
nenhuma discussão prévia e sem diretrizes, para os professores, dos significados com que
os mesmos passariam a ser utilizados” (Nacarato et al, 2005, p.63).
Em relação aos professores, os autores indicam que o termo passa a ser um componente
do trabalho docente uma vez que:
[...] tem-se exigido a organização de seus projetos e planejamentos na forma de
competências e habilidades, como se esses conceitos fossem claros o suficiente
para nortear a ação pedagógica. No entanto, o professor sente-se coagido a
cumprir as orientações nesse sentido, visto que o controle do trabalho docente
vem sendo realizado na forma de avaliações externas em larga escala.
(NACARATO et al, 2005, p.63)
Os autores fazem críticas também em relação à forma como eles vêm observando a
formação continuada. Consideram que, na maioria das vezes, ela é assumida
financeiramente pelo próprio professor e, dessa forma, as discussões sobre os saberes que
os professores detêm e/ou constroem, não tem ocorrido como seria necessário.
Adair Mendes Nacarato et al afirmam que as políticas públicas com centralidade no
professor utilizam-se de mecanismos de controle e as competências passam a realizar esse
papel sobre suas atividades docentes. (2005, p. 64).
Os autores discutem a forma como o termo competência é utilizado pelos poderes
públicos. Afirmam que as políticas educacionais impostas pelo estado utilizam-se dos
estudos de Perrenoud (2000) para (re)significá-las:
[...] Não estaria havendo aí um deslocamento do problema atribuindo a esse
renomado sociólogo a responsabilidade que deveria ser atribuída à forma como o
poder central se apropria dos constructos acadêmicos e os (re)significa para dar
suporte a uma política educacional a ser imposta? Acreditamos que a resistência
com a qual concordamos ao uso do termo “competências” tal como se vem
fazendo presente no discurso educacional acabou por excluir da discussão
acadêmica a ideia defendida por Perrenoud (2000). Hoje, fazendo uma releitura
39
dessas ideias, fica-nos evidente o quanto elas estão longe da popularização e
implementação que as mesmas tiveram no cenário educacional brasileiro.
(NACARATO et al, 2005, p.63-64)
Nacarato et al (2005) analisam o termo "competência" utilizado na concepção de
Perrenoud (2000), partindo da definição formulada pelo autor, ou seja, a capacidade de
mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação e afirmam que as
competências profissionais são construídas na prática docente e exigem esquemas de
pensamento. A partir destas ideias centrais, os autores criticam o uso desse termo em
avaliações institucionais: “[...] ora, se as competências exigem esquemas de pensamento,
estes não são diretamente observáveis e, diríamos não mensuráveis.” (NACARATO et al,
2005, p.64)
Para mostrar o quão distante estão as políticas públicas dos resultados apontados por
pesquisas sobre os saberes docentes, os autores analisaram a prova do concurso PEB II de
2003, ocorrido no Estado de São Paulo que foi avaliada em relação a dois aspectos: as
normas estabelecidas para o concurso e a análise das questões da prova de Matemática.
Segundo os autores, o edital do concurso referido anteriormente apresenta dubiedade
quando ora se aproxima de estudos teóricos sobre formação de professores, ora se apoia nos
conceitos de competência. Além disso, indica como responsabilidade da função docente a
implantação da política educacional e a construção de uma escola democrática, solidária e
competente. Sobre esse aspecto, os autores acrescentam que esse documento "[...] pauta-se
na visão ingênua de que o professor é o implementador de políticas públicas."
(NACARATO et al, 2005, p.64)
Em relação ao perfil profissional, esses pesquisadores também identificaram
dubiedades:
1. As responsabilidades dos professores em relação ao processo de ensino - aprendizagem
inclui: identificar dificuldades relativas ao aprendizado dos alunos e assegurar que elas
sejam erradicadas para que o aluno consiga atingir níveis de proficiência adequados.
40
Todavia, o documento oficial indica que o professor deve se responsabilizar pelas
"atividades de reforço e recuperação que promovam avanços significativos na
aprendizagem". Para os autores, se o professor já identificou as necessidades de
aprendizagem individuais de cada aluno, não existiria a necessidade de recorrer a
atividades de reforço e recuperação. Porém, esses mesmos pesquisadores ressaltam que,
nas escolas públicas estaduais do Estado de São Paulo, o professor não possui
condições para atender aos alunos como previsto no documento oficial. A falta de
autonomia do professor também é mencionada nesse estudo, em tais considerações:
"elabora e desenvolve o plano de ensino a partir dos indicadores de desempenho escolar
e das diretrizes definidas pelos Conselhos de Educação e da Secretaria da Educação”.
(ibid, p.65). Para esses autores: "[...] a burocratização e a intensificação do trabalho
docente acaba impedindo o professor de atingir seus objetivos pessoais de promover, de
fato, um ensino de qualidade e até mesmo de atender às exigências postas pelo próprio
modelo educacional" (ibid, p.65);
2. Nacarato et al comentam que o documento ainda indica a necessidade do professor
possuir "domínio de conhecimentos de sua área específica de atuação que garanta aos
alunos o desenvolvimento das competências e habilidades cognitivas, sociais e
afetivas".(ibid, p.65). A respeito das exigências, os autores observam que:
[...] Em primeiro lugar, o que se entende por conhecimentos de sua área
específica de atuação? No caso da matemática, seria o domínio de conteúdos
matemáticos? Nesse sentido, há uma total desconsideração com as atuais
discussões sobre os saberes docentes, atribuindo-lhes apenas a dimensão
disciplinar, desconsiderando os demais componentes, como o saber pedagógico
do conteúdo, o saber curricular, o saber das ciências da educação e o saber
experiencial. Se nos referirmos ao saber docente, constituído em sua amplitude,
devemos ressaltar que a bibliografia específica, em momento algum atende a essa
concepção. (NACARATO et al, 2005, p.65)
Para os autores, a bibliografia geral aproxima-se do perfil esperado para o professor, ao
passo que a bibliografia específica é centrada unicamente nos conteúdos matemáticos;
3. Com relação ao perfil profissional, o documento explicita que o professor compartilhará
da construção coletiva da escola pública de qualidade e atuará na gestão da escola. Os
41
autores entendem que a única participação do professor é possibilitada a partir das
diretrizes externas e cabe às avaliações externas o acompanhamento do projeto político
pedagógico;
4. Outro ponto que chamou a atenção dos autores foi a caracterização do aperfeiçoamento
profissional complementada com a ideia de competências. Para os autores, o
desenvolvimento profissional se contrapõe ao aperfeiçoamento profissional, pois
conforme a citação de Paulo Freire (1996), "O conceito de aperfeiçoamento traz
implícita a concepção de que o professor não é um produtor de saberes e sugere a ideia
de tornar-se "perfeito", como se na ação educativa, ou em qualquer outra atividade
humana, existisse perfeição. Desconsidera-se a ideia da condição de inconcluso e
inacabado de que se reveste o ser humano." (FREIRE, 1996 apud (NACARATO et al,
2005, p.66);
5. No item do temário que trata do protagonismo juvenil, os autores fazem o seguinte
questionamento: "[...] em que medida o professor pode contribuir para esse
protagonismo dos alunos se ele, em momento algum, é considerado protagonista de sua
atividade profissional?" (NACARATO et al, 2005, p.66);
6. Para os autores, a bibliografia específica foi o ponto que mais incomodou, pois, em sua
interpretação, não está atualizada e é incoerente com os objetivos da formação docente
e do texto do caput do temário. A ideia de trabalho curricular também é questionada. Os
autores afirmam que "A ênfase é dada ao conteúdo matemático, priorizando uma
formação inicial conteudista, que valoriza mais o saber matemático que o saber
pedagógico”. (NACARATO et al, 2005, p.66)
Em seguida, Nacarato et al analisam a prova de Matemática do concurso PEB II,
composta por 80 questões objetivas, sendo que as 30 primeiras eram relativas à formação
básica e as demais à formação específica. As questões de números 46, 57, 58 e 66 foram
anuladas, portanto, foram analisadas 46 questões objetivas de formação específica, e quatro
42
questões discursivas. Foram considerados os critérios especificados no Comunicado SE de
4-7-2003:
1. A Matemática e suas linguagens - 41 questões requeriam o conhecimento da linguagem
matemática. Esse era o único requisito de 31 dessas questões e as demais 5 questões só
utilizavam a linguagem materna;
2. A Matemática e seus métodos de investigação - foram identificadas 6 questões, sendo
que os autores questionaram sua aplicabilidade com tão pouco tempo para a resolução
de tantas questões;
3. A Matemática e sua contextualização histórica e social - foram encontradas apenas duas
questões que atenderam a esse requisito, sendo que a resolução se dá apenas com a
aplicação de fórmulas. Em outras questões, observou-se a tentativa de contextualizar de
forma irreal e equivocada. Para os autores, as contextualizações não contribuíram para a
resolução da questão, apenas "roubaram" o tempo do candidato;
4. A Matemática e suas tecnologias - Não foram observadas questões que abordassem essa
tendência da Educação Matemática;
5. A Matemática e suas relações com outras áreas do conhecimento - Quatro questões
foram observadas e em todas elas era necessária apenas a aplicação de fórmulas ou
algoritmos;
6. A Matemática e os fundamentos do trabalho curricular - já abordado anteriormente.
Não foram observadas questões com tais características;
7. A aplicação didática e metodológica em sala de aula: Para estas características apenas
duas questões contemplaram parcialmente o disposto no documento oficial;
43
A seguir, Nacarato et al (2005) analisaram as quatro questões dissertativas. Na primeira
delas foram exigidos do candidato justificativas e argumentos para a formação continuada
do docente. Já a segunda questão foi interessante para os autores, já que o professor devia
criar um problema de análise combinatória com abordagens tanto tradicional quanto
diferenciada;
A terceira questão solicitava a determinação da aresta de um cubo e volume desse
mesmo cubo, conforme a lenda do jogo de xadrez. Para os pesquisadores, tal tarefa
envolvia apenas procedimentos matemáticos;
A quarta questão abordava aspectos metodológicos e conceituais de Matemática e não
houve questionamentos por parte dos autores.
Nacarato et al (2005) comentaram que a parte discursiva atendeu parcialmente ao perfil
do professor, pois poderia ter contemplado questões mais interessantes e discussões mais
recentes da Área de Educação Matemática.
Nas conclusões desse trabalho referentes às expectativas estabelecidas para a formação
docente, os autores destacaram que as políticas públicas não valorizam os professores e não
se utilizaram de pesquisas recentes para a elaboração da prova do concurso de PEB II do
Estado de São Paulo, sendo que muitas dessas pesquisas são financiadas pelo próprio poder
público.
Desse modo, a prova foi tecnicista, favorecendo o ingresso do candidato recémformado e, além disso, as questões objetivas, "reforçam o papel da Matemática como
selecionadora, como fonte de exclusão social." (ibid, p.69)
Sendo assim, esse artigo foi de fundamental importância para a elaboração dessa
dissertação, pois apresenta críticas aos documentos oficiais, fazendo uso de novas pesquisas
44
muitas vezes financiadas pelo poder público, além de analisar a prova realizada no ano de
2003, para o provimento de vagas de docentes de Matemática para o Estado de São Paulo.
Foram também analisadas, neste estudo, as Resoluções que dispõem sobre os perfis
profissionais, competências e habilidades requeridos dos candidatos a professor de
Matemática da rede pública estadual. Utilizamos parte dos critérios de análise adotados no
estudo de Nacarato et al (2005).
2.3 Investigações que Discutem o Conhecimento Profissional
Docente
Nesse capítulo, publicações teóricas são analisadas para argumentações posteriores.
2.3.1.Shulman
Para fundamentar nossa análise e discussão dos resultados utilizamos também os
estudos de Shulman (1987), os quais apresentaremos a seguir:
No prólogo de seu trabalho, Shulman (1987) observa que a maior parte das
caracterizações da eficácia dos professores relata a gestão de sala de aula, enquanto poucas
são as análises de professores que, além dessa gestão, também são capazes de realizar a
gestão de ideias nos discursos realizados em suas salas de aula.
Na época em que o artigo de Shulman foi publicado (1987), um dos principais temas
abordados era a profissionalização do ensino, com a seguinte premissa: "o desempenho dos
professores deve ser julgado e pode ser levantado e mais claramente articulado.” Além
disso, "eles argumentam que a base de conhecimento deveria estruturar a formação do
professor e informar diretamente a prática de ensino". (SHULMAN, 1987, p. 3-4)
45
Pensando na certificação baseada em julgamentos, o autor se apoiou em três fatores
para legitimar normas: ligação às descobertas de estudos nas disciplinas acadêmicas que
formam o Currículo (Inglês, Física e História) que deve servir como base para o processo
de Educação (Psicologia, Sociologia ou Filosofia); existência de credibilidade intuitiva nos
pareceres da comunidade profissional e que deve estar relacionada às concepções
normativas apropriadas de ensino e formação de professores. (SHULMAN, 1987, p. 4). Sob
esse escopo, surgiram alguns questionamentos que diziam respeito à base de conhecimento
para o ensino:
O que é base de conhecimento? É bastante conhecer sobre o ensino, para apoiar
uma base de conhecimento? O ensino não é um pouco mais do que o estilo
pessoal, comunicação hábil, saber algum conteúdo da disciplina e aplicar os
resultados de pesquisas recentes sobre a eficácia do ensino? (SHULMAN, 1987,
p.5 – 6)
Para Shulman (1987), tanto
as ações de educadores quanto as políticas públicas
indicavam que a formulação do ensino requeria habilidades básicas, conhecimento de
conteúdo e habilidades pedagógicas gerais.
Características críticas de ensino, tais como o conteúdo a ser ensinado, o contexto
da sala de aula, as características físicas e psicológicas dos alunos, ou a realização
de fins que não são facilmente avaliados em testes padronizados, são tipicamente
ignorados na busca de princípios gerais de ensino eficaz. (SHULMAN, 1987, p.6)
O autor indica também que políticas públicas foram definidas com base em pesquisas
da época. Sistemas de observação de aulas e listas de comportamento do professor foram
traduzidos como competências desejáveis para o professor em sala de aula. "Embora os
pesquisadores entendessem as descobertas como simplificadas e incompletas, a
comunidade política as aceitou como suficientes para as definições de padrões".
(SHULMAN, 1987, p. 6). A esse respeito, esse pesquisador acrescenta que:
Em muitos casos, não se esperava que os observadores tivessem perícia nas áreas
que estavam sendo observadas, porque isso não tinha importância para a
avaliação de desempenho dos professores. Assim, o que pode ter sido uma
estratégia aceitável para a pesquisa se tornou uma política inaceitável para a
avaliação do professor. (SHULMAN, 1987, p.7)
46
Esse pesquisador conclui que os resultados dos seus estudos não são a única fonte
utilizada na fundamentação de uma definição para a base de conhecimento de ensino.
Essas fontes devem ser entendidas como muito mais ricas e extensas. Na verdade,
bem entendido, as fontes reais e potenciais de uma base de conhecimento são tão
abundantes que nossa questão não deve ser, há realmente muito que se precisa
saber para ensinar? Pelo contrário, ela deve expressar nosso espanto sobre quão
pouco conhecimento do ensino pode ser aprendido durante o breve período
atribuído à formação de professores. (SHULMAN, 1987, p.7)
Esse estudo chama a atenção para o fato de que o ensino começa com a compreensão do
professor sobre o que deve ser aprendido e como deve ser ensinado. O docente, por sua vez,
utiliza-se de atividades que oportunizam a aprendizagem aos estudantes e são finalizados
com uma nova compreensão, tanto por parte do professor, quanto por parte dos alunos.
Shulman (1987) afirma ainda que apesar desta ser uma concepção de núcleo de ensino, ela
também é uma concepção incompleta. Portanto, ele define as categorias de conhecimento
que fundamentam a compreensão dos professores. Para Shulman (1987), no mínimo,
deveriam estar inclusas estas categorias:
1. Conhecimento do conteúdo;
2. Conhecimento pedagógico geral, com referência especial para aqueles
princípios amplos (principais) e estratégias de gestão e organização de sala de
aula, que parecem transcender o conteúdo;
3. Conhecimento curricular, com particular domínio dos materiais e programas
que servem como "ferramentas do ofício" para professores;
4. Conhecimento pedagógico do conteúdo, amálgama especial de conteúdo e de
pedagogia que é esfera de ação [ramo do saber] unicamente de professores, sua
própria forma especial de entendimento profissional;
5. Conhecimento de estudantes e suas características;
6. Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento do
grupo ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos escolares,
até o caráter das comunidades e culturas;
7. Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e seus fundamentos
filosóficos e históricos. (SHULMAN, 1987, p.8)
Dentre as categorias citadas, o autor enumera as 4 principais: O conhecimento do
conteúdo, os materiais e definições do processo institucionalizado de educação, pesquisa
sobre a escolaridade, organizações sociais, a aprendizagem humana e, finalmente, o
conhecimento da própria prática. (SHULMAN, 1987, p.8). Nesse sentido, esse mesmo
pesquisador acrescenta que:
47
[...] A chave para distinguir a base de conhecimento para ensinar reside na
intersecção de conteúdo e pedagogia, na capacidade de um professor para
transformar o conhecimento do conteúdo que ele ou ela possui, em formas que
são pedagogicamente poderosas e ainda adaptativas às variações em habilidade e
experiências apresentadas pelos estudantes. (SHULMAN, 1987, p.16)
Para elucidar as análises que serão apresentadas posteriormente, as tabelas a seguir
exemplificarão a categorização para o ensino de Trigonometria postuladas por Shulman:
48
Tabela 1- Tipo de Conhecimento - Shulman
TIPO DE
EXEMPLO
CONHECIMENTO
SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 24
Dependendo do tamanho da casa e das telhas utilizadas para
cobri-la, muitas vezes constrói-se uma armação em madeira, no
formato de triângulo isósceles, como mostra a figura a seguir.
Na figura, a medida RS é igual a 20% da medida de PQ.
Assim, se PQ mede 6m, RQ mede, aproximadamente:
a) 5,22m b) 4,18m c) 4,07m d) 3,72m e) 3,23m
Categoria de conhecimento profissional docente necessário
CONTEÚDO
ESPECÍFICO
para a resolução da tarefa (Shulman) - Conhecimento do
Conteúdo Específico.
O professor deve ser possuidor de uma série de conhecimentos
necessários à resolução desta tarefa, entre eles, podemos citar:
_ Propriedades dos triângulos isósceles.
_ Propriedades dos triângulos retângulos.
_ Transformações geométricas (em especial, a reflexão).
_ Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângulo.
_ Utilização de porcentagem.
_ Aplicação do teorema de Pitágoras.
FONTE: A pesquisa
49
Tabela 2 - Tipo de Conhecimento - Shulman
TIPO DE
CONHECIMENTO
CURRICULAR
EXEMPLO
O professor deve conhecer plenamente o currículo de forma a
definir metodologias e estratégias para a aprendizagem dos
alunos, realizar análises, revisar conteúdos preliminares que de
alguma forma sejam necessários para que o ensino seja
realizado
com
eficácia.
Como exemplo, temos: Na descrição dos conteúdos
propostos pelo Cúrrículo do Estado de São Paulo para o 9°
ano é proposto que o professor apresente aos alunos uma
sequência de trabalho, de modo a levar o aluno a Identificar e
compreender as particularidades que determinam a
semelhança de triângulos e a partir dessa definição: identificar,
compreender e resolver problemas que envolvam razões
trigonométricas fundamentais.
FONTE: A pesquisa
50
Tabela 3 - Tipo de Conhecimento - Shulman
TIPO DE
CONHECIMENTO
EXEMPLO
Não foram encontradas nas provas questões que avaliassem
o conhecimento pedagógico do conteúdo. A questão abaixo
foi a que mais se aproximou porque utiliza-se de uma
situação cujo modelo é uma função periódica e essa é uma
indicação dada pelos autores do caderno para a introdução do
tema.
TAREFA 14 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 31
Em uma cidade, a altura máxima da maré em seu porto
ocorreu exatamente às 12 horas. A altura da água do mar
nessa cidade é uma função periódica, pois oscila
regularmente entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura
da maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta) e
vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa),
para depois aumentar de novo até a maré alta, e assim por
diante. A altura h, em metros, da maré, nesse dia, no porto
PEDAGÓGICO DO
da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela
CONTEÚDO
sentença: h(t) = 2,5 + 1,5 cos ( ), sendo t o tempo decorrido,
em horas, após as 12 horas. Assim, a altura h da maré às 16
horas, ou seja, quando t = 4 horas é:
a) 4,0 m
d) 2,0 m
b) 3,6 m
e) 1,0 m
c) 2,5 m
Categoria de conhecimento profissional docente necessário
para a resolução da tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento
do Conteúdo Específico.
Esta questão avalia os conhecimentos específicos do
candidato, necessários ao cálculo do valor numérico de
expressões algébricas.
No que respeita à Trigonometria, o conhecimento exigido
para a resolução desta questão se restringe ao valor do
cosseno de π.
FONTE: A pesquisa
51
2.3.2. Robert
Para o estudo do funcionamento do conhecimento matemático nas diferentes etapas
escolares, o trabalho de Robert (1998) é ressaltado, pois ele questiona a aprendizagem
quando se trabalha com estudantes que já possuem alguns conhecimentos e para os quais a
matemática se aproxima da dos especialistas. A partir dessa reflexão, a autora explicita os
saberes a serem considerados, que são identificados por meio dos programas oficiais e, na
sequência, se refere às atividades esperadas dos estudantes, as práticas dos especialistas, a
alguns trabalhos sobre as dificuldades encontradas para, finalmente, propor as ferramentas
de análise das noções a ensinar, a saber: as abordagens teóricas em termos de quadros e
mudanças de quadros de Douady12 (1992), de registro de representação semiótica de
Duval13 (1995), as diferentes naturezas das noções a ensinar, os níveis de conceituação e os
níveis de conhecimento esperado para o desempenho dos estudantes.
Em face dessa última categoria, esse artigo foi importante na fundamentação teórica
desse trabalho devido à tipologia que permite identificar o nível de conhecimento
necessário para o professor sobre determinada noção para a solução de uma tarefa.
2.4 Funcionamento do Conhecimento Matemático sob a
perspectiva de Aline Robert
Robert (1998), no resumo do artigo "Outils d´analyse des contenus mathématiques à
enseigner au lycée à l´université", esclarece que no trabalho serão propostas ferramentas
para análise de noções matemáticas que são ensinadas aos estudantes na faixa dos 15-16
anos de idade e na universidade cujo objetivo é considerar a complexidade e especificidade
12
Régine Douady (1992), caracteriza a noção de quadro da seguinte maneira : “Um quadro é constituído de
objetos de um campo da matemática, de relações entre esses objetos, de suas formulações eventualmente
diferentes e das imagens mentais associadas a esses objetos e a essas relações”. Temos como exemplos
quadros algébricos, geométricos, numéricos, etc...
13
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas foi introduzida por Raymond Duval ao longo de
diversos artigos e livros (DUVAL (1995), e tem sido cada vez mais utilizada, seja como suporte teórico ou
como suporte metodológico, nas pesquisas relativas à aquisição de conhecimento e de organização de
situações de aprendizagem.
52
dessas noções dentro do contexto do programa do ensino secundário francês e das
exigências em relação às mesmas introduzidas no ensino superior.
Além disso, a autora enfatiza que esse estudo tem como objetivo a construção de
cenários de aprendizagem para estudantes que se encontram na fase de transição entre o
ensino secundário e superior. Ela divide o estudo em duas etapas: na primeira, ela descreve
práticas profissionais dos matemáticos e as compara com resultados esperados dos
estudantes propostos nos programas, em especial, do ensino secundário e com trabalhos de
pesquisa já existentes. Nessa fase, Robert (1998) enfatiza a importância
do trabalho
pessoal, que segundo ela, se torna cada vez mais importante no decorrer do ensino
secundário e da universidade, visto que os estudantes não podem se contentar em escutar e
trabalhar em aula, uma vez que existem muitos elementos a reter e uma quantidade mínima
da utilização das noções que é possível trabalhar em classe.
Entretanto, segundo a autora, existe uma grande dificuldade, já que não se pode esperar
que os alunos se deparem com todos os problemas possíveis, já que tal situação seria
“explosiva”.
Robert (1998) ressalta ainda que a organização e a eficácia do trabalho pessoal pode se
tornar uma questão importante para o estudante, uma vez que existe uma demanda implícita
nesse sentido, podendo ser uma necessidade para o domínio dos conhecimentos exigidos.
Isso a conduz a identificar as contradições entre a lógica da aprendizagem e a lógica do
sucesso, por exemplo, para os estudantes dos primeiros anos da universidade que
privilegiam as aprendizagens superficiais, sem questionamentos, para as quais a
identificação de conhecimentos externos é negligenciada.
Portanto, as aprendizagens mais autênticas que, segundo a autora, necessitam de
questionamentos, são difíceis a instalar uma vez que elas precisam de mudanças do modo
de trabalho, pois exigem um longo tempo para se tornarem eficazes. Deste modo, algumas
escolhas de tópicos para os exames que avaliam apenas as aprendizagens superficiais
53
confortam os estudantes que escolhem a lógica do sucesso até o dia em que eles se
encontram em uma situação que representa uma catástrofe.
Na segunda etapa, Robert (1998) apresenta as quatro dimensões de análise dos
conteúdos a ensinar. As três primeiras dimensões estão diretamente relacionadas às noções
e aos seus domínios de aplicação: como eles são introduzidos nos programas, nos livros
didáticos e nos cursos. A quarta dimensão direciona-se ao funcionamento dessas noções aos
problemas.
Segundo a autora, a primeira dimensão corresponde ao caráter ferramenta-objeto das
noções, assim como aos quadros e registros de intervenção; a segunda corresponde ao
status das noções a ensinar quanto a sua inserção na paisagem matemática dos estudantes,
isto é, ao grau de generalização em relação às noções anteriores, ao grau de formalização
dado à noção, ao caráter unificador da noção em relação às anteriores; nos conteúdos
matemáticos dispostos pelos alunos; noções que podem ser apresentadas diretamente aos
alunos como extensões de noções abordadas anteriormente; noções apresentadas como
respostas a novos problemas para que haja compreensão por parte dos alunos, embora não
possam ser resolvidos completamente; noções que correspondam à introdução de um
formalismo adaptado. Já na terceira dimensão, nota-se a presença de níveis variados de
conceituação.
Tais níveis de conceituação são definidos por Robert (1997) como uma forma de
etiquetar prateleiras em um campo conceitual de conhecimentos matemáticos, na qual cada
etiqueta corresponde a uma organização coerente de uma parte do campo, caracterizada
pelos objetos matemáticos apresentados de uma determinada maneira, dos teoremas sobre
esses objetos, dos métodos associados a esses teoremas e dos problemas que os alunos
podem resolver com os teoremas do nível considerado e utilizando esses métodos.
Muitas noções matemáticas podem ser abordadas em vários níveis de conceituação,
sempre parcialmente encaixados: os objetos iniciais mudam, eles se tornam mais gerais.
54
Isto permite introduzir novas estruturas, mais ricas, e para isso necessitam de um novo
formalismo adaptado. Analogicamente, muitos problemas podem ser colocados e
resolvidos em vários níveis sempre em exercícios considerados teóricos (i.e. gerais),
passando, dessa forma, aos teoremas do nível seguinte. (ROBERT, 1997a, 149-157).
Dessa forma, a quarta dimensão, que corresponde às características de funcionamento
das noções e que utilizaremos nas análises deste trabalho, denominada níveis de
funcionamento dos conhecimentos pelos estudantes, é introduzida por Robert (1998) após
explicitação que esses níveis são necessariamente relativos a um determinado nível de
escolaridade.
Robert (1998) identifica assim os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes:
técnico, mobilizável e disponível.
O nível técnico corresponde a um funcionamento indicado, isolado, que coloca em jogo
as aplicações imediatas de propriedades, teoremas, definições, fórmulas, etc. Trata-se de
contextualizações simples, locais, sem etapas, sem trabalho de reconhecimento preliminar,
sem adaptações. Isso concerne preferencialmente o funcionamento das ferramentas
(incluindo as definições) (ROBERT, 1998, p.165). A tarefa a seguir pode ilustrar esse
nível:
Entre os valores abaixo, qual corresponde ao valor exato de cos 45°?
a) 0
b) 1
c)
1
2
d)
3
2
e)
2
2
O nível mobilizável corresponde ao funcionamento mais amplo, ainda indicado, mas
ultrapassando a simples aplicação de uma propriedade. Pode por exemplo, ser necessário
adaptar esses conhecimentos para aplicar um teorema adequado, mudar um ponto de vista,
ou de quadro (com indicações), pode ainda corresponder à necessidade de aplicar varias
vezes em sequência a mesma coisa ou utilizar várias coisas diferentes em etapas sucessivas,
55
ou ainda, pode corresponder à necessidade de articular duas informações de naturezas
diferentes. Em todos os casos, esse nível testa um funcionamento, no qual existe um início
de justaposição de saberes em um dado domínio, chegando a uma organização. Não existe
somente aplicação simples, o caráter ferramenta-objeto pode ser utilizado, mas o que está
em jogo é explícito. Em outras palavras, o saber é dito mobilizável quando ele é bem
identificado Ele será bem utilizado pelo aluno, mesmo se a adaptação a um contexto
particular ocorrer. (ROBERT, 1998, p.166). Nesse nível, pode-se notar que o conhecimento
necessário para resolver a tarefa proposta é indicado explicitamente no enunciado da
questão 6 do concurso de professores de 2013.
Questão 06 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1, branca, 2013, p.3)
Certo satélite científico percorre uma órbita em que sua distância (d), em quilômetros,
até a superfície da Terra é dada por:
d
12000
 6400 ,
1  0,2 cos 
Com θ variando, em cada órbita, de 0° a 360°.
A maior distância do satélite até a superfície da Terra é de:
(A) 3600 km
(B) 4800 km
(C) 5600 km
(D) 7200 km
(E) 8600 km
Para efetuar a resolução dessa questão, o candidato deve saber que o cos θ pode variar
de -1 até 1. Sabe-se, também, que quanto menor o denominador da fração, maior será o
resultado encontrado. Logo, o único valor que nos interessa é o de cos θ = -1.
56
Classificamos esta questão como mobilizável, pois o candidato precisará considerar os
valores máximo e mínimo do cos θ para solucionar o problema.
O nível disponível, por sua vez, corresponde ao fato de saber resolver o que é proposto.
É possível, nesse nível utilizar contraexemplos (encontrar ou inventar), realizar mudanças
de quadros sem sugestão (fazer relações), aplicar métodos não previstos. Esse nível de
funcionamento está associado a uma familiaridade importante, ao conhecimento de
situações de referências variadas, que o estudante sabe que as conhece e que podem servir
de terreno de experimentação, além da possibilidade do aluno problematizar e fazer
resumos. Como exemplo, a tarefa a seguir corresponde a um caso onde o nível esperado
para a solução é o disponível.
QUESTÃO 161 (ENEM - 2010) - Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume
seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu,
respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r (t) =
5865
1  0,15 * cos(0,06t )
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do
centro da Terra. Para isso ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no
perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
a) 12 765 km.
b) 12 000 km
c) 11 730 km.
d) 10 965 km
e) 5 865 km.
Para efetuar a resolução dessa questão, o candidato deve saber que o cos θ pode variar
de -1 até 1.
57
Pode-se afirmar que essa questão é disponível, visto que o candidato precisará saber
relacionar apogeu e perigeu ao conhecimento matemático necessário para resolver a tarefa.
A forma como o cosseno é dado com r em função de t exige que o candidato associe cós
(0,06t) a 1 e -1. Não sendo necessário determinar o valor de t.
No próximo capítulo, os documentos oficiais pesquisados serão apresentados, tendo
papel importante à análise das questões de concursos públicos.
58
CAPÍTULO 3 – A Trigonometria nas Propostas Institucionais
Nacionais e no Currículo do Estado de São Paulo
Esse capítulo tem o objetivo principal de apresentar resultados da pesquisa documental
que consideramos de fundamental importância na identificação das indicações curriculares
para o ensino da Trigonometria. Esse estudo possibilitou reconhecer conhecimentos
específicos, didáticos e curriculares sobre esse assunto matemático esperados dos
professores que lecionam matemática nas escolas estaduais. Procurou-se dar ênfase à
Trigonometria nos Currículos aqui abordados, sobretudo, o atual Currículo Oficial do
Estado de São Paulo implementado a partir de 2008, com apresentação de pressupostos
gerais de indicações curriculares anteriores, por se tratarem de orientações federais que,
certamente, influenciaram o currículo atual.
É importante ressaltar que analisamos provas de concursos de professores de
Matemática em ingresso, mérito e processo simplificado sob a ótica de documentos oficias.
Desse modo, esse estudo concentra-se nas questões que abordam o conteúdo específico da
Trigonometria.
3.1. Os Parâmetros Curriculares Nacionais Para O Ensino
Médio (PCNEM, 2000) - Legislação
Ao realizar a leitura da apresentação do PCNEM (2000), constatam-se mudanças
significativas no documento: integração dos alunos no mundo contemporâneo nas
dimensões da cidadania e do trabalho, currículo baseado em competências básicas, ensino
contextualizado,
busca
de
significados
ao
conhecimento
escolar,
evitando
a
compartimentalização, presença da interdisciplinaridade e incentivo ao raciocínio e
capacidade de aprender.
59
Os PCNEM (2000) também propõem que "A formação do aluno deve ter como alvo
principal a aquisição de conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade
de utilizar as diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação”
14
. (BRASIL, 2000,
p.5)
Esse novo currículo leva em conta, segundo seus elaboradores, além das demandas
decorrentes da "revolução do conhecimento", as relações sociais, a expansão da rede
pública e a garantia dos padrões de qualidade do ensino, exigência desta sociedade. Nesse
contexto, o Ensino Médio passa a fazer parte da Educação Básica:
Isso significa que o Ensino Médio passa a integrar a etapa do processo
educacional que a nação considera básica para o exercício da cidadania, base para
o acesso às atividades produtivas, para o prosseguimento nos níveis mais
elevados e complexos de educação e para o desenvolvimento pessoal, referido à
sua interação com a sociedade e sua plena inserção nela, ou seja, que "tem por
finalidades desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum
indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir
no trabalho e em estudos posteriores. (Lei de diretrizes e bases da educação n°
9.394/96 apud BRASIL, 2000, p.9)
Os PCNEM estabelecem uma nova perspectiva para este nível de ensino:
a. Desenvolver valores e competências necessárias à integração do indivíduo na
sociedade;
b. Formação ética, desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
c. Preparação e orientação básica para a integração ao mundo do trabalho;
d. Desenvolvimento de competências para o aprendizado continuado, autônomo e crítico.
Quatro premissas apontadas pela UNESCO foram incorporadas nas diretrizes
constantes desse documento como eixos estruturais da educação da sociedade
contemporânea: aprender a conhecer: constitui a base para a educação permanente;
aprender a fazer: privilegia a aplicação da teoria na prática e enriquece a vivência da
ciência na tecnologia com significação especial para o desenvolvimento da sociedade
contemporânea; aprender a viver: permite o desenvolvimento do conhecimento e a
14
Citação negritada no documento original
60
percepção das interdependências; aprender a ser : implica na formulação de seus próprios
juízos de valor, além de tomar decisões por si mesmo. (BRASIL, 2000, p. 15-16)
Os PCNEM também estabelecem quais são as competências que o aluno, ao final do
Ensino Médio, deve demonstrar:
Art. 36, § 1°. Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação serão
organizados de tal forma que ao final do ensino médio o educando demonstre:
I - Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção
moderna;
II - Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;
Domínio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessários ao exercício da
cidadania. (BRASIL, 2000, p. 17-18)
Os PCNEM estabelecem um currículo dividido por áreas de conhecimento: Linguagens,
Códigos e suas Tecnologias, Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias e
Ciências Humanas e suas Tecnologias.
Cabe aqui reconhecer a historicidade do processo de produção do conhecimento.
Enfim, preconiza-se que a concepção curricular seja transdisciplinar e matricial,
de forma que as marcas das linguagens, das ciências, das tecnologias e, ainda, dos
conhecimentos históricos, sociológicos e filosóficos, como conhecimentos que
permitem uma leitura crítica do mundo estejam presentes em todos os momentos
da prática escolar. (BRASIL, 2000, p.19)
A interdisciplinaridade e a contextualização fazem parte dessa nova organização
curricular uma tendência atual em todos os níveis de ensino, criando condições para uma
aprendizagem motivadora, na qual professores e alunos possuam maior liberdade para a
seleção de conteúdos relacionados aos problemas que dizem respeito à vida em
comunidade. Nesse sentido, os autores afirmam que:
Ao propor uma nova forma de organizar o currículo, trabalhado na perspectiva
interdisciplinar e contextualizada, parte-se do pressuposto de que toda
aprendizagem significativa implica uma relação sujeito-objeto e que, para que
esta se concretize, é necessário oferecer as condições para que os dois polos do
processo interajam. (BRASIL, 2000, p.22)
A leitura dos documentos oficiais proporciona o entendimento das diferenças existentes
entre si, a busca de referências e sugestões que cada um pode oferecer no que diz respeito
ao enriquecimento das análises que compõem esse trabalho.
61
É importante salientar que não houve a preocupação de hierarquizar documentos,visto
que cada texto foi de suma importância para feitura dessa dissertação.
3.2 Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio Parecer CEB N° 15/98 (DCNEM, 1998)
É importante enfatizar que o documento PCNEM, parte I, Bases Legais, possui um
capítulo destinado às Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM), e,
pelo fato de os PCNEM serem um documento oficial federal, este foi utilizado em nossas
análises, inclusive no que diz respeito às DCNEM. Para iniciar a análise desse documento
vale citar uma passagem do texto do parecer CEB n° 15/98:
O momento que vive a educação brasileira nunca foi tão propício para pensar a
situação de nossa juventude numa perspectiva mais ampla do que a de um destino
dual. A nação anseia por superar privilégios, entre eles os educacionais, a
economia demanda recursos humanos mais qualificados. Esta é a oportunidade
histórica para mobilizar recursos, inventividade e compromisso na criação de
formas de organização institucional, curricular e pedagógica que superem o status
de privilégio que o ensino médio ainda tem no Brasil, para atender, com
qualidade, clientelas de origens, destinos sociais e aspirações muito diferenciadas.
(Brasil, 2000, p.55)
Ao refletir sobre o assunto entende-se que o parecer CEB n° 15/98 requer que o
profissional da educação dispense um tratamento diferenciado aos alunos. O professor deve
ser capaz de contemplar as desigualdades existentes para garantir a todos um patamar
comum nos pontos de chegada. A escola pública de qualidade é uma necessidade, e para
tanto, foram desenvolvidos mecanismos que servem para aferir o desempenho dos alunos
("pontos de chegada comuns") e, a partir de tais resultados, as unidades escolares possuam
parâmetros de comparação para tomadas de decisão e correção dos pontos que merecem ser
revisados para reduzir as desigualdades educacionais.
Será indispensável, portanto, que existam mecanismos de avaliação dos
resultados para aferir se os pontos de chegada estão sendo comuns. E para que
tais mecanismos funcionem como sinalizadores eficazes, deverão ter como
referência as competências de caráter geral que se quer constituir em todos os
alunos e um corpo básico de conteúdos, cujo ensino e aprendizagem, se bem
sucedidos, propiciam a constituição de tais competências. O Sistema de
62
Avaliação da Educação Básica (SAEB) e, mais recentemente, o Exame Nacional
do Ensino Médio (ENEM), operados pelo MEC; os sistemas de avaliação já
existentes em alguns Estados e que tendem a ser criados nas demais unidades da
federação; e os sistemas de estatísticas e indicadores educacionais constituem
importantes mecanismos para promover a eficiência e a igualdade.
A análise dos resultados das avaliações e dos indicadores de desempenho deverá
permitir às escolas, com o apoio das demais instâncias do sistema de ensino,
avaliar seus processos, verificar suas debilidades e qualidades e planejar a
melhoria do processo educativo. Da mesma forma, deverá permitir aos
organismos responsáveis pela política educacional desenvolver mecanismos de
compensação que superem gradativamente as desigualdades educacionais.
(BRASIL, 2000, p.69)
Esse documento oficial destaca que são muitos os desafios para que se alcance uma
educação baseada mais na constituição de competências, habilidades e disposições de
condutas do que na quantidade de informação, e uma organização curricular que seja capaz
de responder a tais questionamentos requer:

Priorizar conhecimentos e competências de tipo geral;

"(Re) significar os conteúdos curriculares como meios para a constituição de
competências e valores, e não como objetivos do ensino em si mesmos"; (ibid, p.74)

Trabalhar as linguagens como constituidoras de significados, conhecimentos e valores;

Adotar estratégias de ensino diversificadas e potencializar a interação aluno-professor e
aluno-aluno;

Estimular o aluno a realizar todos os procedimentos e atividades;

Organizar conteúdos de ensino por áreas interdisciplinares e projetos de forma a manter
um diálogo permanente entre as diferentes áreas do saber;

Contextualizar as atividades de ensino com o objetivo de estimular o protagonismo
juvenil e estimular o aluno a ter autonomia intelectual;

"Lidar com os sentimentos associados às situações de aprendizagem para facilitar a
relação do aluno com o conhecimento". (ibid, p.75)
A Matemática, na concepção das DCNEM ,está presente na área das Ciências da
Natureza e Matemática.
A presença da Matemática nessa área se justifica pelo que de ciência tem a
Matemática, por sua afinidade com as Ciências da Natureza, na medida em que é
um dos principais recursos de constituição e expressão dos conhecimentos destas
63
últimas, e finalmente pela importância de integrar a Matemática com os
conhecimentos que lhe são mais afins. Esta última justificativa é, sem dúvida,
mais pedagógica do que epistemológica, e pretende retirar a Matemática do
isolamento didático em que tradicionalmente se confina no contexto escolar.
(BRASIL, 2000, p.93)
Percebe-se, na citação acima, a preocupação dos autores em transformar a Matemática,
de um contexto isolado, em um componente que deve ser integrado aos demais
componentes
curriculares
utilizando-se
para
isso
da
contextualização
e
da
interdisciplinaridade. Porém, no Currículo do Estado de São Paulo, que será estudado
posteriormente, a Matemática retoma seu "status" de unicidade, ao ser considerada como
área curricular, com as mesmas ideias indicadas pelos autores das DCNEM no tocante à
contextualização e interdisciplinaridade. Esse documento oficial inclui a preparação dos
professores como um fator dificultador para a implementação das DCNEM:
A preparação de professores, pela qual o Ensino Superior mantém articulação
decisiva com a Educação Básica, foi insistente e reiteradamente apontada como a
maior dificuldade para a implementação destas DCNEM, por todos os
participantes, em todos os encontros mantidos durante a preparação deste
parecer. Maior mesmo que os condicionantes financeiros. Uma unanimidade de
tal ordem possui peso tão expressivo que dispensa maiores comentários ou
análises. Um peso que deve ser transferido às instituições de Ensino Superior,
para que considerem quando, no exercício de sua autonomia, assumirem as
responsabilidades com o País e com a Educação Básica que considerem
procedentes.
É preciso lembrar, no entanto, que a deficiência quantitativa e qualitativa de
recursos docentes para o Ensino Fundamental e Médio há muito se converteu
num problema crônico. Essa deficiência afetará qualquer medida de melhoria ou
reforma da educação que o País se proponha a adotar. Resolver esse problema,
portanto, não é condição para a implementação destas DCNEM. É questão de
sobrevivência educacional, cuja dimensão vai muito além dos limites deste
parecer, embora se inclua entre os desafios, felizmente não exclusivos, do
Conselho Nacional de Educação. Das instituições de Ensino Superior, espera-se
que sejam parceiras no enfrentamento do desafio e na solução, não apenas na
denúncia do problema. (BRASIL, 2000, p.99).
Nesse sentido, é importante frisar o papel da articulação entre as reformas curriculares e
a formação inicial e continuada, pois é preciso ir além da denúncia da má formação dos
professores.
64
A afirmação de Pietropaolo (2002) é bastante pertinente, quando diz que a formação de
professores precisa considerar a necessidade de discutir e refletir as orientações curriculares
propostas para a Educação Básica. Para o autor:
Embora esses dois temas [referindo-se à formação de professores e aos currículos
propostos] mantenham estreitas relações entre si, nem sempre eles têm sido
discutidos de forma articulada, o que, em certo sentido, ajuda a explicar a
dificuldade de implementação de propostas curriculares quando não se leva em
conta que tipo de formação, que tipo de experiência têm os professores que vão
colocá-las em prática. Por outro lado, a falta de clareza do tipo de profissional
que se deseja formar para atender às novas demandas pode explicar as
dificuldades encontradas para desenvolver projetos mais consistentes de
formação de professores. (PIETROPAOLO, 2002, p. 34).
A valorização de iniciativas e estudos que considerem a relação entre o que estabelecem
os currículos e a formação de professores (inicial e/ou continuada) deve ser levada em
conta para que haja um ensino que vislumbre a excelência em todos os seus aspectos.
Segundo esse documento, as disciplinas escolares afins foram organizadas em áreas. É
destacado neste trabalho,a área de: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
(CNMT) que engloba: a Matemática, a Biologia, a Física e a Química.
3.3 Parâmetros
Curriculares
Nacionais
Ensino
Médio
(PCNEM, 2000) - Conteúdo Específico
Esse documento oficial explicita as habilidades básicas, as competências específicas as
quais se espera que sejam desenvolvidas pelos alunos do Ensino Médio nas disciplinas de
Biologia, Física, Química e Matemática. Além disso, apresenta objetivos educacionais da
área, indicando proposições correspondentes aos aprendizados dessas disciplinas, além de
aprofundar a descrição das competências específicas que devem ser desenvolvidas e, como
as tecnologias a estas associadas, podem ou devem ser tratadas. Indica também uma
interface entre a Matemática e as demais áreas de conhecimento, sem esquecer a discussão
65
a respeito do processo de ensino-aprendizagem de diversas temáticas, metodologias,
estratégias e procedimentos educacionais para a área.
Para este trabalho, apenas o material referente à Matemática será usado, assim como os
aspectos, considerados pelo documento como “didáticas específicas”, os desafios para
superar as deficiências, carências e equívocos para qualificar e promover todos os alunos.
Os PCNEM (2000) indicam que a Matemática, como linguagem, ocupa uma posição
singular, pois, possivelmente, não deve existir atividade na vida contemporânea em que
esse componente curricular não compareça de forma insubstituível. A respeito da
interdisciplinaridade, os autores observam que:
O desenvolvimento dos instrumentos matemáticos de expressão e raciocínio,
contudo, não deve ser preocupação exclusiva do professor de Matemática, mas
dos das quatro disciplinas científico-tecnológicas, preferencialmente de forma
coordenada, permitindo-se que o aluno construa efetivamente as abstrações
matemáticas, evitando-se a memorização indiscriminada de algoritmos, de forma
prejudicial ao aprendizado. A pertinente presença da Matemática no
desenvolvimento de competências essenciais, envolvendo habilidades de caráter
gráfico, geométrico, algébrico, estatístico, probabilístico, é claramente expressa
nos objetivos educacionais da Resolução CNE/98. (BRASIL, 2000, p.9)
Esse documento indica também as competências e habilidades gerais para todas as
disciplinas dessa área de ensino. Neste estudo, são analisadas apenas algumas das
habilidades necessárias trabalhadas pelos professores para que as competências requeridas
sejam plenamente desenvolvidas pelos alunos durante todo o processo de ensinoaprendizagem. Sendo assim, parte das habilidades indicadas no documento é empregado
como forma de exemplificação:
Representação e comunicação:
a) Desenvolver a capacidade de comunicação.
 Ler e interpretar textos de interesse científico e tecnológico;
 Interpretar e utilizar diferentes formas de representação (tabelas, gráficos,
expressões, ícones...);
 Exprimir-se oralmente com correção e clareza, usando a terminologia correta,
etc. (BRASIL, 2000, p.12)
Investigação e compreensão:
b) Desenvolver a capacidade de questionar processos naturais e tecnológicos,
identificando regularidades, apresentando interpretações e prevendo evoluções.
Desenvolver o raciocínio e a capacidade de aprender;
66
 Formular questões a partir de situações reais e compreender aquelas já
enunciadas;
 Desenvolver modelos explicativos para sistemas tecnológicos e naturais;
 Utilizar instrumentos de medição e de cálculo, etc. (BRASIL, 2000, p.12)
Contextualização sociocultural15:
c) Compreender e utilizar a ciência, como elemento de interpretação e
intervenção, e a tecnologia como conhecimento sistemático de sentido prático;
 Utilizar elementos e conhecimentos científicos e tecnológicos para
diagnosticar e equacionar questões sociais e ambientais;
 Associar conhecimentos e métodos científicos com a tecnologia do sistema
produtivo e dos serviços;
 Reconhecer o sentido histórico da ciência e da tecnologia, percebendo seu
papel na vida humana em diferentes épocas e na capacidade humana de
transformar o meio, etc. (BRASIL, 2000, p.13).
Sobre os conhecimentos de Matemática, o documento salienta:
Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham
novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e
a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é
necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o
cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e
profissional. (BRASIL, 2000, p.40).
Os conhecimentos matemáticos mostram-se interligados à estrutura de competências e
habilidades. Embora, no trecho anterior, algumas competências e habilidades gerais da área
tenham sido citadas, neste momento, alguns objetivos indicados pelos autores como
essenciais para que o aluno aprenda Matemática no Ensino Médio serão elencados. É
importante ressaltar que, para esse estudo, recortes do documento foram efetuados:
 Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que
permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral;
 Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-as na
interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;
 Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita
expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do
conhecimento e da atualidade, etc. (BRASIL, 2000, p.42)
15
Apesar de estarmos fazendo uma citação de um documento oficial, utilizamos a regra ortográfica vigente,
corrigindo: sócio-cultural, para sóciocultural.
67
Os PCNEM deixam claro que habilidades, competências e interdisciplinaridade devem
ser trabalhados com os alunos do Ensino Médio. Essas mesmas competências e habilidades,
além da interdisciplinaridade e da contextualização tornam o currículo mais rico de
possibilidades, fazendo com que os conteúdos básicos sejam ensinados de forma que os
estudantes consigam enxergá-los, além de expressões e fórmulas e possam ser
significativos. Além do aprendizado de conteúdo, os PCNEM também focam no
desenvolvimento de valores e atitudes fundamentais para que o aluno aprenda a aprender.
Como exemplo desses valores ressalta-se que é fundamental “ter iniciativa na busca de
informações, confiança em suas formas de pensar, possa estar melhor preparado para sua
inserção no mundo do conhecimento e do trabalho, etc.” (BRASIL, 2000, p. 45)
A seguir, o documento discute os rumos e desafios da área, relacionando a formação
docente, estrutura escolar, elaboração de materiais e avaliação :
Entre os maiores desafios para a atualização pretendida no aprendizado de
Ciências e Tecnologia, no Ensino Médio, está a formação adequada de
professores, a elaboração de materiais instrucionais apropriados e até mesmo a
modificação do posicionamento e da estrutura da própria escola, relativamente ao
aprendizado individual e coletivo e a sua avaliação. (BRASIL, 2000, p.49)
Este documento descreve os pressupostos gerais e não apresenta discussões específicas
sobre os processos de ensino e aprendizagem de Trigonometria.
3.4 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio + - PCN+
(2002)
Nas orientações contidas nos PCN+, há indicações para que os professores observem as
novas formas de trabalho, a fim de atingir o objetivo principal que é a formação geral do
estudante sem deixar de prepará-lo para a universidade e a vida profissional.
68
As disciplinas da área das Ciências da Natureza e Matemática são indicadas como
componentes da cultura científica e tecnológica, cujo resultado se dá em virtude da
evolução social e econômica da atualidade e do desenvolvimento ao longo da história.
Essa definição da área das Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
também facilita a apresentação dos objetivos educacionais que organizam o
aprendizado nas escolas do ensino médio em termos de conjuntos de
competências. São eles: representação e comunicação; investigação e
compreensão; e contextualização sociocultural16, objetivos que convergem
com a área de Linguagens e Códigos - sobretudo no que se refere ao
desenvolvimento da representação, da informação e da comunicação de
fenômenos e processos - e com a área de Ciências Humanas - especialmente ao
apresentar as ciências e técnicas como construções históricas, com a participação
permanente no desenvolvimento econômico e cultural. (BRASIL, 2002, p.23)
A figura, a seguir, contém um diagrama que expressa a articulação entre as áreas das
Ciências da Natureza e Linguagens e Códigos através do desenvolvimento das
competências de representação e comunicação com a área de Ciências Humanas, pelo
desenvolvimento das competências de contextualização sociocultural.
Ciências da Natureza
e Matemática
Biologia
Física
Química
Matemática
investigação
e compreensão
re
e
ção
nta
e
s
pre
Linguagens e Códigos
co
o
aç ã
ni c
u
m
rep
res
ent
a çã
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c om
uni
caç
ão
Ciências Humanas
Figura 4 - Desenvolvimento de competências entre áreas
FONTE: (BRASIL, 2002, p.25)
16
Correção de sócio-cultural para sóciocultural, conforme nova legislação ortográfica e destaques em
negrito são expressões dos autores..
69
Os PCN+ também caracterizam o desenvolvimento das competências nas disciplinas
das áreas, de acordo com as seguintes tabelas:
Representação e comunicação
Símbolos, códigos e nomenclaturas
Reconhecer e utilizar adequadamente na forma oral e escrita símbolos,
códigos e nomenclatura da linguagem científica
Articulação dos símbolos e códigos
Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e
representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e
representações geométricas
Análise e interpretação de textos e outras comunicações
Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de ciência e tecnologia
veiculados por diferentes meios.
Elaboração de comunicações
Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e sistematizar
eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas, visitas,
correspondências.
Discussão e argumentação de temas de interesse
Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas de
ciência e tecnologia.
Figura 5 - Representação e comunicação
FONTE: (BRASIL, 2002, p.27)
70
Investigação e compreensão
Estratégias para enfrentamento de situações-problema
Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis relevantes e
possíveis estratégias para resolvê-la
Interações, relações e funções; Invariantes e transformações
Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento
científico, estabelecer relações; identificar regularidades, invariantes e
transformações.
Medidas, quantificações, grandezas e escalas
Selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e
utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados.
Modelos explicativos e representativos
Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenômenos
ou sistemas naturais ou tecnológicos.
Relações entre conhecimentos disciplinares, interdisciplinares e interáreas
Articular, integrar e sistematizar fenômenos e teorias dentro de uma ciência,
entre as várias ciências e áreas de conhecimento.
Figura 6 - Investigação e compreensão
FONTE: (BRASIL, 2002, p.30)
O professor pode identificar relações e elaborar estratégias para a resolução de uma
situação-problema. Exemplo: para obter uma dada distância, optar por medi-la diretamente,
utilizar uma planta em escala, usar semelhança de figuras, fazer uso de propriedades
trigonométricas, utilizar um sistema de eixos cartesianos ou a geometria analítica.
71
Contextualização sociocultural
Ciência e tecnologia na história
Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como resultados de
uma construção humana, inseridos em um processo histórico e social.
Ciência e tecnologia na cultura contemporânea
Compreender a ciência e a tecnologia como partes integrantes da cultura
humana contemporânea.
Ciência e tecnologia na atualidade
Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, suas
relações com as ciências, seu papel na vida humana, sua presença no mundo
cotidiano e seus impactos na vida social.
Ciência e tecnologia, ética e cidadania
Reconhecer e avaliar o caráter ético do conhecimento científico e tecnológico e
utilizar esses conhecimentos no exercício da cidadania.
Figura 7 - Contextualização sociocultural
FONTE: (BRASIL, 2002, p.32)
Incluem-se,
nessas
competências,
o
reconhecimento
e
a
compreensão
do
desenvolvimento histórico da tecnologia associada a campos diversos da Matemática.
Exemplo: ao se perceber a origem do uso dos logaritmos ou razões trigonométricas, como
resultado do avanço tecnológico, iniciado no século 16 e que ganhou uma nova dimensão,
além daquelas que lhes deram origem.
Os autores dos PCN+ completam que parte dos contextos utilizados no documento
oficial tem sentido e alcance praticamente universais e afirmam que tais contextos podem
subsidiar os professores no ensino de cada uma das disciplinas da área de Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias, assim como auxiliar na organização de projetos
pedagógicos.
72
Na Matemática, os documentos retomam as habilidades e competências. Inicialmente,
chamam a atenção para o fato de que os exercícios do tipo "calcule...", "resolva..." não
devem ser eliminados, pois existe a necessidade da aprendizagem das técnicas e
propriedades matemáticas, mas são insuficientes para que os alunos possam continuar
aprendendo ou que construam visões mais abrangentes ou que se realizem no mundo social
ou do trabalho:
Não se trata de separar o ensino de conteúdos específicos das competências, pelo
contrário, essas são duas dimensões da aprendizagem que devem ocorrer
conjuntamente.
Nessa perspectiva, não só a seleção de temas e conteúdos, como a forma de tratálos no ensino são decisivas. A maneira como se organizam as atividades e a sala
de aula, a escolha de materiais didáticos apropriados e a metodologia de ensino é
que poderão permitir o trabalho simultâneo dos conteúdos e competências. Se o
professor insistir em cumprir programas extensos, com conteúdos sem
significados e fragmentados, transmitindo-os de uma única maneira a alunos que
apenas ouvem e repetem, sem dúvida as competências estarão fora de alcance.
(BRASIL, 2002, p. 113)
Quanto aos temas estruturadores da Matemática, as orientações contidas nos PCN+
remetem à necessidade dos professores fazerem escolhas dos conteúdos a serem ensinados.
Como exemplo:
Se o único caso de funções inversas que os alunos verão no ensino médio forem
as funções exponencial e logaritmo, não há necessidade de todo o estudo sobre
funções injetoras, sobrejetoras e inversíveis, assim como se o foco do estudo
estiver na análise de gráficos e nas aplicações da função logarítmica, podemos
questionar por que estudar cologaritmos, característica e mantissa. (BRASIL,
2002, p. 120)
Analisando tais orientações e considerando assim como Shulman (1987) sabe-se que
essa não é uma tarefa fácil. Afinal para o docente enfrentar a tarefa de auxiliar o aluno na
construção de conceitos ligados à trigonometria e atender às orientações descritas nos
documentos, é indispensável que o professor tenha compreensão das noções matemáticas
relacionadas a esse conceito, dos objetivos que deverão ser alcançados, em cada etapa da
construção desse conhecimento, do papel que esse conhecimento desempenha na
construção de outras ideias; precisa compreender como se dá a aprendizagem e sobre a
relação dos alunos com o conceito.
73
Os PCN+ dividem os conteúdos em três eixos estruturadores, que são: Álgebra:
números e funções, Geometria e medidas e Análise de dados.
Ao abordar o tema Álgebra: números e funções, os autores dos PCN+ propõem duas
unidades temáticas: variação de grandezas: noção de função; funções analíticas e não
analíticas; representação e análise gráfica; sequências numéricas: progressões e noção de
infinito; variações exponenciais ou logarítmicas; função seno, cosseno e tangente; taxa de
variação de grandezas e Trigonometria: do triângulo retângulo, do triângulo qualquer, da
primeira volta. No que se refere, especificamente, à Trigonometria, os autores acrescentam
que:
Apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é apresentada
desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das
identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes das funções
trigonométricas e das análises de seus gráficos. O que deve ser assegurado são as
aplicações da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições,
em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que
correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater as
funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do
círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações
trigonométricas. Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato desse
conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em diferentes épocas,
como é o caso do período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que
permite aos alunos perceberem o conhecimento matemático como forma de
resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo.
(BRASIL, 2002, p. 121)
No tema Geometria e medidas, os PCN+ propõem quatro unidades temáticas: geometria
plana: semelhança e congruência, representação de figuras: espacial: elementos dos
poliedros, sua classificação e representação, sólidos redondos, propriedades relativas à
posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo, inscrição e circunscrição de sólidos;
métrica: áreas e volumes, estimativa, valor exato e aproximado e analítica: representações
no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras.
Sendo assim, eles indicam algumas razões que abordam a necessidade da formação
continuada dos profissionais docentes. Em primeiro lugar, esse documento oficial afirma
que são crônicos os problemas na formação inicial dos professores e tal problemática
constitui obstáculos para o desempenho do professor; em segundo lugar, novas orientações
74
para a formação inicial dos professores demandam ajustes para serem efetivadas; em
terceiro lugar, a formação permanente do professor deve se dar enquanto esse profissional
exerce a sua função no processo de ensino-aprendizagem.
Os PCN+ citam uma passagem das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação
de Professores da Educação Básica (8/5/2001):
As questões a serem enfrentadas na formação são históricas. No caso da formação
nos cursos de licenciatura, em seus moldes tradicionais, a ênfase está contida na
formação nos conteúdos da área, onde o bacharelado surge como a opção natural
[...], sendo que a atuação como "licenciados" é vista [...] como "inferior",
passando muito mais como atividade "vocacional" ou que permitiria grande dose
de improviso [...] (BRASIL, 2002, p.139)
No capítulo final dos PCN+, o perfil do professor desejado é traçado:
O que se deseja, afinal, são professores reflexivos e críticos, ou seja, professores
com um conhecimento satisfatório das questões relacionadas ao ensinoaprendizagem e em contínuo processo de autoformação, além de autônomos e
competentes para desenvolver o trabalho interdisciplinar. Um dos instrumentos
úteis a essa reflexão baseia-se em procedimentos de auto-observação e análise,
em que se destaca a importância de o professor saber o que faz em sala de aula e
de saber por que faz dessa forma e não de outra. [...]
Os professores com essas novas atitudes são promotores e partícipes de escolas
que se reconhecem como espaços de formação profissional ininterrupta. Essas
escolas estão reinventando o ensino médio e a educação básica no Brasil.
(BRASIL, 2002, p. 144)
Percebe-se que os autores do documento em questão, assim como Shulman (1987),
enfatizam as características principais necessárias para um professor competente, como:
Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e Conhecimento
Curricular.
As Orientações Curriculares Nacionais no item a seguir abordam a base curricular
comum, necessária para a determinação de cada etapa de ensino.
75
3.5. Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM,
2006)
As OCEM (2006) apresentam dois aspectos que merecem destaque: as finalidades
atribuídas ao Ensino Médio e a proposta da organização curricular com os seguintes
componentes: base nacional comum, planejamento e desenvolvimento do currículo,
integração e articulação dos conhecimentos em processo de interdisciplinaridade e
contextualização, proposta pedagógica elaborada e executada pelos estabelecimentos de
ensino, participação dos docentes na elaboração da proposta pedagógica.
Esse documento aborda três aspectos do conhecimento de Matemática: escolha de
conteúdos, projeto pedagógico e organização curricular.
Quanto ao conteúdo, as OCEM indicam a necessidade da priorização da qualidade e
não da quantidade de conteúdos a serem trabalhados e afirmam que a escolha dos
conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa para auxiliar na apropriação de conhecimento.
Os conteúdos foram organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções;
Geometria; Análise de dados e probabilidade, e deve-se buscar constantemente a
articulação entre esses blocos.
Da mesma forma que os demais documentos aqui analisados, as OCEM afirmam
também ser este o momento para que conceitos e ideias que exigem uma maior maturidade
dos alunos e descartam "exigências de memorizações e apresentações de "regras"
desprovidas de explicações, assim como resolução de exercícios repetitivos "de fixação" ou
aplicação direta de fórmulas.” (BRASIL, 2006, p. 70).
Além do caráter genérico, esse documento oficial também apresenta exemplos das
possibilidades de atividades para cada um dos quatro blocos de conteúdos. São discutidas
76
também estratégias de ensino da Matemática no Ensino Médio, como, por exemplo:
resolução de problemas, modelagem matemática, trabalho com projetos.
Como o objeto de estudo permeia-se na abordagem de elementos da Trigonometria, a
apreciação do documento se pautará a esse assunto no que tange à forma de apresentar esse
conteúdo aos alunos.
3.5.1. As funções trigonométricas
A abordagem da Trigonometria e das funções trigonométricas pelos documentos
oficiais se dá de forma mais específica, já que eles determinam qual currículo mínimo
necessário deve ser ensinado aos estudantes brasileiros. Além disso, essas orientações
hierarquizam os conteúdos, indicando quais devem ser ensinados e aqueles que, a critério
da análise que o professor, se fizeram fundamentais em relação a tempo, aos níveis de
aprendizagem dos alunos, e a outros fatores. Esse estudo busca enxergar quais são os
principais pontos requeridos por esse documento para posterior análise das provas dos
concursos dos professores do Estado de São Paulo.
Segundo as indicações contidas nas OCEM (2006), as relações métricas no triângulo
retângulo e as leis do seno e do cosseno são ferramentas importantes e devem anteceder o
trabalho realizado envolvendo esse conteúdo. Ademais, esse documento aborda a
necessidade de introduzir as razões trigonométricas, ressaltando as propriedades da
semelhança de triângulos:
No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um trabalho
com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções seno,
cosseno e tangente, priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as
leis do seno e do cosseno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos
alunos no ensino médio. Na introdução das razões trigonométricas seno e
cosseno, inicialmente para ângulos com medida entre 0° e 90°, deve-se ressaltar
que são as propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a essas
definições; segue-se, então, com a definição das razões para ângulos de medida
entre 90° e 180°. A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos,
devem ser justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de
medida 30°, 45° e 60°. (BRASIL, 2006, p.74)
77
Esse documento oficial ainda fornece um exemplo para que o professor possa trabalhar
esse conteúdo: um triângulo, a medida de dois lados e a de um ângulo formado por esses
mesmos lados e argumenta que é possível calcular a medida dos demais elementos do
triângulo. Ressalta que é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela
importância na resolução de problemas diversos, como em cálculos de distâncias
inacessíveis e que esse conteúdo deve ser priorizado na escola, inclusive se questionando
quais referências devem ser necessárias para a realização de tal cálculo:
Alguns tópicos usualmente presentes no estudo da trigonometria podem ser
dispensados, como por exemplo, as outras três razões trigonométricas, as
fórmulas para sen (a + b) e cos (a + b), que tanto exigem dos alunos para serem
memorizadas.
É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em
que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e cosseno, definido como
as coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com
medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como
extensões das razões trigonométricas então definidas para ângulos com medida
entre 0° e 180°. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes
às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f(x) = sen
(x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em
radianos. As funções trigonométricas seno e cosseno também devem ser
associadas aos fenômenos que apresentam comportamento periódico. O estudo
das demais funções trigonométricas pode e deve ser colocado em segundo plano.
(BRASIL, 2006, p.74, grifos nossos)
Logo, compreende-se que esse documento oficial indica conteúdos que "devem" fazer
parte do aprendizado dos alunos, assim como outros que podem ser "colocados em segundo
plano".
A Trigonometria também se faz presente no bloco da Geometria e as OCEM (2006)
indicam que alguns conceitos, anteriormente estudados no Ensino Fundamental, devem ser
consolidados, como por exemplo, “ideias de congruência, semelhança e proporcionalidade,
o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos
(retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.” (BRASIL, 2006, p. 75-76)
Esse documento deixa claro que suas orientações devem funcionar como subsídio para
as discussões curriculares relativas ao Ensino Médio e que cada professor, em conjunto
78
com seus pares e alunos, deve definir o currículo de Matemática, sempre buscando uma
formação matemática que privilegie o essencial e o significativo.
As recomendações e orientações contidas nos documentos curriculares oficiais no
âmbito federal serviram como base para a elaboração da Proposta Curricular do Estado de
São Paulo (2008), a qual será exposta e interpretada a seguir.
3.6 Currículo do Estado de São Paulo - Matemática e Suas
Tecnologias - 2010, e os Concursos
Este trabalho procura contribuir para a discussão sobre os conhecimentos necessários
aos professores que ministram aulas nas escolas públicas do Estado de São Paulo. Para
atender essa necessidade, a análise dos pressupostos e diretrizes que alicerçam o atual
Currículo do Estado de São Paulo podem fornecer indícios sobre os conhecimentos
imprescindíveis para o ensino da trigonometria ratificados no documento.
O novo currículo intitulado inicialmente por Proposta Curricular do Estado de São
Paulo (2008), e desde o ano de 2009 como Currículo do Estado de São Paulo foi
implementado pela Secretaria de Estado da Educação (SEE) em sua rede de ensino como
uma das ações do projeto São Paulo Faz Escola, que integrou a agenda do plano de gestão
2006-2010 do governo estadual para a Educação Básica paulista e continuou na gestão
2011-2014. O Currículo traz como principais pressupostos:
[...] a escola que aprende; o currículo como espaço de cultura; as competências
como eixo de aprendizagem; a prioridade da competência de leitura e de escrita; a
articulação das competências para aprender; e a contextualização no mundo do
trabalho. (SÃO PAULO, 2010, p.10)
O Currículo do Estado de São Paulo (2010), em sua apresentação, também aborda,
assim como os demais documentos analisados previamente, os seguintes elementos:
qualidade do ensino, universalização da aprendizagem, democratização do acesso à
79
educação, autonomia do estudante para gerenciar a sua própria aprendizagem (aprender a
aprender), a transposição da aprendizagem em intervenções solidárias (aprender a fazer e a
conviver), responsabilidade da equipe gestora como formadora de professores e dos
docentes na problematização e significação dos conhecimentos sobre sua prática,
construção coletiva da Proposta Pedagógica, conhecimento como instrumento mobilizado
de competências e habilidades e a contextualização dos conhecimentos acumulados.
3.6.1 Prioridade para Competências
O Currículo do Estado de São Paulo adota como competências a serem construídas, as
formuladas no referencial teórico do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem, 1998).
Dentre elas destacam-se:

Constituir a competência leitora-escritora - Essa competência é fundamental para
qualquer profissão, pois a leitura é a atribuição de sentido às coisas e escrever é assumir
a autoria por ações e consequências;

Desenvolver o raciocínio hipotético-dedutivo - Essa competência é fundamental para a
compreensão de fenômenos, a leitura é a compreensão, é a assimilação de experiências
e conteúdos disciplinares e a escrita é a expressão dessa construção;

Decidir e enfrentar situações-problema. Essa competência é fundamental para antecipar
de forma comprometida a ação de fenômenos e resolver problemas decorrentes deles e
dominar os inúmeros formatos que a solução do problema comporta;

Sintetizar a capacidade de escutar, supor, informar-se, relacionar, comparar, etc., além
de dominar códigos que expressem defesa ou reconstrução de argumentos. Essa
competência é fundamental para relacionar as diversas informações;
Para propiciar que o aluno desenvolva essas competências, o professor deve possuí-las,
o que corresponde aos conhecimentos necessários ao professor segundo Shulman.
80
3.6.2. Currículo de Matemática - Ensino Fundamental (Ciclo II) e Ensino
Médio
Este documento destaca a valorização da capacidade de extrapolação de contextos,
possíveis de vislumbrar em um rol de competências básicas, incluindo três pares de eixos
complementares: o eixo expressão/compreensão o eixo argumentação/decisão e o eixo
contextualização/abstração17.
No decorrer do estudo, os pares de eixos complementares que fazem parte do Currículo
do Estado de São Paulo são comparados pelo que dispõe o Currículo Federal e pela
utilização das indicações contidas nos PCN+ (BRASIL, 2002):
No que diz respeito ao eixo Contextualização/abstração, os elaboradores do Currículo
Oficial do Estado de São Paulo o consideram como:
A capacidade de contextualização dos conteúdos estudados na escola, de
enraizamentos na realidade imediata, nos universos de significações - sobretudo
no mundo do trabalho - e a capacidade de abstração, de imaginação, de
consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se
conceber o que ainda não existe. (SÃO PAULO, 2010, p. 31)
Tais indicações, possivelmente, consideram alguns dos pressupostos apresentados nas
Bases Legais dos PCN como uma garantia da qualidade de ensino. Dentre eles, os que
indicam como aspectos necessários são:
Abertura e sensibilidade para identificar as relações que existem entre os
conteúdos do ensino e as situações de aprendizagem e os muitos contextos de
vida social e pessoal, de modo a estabelecer uma relação ativa entre o aluno e o
objeto de conhecimento e a desenvolver a capacidade de relacionar o aprendido
com o observado, a teoria com suas consequências e aplicações práticas.
(BRASIL, 2000, p. 74)
Nota-se, nos trechos provenientes do Currículo do Estado de São Paulo e PCN Bases
Legais, que embora os textos sejam distintos, eles se aproximam ao identificar algumas
necessidades para o Ensino Médio, tais como: enquanto o Currículo do Estado de São
17
negrito da autora
81
Paulo indica a contextualização e abstração, as bases legais dos PCN indicam as situações
de aprendizagem e contextos de vida social e pessoal, relaciona o aprendido com o
observado, a teoria e as consequências e aplicações práticas.
Ao comparar os dois documentos verifica-se que ambos enfatizam a linguagem como
maior fundamento, quer exemplificado como no texto do Currículo do Estado de São Paulo
na forma da leitura de textos, tabelas e gráficos, quer nos PCN quando eles indicam que a
linguagem é o elemento-chave para a constituição de significados, conceitos, relações,
condutas e valores que a escola deseja transmitir.
3.6.3. A Organização dos Conteúdos Básicos: Números, Geometria,
Relações
Como tratado anteriormente, os conteúdos disciplinares da Matemática foram divididos
em três blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA E RELAÇÕES18: os Números
envolvem noções de contagem, medidas, códigos; a Geometria diz respeito a formas e
relações entre elementos de figuras planas e espaciais, formas geométricas e concepções de
espaço; as Relações incluem noções de medidas e aproximações, relações de
interdependência e ideia de função.
RELAÇÕES
NÚMEROS
GEOMETRIA
Figura 8 - Relações, Números e Geometria
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 39)
18
negrito do autor
82
NÚMEROS
equivalência/ordem
simbolização/operações
GEOMETRIA
percepção/concepção
construção/representação
RELAÇÕES
medidas/aproximações
proporcionalidade/interdependência
Figura 9 - Números, Geometria e Relações
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 39)
Como visto acima, os conteúdos dos três blocos estão interligados permanentemente,
existindo uma grande dificuldade na abordagem de um dos blocos sem a participação dos
demais.
3.6.4. Sobre o Processo de Ensino da Trigonometria - Aprendizagem dos
Conteúdos Básicos
Neste estudo, o foco de análise está voltado a elementos que abrangem a
Trigonometria, inserido nas relações de interdependências, conforme explicita o currículo
do Estado de São Paulo:
Também se enquadra nas relações de interdependência todo o estudo da
Trigonometria, desde as relações métricas no triângulo retângulo até a
caracterização das funções trigonométricas, com sua notável potencialidade para
representar fenômenos periódicos. As chamadas funções trigonométricas nada
mais são do que relações de interdependência que generalizam a ideia de
proporcionalidade, fundadora das noções de seno, cosseno e tangente, entre
outras. (SÃO PAULO, 2010, p.44)
O Currículo do Estado de São Paulo ainda argumenta sobre a necessidade da criação de
significados para os alunos, indicando que as narrativas são importantes e podem ser
decisivas na arquitetura de cada aula. Além disso, os professores devem trabalhar o
conteúdo fazendo um mapeamento do que será apresentado ao aluno, e em qual escala
(profundidade), se o assunto será praticamente esgotado ou se a abordagem desse assunto
será apenas superficial.
83
Considera-se fundamental que a opção do professor seja apresentar o que for
possível dos conteúdos de cada um dos bimestres, mas que todos eles sejam
tratados, mesmo que de uma maneira incipiente. (SÃO PAULO, 2010, p. 52)
Finalmente, é apresentado um quadro de conteúdos (série/ano por bimestre), tanto para
o Ensino Fundamental quanto para o Ensino Médio cuja ênfase se dá aos conteúdos
relativos à Trigonometria e suas articulações, no decorrer dos anos escolares:
Figura 10 - Conteúdo e habilidades 8° Ano do Ensino Fundamental
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 62)
84
Figura 11 - Conteúdo e habilidades 9° Ano do Ensino Fundamental
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 64)
85
1a série do Ensino Médio
Conteúdos
Geometria/Relações
Geometria - Trigonometria
4° Bimestre
* Razões trigonométricas nos triângulos
retângulos
* Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição e pavimentação de
superfícies
* Resolução de triângulos não retângulos
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Habilidades
* Saber usar de modo sistemático
relações métricas fundamentais entre os
elementos de triângulos retângulos, em
diferentes contextos
* Conhecer algumas relações métricas
fundamentais em triângulos não
retângulos, especialmente a Lei dos Senos
e a Lei dos Cossenos
* Saber construir polígonos regulares
e reconhecer suas propriedades
fundamentais
* Saber aplicar as propriedades dos
polígonos regulares no problema da
pavimentação de superfícies
* Saber inscrever polígonos
regulares em circunferências dadas
a
Figura 12 - Conteúdos e habilidades 1 Série do Ensino Médio
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 66)
86
2a série do Ensino Médio
Conteúdos
Relações
* Reconhecer a periodicidade presente em
alguns fenômenos naturais, associando-a
às funções trigonométricas básicas
Trigonometria
* Fenômenos periódicos
* Funções trigonométricas
1° Bimestre
* Equações e inequações
* Adição de arcos
Habilidades
* Conhecer as principais características
das funções trigonométricas básicas
(especialmente o seno, o cosseno e a
tangente), sabendo construir seus gráficos
e aplicá-las em diversos contextos
* Saber construir o gráfico de funções
trigonométricas como f(x) = asen(bx) + c
a partir do gráfico de y = senx,
compreendendo o significado das
transformações associadas aos
coeficientes a, b e c
* Saber resolver equações e inequações
trigonométricas simples, compreendendo
o significado das soluções obtidas, em
diferentes contextos
a
a
Figura 13 - Conteúdos e habilidades 2 Série do Ensino Médio
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 67)
87
a
Figura 14 - Conteúdos e habilidades 3 Série do Ensino Médio
FONTE: (SÃO PAULO, 2010, p. 70)
88
3.6.5. Cadernos do Professor e do Aluno
No Estado de São Paulo, o Caderno do Aluno é parte integrante do material didático
distribuído aos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, sendo
que os professores recebem um Kit com os exemplares do Caderno do Professor. O
Caderno do Professor, por sua vez, contém orientações sobre o uso dos cadernos, conteúdos
básicos do bimestre, situações de aprendizagem e seus respectivos roteiros de aplicação,
além disso, tece considerações sobre a avaliação, oferece orientações para a recuperação e
indica recursos para que o professor e o aluno possam ampliar o conhecimento em relação
ao tema.
O Caderno do Professor aborda o conteúdo disciplinar; afirmando que ele não se afasta
do que é usualmente ensinado nas escolas e livros didáticos. A abordagem dos conteúdos
busca evidenciar os princípios norteadores do Currículo do Estado de São Paulo,
destacando a contextualização, as competências e as habilidades envolvidas, especialmente
as relacionadas à leitura e escrita.
As Orientações Gerais sobre os Cadernos também informam que os conteúdos foram
organizados em oito unidades que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
Ainda esclarecem que o material contido no caderno é disponibilizado aos professores, mas
os docentes devem explorar cada conteúdo de forma mais adequada, simplificando ou
incrementando o material apresentado, utilizando-se de outras fontes de saber, sempre
visando à adequação dos conteúdos que devem ser aprendidos e o interesse dos alunos pelo
tema apresentado.
Nos Cadernos também são apresentadas situações de aprendizagem e, sempre que
possível, textos, softwares, sites, vídeos entre outros que podem auxiliar no enriquecimento
das aulas, sempre que o professor julgar conveniente.
89
O conteúdo de Trigonometria é abordado nos cadernos de apoio da SEE/SP: no 4°
bimestre do 8° ano do EF, nos 3° e 4° bimestres do 9° ano do EF, no 4° bimestre da 1a série
do EM, no 1° bimestre da 2a série do EM e no 3° bimestre da 3a série do EM.
A abordagem desse material está pautada no Caderno do Professor para todas as séries,
visto que esse documento disponibiliza um maior número de informações que podem
auxiliar o professor no processo de ensino de trigonometria aos alunos.
No 4° bimestre do 8° ano do EF, a Trigonometria é abordada apenas na Situação de
Aprendizagem 3 - O Teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos. Nesse
caderno, o Teorema de Pitágoras é apresentado e são utilizadas comparações entre a
matemática aplicada pelos egípcios e a matemática abstrata dos gregos, fortalecendo tanto o
papel da história quanto o da modelagem. Os cadernos relativos a esse ano propõem,
inicialmente, um debate entre os alunos, para que estes exponham seus conhecimentos
sobre Pitágoras e Tales para depois disponibilizar atividades que combinem combine o
resgate da história da Matemática, com a resolução de problemas em uma única abordagem
de ensino.
O uso das malhas quadriculadas é predominante nas atividades desse módulo, como por
exemplo, a duplicação da área de um quadrado, padrões de sequências numéricas, o
triângulo 3, 4, 519, propriedades do triângulo 3, 4, 5, aplicações de conceitos aprendidos
anteriormente, ternos pitagóricos, paradoxo das demonstrações apoiadas unicamente em
figuras construídas sobre malhas, o uso dos termos algébricos nas demonstrações,
demonstração algébrica do Teorema de Pitágoras, aplicações do Teorema de Pitágoras,
cálculo do perímetro de uma figura plana, além da história da Matemática.
No que tange à avaliação, cabe ao professor aplicar atividades em que sejam possíveis
aos alunos analisarem uma situação e argumentarem em uma demonstração, assim como o
19
Triângulo 3, 4, 5 - 3, 4 e 5 é a terna pitagórica que representa o menor triângulo retângulo com dimensões
inteiras.
90
reconhecimento de situações-problema que são resolvidas pela aplicação do Teorema de
Pitágoras.
Há recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema: Os autores indicam algumas obras, como: Descobrindo padrões pitagóricos, Vivendo
a Matemática, Descobrindo o Teorema de Pitágoras, Temas e problemas elementares, O
último Teorema de Fermat, 20.000 léguas Matemáticas.
No 3° bimestre do 9° ano do EF, são introduzidos os conteúdos: semelhança de
triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e razões
trigonométricas de um ângulo agudo.
Na Situação de Aprendizagem 1 - Semelhança entre figuras planas o conceito de que a
semelhança entre figuras pode ser obtida é introduzido, utilizando-se a ampliação ou
redução de suas medidas. Também afirma que conceitos já abordados anteriormente devem
ser revisitados como a ideia de escala e a razão entre duas medidas de mesma natureza. O
caderno de apoio também afirma que "para que duas figuras planas sejam semelhantes, é
preciso que sejam obedecidas duas condições: as medidas angulares de uma ou outra ser
correspondentemente iguais e as medidas lineares correspondentes guardarem uma
proporcionalidade." (SÃO PAULO, 2009b, p.11)
A situação de aprendizagem 1 - Semelhança entre figuras planas, atividade 1
(Ampliação/redução: o que se altera e o que não se altera) em seus diversos problemas,
explora a semelhança entre figuras planas quando obtidas por ampliação/redução, além de
mostrar que tais semelhanças podem ser melhor visualizadas quando a malha quadriculada
é utilizada.
A atividade 2 Razão de semelhança, em um de seus problemas, utiliza 2 figuras
semelhantes em um feixe de retas paralelas, mostrando que os ângulos das figuras são
congruentes e as dimensões lineares são proporcionais.
91
A atividade 3 - Ampliações e reduções: perímetros e áreas, inicia um trabalho com
perímetros e áreas a partir de ampliações e reduções, utilizando também as malhas
quadriculadas.
A atividade 4 - Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada,
retoma os conceitos utilizados na atividade 2, porém ampliando os conhecimentos de
figuras planas para prismas.
A atividade 5 - Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações, aqui o material
de apoio, começa a abordar os conceitos do Teorema de Tales.
Os autores ainda sugerem o que deve ser utilizado nas avaliações da aprendizagem dos
conteúdos desse módulo do caderno de apoio: proporcionalidade (dimensões lineares) e
congruência (ângulos). E argumentam:
Ao elaborar as etapas de avaliação, o professor deve, portanto, balizar-se em um
percurso semelhante, isto é, criar situações em que os alunos possam, de fato,
desenhar sobre malhas quadriculadas, enfrentando também problemas que
extrapolam o contexto matemático. (SÃO PAULO, 2009b, p. 20)
Na Situação de aprendizagem 2 Triângulos: um caso especial de semelhança, os
autores destacam a ideia de "rigidez" (não é possível alterar a medida dos ângulos internos
sem alterar as medidas lineares) do triângulo. Dessa forma, a única condição para existir
semelhança entre dois triângulos é a congruência entre seus ângulos internos
correspondentes; a proporcionalidade entre as dimensões dos lados, é mera consequência, e
não exigência como nos outros polígonos.
Os autores desta unidade de apoio enfatizam a importância dos alunos reconhecerem as
propriedades e justificarem-nas com sua correta nomenclatura: ângulos correspondentes,
alternos, opostos pelo vértice etc.
Na atividade 1 - Triângulos semelhantes: reconhecimento, problema 1 - nesse problema
é solicitado que os alunos desenhem dois triângulos semelhantes, sabendo que um dos
92
triângulos possui dois ângulos internos de 45° e o outro triângulo possui um lado medindo
4 unidades e o outro lado medindo 6 unidades. Nos demais problemas, é solicitado: que os
alunos indiquem os valores dos ângulos, dadas duas retas paralelas e uma transversal; que
seja dada uma justificativa para a congruência entre os ângulos (opostos pelo vértice,
alternos internos, alternos externos, correspondentes) e finalmente é pedido que os alunos
indiquem os valores de alguns ângulos, dados dois triângulos semelhantes: ABC e ADE.
Atividade 2 - Triângulos semelhantes: contexto e aplicações. Os problemas relativos a
esta atividade estão ligados à importância da congruência entre os ângulos internos dos
triângulos semelhantes. Como por exemplo: indicar os ângulos internos dos triângulos e as
medidas dos lados de ambos os triângulos, reconhecer a proporcionalidade entre as
dimensões de uma figura que possui algumas ruas formando triângulos e quando necessário
encontrar alguma distância relativa ao tamanho de uma das ruas. Utilizar instrumentos:
régua e transferidor e indicar os valores das medidas de alguns segmentos, além de um
problema em que é solicitado que o aluno obtenha o valor numérico da dimensão de uma
viga recém-posicionada em um telhado.
Atividade 3 - Semelhanças: cordas , arcos e ângulos. Neste bloco de problemas, são
utilizadas circunferências, arcos e cordas. Em um dos problemas, é solicitado que os alunos
identifiquem os ângulos correspondentes da figura, utilizando-se da proporcionalidade entre
os lados e que validem uma relação dada. Em outro problema, é solicitado que seja
indicado o valor da distância entre o ponto de intersecção de duas cordas e um ponto que
pertence à circunferência. Em outros problemas, são usadas as considerações sobre cordas e
circunferências e são solicitados que sejam encontrados os seguintes dados: ângulos
internos, proporção entre medidas e validação de uma relação, e valor numérico de uma
distância.
Nas considerações sobre as avaliações, os autores ressaltam que o caderno de apoio é
apenas um percurso de trabalho, porém caberá ao professor definir a escala que julgar
apropriada para a avaliação de seus alunos.
93
Na situação de aprendizagem 3 - Relações métricas nos triângulos retângulos; Teorema de
Pitágoras é indicada uma retomada desse aprendizado, já que esse conteúdo foi visitado no
4° bimestre do 8° ano do EF. Os autores indicam as "trilhas" que devem ser utilizadas pelos
alunos: observação e aplicação de regularidades, além de generalizações de propriedades a
partir do raciocínio indutivo, evitando fórmulas prontas.
Na atividade 1 - Triângulos retângulos: métrica e semelhança, os problemas são
utilizados para que sejam reconhecidas as principais dimensões (lados do triângulo: catetos
e hipotenusa), e seus respectivos ângulos. Neste bloco de problemas, a malha quadriculada
é utilizada como suporte ao aprendizado dos alunos, sendo solicitado que estes: escrevam
as proporções entre as medidas dos lados correspondentes e ainda que verifiquem que o
quadrado da altura é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa. Além disso, os autores começam a introduzir conceitos para que os alunos
possam se apropriar, como: h² = m * n, a² = c * n e b² = c * m, visto isso, os autores
chamam a atenção para o fato de que quando adicionamos (membro a membro) as
igualdades: a² = c * n e b² = c * m, obtemos a Relação de Pitágoras: a² + b² = c². No
problema 7, verifica-se que existe apenas o enunciado do problema, cabendo ao aluno
transformar as informações que se apresentam em linguagem materna em um desenho,
cujas análises possam ser efetuadas com maior facilidade e as distâncias solicitadas
encontradas. E no problema 8, os estudantes precisam reconhecer na figura dada (um
triângulo), os conceitos aprendidos nos problemas anteriores.
Na atividade 2 - Pitágoras: significado, contextos, os autores indicam que:
O Teorema de Pitágoras relaciona as medidas de triângulos retângulos à área do
quadrado construído, tendo como lado a hipotenusa a, é igual à soma das áreas
dos quadrados construídos, tendo como lados os catetos b e c:
a² = b² + c² (SÃO PAULO, 2009b, p. 36)
94
Figura 15 - Relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo
FONTE: (SÃO PAULO, 2009b, p. 36)
Na sequência, são apresentados diversos problemas para que os alunos utilizem os
conceitos aprendidos do Teorema de Pitágoras, como exemplo, um triângulo retângulo
isósceles que está inscrito em uma circunferência. Deve-se encontrar a medida dos lados
desse triângulo (catetos). Narrativas também fazem parte do módulo, para solicitar o
cálculo da distância entre duas pessoas (deve-se utilizar o Teorema de Pitágoras).
Problemas do cotidiano também são utilizados: na narrativa que informa a necessidade de
fixar duas barras rígidas à estrutura de um portão para que esse tenha maior firmeza, o
enunciado do problema informa o comprimento da barra a ser fixada e questiona, se o
material existente será suficiente para a conclusão do serviço. Além dos exemplos de
problemas citados, outros problemas são apresentados aos alunos, utilizando exemplos do
cotidiano e narrativas para responder às questões que envolvem Teorema de Pitágoras.
Atividade 3 - Relações métricas em triângulos retângulos: composição e
decomposição. Nessa atividade, o foco principal está na composição e decomposição de
triângulos retângulos de forma a obter relações métricas e utilizá-las para resolver questões
como calcular áreas, comparar áreas de figuras diferentes, calcular alturas.
As considerações sobre a avaliação indicam a importância do assunto e a necessidade
do professor propor novas situações de aprendizagem, para que os alunos se apropriem das
relações anteriormente exploradas.
95
Situação de aprendizagem 4 - Razões trigonométricas dos ângulos agudos, os autores
sugerem alternativas para o trabalho de apresentação das razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
A Atividade 1 - Ângulo de elevação: contexto e estimativas. Nesta atividade, é sugerida
uma sensibilização dos alunos para que eles consigam estimar com uma maior precisão
medidas de ângulos de elevação, além de introduzir noções de razões trigonométricas de
um ângulo agudo. Num primeiro momento de sensibilização são utilizadas narrativas que
incluem dados sobre estradas brasileiras e valores máximos para a inclinação delas sempre
de acordo com o volume de tráfego. O caderno de apoio ainda propõe uma atividade de
levantamento de dados a respeito dos ângulos de inclinação de ruas, cabendo ao professor
reunir as informações e discutir com os alunos a questão, e sabendo que o resultado da
experiência realizada por eles também pode ser obtido, utilizando-se as razões
trigonométricas, aprofundando ainda as razões seno e tangente. Os problemas dessa
unidade abordam inclinação percentual de ruas, telhados.
A atividade 2 - Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis. É proposto que o
professor auxilie os alunos na construção de um teodolito e indica os materiais necessários
e a forma como o teodolito deve ser construído. Nos problemas apresentados no módulo em
questão, o teodolito é utilizado para encontrar o ângulo de elevação e conhecida uma
dimensão, por exemplo, a altura de uma árvore é pedido que o aluno encontre a distância
entre o aluno e a árvore. Em outro problema, é solicitado que o aluno encontre a altura de
um objeto quando não se tem acesso à medida da base. Outro problema, da mesma forma
pede que seja calculada: a largura de uma rua e ainda um outro, as distâncias entre dois
pontos inacessíveis.
Atividade 3 - Uma tabela de cordas, ou de senos. Nesta atividade, os autores
utilizaram-se da História da Matemática para contar que a primeira tabela trigonométrica
foi construída na Grécia antiga. Esta atividade não se faz presente no Caderno do Aluno e o
professor decide se deve apresentar a atividade aos seus alunos. O caderno de apoio do
96
professor, ainda propõe que os alunos construam uma tabela de senos de forma similar à de
Hiparco. Para essa atividade foi proposto um problema que também mostra a forma de
calcular distâncias inacessíveis.
As considerações sobre a avaliação indicam:
Nessa medida, as avaliações previstas para o período de estudo devem levar em
consideração as diversas atividades práticas realizadas pelos alunos, de modo que
o quadro da avaliação final seja composto, em boa parte, por esse tipo de
atividade.. (SÃO PAULO, 2009b, p. 51)
Nas orientações para recuperação, os autores propõem que, durante o período de
recuperação, sejam contempladas as atividades que envolvam as malhas quadriculadas
(situação de aprendizagem 1), identificação de ângulos congruentes em triângulos
semelhantes e aplicando outros problemas representados em malhas quadriculadas
(situação de aprendizagem 2), retomada de conceitos (situação de aprendizagem 3),
e,finalmente a tomada de medidas de comprimento e de ângulos em situações do cotidiano
(situação de aprendizagem 4).
Além de todas as orientações já comentadas, o Caderno do professor inclui um rol de
recursos que pode ser utilizado para ampliar a compreensão do conteúdo por parte do
professor e do aluno, além de outras considerações finais, como a recomendação da atenção
redobrada que o professor deve ter ao destacar as diversas relações entre os significados
conceituais.
No Caderno do Professor, 4° bimestre, 9° ano, EF, a Trigonometria é retomada na
Atividade 7 - Problemas envolvendo o cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras. Os
autores indicam a possibilidade da exploração da relação a² = b² + c² em outras figuras além
do quadrado. Tais possibilidades são demonstradas com a utilização de círculos, setores
circulares, inscritos nos quadrados que remetem ao Teorema de Pitágoras. Ademais,
apresentam "As lúnulas de Hipócrates", contando um pouco dessa história e,
posteriormente, apresentam a construção e a demonstração do fato de que a soma das áreas
de duas "lúnulas" era igual à área do triângulo retângulo.
97
No 4° bimestre da 1a série do EM, é retomado o ensino da trigonometria associado ao
estudo da Geometria, por meio das razões trigonométricas. É um momento de consolidação
de conteúdos, utilizando-se da contextualização em situações práticas diferenciadas.
Situação de aprendizagem 1 - Rampas, cordas, parsecs - razões para estudar triângulos
retângulos. É o momento da consolidação de noções de tangente, seno e secante de um
ângulo agudo. Para explicitar tal conteúdo são utilizadas: a ideia de inclinação para a
tangente e a razão entre cordas e raios de um arco de circunferência para o seno e a secante.
No Caderno do Professor, antes de serem iniciadas as primeiras atividades, é abordado
o tema A inclinação da rampa e a tangente. É um primeiro passo na direção ao
entendimento dos significado de tangente. O exemplo ilustrativo indica as distâncias
percorridas por uma pessoa em uma rampa, quando comparadas com as distâncias
existentes no eixo horizontal. É introduzido também o ângulo de inclinação da rampa, e
esta é comparada a um triângulo retângulo. Além disso, o material de apoio tece algumas
considerações sobre inclinações de ruas e estradas conforme política do DNIT20.
Após esse primeiro momento de retomada de conteúdos, são apresentadas aos alunos as
primeiras atividades que abordam os temas previamente discutidos, como rampas,
distâncias e ângulos.
O segundo tema abordado é: Triângulos nas estrelas: as tabelas de cordas e senos.
Nesse momento, é retomado o conteúdo da 9° ano do EF, quando foram construídos os
conceitos de seno, cosseno e tangente abordados no capítulo, prevalecendo uma visão
histórica dos cálculos astronômicos relacionados à posição e ao movimento das estrelas, e
complementa com a tabela de cordas de Hiparco de Niceia que viria a dar origem à noção
de seno. As tabelas fornecem os valores das razões
C
entre o comprimento c de cordas
R
traçadas em uma circunferência e o raio R da circunferência, conteúdo anteriormente
20
Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes
98
abordado no 3° bimestre do 9° ano do EF. Nas atividades seguintes, é solicitado que o
aluno: calcule o comprimento de cordas, a razão entre a semicorda e o raio, determine os
ângulos centrais correspondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são senos,
e calcule o raio de uma circunferência.
Na terceira abordagem: A secante de um ângulo, inicia-se com uma explicação do que é
uma secante, que significa: cortar e exemplifica quando uma reta é secante a uma
circunferência, ainda retoma os conceitos das razões trigonométricas seno, cosseno e
tangente. Nas atividades seguintes, é solicitado que o aluno com base na reflexão proposta
pelos autores chegue a algumas conclusões, como por exemplo:
sen  cos  ,
1  tg ²  sec ² etc.
A quarta abordagem: Distâncias astronômicas: das cordas ao parsec é explicado o que
é paralaxe, o que são unidades para distâncias interestelares (é a distância que corresponde
a um ângulo de paralaxe de 1", que também é conhecida como parsec). Após várias
abordagens e um exemplo ilustrativo são retomadas as atividades, nas quais os alunos são
questionados: ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1 para uma distância dada?
Quantos parsec correspondem 1 UA21? Quantos anos-luz correspondem a 1 parsec?
Considerações sobre a avaliação, para os autores, foi um momento de retomada das
razões trigonométricas fundamentais e, para eles, cabe ao professor, aprofundar as
explicações quando se fizerem necessárias a fim de preencher lacunas existentes no
aprendizado dos estudantes.
Situação de Aprendizagem 2 - Dos triângulos à circunferência - Vamos dar uma volta?
Nesta situação de aprendizagem, os autores introduzem características aplicáveis às razões
trigonométricas como ângulos maiores do que 90°, de forma a obter seno, cosseno,
tangente etc., para ângulos de qualquer medida. O caderno de apoio mostra, utilizando-se
21
UA - Unidade Astronômica
99
de ilustrações, em qual intervalo encontram-se os senos e os cossenos de ângulos
localizados nos: I, II, III e IV quadrantes, além de utilizar um exemplo ilustrativo que
disponibiliza um círculo trigonométrico com os ângulos: 45°, 135°, 225° e 315° e uma
tabela que associa esses ângulos e os valores numéricos do seno de seus respectivos
ângulos. Os senos e cossenos dos ângulos que limitam os quadrantes também são tratados
neste documento, indicando os valores numéricos de senos e cossenos dos ângulos: 0°, 90°,
180°, 270°, 360°. A abordagem das atividades introduzidas solicita que o aluno calcule o
seno de alguns ângulos dados, construa uma tabela com os valores numéricos das seis
razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec, cossec), identifique os segmentos que
representam a tangente e a secante, calcule o seno e cosseno de diversos ângulos, calcule o
comprimento da circunferência, complete uma tabela que associa: ângulo, arco e corda.
Considerações sobre a avaliação, para os autores:
É imprescindível, no entanto, que os alunos tenham assimilado com naturalidade
o fato de que as razões trigonométricas podem ser calculadas de modo
significativo para ângulos de 0° a 360°. Para tanto, é preciso que sejam
conhecidos os valores das razões para ângulos notáveis, como 30°, 45°, 60° 90°,
180°, 270° e 360°, e que saiba reduzir o cálculo das razões para um ângulo α
qualquer ao cálculo das razões para um ângulo agudo, por meio de relações
simples como, por exemplo, sen (180° - α) = sen α. (SÃO PAULO, 2009d, p.30)
Na Situação de aprendizagem 3 - Polígonos e circunferências - Regularidades na
inscrição e na circunscrição, o caderno de apoio inicia-se com a abordagem do assunto
Ângulos Notáveis em Polígonos Regulares inscritos. Os autores afirmam que todos os
polígonos regulares podem ser inscritos em uma circunferência, portanto todos os vértices
desse polígono podem pertencer a uma mesma circunferência, que é chamada de
circunferência circunscrita ao polígono. Utilizando-se de figuras, os autores indicam os
valores em graus dos ângulos centrais de três polígonos: triângulo, quadrado e hexágono, e
amplia esse estudo para qualquer polígono afirmando que a medida do ângulo central
correspondente ao lado é igual a
360
.
n
100
Figura 16 - Ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos
FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.31)
A partir deste raciocínio, os autores observam que: "a soma de duas metades do ângulo
interno com o ângulo central deve ser igual a 180°", conforme a tabela a seguir:
Figura 17 - Polígono x Valor em graus dos ângulos central e interno
FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.32)
Os autores se utilizam de analogia em relação ao assunto abordado anteriormente e, por
meio de figuras, exploram as disposições dos polígonos inscritos em uma mesma
circunferência, como o triângulo, quadrado e o hexágono, e ainda afirmam que o valor
101
numérico do ângulo externo de um polígono regular é igual ao valor numérico do ângulo
central. A partir de tais informações, uma nova bateria de atividades é apresentada, como
por exemplo: descobrir se em um polígono regular existe um ângulo externo igual a um
ângulo interno, se um ângulo interno é igual ao dobro do externo, e se ângulo central é
igual ao ângulo interno.
Inscrevendo polígonos na circunferência: Os autores retomam a relação entre cordas e

x
raios, utilizando uma figura e a seguinte relação: sen( )  , e concluem que o valor
2
2
numérico do lado de um polígono regular inscrito em uma circunferência é igual a:

L  2 Rsen( ) . Apresentam também uma tabela com exemplos ilustrativos e de forma
2
análoga, mostram novamente utilizando figuras qual o valor do lado de um polígono

circunscrito L  2 Rtg ( ) . Novas atividades são lançadas para que os alunos respondam,
2
como por exemplo: calcular o valor numérico dos lados de um polígono de n lados (valores
dos lados definidos na atividade) inscritos e circunscritos na circunferência, pergunta-se
qual a diferença percentual entre o perímetro de um dado polígono e o comprimento de sua
circunferência, em quantos por cento a área de um polígono circunscrito supera a área do
círculo correspondente?
Considerações sobre a avaliação - os autores argumentam que a inscrição e
circunscrição de polígonos em circunferências servem como pretexto para consolidar as
relações entre a Geometria e Trigonometria e indicam quais os conteúdos fundamentais dos
quais os alunos devem ter se apropriado: calcular elementos básicos dos polígonos inscritos
e circunscritos em uma circunferência, ou seja: ângulo central, ângulos interno e externo,
perímetro e área.
Situação de aprendizagem 4 - A hora e a vez dos triângulos não retângulos - Nessa
situação de aprendizagem são abordadas a Lei dos senos e a Lei dos cossenos.
102
Dos triângulos retângulos a qualquer triângulo - Os autores iniciam esse tópico,
relembrando algumas relações já abordadas anteriormente, como o teorema de Pitágoras e a
relação seno de um ângulo. Empregando a figura a seguir, os autores afirmam por exemplo
que c² > a² + b², e que o maior lado de um triângulo qualquer sempre se opõe ao maior
ângulo e vice-versa, mas, não é verdade que, se a medida de um ângulo dobrar, a medida do
lado também dobrará.
Figura 18 - Triângulo qualquer
FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.38)
Entretanto, existe uma proporcionalidade entre os lados e os ângulos opostos a esses
lados, indicada por
a
b
c
. Essa relação é conhecida como Lei dos Senos.


sen sen sen
As atividades seguintes justificam essa relação, ao solicitarem que os alunos: mostrem que
um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do ângulo central, e
que mostrem que as proporções:
a
b
c
são válidas, indiquem se um


sen sen sen
triângulo de dimensões 5m, 6m e 10m é retângulo, se ao dobrarmos as dimensões dos três
lados os ângulos são alterados, se é possível dividir o lado de 6m ao meio e construir um
triângulo de lados 5m, 3m e 10m, e perguntando a razão entre o seno do ângulo oposto ao
lado de 5m e o seno do ângulo oposto ao lado de 10m, calcular a medida de um ângulo em
graus dada uma figura que contém: a corda e o diâmetro da circunferência.
Ampliando o teorema de Pitágoras: Lei dos Cossenos - Partindo do teorema de
Pitágoras, ampliando os conhecimentos e identificando os lados de um triângulo com o uso
dos senos e cossenos, os autores deduzem uma relação conhecida como Lei dos Cossenos:
c²  a²  b²  2ab * cos  . Após a dedução são fornecidos exemplos ilustrativos e
novamente são propostas atividades aos alunos
como: fornecidos alguns dados, é
103
questionado se o triângulo é retângulo, calcular o seno e o cosseno de um ângulo,
demonstrar uma relação dada, calcular a resultante de duas forças.
Considerações sobre a avaliação - É esperado que o aluno tenha compreendido: Lei dos
Senos e dos Cossenos.
Orientações para recuperação - explorar as relações métricas no triângulo retângulo,
concentra-se nas razões fundamentais (sen, cos, tg), na redução de ângulos ao primeiro
quadrante, explorar as significações da razão seno em todos os quadrantes antes do
aprofundamento de outras razões trigonométricas, utilizar polígonos mais simples
(quadrado por exemplo), explorar elementos estéticos associados à inscrição e à
circunscrição, demonstrar que a razão entre os catetos e os senos correspondentes é
constante, explorar um triângulo qualquer observando que o maior lado sempre se opõe ao
maior ângulo, destacar que grandezas inter-relacionadas nem sempre são diretamente
proporcionais.
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema - Os autores sugerem sites como o Cepa e Wikipedia, além de artigos para auxiliar a
compreensão do assunto por parte dos professores e alunos.
No 1° bimestre da 2a série do EM, os autores observam que a Trigonometria estudada
nessa série é a que estabelece ligação entre o eixo Geometria e Medidas
(proporcionalidade) e o eixo Números e Funções (periodicidade de determinados
fenômenos).
A ideia de proporcionalidade é apresentada no estudo das relações métricas em um
triângulo retângulo e noções de semelhança entre triângulos que são a base para a aplicação
das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Para o estudo da periodicidade, foi
criado um modelo matemático que amplia e dá movimento à ideia de regularidade, da
representação de um padrão. Dessa forma, as funções trigonométricas podem ser
104
apresentadas a partir de experimentos reais ou de pensamentos, para que os alunos
percebam a necessidade do estudo de tais conteúdos.
Na situação de aprendizagem 1 - O reconhecimento da periodicidade, os autores
afirmam que as funções mantêm as características de dependência entre as grandezas
envolvidas e complementam que apesar de existir a possibilidade das funções
trigonométricas nos auxiliarem na modelagem de uma gama imensa de fenômenos
periódicos , é com baixa frequência que estes se apresentam, contextualizados nos materiais
didáticos, ficando as razões senos, cossenos e tangentes restritas aos cálculos de valores
numéricos dos arcos notáveis e seus côngruos. E concluem: "a maior motivação pelo estudo
das funções trigonométricas deve ser o reconhecimento de que são necessárias para a
modelagem de fenômenos periódicos". (SÃO PAULO, 2009e, p.13).
Os autores descrevem o movimento do nascer ao por do sol, explicando que no verão a
inclinação do percurso do sol em relação à linha zenital22 é menor do que no inverno, e que
o comprimento das sombras também sofre variações durante o horário do dia, inclusive a
sombra máxima ocorre no solstício23 de inverno.
Na atividade 1, os autores sugerem que os alunos imaginem o acompanhamento do
comprimento da sombra de uma estaca por dois anos, sendo que os valores relativos ao
comprimento da sombra foram registrados em uma tabela. A tarefa para os alunos seria
refletir sobre o formato desse gráfico e desenhá-lo. Após esse primeiro momento, o
professor deveria promover uma discussão, na qual os alunos pudessem reconhecer que a
periodicidade pode ser traduzida por um gráfico no formato aproximado de uma onda. Os
autores lançam o seguinte questionamento: “Como podemos traduzir este tipo de gráfico
por uma equação matemática?” (SÃO PAULO, 2009e, p.15)
22
zenite - o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte
23
solstício de inverno - início do inverno (21 de junho)
105
A partir da questão proposta anteriormente, os autores sugerem que os professores
comentem com seus alunos que as "ondas" visualizadas nos gráficos podem estar
associadas às funções seno e cosseno, e que estas estão relacionadas com as razões
trigonométricas seno ou cosseno. Abrindo um pouco mais o "leque" de possibilidades, o
professor pode inserir alguns conceitos importantes, como: período (comprimento de onda),
e amplitude (distância entre as posições extremas de um objeto ou de um fenômeno),
solicitando aos alunos que identifiquem no gráfico o período e a amplitude. Os autores
ainda destacam a importância do trabalho de reconhecimento de que é possível a utilização
de parâmetros matemáticos na descrição da periodicidade presente nos fenômenos.
Ainda nesta mesma situação de aprendizagem, é abordada a questão das sombras
longas. Os alunos podem imaginar a sombra de uma estaca vertical por alguns dias e podem
realizar o registro dos comprimentos verificados em função das horas do dia. O aluno deve
perceber que ao nascer do sol, o comprimento da sombra é maior e esta vai se reduzindo até
um valor mínimo que deve ser encontrado por volta do meio-dia, e após o professor
explicar esse fenômeno, o caderno de apoio orienta que este solicite aos alunos que
construam um gráfico cartesiano que mostre a evolução do comprimento da sombra da
estaca durante a passagem de um determinado tempo. Caberá ao professor, então, explicar
o que motivou a diversidade da representação gráfica, inclusive comentando a
descontinuidade que pode estar presente em algumas atividades e que ocorre em alguns
fenômenos periódicos. Na presente atividade, a função periódica representada é a tangente,
ou a cotangente.
Considerações sobre a avaliação, os autores sugerem que os professores considerem a
construção dos gráficos e o reconhecimento de períodos e amplitudes.
Situação de aprendizagem 2 - A periodicidade e o modelo da circunferência
trigonométrica - Os autores abordam a temática associando o fenômeno a um ponto,
girando sobre uma circunferência, e as medidas das projeções desse ponto são os valores
das funções trigonométricas associadas a arcos percorridos pelo ponto, portanto, é proposta
106
para esta situação de aprendizagem a construção do modelo da circunferência
trigonométrica.
Valendo-se da atividade anterior (movimento do sol), esse é comparado com o
movimento de um ponto sobre uma circunferência centrada no sistema de eixos cartesianos.
O caderno de apoio reproduz uma sequência de figuras ilustrativas que auxiliam o aluno
nessa comparação. Na atividade seguinte, é solicitado que o aluno preencha uma tabela
associando o ângulo de elevação do sol em relação ao eixo horizontal com a medida
aproximada da projeção no eixo vertical. Os autores deixam claro que a apropriação desse
conteúdo, por parte do aluno, será referente aos seguintes aspectos: medidas das projeções
verticais escritas em frações de raio, aproximações em décimos das medidas das projeções,
medida do ângulo não proporcional à medida da projeção etc.
Em uma atividade seguinte, é solicitado que o aluno desenhe um gráfico que contenha
os dados da tabela construída anteriormente (ângulos - eixo horizontal e medidas de
projeção - eixo vertical), de forma que estes possam reconhecer o formato de onda; em
outra atividade é pedido que o aluno complete uma tabela e posteriormente desenhe o
gráfico que representa a relação entre a medida do ângulo de elevação do sol e a medida da
projeção sobre o eixo horizontal e caberá ao professor chamar a atenção dos alunos para
alguns fatos, como por exemplo, projeção vertical do ângulo de 60° = projeção horizontal
do ângulo de 30°. Além disso, caberá ao professor relacionar o modelo apresentado nas
citadas atividades com o conhecimento anterior sobre as razões trigonométricas.
Na atividade 4, é solicitado que o aluno construa uma circunferência trigonométrica que
contenha os ângulos notáveis e seus simétricos, desenhe uma tabela que estabeleça as
relações entre os ângulos, senos e cossenos, além do desenho em um sistema de eixos
cartesianos das funções: y = senx e y = cosx.
Apresentando os radianos. É o momento para que as medidas de arcos em radianos,
assim como as transformações de radianos em graus e vice-versa, sejam apresentadas aos
107
alunos. Os autores discutem a relação
C
  , e abordam a temática afirmando que o
D
radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência.
A partir desse aprendizado, os alunos podem resolver as atividades 5, 6, 7, 8 e 9, que
abordam medidas de arcos em graus e em radianos, comparações entre arcos, conversão de
graus em radianos, e, para complementar o percurso do aluno nesse aprendizado
trigonométrico, os autores ainda sugerem a resolução de equações trigonométricas como:
senx = k, definidas em R e em intervalos definidos, utilizando-se da forma algébrica, assim
como da forma gráfica para resolver o problema.
Importante ressaltar que nesse caderno de apoio, os autores não apresentam os arcos
com extremidades finais negativas (giro no sentido horário), porém destacam a importância
da abordagem desse conteúdo para que ao menos os estudantes saibam da existência desse
tipo de arco.
Considerações sobre a avaliação: Para os autores, o professor deve avaliar a capacidade
dos alunos no que se refere a:
 Identificar a posição da extremidade final de um arco medido em graus;
 Identificar a posição da extremidade final de um arco medido em radianos;
 Converter para radianos uma medida de arco expressa em graus;
 Obter a menor determinação positiva de um arco qualquer;
 reconhecer as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das funções
y = senx e y = cosx;
 Resolver funções trigonométricas simples. (SÃO PAULO, 2009e, p.34)
Os autores ainda destacam a priorização de questões de caráter conceitual, em
detrimento daquelas com passagens algébricas além do necessário.
Situação de aprendizagem 3 - Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e
cossenos - Os autores afirmam que vários fenômenos periódicos podem sem modelados
utilizando-se funções trigonométricas. Dessa forma, é necessário que os alunos saibam
desenhar gráficos de funções a partir de uma equação e vice-versa. No módulo, os autores
108
apresentam apenas as funções seno e cosseno, deixando para segundo plano os gráficos das
demais funções. Nesta situação de aprendizagem são sugeridos vários tipos de percurso:
Percurso 1 - Construção do gráfico a partir de tabela de valores, nesse percurso, os
autores sugerem que os gráficos sejam construídos, introduzindo-se uma constante por vez
e que inicialmente seja utilizado o papel quadriculado para o desenhar dos gráficos, como
exemplo, os alunos podem desenhar os gráficos: y = senx e y = 2senx, no mesmo plano
cartesiano. A partir desse aprendizado, os autores introduzem algumas atividades para os
alunos responderem, tais como completar tabelas e construir gráficos, por exemplo: y =
senx e y = 1,5senx, y = cosx e y = 3cosx. Além disso é solicitado que o estudante reflita
sobre a relação observada no gráfico e indique a diferença entre os gráficos: y = senx e
y=Asenx.
Em outro exemplo, os autores apresentam outra formação da função trigonométrica: y =
AsenBx e y = AcosBx, e sugerem que o professor construa os gráficos de y = senx e y =
2sen2x no mesmo plano cartesiano para uma melhor compreensão dos alunos.
Percurso 2 - Construção de gráficos com o auxílio de um software - Neste momento, o
professor pode disponibilizar para seus alunos um software para a construção dos gráficos
de funções trigonométricas, caso exista essa possibilidade: recursos materiais e técnicos.
Para esse percurso, são utilizadas funções similares as apresentadas anteriormente.
Percurso 3 - Gráficos trigonométricos em função do tempo, neste percurso, os autores
afirmam:
Fenômenos periódicos são aqueles que se repetem a cada intervalo determinado
de tempo, mantendo suas características básicas. Se quisermos analisar os
fenômenos periódicos e, se possível modelá-los, não podemos deixar de
considerar as funções nas quais uma grandeza varia periodicamente em função do
tempo. (SÃO PAULO, 2009e, p. 47)
109
Em um exemplo, dada a função y = senBx, é solicitado: o Domínio, a Imagem e o
Período. Em outra atividade é pedido que os alunos desenhem um gráfico cartesiano
representativo de uma equação.
Considerações sobre a avaliação: os autores sugerem que as atividades deste módulo
sejam utilizadas em avaliações, assim como caso o professor utilize algum software na
construção de gráficos, que este utilize as fichas de acompanhamento.
Situação de aprendizagem 4 - Equações trigonométricas: para essa situação de
aprendizagem, os autores selecionaram quatro fenômenos periódicos que podem ser
modelados. São eles: período de claridade de uma cidade, pressão sanguínea, temperatura e
o fenômeno das marés.
Atividade 1 - Cálculo do período de claridade de uma cidade - os autores afirmam que
a inclinação do eixo de rotação da Terra é a responsável pela quantidade de sol recebida por
uma cidade no período de um ano e que em cidades mais próximas da linha do Equador
esse fenômeno quase não é percebido, pois a claridade das cidades quase não é alterada
durante o ano, e que em regiões mais afastadas da linha do Equador, o verão é claro e os
dias são longos, enquanto que nos invernos, a situação é invertida. A partir dessa
apresentação, são seguidas algumas atividades que os alunos devem responder.
Atividade 2 - A periodicidade da pressão sanguínea - nesta atividade, os autores
informam que o gráfico constante no caderno de apoio representa a variação da pressão
sanguínea em mmHg nas paredes dos vasos sanguíneos em função do instante t (em
segundos), momento em que a medida da pressão foi efetuada. A partir da
contextualização, os estudantes devem responder a algumas questões efetuando a leitura de
dados constantes no gráfico apresentado na atividade.
110
Atividade 3 - A temperatura pode ser periódica? Os autores fornecem uma equação
trigonométrica que permite modelar as variações de temperatura. Um exemplo é fornecido
aos estudantes, além de uma contextualização de dados.
Atividade 4 - O fenômeno das marés - A ocorrência do fenômeno das marés está ligada
à conjugação da atração gravitacional entre Terra-Lua-Sol e a rotação da Terra em torno do
seu eixo, de forma que as águas do mar atinjam alturas máximas e mínimas. Os autores
ainda afirmam que quando Lua e Sol estão alinhados (Luas cheia ou Nova), as atrações são
somadas, ocorrendo as marés mais altas. Novamente os autores utilizam uma
contextualização que implicou em uma tabela de marés ocorridas em Recife entre os meses
de agosto/setembro de 2014.
Considerações sobre a avaliação: os autores, neste módulo, propõem que os professores
reflitam a respeito das habilidades necessárias aos alunos e que devem ser avaliadas, além
do questionamento a respeito de quais instrumentos podem avaliar as habilidades
selecionadas. Para os autores, os alunos devem mobilizar as seguintes habilidades:




Identificar a posição da extremidade final dos arcos notáveis na
circunferência, associando-os aos correspondentes valores de senos,
cossenos, tangentes e cotangentes.
Obter a menor determinação positiva de arcos medidos em radianos ou em
graus.
Representar os gráficos das funções trigonométricas e reconhecer suas
propriedades.
Determinar o conjunto solução de equações ou de inequações
trigonométricas, mesmo daquelas envolvidas por contextos não apenas
matemáticos. .(SÃO PAULO, 2009e, p. 55)
Os autores sugerem que o processo de avaliação dos estudantes seja efetuado de modo a
retratar as características desenvolvidas durante o processo de ensino.
Orientações para recuperação - Nesse momento, os autores sugerem uma rotina que
pode ser seguida pelos professores para atingir o desempenho esperado como, por exemplo,
construir novamente os gráficos das funções y = senx e y = cosx, discussão com os alunos a
respeito do modo de efetuar a conversão de graus em radianos e vice-versa etc.
111
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema: Nesse momento, os autores sugerem alguns materiais para que professores e alunos
se aprofundem um pouco mais no tema abordado neste caderno de apoio, como por
exemplo: Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, de Elon Lages Lima, RPM, n°6
etc.
O Caderno de apoio do 3° bimestre da 3a série de EM, possui como conteúdo básico a
ideia de função.
O objetivo do caderno de apoio é abordar as seguintes funções: funções de 1° grau, de
2° grau, exponencial, logarítmica, além das funções trigonométricas, destacando as
qualidades essenciais destas, de modo a favorecer a compreensão por parte dos alunos, a
respeito dos fenômenos da realidade. Apesar da importância de todas as funções no
contexto da Matemática, neste trabalho abordamos apenas o que foi enfatizado neste
caderno no que diz respeito às funções trigonométricas.
No caso das funções trigonométricas, vale destacar as funções y = senx, y = cosx e y =
tgx, que o cosseno de um arco x é o arco do seno complementar de x, e que todas as
propriedades da função seno podem ser deduzidas partindo-se da função seno.
Apresentação dos conteúdos e temas - O Caderno de apoio introduz as características de
uma função como variáveis dependentes e independentes e, a seguir,
inclui alguns
exemplos, no caso das funções trigonométricas: o exemplo 7, onde uma bola oscila em
torno de uma mola e a distância x da bola até o ponto de equilíbrio depende do instante t
considerado, o exemplo ainda apresenta o gráfico dessa função trigonométrica.
A atividade 5 deste módulo é uma variação do exemplo citado anteriormente e solicita
que os alunos determinem: o valor da constante k da mola, o valor de x para t = 1s, t = 2s, t
= 3s e t =
10
s , além de construir o gráfico de k em função de t.
3
112
Considerações sobre a avaliação - Para os autores, tais situações apresentadas são
utilizadas como estratégia para a exploração de atividades consideradas exemplares.
Situação de aprendizagem 2 - Construção de gráficos: Um olhar "funcional" - Nesse
módulo, os autores abordam o tema funções utilizando-se de transformações como a
translação por exemplo.
No exemplo 2 desse módulo, há a representação gráfica da função trigonométrica f(x) =
2 + senx, descrita como a função y = senx, duas unidades para cima na direção do eixo y e
no exemplo 9, há a função f(x) = 3senx cujos valores de f(x) oscilam entre +3 e -3. No
exemplo 10, existe o gráfico da função f(x) = 3xsenx, em que os autores explicam o que se
deve imaginar no gráfico y = Asenx, e indica que ele oscilará entre as retas y = 3x e y = 3x. A partir dos mencionados exemplos, os autores sugerem um rol de atividades para
serem executadas pelos alunos, no caso das funções trigonométricas, temos as atividades: 2
e 5 (parcial).
Considerações sobre a avaliação - Para os autores, espera-se que os alunos tenham
aprendido a traduzir situações de interdependência de forma a praticar a decomposição de
funções mais complexas em outras mais simples, assim como vislumbrar essas mesmas
funções utilizando-se de gráficos mais simples. Os autores ainda enfatizam que para que os
alunos obtenham tais habilidades são necessários que eles achem natural as transformações
como deslocamentos verticais e horizontais, assim como as inversões de sentido.
Situação de aprendizagem 3 - As três formas básicas de crescimento ou decrescimento:
a variação e a variação da variação.
Nessa situação de aprendizagem são aprofundados os seguintes conteúdos: visualização
das variações de grandezas, reconhecimento de pontos de máximo e mínimo, quando esses
existirem. Tais abordagens já ocorreram quando da introdução das funções de 1° e 2° graus,
113
e neste momento, as demais são analisadas introduzindo-se fatores de crescimento,
decrescimento e taxas de variação.
Após uma abordagem das funções crescentes e decrescentes utilizando-se como formapadrão as funções de 1° grau, os autores inserem no módulo alguns exercícios exemplares,
como, por exemplo: atividade 6, em que é pedido que sejam construídos os seguintes
gráficos: f(x) = senx e g(x) = cosx entre x = 0 e x = 2π no mesmo sistema de coordenadas.
Além disso, pede-se que sejam identificados os intervalos em que f(x) e g(x) são crescentes
e aqueles em que são decrescentes, comparando os gráficos das funções f(x) e g(x) e
observando que os valores máximos de uma das funções ocorrem nos pontos em que a
outra função se anula e vice-versa. Em seguida, devem fazer a comparação entre as
concavidades dos gráficos das funções.
Considerações sobre a avaliação - Para os autores, é importante que os alunos consigam
visualizar em uma função, além do crescimento ou decrescimento, a rapidez com que a
função cresce ou decresce, e ainda indicam que é de fundamental importância o
reconhecimento das três formas básicas de crescimento ou decrescimento de uma função:
as taxas constantes, as taxas crescentes e as taxas decrescentes, observando que esses são
conteúdos mínimos que devem ser aprendidos pelos alunos.
A situação de aprendizagem 4 - Os fenômenos naturais e o crescimento ou
decrescimento exponencial: o número ℮, não se aplica à dissertação, visto que tal conteúdo
foge do escopo traçado anteriormente.
Orientações para recuperação: para os autores esse é o momento de retomar o estudo
das funções apresentadas anteriormente em outros anos e bimestres, seguindo de atividades
simples. Além disso, pode-se retomar a exploração de conteúdos, partindo de exercícios
representativos, ou apresentando conceitos e propriedades apenas por meio de atividades,
estudar todos os tipos de transformações em cada uma das funções conhecidas.
114
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do
tema.
Nesse espaço, os autores sugerem softwares como o Graphmatica, livros como o
Construindo gráficos e Aprendendo e ensinando.
Pela maior complexidade do Caderno do Professor, a avaliação anterior foi realizada
apenas no Caderno do Professor e, para os subitens a seguir, apenas a disposição dos
importantes elementos no Caderno do Professor (Trigonometria presente na 1ª série do
Ensino Médio) e no Caderno do aluno (Trigonometria presente na 2 ªsérie do Ensino
Médio) serão elencadas.
3.6.5.1. Situações de Aprendizagem
O objetivo primordial é entender quanto os Cadernos do Professor e do Aluno se
aproximam ou se distanciam do Currículo do Estado de São Paulo e demais documentos
oficiais aqui citados e reunir subsídios para as futuras análises das provas de concursos de
professores de Matemática do Estado de São Paulo (ingresso, processo simplificado e
promoção).
3.6.5.2. Análise do Caderno do Professor
O Currículo do Estado de São Paulo propõe o uso dos Cadernos do Professor e Aluno
com o seguinte texto:
Desejamos que estes materiais sejam preciosos também para cada uma das
escolas, tanto para a construção de suas propostas pedagógicas como para o apoio
aos professores, gestores, especialistas e famílias para reafirmar publicamente o
compromisso do Governo do Estado de São Paulo com a busca de mais qualidade
na educação de nossas crianças e nossos jovens. (SÃO PAULO, 2010, p.4)
A proposta pedagógica de uma instituição educacional é o documento que auxilia no
direcionamento de ações administrativas, financeiras e pedagógicas. No plano estritamente
115
pedagógico, os Cadernos do Professor e do Aluno e o Currículo do Estado de São Paulo,
vão ao encontro dos ensinamentos de Shulman (1987), quando este manifesta a importância
dos seguintes conhecimentos: específico, curricular e pedagógico do conteúdo por parte dos
profissionais da educação.
O Caderno do professor desenvolve as situações-problema passo a passo, indicando
"um caminho" que o professor pode utilizar para resolver os problemas. Ademais, o
material de apoio ainda disponibiliza exemplos simples de atividades propostas aos alunos,
e cabendo ao professor ser possuidor de conhecimentos necessários para desenvolver o
conteúdo, conforme exemplo a seguir:
Figura 19 - Atividade 2 Caderno do Professor - 4° Bimestre, 1 a série do Ensino Médio
FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p. 13-14)
116
As considerações pertinentes a este material serão apresentadas oportunamente quando
das análises das questões de concurso e considerações finais deste Trabalho.
3.6.5.3. Caderno do Aluno
O Caderno do Aluno 2a série, 1° bimestre propõe situações de aprendizagens que são
incluídas neste trabalho.
Os comentários a respeito desse material estão presentes em análises das provas dos
concursos quando comparadas ao material utilizado em sala de aula e também no capítulo
das considerações finais.
O próximo item aborda o assunto Concursos, de forma a permitir que os leitores
entendam os fundamentos necessários para a participação de tal certame.
3.6.6. - Dos Concursos
Neste item procura-se informar a constituição dos diversos concursos de provimento de
cargos (ingresso) de professores, assim como os de processo simplificado e promoção para
professores da rede estadual de ensino do estado de São Paulo.
3.6.6.1. Das Provas
Um concurso público é constituído por várias etapas: publicação do edital, inscrição do
candidato para a vaga desejada, prestação da prova específica ao cargo, julgamento da
prova, avaliação de títulos, classificação, homologação, além da perícia médica e do curso
de formação específica que é parte integrante do estágio probatório para o cargo de
professor PEBII de Matemática do Estado de São Paulo. Porém, apesar de indicar tais
etapas que se fazem constantes no edital do concurso de 2013 para professores de
Matemática. O foco desse trabalho está voltado para a prova em si e mais especificamente
117
para as questões que versaram sobre o tópico de Trigonometria constante nas provas
analisadas. Além disso, houve a preocupação de verificar os pontos específicos nas
questões que se aproximem ou se distanciem das orientações contidas nos documentos
oficiais para o ensino de Trigonometria para os alunos do Ensino Médio de forma a obter
uma análise mais aprofundada das questões propostas nestes certames.
3.6.6.2. Das Resoluções SE 80 de 09/06/2009 e SE 52 de 14/08/2013
A resolução SE 80 de 09/06/2009 foi publicada pelo Sr. Secretário da Educação
considerando a necessidade de explicitar os perfis de competências e habilidades desejáveis
aos professores da rede pública estadual e orientar os processos de concursos públicos e
formação continuada.
Ao abordar esse documento, pode-se compará-lo aos conhecimentos necessários ao
professor conforme prescrito por Shulman (1987). A resolução requer que o professor
possua conhecimentos relativos aos aspectos físicos, cognitivos, afetivos e emocionais do
desenvolvimento individual das crianças, jovens e adultos, incluindo as peculiaridades dos
alunos que possuem necessidades especiais. Prescreve também a necessidade do
conhecimento específico do conteúdo, além de ultrapassar limites disciplinares e
desenvolver propostas de trabalho interdisciplinar. Ademais, deve ser possuidor do
conhecimento
pedagógico:
currículo,
transposição
didática,
contrato
didático,
planejamento, organização de tempo e espaço e da própria prática em sala de aula que nada
mais é do que a experiência profissional do professor.
Na resolução SE 52 de 14/08/2013 é indicado que o candidato deve ser possuidor de
conhecimentos específicos do conteúdo pedagógico, além do currículo do Estado de São
Paulo de modo a desenvolver as habilidades e competências pessoais do aluno sabendo que,
para favorecer esse desenvolvimento, deve relacionar os conteúdos específicos e as
competências gerais.
118
Shulman (1987) indica em seu trabalho que a base do conhecimento se encontra na
intersecção de conteúdo e pedagogia e que o professor deve ser capaz de transformar o
conhecimento específico do conteúdo em formas que sejam pedagogicamente fortes e
possam ser adaptadas às habilidades e experiências apresentadas pelos alunos. Nesse
trabalho, assim como prescrito nas resoluções SE-80/2009 e SE-52/2013, apoiamo-nos em
Shulman (1987), visto que as necessidades profissionais de um professor destacadas nas
resoluções citadas, são partes fundamentais da teoria do autor quando ele identifica os três
tipos de conhecimentos necessários ao professor: curricular, específico do conteúdo e
pedagógico.
As resoluções são parte integrante desse documento, podendo ser encontradas nos
Anexos 2 e 3.
119
Capítulo 4 - Análise das Questões das Provas e dos Cadernos dos
Alunos
Neste capítulo, apresenta-se a análise das questões das provas dos concursos de
professores (ingresso, processo simplificado e promoção) e para as provas, a partir de 2010,
foram comparados os itens do concurso com as atividades propostas nos Cadernos do
Aluno do Estado de São Paulo.
TAREFA 1 - SIMPLIFICADO 2009 - QUESTÃO 35
Em certo dia do ano, em uma cidade, a maré alta ocorreu à meia-noite. A altura da água
no porto dessa cidade é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e
maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta até atingir um valor máximo (maré alta), e
vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois aumentar de novo até
a maré alta, e assim por diante. A altura y, em metros, da maré, nesse dia, no porto da
cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela fórmula:
y = 2 + 1,9 . cos (

t), sendo t o tempo decorrido em horas, após a meia noite.
6
Analise as afirmações a respeito dessa situação:
I. No instante t = 3h a altura da maré é de 2m.
II. No instante t = 6h ocorreu a maré baixa, cuja altura é de 0,1m.
III. No instante t = 12h ocorre maré alta, cuja altura é de 3,9m.
É correto o que se afirma em:
a) I, II e III.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I, apenas.
120
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Embora a solução dessa questão não requeira, necessariamente, o reconhecimento da
periodicidade do fenômeno em questão, nem a resolução de uma equação ou inequação
trigonométrica, trata-se de item que se aproxima das Orientações Curriculares do Ensino
Médio porque envolve a função trigonométrica cosseno na representação da oscilação desse
fenômeno. (BRASIL, 2006, p.74)
A esse respeito, os documentos estaduais, (como o Currículo do Estado de São Paulo)
indicam como habilidades a serem desenvolvidas pelos professores, em seus alunos:
- Reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais, associando-a às
funções trigonométricas básicas;
- Saber resolver equações e inequações trigonométricas simples, compreendendo o
significado das soluções obtidas, em diferentes contextos (SÃO PAULO, 2010, p.37);
Descrição da tarefa:
Identificar quais são as afirmações corretas, após o cálculo do valor numérico da
expressão que representa a função dada no enunciado da questão. Eventualmente, um
candidato poderia substituir y pela altura indicada em cada uma das alternativas, para, em
seguida, determinar o valor de t, resolvendo a equação obtida.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998): técnico.
O candidato precisa apenas substituir os valores fornecidos para o tempo em cada um
dos itens na fórmula dada, e após essa etapa precisa saber o valor dos cossenos dos ângulos
de 0°, 90° e 180°.
121
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática;
Conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(Shulman, 1987):
Conhecimento do Conteúdo Específico. Exige que o professor identifique os conceitos
que permitam a resolução da questão: cálculo do valor numérico de uma expressão
algébrica, noções relativas às funções trigonométricas e, dependendo da estratégia
escolhida pelo professor, resolução de equações.
122
TAREFA 2 - SIMPLIFICADO 2009 - QUESTÃO 50
A figura indica uma mesa de tampo AB (paralelo ao solo), pernas AE e BD , e pivô de
fixação em C, que é deslizante ao longo de BD .
Se AE = BD = 1m, e o ângulo, em graus, mede α, então, a altura da mesa em relação ao
solo, em metros, será:
a) sen

2
b) cos

2
c)
1
sen

2
d)
1
cos

2
e)
1
tg

2
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Esta questão está de acordo com as Orientações Curriculares do Ensino Médio porque
envolve as relações trigonométricas no triângulo retângulo em contexto classificado por
SPINELLI (2011, p.87) como cotidiano. Aproxima-se das orientações contidas nos
materiais de apoio - Caderno do Professor - uma vez que para obter a solução, o candidato
precisa saber resolver a equação trigonométrica, compreendendo o significado das soluções
obtidas, em diferentes contextos (SÃO PAULO, 2010, p.37)
123
Descrição da tarefa:
Nesta questão, o candidato precisa entender que a altura da mesa é variável em relação
ao ângulo α. É necessário também que o candidato estabeleça relações entre BC - CD e AC
- CE, utilizando a distância AE = BD = 1 m e por fim, utilizando as relações
trigonométricas em um triângulo retângulo.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
disponível.
O conhecimento necessário para a resolução da questão é o disponível, uma vez que
não são oferecidas "pistas" para a identificação dos conceitos que poderiam conduzir à
solução. Além disso, o texto traz um elemento complicador que diz respeito ao "pivô de
fixação" que desliza ao longo de BD, pois essa ideia pode dificultar a percepção de que
AC  BC
e DC  CE . O que poderia, eventualmente, sugerir a utilização da
trigonometria como um caminho possível, é a observação das relações trigonométricas
indicadas nas alternativas.
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática.
Conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(Shulman, 1987): Conhecimento do conteúdo específico.
O conhecimento necessário para resolver esta questão segundo Shulman (1987) envolve
os seguintes conteúdos: semelhança de triângulos, propriedades do triângulo isósceles e
relações trigonométricas no triângulo retângulo.
124
TAREFA 3 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 23
No módulo referente à Trigonometria, explorou-se a origem histórica da razão seno,
que estava diretamente ligada às tabelas de cordas de circunferências, construídas por
Hiparco de Nicéia no século II a.C. A figura abaixo mostra uma corda de medida 6,43
correspondente a um ângulo central de 80°, determinada a partir de uma circunferência de
raio 5.
Com base na relação estabelecida entre cordas e senos, podemos afirmar que o valor do
seno de:
a) 80° corresponde ao resultado da razão entre 6,43 e 5.
b) 40° corresponde ao resultado da razão entre a metade de 6,43 e 5.
c) 80° corresponde ao resultado da razão entre 5 e 6,43.
d) 40° corresponde ao resultado da razão entre a metade de 5 e 6,43.
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
As sugestões contidas nos documentos oficiais analisados ao longo deste estudo
indicam que a história da Matemática pode ser explorada como um contexto para o
desenvolvimento de noções da Trigonometria. A relação entre cordas de uma
circunferência e as relações trigonométricas no triângulo retângulo são conteúdos prescritos
125
para o Ensino Fundamental, e de acordo com as OCEM (2006, p.73), devem ser
consolidados ao longo do Ensino Médio.
Esse mesmo documento também aponta a História da Matemática como fonte
importante de contextualização e atribuição de significados:
A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista
como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos
conceitos matemáticos (...). A recuperação do processo histórico de construção do
conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de
contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática.
(BRASIL, 2006, p.86)
A Atividade "Uma tabela de cordas, ou de senos" está disponível apenas no caderno do
professor (3° bimestre, 9° ano, EF), cabendo identificar o momento oportuno de aplicá-la
e/ou discuti-la. No entanto, embora o professor possa, eventualmente, julgar melhor deixar
sua exploração para outro momento, trata-se de conteúdo que deve fazer parte do repertório
de conhecimentos desse professor.
1
corda
sen  2
2
raio

Figura 20 - Cordas e senos
FONTE: (SÃO PAULO, 2009b, p.49)
E no Caderno da 1a série do EM, 4° bimestre, encontra-se também:
126
Figura 21 - Cordas e senos
FONTE: (SÃO PAULO, 2009d, p.14)
Descrição da tarefa:
Estabelecer relações entre o seno de um ângulo central, a corda correspondente a esse
ângulo e o raio da circunferência que contém essa corda.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
O conhecimento necessário para a solução desse item foi avaliado como mobilizável,
uma vez que o enunciado traz indicações de relações que podem ser utilizadas no processo
de resolução, havendo, no entanto, necessidade de modificação na figura e aplicação de
outras relações e teoremas para a obtenção da resposta.
Contexto: Real para uma situação Intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987):
O que está sendo avaliado por meio deste item é o conhecimento do conteúdo
específico. Nesse caso, o professor deve dominar noções relacionadas:
127
1. Às relações trigonométricas no triângulo retângulo;
2. Às noções relativas à circunferência (por exemplo: corda, diâmetro, ângulos inscritos,
circunscritos, central e propriedades do triângulo isósceles);
3. Ao Teorema do triângulo inscrito em uma semicircunferência;
Embora não se trate de questão que avalia o conhecimento pedagógico do conteúdo,
esse conhecimento foi utilizado como contexto para a elaboração do item.
128
TAREFA 4 - FORMAÇÃO 2010 - QUESTÃO 24
As funções trigonométricas também servem para modelar fenômenos periódicos. No
módulo 16, são discutidas duas situações que envolvem ciclos periódicos. Em uma delas,
analisa-se a variação no comprimento da sombra de uma estaca ao longo de um dia,
conforme figura abaixo.
A função trigonométrica mais apropriada para modelar tal situação é:
a) Seno.
b) Cosseno.
c) Tangente.
d) Secante.
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio não priorizam o ensino da função
tangente. O documento oficial aborda o tema da seguinte forma:
As funções trigonométricas seno e co-seno também devem ser associadas aos
fenômenos que apresentam comportamento periódico.
O estudo das demais funções trigonométricas pode e deve ser colocado em
segundo plano. (BRASIL, 2006, p. 74).
Todavia, é importante ressaltar que o professor precisa dominar esse conhecimento, de
acordo com SHULMAN (1987), a fim de fundamentar suas explicações e convencer os
alunos de fatos matemáticos apresentados em sala de aula.
129
O caderno do professor e do aluno, no 1° bimestre do 2° ano do Ensino Médio,
contempla tal tema na situação de aprendizagem 1. Portanto, pode-se notar que embora as
Orientações Curriculares afirmem que as demais funções trigonométricas possam ser
colocadas em segundo plano, cabe ao professor identificar as possibilidades de introduzir
tais temas junto aos seus alunos.
Descrição da tarefa:
Associar os fenômenos periódicos às funções trigonométricas.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Nesta questão, o candidato precisa reconhecer a função trigonométrica tangente como a
função mais adequada.
Contexto: Real para uma situação extramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(Shulman, 1987):
Nesta questão, o professor deve possuir o conhecimento do conteúdo específico, para
relacionar as funções trigonométricas com a figura apresentada. Além disso, o professor
também deve possuir o conhecimento pedagógico do conteúdo, pois a questão aborda uma
situação de modelagem e ele deve estar preparado para elaborar estratégias de forma a
facilitar a compreensão do conteúdo pelos alunos.
130
TAREFA 5 - MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 35
A figura abaixo mostra um retângulo OABC, tal que seus vértices O e B repousam,
respectivamente, sobre o centro do círculo dado e sobre a circunferência.
Se AC = 5 cm e CD = 2 cm, então a área do retângulo OABC é igual a:
a) 5 2 cm²
b) 12 cm²
c) 16 2 cm²
d) 25 cm²
e) (2 + π)² cm²
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Tanto as Orientações Curriculares para o Ensino Médio como os documentos oficiais da
SEE/SP indicam a necessidade do aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras
durante o Ensino Médio. As OCEM abordam o tema da seguinte forma:
Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados,
como, por exemplo, as ideias de congruência, semelhança e proporcionalidade, o
Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos
131
triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. (BRASIL, 2006, p.
75 e 76).
Descrição da tarefa
Nesta questão, o candidato precisa reconhecer que o lado do retângulo sobre o eixo de x
possui valor numérico igual a 3, calcular o lado do retângulo que se encontra sobre o eixo
de y utilizando o Teorema de Pitágoras e conhecidos os dois lados do retângulo, o
candidato deve ainda calcular sua área.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Para efetuar o cálculo da área do retângulo o candidato não possui a indicação dos
valores numéricos nem de sua base e nem de sua altura. O professor precisa reconhecer que
a diagonal do retângulo inscrito no 1º quadrante da circunferência, também é o raio da
circunferência. De posse dessa informação, o candidato deve realizar procedimentos que o
auxiliem a encontrar os valores numéricos necessários para o cálculo da área solicitada
(base e altura do retângulo).
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987)
Nesta questão, o professor precisa ter o conhecimento específico do conteúdo sobre as
propriedades características do retângulo, os elementos da circunferência, o Teorema de
Pitágoras e a fórmula para o cálculo da área do retângulo.
132
TAREFA - 6 MÉRITO CESGRANRIO 2010 - QUESTÃO 51
Considere o ponto C(1,0) e um ângulo θ representado no círculo trigonométrico tal que

CÔA    k. , k  . Seja r a reta tangente à circunferência no ponto A(cosθ, senθ) e
2
considere B o ponto de interseção da reta r com o eixo das abscissas. A figura abaixo ilustra
um caso particular em que o ângulo θ foi dado no primeiro quadrante.
Como cada ângulo θ no domínio considerado determina unicamente o comprimento
OB , dizemos que este comprimento é uma função de θ . Chamando tal função de f (θ) ,
pode-se explicitamente representá-la por
(A) f (θ) = sec
(B) f (θ) = cot g
(C) f (θ) = cos ec
(D) f (θ) = tgθ
(E) f ( )  1 
sen
2
133
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Embora os documentos que apoiam o currículo do estado de São Paulo – Caderno do
Professor - fundamentados nas OCEM (2006) prescrevam apenas o trabalho com as
funções seno e cosseno e além disso, as OCEM indicam que o conteúdo relativo às demais
funções trigonométricas "pode e deve ser colocado em segundo plano", (p.74) cabe ao
professor decidir se existe adequação para introduzir tal conteúdo durante suas aulas.
Essas mesmas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, indicam a necessidade do
aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras durante o Ensino Médio (BRASIL,
2006, p. 75-76).
Descrição da tarefa:
Identificar a função que melhor representa, algebricamente, o gráfico contido no
enunciado.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
O conhecimento é mobilizável, pois o candidato necessita analisar a figura e assim,
definir qual a função é compatível com a figura.
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
134
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Apesar da questão considerar apenas a função trigonométrica secante, sabe-se que para
preparar um aluno para essa abordagem, é necessário que o professor tenha conhecimento
das relações métricas válidas em um triângulo retângulo, das leis do seno e do cosseno, de
noções relativas à semelhança de triângulos, das razões trigonométricas, e finalmente das
funções trigonométricas.
135
TAREFA 7 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 24
Aplicando o Teorema de Pitágoras é possível determinar a:
a) Medida do volume de um cubo conhecendo – se a medida de sua aresta.
b) Medida da área de um retângulo conhecendo-se as medidas de seus lados.
c) Distância entre dois pontos quaisquer de uma circunferência conhecendo-se suas
coordenadas.
d) Constante de proporcionalidade entre duas figuras semelhantes.
e) Medida da diagonal de um quadrado conhecendo-se a medida de seu lado e viceversa.
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
A questão nos remete à questão 35 (Mérito 2010), pois da mesma forma que aborda a
necessidade de aprofundamento do ensino do Teorema de Pitágoras durante o Ensino
Médio.
Descrição da tarefa:
Reconhecer que a aplicação do Teorema de Pitágoras permite realizar o cálculo da
medida da diagonal de um quadrado em função do lado.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Nesta questão, o candidato precisa reconhecer que a diagonal de um quadrado é a
hipotenusa e os lados do quadrado são os catetos de um triângulo retângulo cujas medidas
serão utilizadas na aplicação do Teorema de Pitágoras.
136
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Os conhecimentos necessários para o professor resolver a questão envolvem: figuras
geométricas planas e espaciais, área do triângulo retângulo, volume do cubo, noções
relativas à proporcionalidade, cálculo da distância entre dois pontos e Teorema de
Pitágoras.
137
TAREFA 8 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 25
Qual das representações abaixo refere-se à função f(x) = 2senx + 3?
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
A função seno é contemplada nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio
abordando o tema da seguinte forma:
138
Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às funções
trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escrever f (x) = sen (x),
usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em
radianos. As funções seno e cosseno também devem ser associadas aos
fenômenos que apresentam comportamento periódico. (BRASIL, 2006, p. 74).
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009f, p.22), exemplo 2 apresenta o gráfico:
f(x) = 2 + senx, para essa função, é apresentada a translação, que é a movimentação de um
objeto/figura, e as dimensões da figura original é mantida inalterada.
No exemplo 9 do Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009f, p. 24), reconhece-se o
gráfico f(x) = 3senx, onde os valores de f(x) oscilarão entre +3 e -3.
Descrição da tarefa:
Associar os valores de seno no ciclo trigonométrico, substituir na função dada e
identificar qual alternativa representa o resultado correto.
Outra forma de especificar essa tarefa seria identificar as transformações que o gráfico
sofre quando a imagem é duplicada e depois quando essa imagem é acrescida de 3
unidades.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Nesta questão, o candidato pode reconhecer a transformação, no caso da função dada
(translação) ou pode atribuir valores aos ângulos indicados por x encontrando então os
valores de f(x).
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
139
Esse item avalia os conhecimentos específicos do candidato relativos às representações
gráficas de funções trigonométricas e suas transformações geométricas.
140
TAREFA 9 - SIMPLIFICADO 2010 - QUESTÃO 75
No estudo do Teorema de Pitágoras, chama a atenção dos alunos o fato do triângulo de
lados 3, 4 e 5 satisfazer a relação a² = b² + c² e, portanto, ser retângulo.
Mobilizado pela curiosidade despertada pelo grupo de alunos um professor propôs o
estudo de padrões numérico-geométricos investigando os ternos designados pitagóricos,
que correspondem àqueles na forma (a, b, c) em que a, b e c são números que satisfazem a
relação a² = b² + c². Inicialmente deu particular ênfase ao estudo dos ternos formados por
números inteiros positivos cuja diferença entre c e b, nessa ordem, fosse de uma unidade.
Nessa investigação, os alunos encontraram uma série de ternos com essa característica,
entre os quais (a, b e c) apresentados abaixo:
Terno A (3, 4, 5) Terno B (5, 12, 13)
Terno C (7, 24, 25)
Seguindo as mesmas instruções do professor, encontrando os valores de b e c no terno
pitagórico (11, b, c) é correto dizer que b + c é igual a:
a) 121
b) 131
c) 141
d) 151
e) 189
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
As relações métricas no triângulo retângulo são indicações do Currículo do Estado de
São Paulo. (SÃO PAULO, 2010, p. 44). Apontando possibilidades de articulação entre
blocos distintos de conteúdos.
Os documentos de apoio a esse currículo também sugerem atividades que podem
favorecer diferentes formas de exploração desse conteúdo. Por exemplo, o Caderno do
Professor discute o mesmo tema abordado na questão aqui analisada, destacando o padrão
que está presente nesses ternos pitagóricos:
141
Figura 22 - Padrão geométrico - numérico
FONTE: (SÃO PAULO, 2009a, p.52)
Descrição da tarefa:
Uma possível estratégia seria substituir um cateto na relação de Pitágoras pelo valor
dado (11), lembrando que a diferença entre a hipotenusa e o outro cateto (desconhecido) é
de uma unidade. Nesse caso, o candidato obteria as igualdades:
11² = b² + c² e c = b + 1 e, finalmente, poderia calcular o valor do outro cateto e da
hipotenusa, cuja soma é solicitada na questão.
Por outro lado, como o enunciado diz "... um professor propôs o estudo de padrões
numérico-geométricos...", pode-se também considerar a possibilidade de que talvez
houvesse uma expectativa no sentido de que os candidatos reconhecessem nos ternos
pitagóricos (a, b,c) indicados no enunciado, uma outra regularidade:
em (3, 4, 5), temos b + c = 9 = 3² (quadrado do termo a)
em (5, 12, 13), temos b + c = 25 = 5² (quadrado do termo a)
em (7, 24, 25), temos b + c = 49 = 7² (quadrado do termo a)
Assim, em (11, b, c), teríamos: b + c = 11² = 121.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
142
O candidato deve reconhecer que para a resolução da questão não basta utilizar o
teorema de Pitágoras, pois nesse caso existe a condição de que um dos lados do triângulo
seja menor do que a hipotenusa em uma unidade.
Contexto: Artificial para uma situação intramatemática
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do conteúdo específico.
Embora a questão tenha sido elaborada num contexto que trata da prática de um
professor, escolhida para abordar o assunto, foi considerado que este item tem a finalidade
de examinar, no candidato, o conhecimento do conteúdo específico.
143
TAREFA 10 - SIMPLIFICADO 2011 - QUESTÃO 38
Indique, dentre as alternativas, aquela cujo número é mais próximo do valor de sen1º,
ou seja, do seno de 1 grau.
(A) – 0,9.
(B) – 0,6.
(C) 0.
(D) 0,6.
(E) 0,9.
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Essa questão se aproxima das Orientações Curriculares do Ensino Médio porque
envolve a função trigonométrica seno, no que diz respeito ao seu valor numérico para um
ângulo dado.
A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos, devem ser
justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de medida 30°, 45°
e 60° (BRASIL, 2006, p.74).
Descrição da tarefa:
Identificar qual alternativa indica o valor numérico mais próximo ao seno de 1°.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Nesta questão, o candidato precisa considerar que o ângulo de 1° se apresenta no
primeiro quadrante. Portanto, o valor numérico do seno desse ângulo deve ser positivo. O
valor 0,9 é próximo de 1, que corresponde ao seno de um ângulo pouco menor do que 90°,
e, finalmente, o valor de 0,6, corresponde ao seno de um ângulo entre 30° e 45°, portanto o
valor que mais se aproxima do seno de 1° é zero.
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
144
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Esta questão avalia os conhecimentos específicos do candidato, no que se refere à
função seno no círculo trigonométrico e à relação entre medidas de ângulos (dadas em
graus) e números reais.
145
TAREFA 11 - SIMPLIFICADO 2011 - QUESTÃO 56
O gráfico da função f : R → R, dada por f (x) = cos(x), em que R representa o conjunto
dos números reais, possui –1 como valor mínimo e 1 como valor máximo. Já o gráfico da
função g : R → R, dada por g(x) = 1 + 2cos(x), possui, como valores mínimo e máximo,
respectivamente,
(A) 0 e 4.
(B) 0 e 2.
(C) –1 e 3.
(D) –1 e 2.
(E) –2 e 2.
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Esta questão, assim como a anterior (questão 38 - simplificado 2011), também se
aproxima das Orientações Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2006, p.74) porque
envolve a função trigonométrica cosseno, no que diz respeito ao seu valor numérico para
um ângulo dado, além disso, está de acordo também com o Currículo do Estado de São
Paulo (SÃO PAULO, 2009f, p.22), visto que trata de transformações geométricas (no caso
a translação na direção do eixo das ordenadas, no sentido positivo) sofridas pela função
cosseno.
Descrição da tarefa:
O candidato, ao ler o enunciado da questão, reconhece que cos(x) pode ter seus valores
numéricos variando entre -1 e 1. A partir dessa informação, o candidato pode substituir
cos(x) pelos valores numéricos dados e obter o resultado de f(x).
Uma forma do candidato analisar a questão seria considerar os efeitos das
transformações sobre funções trigonométricas - no caso, pode analisar o comportamento da
função cos(x) quando sua imagem é duplicada e, em seguida, quando essa imagem é
acrescida de uma unidade.
146
-1 ≤ cos(x) ≤ +1
(multiplicando por 2): -2 ≤ 2cos(x) ≤ +2
(adicionando 1): -2 + 1 ≤ 1+2 cos(x) ≤ +2 +1, para verificar que a função g(x) varia entre -1
e+3.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: mobilizável.
Apesar dos valores numéricos: -1 e 1 serem dados do problema, não está explícito que
tais valores devam ser substituídos no lugar de cos(x), para posteriormente o candidato
calcular os valores mínimo e máximo de g(x).
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
O candidato, conforme questão 25, simplificado 2010, deve reconhecer as
transformações geométricas como translação e ampliação, além disso poderia associar os
valores numéricos (mínimo e máximo) indicados no enunciado da questão aos valores
(mínimo e máximo) da função indicada por g(x) = 1+2cos (x).
147
TAREFA 12 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 46
Na figura a seguir, A, B e C são os vértices de um triângulo isósceles, com base
medindo 10 cm e os demais lados medindo 9 cm, e D é o ponto médio do lado AB.
Pode-se afirmar que a razão entre as medidas dos segmentos CD e AD, nessa ordem, e
o que ela trigonometricamente representa são, respectivamente:
a)
14
e tangente do ângulo Â.
10
b)
19
e cosseno do ângulo Â.
10
c)
14
e tangente da metade do ângulo C.
5
d)
19
e cosseno da metade do ângulo C.
5
e)
2 14
e tangente do ângulo Â.
5
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio indicam a necessidade de priorizar as
relações métricas no triângulo retângulo antes da abordagem das funções seno, cosseno e
tangente. (BRASIL, 2006, p.73) Porém, esses mesmos documentos prescrevem a
associação das funções seno e cosseno aos fenômenos periódicos e argumentam que o
148
estudo das demais funções pode e deve ser colocado em segundo plano. (BRASIL, 2006,
p.74)
No currículo oficial de São Paulo, tal conhecimento é necessário uma vez que há
indicações para o trabalho da tangente como razão entre os catetos e "uma constante
característica do ângulo" (SÃO PAULO, 2009d, p.12) por meio da caracterização de uma
rampa.
Descrição da tarefa:
O candidato deve calcular a altura do triângulo ABC utilizando o Teorema de Pitágoras.
Além disso, também deve reconhecer que os segmentos CD e AD são, respectivamente, o
cateto oposto e o adjacente do ângulo Â, portanto, essa relação nada mais é do que a
tangente do ângulo Â.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Embora seja solicitada a identificação e o cálculo da relação trigonométrica entre dois
segmentos dados, para responder a essa questão, o candidato precisa lembrar que CD é o
cateto oposto ao ângulo  e AD é o cateto adjacente ao ângulo Â, portanto, essa razão é a
tangente. Ademais, para efetuar o cálculo da tangente é necessário que o candidato calcule
o valor da altura do triângulo, utilizando o teorema de Pitágoras.
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987)) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
149
O candidato precisa conhecer as propriedades dos triângulos isósceles e retângulo, o
teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
150
TAREFA 13 - MÉRITO 2012 - QUESTÃO 53
O gráfico a seguir representa a função seno.
A função f:    , dada por f(x) = 1 + sen(x) é representada pelo gráfico contido no
item:
[alternativa correta (A)]
151
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Essa questão, assim como as questões anteriores (questão 25 - simplificado 2010,
questões 38 e 56 - simplificado 2011), também está de acordo com as Orientações
Curriculares do Ensino Médio:
É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em
que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e o cosseno, definido como
coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com
medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como
extensões das razões trigonométricas então definidas para ângulos com medida
entre 0° e 180°. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes
às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f (x) =
seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada
em radianos. (BRASIL, 2006, p.74).
A questão está de acordo com o Currículo do Estado de São Paulo, pois aborda
transformações geométricas de funções trigonométricas. No caso, a translação da função
seno, segundo o eixo das ordenadas (SÃO PAULO, 2009f, p. 22), parte integrante desta
questão de concurso.
Descrição da tarefa:
Da mesma forma que a questão 25, simplificado 2010, dados os valores numéricos do
seno no gráfico da função, o candidato pode utilizar os dados constantes no gráfico dado e
acrescentar uma unidade, encontrando então o ponto referente à nova função.
Poderia também identificar as transformações que o gráfico da função seno sofre,
quando a sua imagem é acrescida de 1 unidade.
152
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Nesta questão, o candidato precisa fazer a leitura do gráfico do seno dado. Substituir o
valor encontrado no gráfico na função dada e comparar com as alternativas propostas pela
questão.
Contexto: Real para uma situação intramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Esta questão avalia o conhecimento específico do candidato, no que se refere às
transformações geométricas aplicadas a funções trigonométricas
153
TAREFA 14 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 31
Em uma cidade, a altura máxima da maré em seu porto ocorreu exatamente às 12 horas.
A altura da água do mar nessa cidade é uma função periódica, pois oscila regularmente
entre maré alta e maré baixa, ou seja, a altura da maré aumenta até atingir um valor máximo
(maré alta) e vai diminuindo até atingir um valor mínimo (maré baixa), para depois
aumentar de novo até a maré alta, e assim por diante. A altura h, em metros, da maré, nesse
dia, no porto da cidade, pode ser obtida, aproximadamente, pela sentença: h(t) = 2,5 + 1,5
cos (

t ), sendo t o tempo decorrido, em horas, após as 12 horas. Assim, a altura h da maré
4
às 16 horas, ou seja, quando t = 4 horas é:
a) 4,0 m
b) 3,6 m
c) 2,5 m
d) 2,0 m
e) 1,0 m
Grade de Análise
Expectativas Institucionais:
A função cosseno é contemplada tanto nas Orientações Curriculares para o Ensino
Médio do Governo Federal (BRASIL, 2006, p.74) como no currículo oficial do estado de
São Paulo (SÃO PAULO, 2009e, p. 38). O documento oficial federal aborda o tema
indicando que as funções seno e cosseno devem ser associadas aos fenômenos que possuem
comportamento periódico.
Descrição da tarefa:
A resolução desta questão requer o cálculo do valor numérico da expressão algébrica
que indica a altura da água do mar, em função do tempo. O tempo é dado: t = 4 horas.
Finalmente, a altura da maré pode ser determinada considerando-se que cos π = -1.
154
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Apesar de ser claro o enunciado da questão, indicando que o candidato deve substituir o
t da função pelo valor numérico 4 (número de horas decorridas), é necessário que o
professor ao efetuar a substituição de valores na função obtenha como parte da resolução:
cos π, e reconheça que cos π = -1, e finalize a questão obtendo como resultado altura h =
1m.
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Esta questão avalia os conhecimentos específicos do candidato, necessários ao cálculo
do valor numérico de expressões algébricas.
No que diz respeito à Trigonometria, o conhecimento exigido para a resolução desta
questão se restringe ao valor do cosseno de π.
155
TAREFA 15 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 34
Dependendo do tamanho da casa e das telhas utilizadas para cobri-la, muitas vezes
constrói-se uma armação em madeira, no formato de triângulo isósceles, como mostra a
figura a seguir.
Na figura, a medida de RS é igual a 20% da medida de PQ. Assim, se PQ mede 6m, RQ
mede, aproximadamente:
a) 5,22 m
b) 4,18 m
c) 4,07 m
d) 3,72 m
e) 3,23 m
Grade de Análise
Expectativas institucionais
Esta questão se aproxima das indicações contidas no documento intitulado Orientações
Curriculares para o Ensino Médio uma vez que sua resolução requer a aplicação de uma das
relações métricas no triângulo retângulo.
O trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais, presentes na
natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e sistematizado nesta etapa de
escolarização. Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser
consolidados, como por exemplo, as ideias de congruência, semelhança e
proporcionalidade, o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e
trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.
(BRASIL, 2006, p.76)
Tais indicações também são observadas no material de apoio ao currículo oficial de São
Paulo relativo ao oitavo ano do Ensino Fundamental (SÃO PAULO, 2009a, p. 54).
156
Descrição da tarefa:
Conhecidos os catetos do triângulo retângulo RSQ: RS = 20% de PQ e SQ = 50% de
PQ, Calcular a hipotenusa RQ, utilizando o Teorema de Pitágoras.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
O candidato precisa levar em conta que se o triângulo PQR é isósceles (dado no
enunciado). Então, a altura relativa à base PQ coincide com a mediana relativa a essa
mesma base. Assim, se RS é a altura (indicada pelo sinal gráfico de ângulo reto em S),
então, PS = SQ = 3 m.
O cálculo da medida de RS, exige conhecimentos sobre porcentagem e, finalmente, é
necessária a aplicação do Teorema de Pitágoras para o cálculo da medida do segmento RQ.
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Para resolver a questão, o professor deve ser possuidor de uma série de conhecimentos
do conteúdo entre elas, pode-se citar:

Propriedades dos triângulos isósceles;

Propriedades dos triângulos retângulos;

Transformações geométricas (em especial, a reflexão);

Relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângul;.

Utilização de porcentagem;

Aplicação do teorema de Pitágoras.
157
TAREFA 16 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 51
Houve um incêndio em um prédio na cidade de São Paulo. Para atingir a janela do
quinto andar, um bombeiro subiu por uma escada de 15 m de comprimento e que formava
um ângulo de 60° com o solo.
Observe a figura.
Assim, é correto afirmar que a altura aproximada da janela, em relação ao solo, era:
a) 7,5 m
b) 11 m
c) 13 m
d) 15 m
e) 18,5 m
Grade de Análise
Expectativas Institucionais:
Esta questão atende às indicações contidas no documento intitulado Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 75-76) e no Caderno do Professor da
SEE/SP (SÃO PAULO, 2009a, p. 53) uma vez que envolve as relações trigonométricas no
triângulo retângulo.
Descrição da tarefa:
Calcular a altura da janela em relação ao chão pela aplicação das relações
trigonométricas no triângulo retângulo, conhecendo o valor numérico do seno de 60° e a
hipotenusa do triângulo.
158
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
O enunciado não explicita qual conteúdo ou estratégia deve ser usado pelo candidato
para que a questão seja resolvida, porém a ilustração indica que o solo, a parede e a escada
formam um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 15 metros e ângulo formado entre o
piso e a escada igual a 60°. Desta forma, o candidato deve reconhecer o triângulo retângulo,
deve também saber o valor numérico do seno de 60° e, finalmente, identificar e aplicar a
fórmula que será usada: seno.
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática.
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
A ilustração da questão evidencia a formação de um triângulo retângulo para encontrar
a altura da janela em relação ao chão, o professor precisa conhecer:

Propriedades dos triângulos retângulos;

Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo;
159
TAREFA 17 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 71
Em um instrumento de avaliação, solicitou-se que os alunos indicassem o conjunto
imagem I da função f:    , dada por f(x) = A + cos (x), com A inteiro e R
representando o conjunto dos números reais. Uma possível resposta que o professor poderá
considerar correta é:
a) I = [-1; 1]
b) I = ]-∞; ∞[
c) I = [-π + A; π + A]
d) I = {y   / -2π ≤ y ≤ π + A}
e) I = {y   / -1 + A ≤ y ≤ 1 + A}
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
Esta questão, assim como a questão 25 Simplificado 2010 é contemplada nas
Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 74) no que se refere a
funções trigonométricas.
O Caderno do Professor (2009f, p.22) também aborda esse tipo de questão, exemplo 2
apresenta o gráfico: f(x) = 2 + senx. Apesar do enunciado da questão abordar o cosseno de
x, e o Caderno do Professor utilizar senx, sabemos que a construção do gráfico é obtida de
maneira análoga, inclusive após os exemplos dados, os autores do Caderno do Professor,
atividade 2 letra b, solicitam que o aluno esboce o gráfico da função: g(x) = 5 + cosx
160
Descrição da tarefa:
Reconhecer os valores mínimo e máximo de uma função trigonométrica derivada da
função cos (x).
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
O candidato deve reconhecer que para encontrar a imagem da função dada é necessário
que este utilize os valores mínimo e máximo do cosseno.
Contexto: Real para uma situação intramatemática
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Esta questão avalia os conhecimentos específicos do professor, relativos ao conceito de
função, tais como : domínio e imagem e também noções relativas a funções derivadas de
uma função trigonométrica conhecida (no caso, imagem de uma função derivada da função
cosseno de x).
161
TAREFA 18 - SIMPLIFICADO 2012 - QUESTÃO 77
Os triângulos de vértices ABC e EDC da figura a seguir são retângulos.
A hipotenusa do triângulo de vértices EDC mede, em unidades de comprimento,
exatamente:
a)
3 74
7
b) 3 2
c)
4 74
7
d)
5 74
7
e) 5 74
Grade de Análise
Expectativas institucionais:
A semelhança de triângulos é contemplada nas Orientações Curriculares para o Ensino
Médio. Esse documento oficial aborda o tema da seguinte forma:
Na introdução das razões trigonométricas seno e cosseno, inicialmente para
ângulos com medida entre 0° e 90°, deve-se ressaltar que são as propriedades de
semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições; segue-se, então,
com a definição das razões para ângulos de medida entre 90° e 180°. (BRASIL,
2006, p.73)
O Currículo do Estado de São Paulo (2009) também sugere a exploração dessa
temática, em nossa interpretação, quando apresenta aos alunos do Ensino Médio um
Exemplo ilustrativo (São Paulo, 2009d, p. 12).
162
Descrição da tarefa:
Calcular a hipotenusa de um triângulo EDC retângulo, em situação que envolve a
semelhança de triângulos..
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa: mobilizável.
Se o candidato concluir (com base na percepção) que a altura do triângulo EDC mede
três unidades e aplicar o teorema de Pitágoras, obterá a medida de 5 unidades para a
dimensão da hipotenusa e não encontrará a resposta dentre as alternativas.
O candidato deve reconhecer que para resolver a questão é necessário utilizar as regras
de semelhança entre dois triângulos: ABC e EDC, encontrar a altura ED, e calcular a
hipotenusa EC (utilizando o teorema de Pitágoras) conhecidos os catetos ED e DC.
Contexto: Real para uma situação intramatemática
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
Para resolver esta questão o professor precisa dos seguintes conhecimentos específicos:

Propriedades dos triângulos retângulos;

Semelhança de triângulos;

Teorema de Pitágoras;
163
TAREFA 19 - Questão 06 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1,
branca, 2013, p.3)
Certo satélite científico percorre uma órbita em que sua distância (d), em quilômetros,
até a superfície da Terra é dada por:
d
12000
 6400 ,
1  0,2 cos 
Com θ variando, em cada órbita, de 0° a 360°.
A maior distância do satélite até a superfície da Terra é de:
(A) 3600 km
(B) 4800 km
(C) 5600 km
(D) 7200 km
(E) 8600 km
Grade de Análise
Expectativas institucionais -
Nas Orientações Curriculares do Ensino Médio há indicações para que o professor
utilize funções para modelar fenômenos periódicos: "[...] As funções trigonométricas seno e
cosseno também devem ser associadas aos fenômenos que apresentam comportamento
periódico." (BRASIL, 2006, p.74). Nesse sentido, avaliar se o candidato a professor calcula
o valor de uma função que serve como modelo para uma situação parece ir ao encontro do
que se propõe nesse documento.
164
O material de apoio ao currículo Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009e, p. (13)
propõe como um estudo importante, a modelagem de situações que envolvem ideias
relacionadas à periodicidade, uma vez que, segundo seus autores, as funções
trigonométricas têm uma “notável potencialidade para representar fenômenos periódicos”
(SÃO PAULO, 2010, p.44)
Observa-se que nesse mesmo material seus autores apresentam a trigonometria como
um conteúdo a ser desenvolvido pelo professor no 1º- bimestre da 2ª- série. (SÃO PAULO,
2009, p. 10). Afirmam ainda que as atividades desenvolvidas nesse material de apoio
procuram relacionar os eixos Números e Funções por meio da periodicidade e que é essa a
ideia fundamental que possibilita modelar determinados fenômenos por meio de uma
equação matemática. Nesse sentido, uma habilidade necessária ao candidato a professor
seria analisar e resolver com correção uma função que modela uma determinada situação
que envolve um fenômeno periódico.
Descrição da tarefa:
O candidato precisa reconhecer que quanto menor o número que se encontra no
denominador da fração, maior será a resultante da operação da divisão, e que o menor valor
de cosseno é -1 (180° e seus côngruos). Partindo dessas premissas basta efetuar a operação.
Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert, 1998):
mobilizável.
Assim como na questão 71, Simplificado 2012 a questão dada apresenta uma fórmula
que deve ser utilizada pelo candidato, mas o valor de
não é um dos dados do problema,
então é necessário que o candidato saiba qual é o valor de
que satisfaz a pergunta (no
caso é o ângulo cujo cosseno é o menor possível), para então determinar a distância
solicitada.
165
Contexto: Artificial para uma situação extramatemática
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da
tarefa (Shulman, 1987) - Conhecimento do Conteúdo Específico.
O docente precisa conhecer funções, cálculo do valor numérico de uma expressão,
valores numéricos de seno e cosseno no círculo trigonométrico.
166
TAREFA 20 - Questão 18 (Concurso Público de Ingresso, tipo 1,
branca, 2013, p.5)
A figura a seguir mostra o perfil de um muro de uma represa. A primeira parte da rampa
tem inclinação de 20° com a horizontal e a segunda parte tem inclinação de 50°.
Considerando, sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94, o valor aproximado da altura total do
muro (h) é de:
(A) 9,4 m
(B) 10,2 m
(C) 11,1 m
(D) 12,3 m
(E) 13,0 m
A análise dessa questão foi apresentada nas páginas (26 - 28), como exemplo de nossa
grade de análise.
167
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nas considerações finais, apresentam-se análises referentes ao trabalho realizado:
Trigonometria: Expectativas Institucionais Para A Prática Docente. Todavia, é conveniente
retomar, sucintamente, alguns aspectos dessa pesquisa.
Como qualquer outro trabalho científico, há um período de indecisões em que o
conteúdo "Trigonometria" era extremamente vasto para uma Dissertação de Mestrado.
Nossas diversas discussões levaram a várias reflexões e à decisão de abordar as provas de
concursos referentes à SEE/SP, a partir do ano de 2008. A partir da decisão do tema, e de
várias pesquisas realizadas que demonstraram que poucos trabalhos foram publicados em
relação à temática da Trigonometria.
O propósito desta pesquisa foi analisar as questões que envolvam noções relativas à
Trigonometria propostas em concursos públicos da SEE/SP e relacioná-las com as
orientações contidas no Currículo do Estado de São Paulo para o desenvolvimento desse
conteúdo na Educação Básica.
A pesquisa bibliográfica foi o ponto de partida e encontramos fontes de conhecimento
que muito auxiliaram neste trabalho. Pode-se citar Shulman (1987) que forneceu
informações relativas ao conhecimento necessário a um professor (Conhecimento
específico do conteúdo, Conhecimento pedagógico do conteúdo e Conhecimento curricular
do conteúdo); Nacarato et al (2005) que forneceram importantes análises referentes ao
Concurso de Ingresso de Professores de Matemática realizado pela SEE/2003; Robert
(1998) que apresentou os níveis de conhecimento: Técnico, Mobilizável e Disponível cuja
leitura foi fundamental e necessária às análises das provas de concursos SEE/SP, a partir de
2008 quando o conteúdo de trigonometria foi abordado e, finalmente, mas não menos
importante Spinelli, (2011) com sua tese de doutorado: A Construção do Conhecimento
entre o Abstrair e o Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática, que faz enxergar
outro modelo de aulas, em que a contextualização e a abstração são fatores importantes
168
para que os alunos se sintam atraídos pelas aulas. Além disso, Spinelli, em sua tese, se
aproxima dos documentos oficiais (PCN+, OCEM), quando indica a necessidade de
ampliar o trabalho relativo às competências leitora-escritora dos alunos.
A partir desse ponto, houve a análise das provas de concursos da SEE/SP com a
separação de questões que diziam respeito à temática de Trigonometria, com a criação de
uma grade de análise que fosse compatível com os documentos oficiais e pesquisas
relacionadas à Trigonometria, quanto ao conhecimento profissional do professor de
Matemática. Na grade, foram contemplados: Expectativas Institucionais, Descrição da
tarefa, Nível de conhecimento esperado para a solução da tarefa (Robert), Contexto,
Categoria de conhecimento profissional docente necessário para a resolução da tarefa
(Shulman).
A questão de pesquisa foi: Quais são os conhecimentos necessários ao professor de
Matemática da rede pública estadual para ensinar noções relativas à Trigonometria na
Educação Básica, na perspectiva do currículo oficial e dos concursos públicos destinados à
seleção de profissionais para atuar na área?
Para responder a essa pergunta, iniciamos nossa pesquisa em 2012. A fim de obter uma
análise mais aprofundada sobre o assunto, participei do Concurso de Ingresso no cargo de
Professor de Matemática (PEBII), realizado pela SEE/SP no ano de 2013, em que os
candidatos classificados ingressaram em 2014. A partir das análises referentes à Prova de
Ingresso 2013 da SEE/SP, houve a análise das questões de trigonometria propostas nos
certames a partir de 2008.
Nossa primeira análise, refere-se ao número de questões de Trigonometria por prova e à
porcentagem de questões referentes ao assunto em relação à totalidade das questões. Segue
tabela que contém esses números.
169
Tabela 4 - Questões de trigonometria x concurso realizado
QUESTÕES ESPECÍFICAS
QUESTÕES DE
TRIGONOMETRIA
%
FORMAÇÃO 2010
30
2
7%
MÉRITO 2010
40
2
5%
MÉRITO 2012
40
2
5%
SIMPLIFICADO 2009
60
2
3%
SIMPLIFICADO 2010
60
3
5%
SIMPLIFICADO 2011
60
2
3%
SIMPLIFICADO 2012
60
5
8%
INGRESSO 2013
30
2
7%
CONCURSO
FONTE: A pesquisa
Como verificado anteriormente, o número de questões da prova específica variou em
relação à especificidade da prova (formação, ingresso, mérito e processo simplificado).
Sendo assim, preferiu-se analisar o quesito porcentagem de questões de Trigonometria em
relação ao número total de questões. A porcentagem de questões sobre esse assunto
presentes nas provas para professores de Matemática da SEE/SP variou de 3% a 8%.
Entendemos que a abordagem da Trigonometria é muito vasta. Sendo assim, houve a
necessidade de detalhar os conteúdos trigonométricos mais abordados nas provas de
Concursos da SEE/SP. Os dados referentes aos tipos de questões por ano estão inseridos em
tabela a seguir:
170
Tabela 5 - Questões por tipo de conteúdo trigonométrico
CONCURSO
QUESTÕES POR TIPO
QUANTIDADE
DE QUESTÕES
RELAÇÕES ENTRE CORDA E RAIO
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
TEOREMA DE PITÁGORAS
1
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
TEOREMA DE PITÁGORAS
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
TEOREMA DE PITÁGORAS
1
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
SEN (a - b)
1
FORMAÇÃO 2010
MÉRITO 2010
MÉRITO 2012
SIMPLIFICADO 2009
SIMPLIFICADO 2010
SIMPLIFICADO 2011
SIMPLIFICADO 2012
INGRESSO 2013
FONTE: A pesquisa
Pode-se perceber que, aproximadamente, 76% das questões de Trigonometria referemse a: Funções Trigonométricas, Teorema de Pitágoras e Relações Trigonométricas, que
fazem parte da temática que o professor de Matemática deve ensinar aos alunos do Ensino
Médio. Duas questões se afastam das Orientações Curriculares porque abordam o seno da
soma de dois arcos e a função trigonométrica secante.
171
Segue também tabela que quantifica as questões por tipo de conteúdo trigonométrico:
Tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico
QUESTÕES POR TIPO
QUANTIDADE
DE QUESTÕES
%
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
8
40%
TEOREMA DE PITÁGORAS
4
20%
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
15%
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
2
10%
RELAÇÕES ENTRE CORDA E RAIO
1
5%
SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS
1
5%
SEN (a - b)
1
5%
FONTE: A pesquisa
A tabela 6 - Quantidade de questões por tipo de conteúdo trigonométrico demonstra a
representatividade das funções trigonométricas que "aparecem" em aproximadamente 40%
das questões de provas que abordam o tema trigonometria.
Durante o processo de configuração desse trabalho, foi criada uma grade de análise para
as provas e é em relação a esses critérios que aprofundamos o nosso trabalho.
172
Tabela 7 - Expectativas institucionais
CONCURSO
TAREFA EXPECTATIVA INSTITUCIONAL
OBSERVAÇÃO
3
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
4
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
5
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
6
EXTRAPOLA OS DOCUMENTOS OFICIAIS
12
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
13
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
1
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
2
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
7
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
8
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
9
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
10
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
11
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
14
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
15
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
16
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
17
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
18
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
19
ATENDE OS DOCUMENTOS OFICIAIS
CADERNO
20
EXTRAPOLA OS DOCUMENTOS OFICIAIS
FORMAÇÃO 2010
MÉRITO 2010
MÉRITO 2012
SIMPLIFICADO 2009
SIMPLIFICADO 2010
SIMPLIFICADO 2011
SIMPLIFICADO 2012
INGRESSO 2013
FONTE: A pesquisa
173
Ao criar a tabela acima, a intenção foi compilar os dados constantes no Capítulo 5 Análise das questões das provas realizadas pela SEE/SP, a fim de facilitar a conclusão. O
primeiro critério de análise se baseia nas expectativas institucionais. Elas indicam os
conteúdos prescritos para a formação adequada dos alunos, tanto nas esferas federais
quanto nas estaduais (SEE/SP) e em relação ao que foi solicitado aos professores nas
provas de concurso, apenas duas questões "fogem" aos conteúdos prescritos aos alunos. A
questão 51 da prova de Mérito do ano de 2010 mostra uma figura que representa a função
secante, porém, os documentos oficiais prescrevem aos alunos apenas o trabalho com as
funções seno e cosseno. Entretanto, cabe ao professor definir o aprofundamento de
determinados conteúdos.
Outra questão que "fugiu" às expectativas institucionais foi a de número 18 da prova de
ingresso de 2013, pois para a resolução desta questão, o professor deve reconhecer como
uma possível forma de resolução da questão a aplicação da fórmula do seno da soma de
dois arcos, conteúdo esse que não é priorizado nos documentos oficiais. Porém, essa
questão também pode ser resolvida com aproximações dos senos de 45° e 60°, conteúdo
prescrito para os alunos do Ensino Médio.
A coluna "Observação" da tabela 7 refere-se ao conteúdo que foi abordado nos cadernos
dos alunos. Por conseguinte, nota-se que dos conteúdos prescritos pelos documentos
oficiais, apenas a questão 50 do processo de seleção simplificado do ano de 2009, não
possui atividade igual ou similar no Caderno dos Alunos.
Com relação à descrição da tarefa, item constante na grade de análise, não houve a
preocupação de discorrer a respeito desse tema, já que as considerações são únicas e
referentes apenas a cada uma das questões analisadas.
Tabulou-se também as questões de Trigonometria em relação ao nível de conhecimento
esperado (Robert,1998) e Categorias de conhecimentos necessários ao ensino (Shulman,
1987). Os dados encontram-se na tabela a seguir:
174
Tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento
CONCURSO
TAREFA
NÍVEL DE
CONHECIMENTO
ESPERADO (ROBERT)
3
MOBILIZÁVEL
4
MOBILIZÁVEL
5
MOBILIZÁVEL
6
MOBILIZÁVEL
12
MOBILIZÁVEL
13
MOBILIZÁVEL
1
TÉCNICO
2
DISPONÍVEL
7
MOBILIZÁVEL
8
MOBILIZÁVEL
9
MOBILIZÁVEL
10
MOBILIZÁVEL
11
MOBILIZÁVEL
14
MOBILIZÁVEL
15
MOBILIZÁVEL
16
MOBILIZÁVEL
17
MOBILIZÁVEL
18
MOBILIZÁVEL
19
MOBILIZÁVEL
20
MOBILIZÁVEL
FORMAÇÃO 2010
MÉRITO 2010
MÉRITO 2012
SIMPLIFICADO 2009
SIMPLIFICADO 2010
SIMPLIFICADO 2011
SIMPLIFICADO 2012
INGRESSO 2013
CATEGORIA DE
CONHECIMENTO (SHULMAN)
CONTEXTO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO E
PEDAGÓGICO DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
CONHECIMENTO ESPECÍFICO
DO CONTEÚDO
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL EXTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
REAL INTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
ARTIFICIAL EXTRAMATEMÁTICA
FONTE: A pesquisa
A tabela 8 - Questões por nível e categoria de conhecimento, apresenta um dado
interessante: 90% das questões requerem do candidato um procedimento além de uma mera
aplicação de fórmula. Consequentemente, é necessária reflexão que resulte em uma solução
175
adequada à questão. Em relação às categorias de conhecimento (Shulman), percebe-se que
todas as questões envolvem o conhecimento específico do conteúdo e o candidato é
avaliado por esse conhecimento. Todavia, apesar das questões serem voltadas para o
conhecimento específico do conteúdo, o professor, em sala de aula, também deve ser
possuidor do conhecimento pedagógico do conteúdo, uma vez que esse conhecimento será
um diferencial na introdução e abordagem de temas necessários para abranger o
conhecimento dos alunos.
Tabulamos então, os dados relativos aos contextos em que as questões foram
elaboradas:
Tabela 9 - Contexto
ARTIFICIAL
REAL
INTRAMATEMÁTICA
1
11
EXTRAMATEMÁTICA
7
1
FONTE: A pesquisa
Em relação ao contexto, as questões foram analisadas da seguinte forma: Artificial,
quando o autor da questão usa elementos de contexto que são desnecessários para a
resolução da tarefa. Real, quando o contexto envolve situações reais. Além disso, também
se levou em consideração se o contexto é intra ou extramatemática, ou seja, se a abordagem
é exclusiva da Matemática, ou se a abordagem está voltada a um conteúdo não matemático.
A análise das questões indicou como conhecimentos necessários ao professor, para
ensinar trigonometria, conteúdos como: funções, relações e círculo trigonométrico e
teorema de Pitágoras que totalizam 85% das questões de Trigonometria que constam nas
provas analisadas. Além disso, quanto ao conhecimento pedagógico do conteúdo foi, em
nosso ponto de vista, avaliado por essas questões que envolvem situações que envolvem
situações de modelagem cuja solução requer a elaboração de estratégias que facilitassem o
entendimento do conteúdo abordado.
176
Da mesma forma no que se refere aos conhecimentos necessários ao professor, para
ensinar Trigonometria, é importante ressaltar que pela análise de orientações curriculares
para a abordagem desse conteúdo tanto em documentos oficiais federais como estaduais,
especialmente o Caderno do Professor, encontramos, por exemplo, a introdução por meio
do estudo da periodicidade envolvida no fenômeno das marés. Nesse sentido, parece que
houve
uma
preocupação
com
contextos
significativos
estabelecendo
relações
interdisciplinares, especialmente entre física e matemática, pois exige que o professor
disponha além dos conhecimentos de Matemática também o conhecimento específico de
Física.
No entanto, não notamos haver nas provas questões que avaliassem conhecimentos
referentes à organização curricular. Embora alguns itens tenham sido elaborados num
contexto que era tratado no currículo, observa-se que os itens tinham quase que
exclusivamente o propósito de examinar o conhecimento do conteúdo específico do
candidato.
Sob a luz da análise de diferentes aspectos, pode-se concluir que a Trigonometria
continua sendo um conteúdo pouco discutido e estudado e esperamos ter contribuído para
aumentar o número dessas discussões. Sabe-se, ainda, que muitos dos questionamentos
aqui presentes permanecem sem respostas, mas isso não nos impede de sonhar que muito
em breve eles sejam plenamente resolvidos.
177
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Pedagógicas. Currículo do Estado de São Paulo - Matemática e suas Tecnologias Ensino Fundamental - Ciclo II e Ensino Médio, São Paulo: SE/CENP, 2010.
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 7a série - EF - volume 4, São Paulo: SE/CENP,
2009a.
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 8a série - EF - volume 3, São Paulo: SE/CENP,
2009b.
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 8a série - EF - volume 4, São Paulo: SE/CENP,
2009c.
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 1a série - EM - volume 4, São Paulo: SE/CENP,
2009d.
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 2a série - EM - volume 1, São Paulo: SE/CENP,
2009e.
179
______. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas.
Caderno do Professor - Matemática - 3a série - EM - volume 3, São Paulo: SE/CENP,
2009f.
______ Câmara. Deputados Estaduais. Resolução n. 80 de 2009g. Dispõe sobre à definição
de perfis de competências e habilidades requeridas para professores da rede pública
estadual e bibliografia para exames e concursos, e dá providências correlatas.
______ Câmara. Deputados Estaduais. Resolução n. 52 de 2013. Dispõe sobre à definição
de perfis, competências e habilidades requeridas para professores da rede estadual de
ensino, os referenciais bibliográficos e de legislação, que fundamentam e orientam a
organização de exames, concursos e processos seletivos, e dá providências correlatas.
______ Câmara. Deputados Estaduais. Instruções Especiais n. 02 de 2013.
SHULMAN, L. S. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform. Harvard
Educational Review, Vol. 57, n. 1, p.1-21, 1987.
SPINELLI, WALTER. A Construção do Conhecimento entre o Abstrair e o
Contextualizar: O Caso do Ensino da Matemática. Tese de Doutorado, USP/SP, 2011.
VIEIRA MELO, MARISOL. Relação de Teses e Dissertações. Revista Zetetiké, Vol. 19,
n. 36, p. 95-148, 2011.
<HTTP://WWW.VUNESP.COM.BR/ENCERRADOS/CENCERRADOS.HTML> Acesso
em 15/10/2012.
180
ANEXOS
Caderno do Professor
O Caderno do professor foi um documento imprescindível para a nossa compreensão dos
objetivos, das abordagens e sugestões que dizem respeito ao conteúdo de trigonometria. À
seguir, apresentamos o Caderno do Professor da 2a série do EM que foi utilizado para
embasar a nossa pesquisa.
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.1
181
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.2
182
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.3
183
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.4
184
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.5
185
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.6
186
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.7
187
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.8
188
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.9
189
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.10
190
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.11
191
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.12
192
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.13
193
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.14
194
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.15
195
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.16
196
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.17
197
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.18
198
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.19
199
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.20
200
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.21
201
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.22
202
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.23
203
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.24
204
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.25
205
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.26
206
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.27
207
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.28
208
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.29
209
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.30
1
210
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.31
211
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.32
212
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.33
213
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.34
214
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.35
215
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.36
216
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.37
217
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.38
218
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.39
219
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.40
220
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.41
221
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.42
222
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.43
223
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.44
224
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.45
225
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.46
226
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.47
227
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.48
228
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.49
229
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.50
230
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.51
231
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.52
232
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.53
233
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.54
234
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.55
235
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.56
236
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.57
237
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.58
238
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.59
239
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.60
240
Anexo 1 - 1° bimestre - 2a série - EM p.61
Anexo 2 - Resolução SE - 80, de 3-11-2009
Dispõe sobre a definição de perfis de competências e habilidades requeridos para
professores da rede pública estadual e bibliografia para exames e concursos, e dá
providências correlatas
O Secretário da Educação, à vista do que lhe representou o Comitê Gestor de
elaboração de provas, de que trata a Resolução SE 69/2000, e considerando a necessidade:
de explicitação dos perfis de competências e habilidades desejáveis aos professores
da rede pública estadual;
241
de orientação dos processos de concursos públicos e de ações de formação
continuada segundo tais perfis, resolve:
Artigo 1º - Aprova-se o Anexo que integra esta resolução com a indicação dos perfis
de habilidades e competências requeridos de Professores PEB-I, PEB-II e de Educação
Especial, bem como da bibliografia básica.
Artigo 2º - Os perfis de habilidades e competências, bem como a bibliografia básica
indicada, serão requeridos na primeira etapa do concurso público para provimento de
cargos de Professor Educação Básica II, para seleção de docentes temporários e para
progressão na carreira.
Parágrafo único - Para as ações de formação continuada desenvolvidas no âmbito da
Secretaria da Educação serão observados os mesmos perfis e bibliografia constantes do
Anexo que integra esta resolução.
Artigo 3º - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação.
Nota:
Res. SE nº 69/09;
Onde se lê: ..., de que trata a Resolução SE 69/2000, ...; leia-se: ..., de que trata a
Resolução SE 69/2009,... (retificação do DOE de 12/11/09);
Alterada pela Res. SE nº 02/10;
Revogada pela Res. SE nº 70/10.
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
Exames e Concursos de Professores
PEB I / PEB II / Educação Especial
- Perfis Profissionais -
Outubro
242
2009
243
SUMÁRIO
SUMÁRIO ........................................................................................................................................ 243
1.4
2
MATEMÁTICA ..................................................................................................................... 243
PERFIL DOS PROFESSORES PEB-II ................................................................................ 246
2.1
PARTE GERAL COMUM A TODAS AS ÁREAS........................................................................ 246
2.1.1
Cultura geral e profissional ......................................................................................... 246
2.1.2
Conhecimentos sobre crianças, jovens e adultos ........................................................ 246
2.1.3
Conhecimentos sobre a dimensão cultural, social, política e econômica da educação
......................................................................................................................................................... 247
2.1.4
Conteúdos das áreas de conhecimento que são objeto de ensino ............................... 248
2.1.5
Conhecimento pedagógico ........................................................................................... 250
2.1.6
Conhecimento advindo da experiência ....................................................................... 250
2.1.7
Conhecimentos para o desenvolvimento profissional ................................................. 251
2.1.8
Competências do Professor - Parte Geral ................................................................... 251
2.1.9
Bibliografia para Parte Geral ...................................................................................... 255
2.1.10
Documentos para Parte Geral ....................................................................................... 256
2.6
PERFIL DESEJADO PARA O PROFESSOR DE MATEMÁTICA................................................. 257
2.6.1
O professor de Matemática deve apresentar o seguinte perfil: ................................... 257
2.6.2
Habilidades do professor de Matemática .................................................................... 259
2.6.3
Bibliografia para Matemática ..................................................................................... 263
2.6.4
Documentos para Matemática ..................................................................................... 263
1.4.Matemática
Dominar os conteúdos relacionados às áreas de conhecimento (Língua Portuguesa,
Matemática, História, Geografia e Ciências Naturais) objetos da atividade docente.
Conteúdos
A construção
do
Conhecimento
Matemático
Competências
Compreender os processos de
construção do conhecimento
matemático, valorizando suas
aplicações práticas e também
seu caráter abstrato.
Usar a resolução de problemas
e a investigação como eixos
metodológicos
para
a
exploração dos diferentes
temas
matemáticos,
valorizando as estratégias
Habilidades
Propor situações de aprendizagem
por meio das quais os estudantes
compreendam que a construção de
conhecimentos matemáticos, não
se dá como imposição de regras e
de procedimentos, mas como fruto
de experimentações, levantamento
de hipóteses, validações.
Identificar estratégias dos
estudantes;
Relacionar estratégias utilizadas
pelos alunos na resolução de
problemas
à
intervenções
adequadas do professor.
244
pessoais de seus estudantes e
sabendo fazer intervenções que
conduzam à análise de
estratégias mais eficientes.
Conteúdos
matemáticos e
didáticos:
Números
Naturais e
Sistema de
Numeração
Decimal,
Números
Racionais nas
suas
representações
fracionária,
decimal e
percentual,
Operações com
Números
Naturais e
Racionais,
Espaço, formas
tridimensionais
e
bidimensionais,
Grandezas e
Medidas e
Tratamento da
Informação
Conhecer e utilizar os
conteúdos matemáticos
previstos na Orientações
Curriculares do Estado de S
Paulo para o Ciclo I.
Selecionar atividades a serem
realizadas por estudantes dos anos
iniciais do ensino fundamental que
evidenciem aplicações práticas do
conhecimento matemático, ligadas
ao seu cotidiano, mas também as
que busquem especulações de
caráter mais abstrato.
Procurar regularidades, fazer
conjecturas,
formular
generalizações
e
organizar
logicamente o pensamento para a
resolução
de
problemas
matemáticos.
Buscar a ampliação de
conhecimentos
didáticos
relacionados ao ensino e à
aprendizagem, atualizando-se
em relação aos resultados de
pesquisas na área de Educação
Matemática.
Utilizar para o preparo de seus
planos de ensino os resultados de
pesquisa ligados especialmente à
construção dos números naturais e
racionais, aos campos aditivo e
multiplicativo, à resolução de
problemas,
a
obstáculos
epistemológicos e didáticos, à
construção de conhecimentos
geométricos,
métricos
e
estatísticos.
Utilizar
resultados
de
pesquisas, na área da educação
matemática,
ligados
à
construção
dos
números
naturais e racionais, aos
campos
aditivo
e
multiplicativo, à resolução de
problemas, aos obstáculos
epistemológicos e didáticos, à
construção de conhecimentos
geométricos,
métricos
e
estatísticos para a elaboração
de situações de ensino.
Analisar a coerência de atividades
didáticas com as indicações
produzidas em pesquisas na área
de Educação Matemática.
Selecionar e utilizar diferentes recursos didáticos, ajustando-os às necessidades de
aprendizagem dos estudantes.
245
Conteúdos
Competências
O uso de recursos
didáticos
Apropriar-se
de
recursos
tecnológicos
(calculadora,
softwares,
objetos
de
aprendizagem etc.) que possam
contribuir
para
seu
desenvolvimento profissional e
para sua atuação em sala de
aula, explorando-os em prol da
aprendizagem dos estudantes.
Habilidades
Apropriar-se
de
recursos
tecnológicos
(calculadora,
softwares,
objetos
de
aprendizagem etc.) que possam
contribuir
para
seu
desenvolvimento profissional e
para sua atuação em sala de
aula, explorando-os em prol da
aprendizagem dos estudantes.
Gerenciar a classe, organizando o tempo, o espaço e o agrupamento dos estudantes, de
modo a potencializar as aprendizagens.
Conteúdos
Competências
Gestão da sala de
aula de
matemática
Comunicar-se
matematicamente por meio de
diferentes linguagens (natural,
gráfica, figural) explorando
diferentes
registros
de
representação
e
sabendo
realizar conversões entre eles.
Utilizar as hipóteses que os
estudantes formulam sobre
ideias
e
procedimentos
matemáticos
para
fazer
intervenções que façam os
alunos avançarem em seu
processo de aprendizagem.
Habilidades
Reconhecer a importância
incentivar os estudantes a
comunicarem nas aulas
Matemática, fazendo uso
leitura e da escrita,
desenhos, de gráficos,
tabelas e outros recursos
comunicação.
de
se
de
da
de
de
de
Identificar boas situações em os
alunos possam expor as
hipóteses que formulam sobre
ideias
e
procedimentos
matemáticos.
Avaliar a aprendizagem dos estudantes através de estratégias diversificadas e utilizar a
análise dos resultados para reorganizar as propostas de trabalho.
Conteúdos
Avaliação em
Matemática
Competências
Analisar
estratégias
pessoais
crianças
Habilidades
Utilizar análise dos erros e acertos das crianças
para verificar sua compreensão dos conteúdos
matemáticos.
das
Eleger estratégias de ensino a partir de resultados
de avaliação.
Avaliar a eficiência de situações didáticas para a aprendizagem dos estudantes,
envolvendo diferentes conhecimentos presentes no currículo escolar.
246
Conteúdos
Competências
Utilizar
critérios
para
selecionar
e
organizar
Didática
da atividades matemáticas a
serem
realizadas
pelos
Matemática
estudantes dos anos iniciais
do ensino fundamental.
Habilidades
Identificar critérios para elaborar ou
utilizar
situações
didáticas
adequadas aos objetivos de
aprendizagem que pretende atingir,
articulando os diferentes conteúdos
matemáticos
em
variadas
modalidades organizativas.
2. PERFIL DOS PROFESSORES PEB-II
2.1. Parte Geral comum a todas as áreas
2.1.1. Cultura geral e profissional
Uma cultura geral ampla favorece o desenvolvimento da sensibilidade, da imaginação, a
possibilidade de produzir significados e interpretações do que se vive e de fazer
conexões – o que, por sua vez, potencializa a qualidade da intervenção educativa.
Do modo como é entendida aqui, cultura geral inclui um amplo espectro de temáticas:
familiaridade com as diferentes produções da cultura popular e erudita e da cultura de
massas e atualização em relação às tendências de transformação do mundo
contemporâneo.
A cultura profissional, por sua vez, refere-se àquilo que é próprio da atuação do
professor no exercício da docência. Fazem parte desse âmbito temas relativos às
tendências da educação e do papel do professor no mundo atual.
É necessário, também, que os cursos de formação ofereçam condições para que os
futuros professores aprendam a usar tecnologias de informação e comunicação, cujo
domínio é importante para a docência e para as demais dimensões da vida moderna.
2.1.2. Conhecimentos sobre crianças, jovens e adultos
A formação de professores deve assegurar o conhecimento dos aspectos físicos,
cognitivos, afetivos e emocionais do desenvolvimento individual tanto de uma
247
perspectiva científica quanto à relativa às representações culturais e às práticas sociais
de diferentes grupos e classes sociais. Igualmente relevante é a compreensão das formas
diversas pelas quais as diferentes culturas atribuem papéis sociais e características
psíquicas a faixas etárias diversas.
A formação de professores deve assegurar a aquisição de conhecimentos sobre o
desenvolvimento humano e sobre a forma como diferentes culturas caracterizam as
diferentes faixas etárias e sobre as representações sociais e culturais dos diferentes
períodos: infância, adolescência, juventude e vida adulta. Igualmente importante é o
conhecimento sobre as peculiaridades dos alunos que apresentam necessidades
educacionais especiais.
Para que possa compreender quem são seus alunos e identificar as necessidades de
atenção, sejam relativas aos afetos e emoções, aos cuidados corporais, de nutrição e
saúde, sejam relativas às aprendizagens escolares e de socialização, o professor precisa
conhecer aspectos psicológicos que lhe permitam atuar nos processos de aprendizagem
e socialização; ter conhecimento do desenvolvimento físico e dos processos de
crescimento, assim como dos processos de aprendizagem dos diferentes conteúdos
escolares em diferentes momentos do desenvolvimento cognitivo, das experiências
institucionais e do universo cultural e social em que seus alunos se inserem. São esses
conhecimentos que o ajudarão a lidar com a diversidade dos alunos e a trabalhar na
perspectiva da escola inclusiva.
É importante que, independentemente da etapa da escolaridade em que o futuro
professor vai atuar, ele tenha uma visão global sobre esta temática, aprofundando seus
conhecimentos sobre as especificidades da faixa etária e das práticas dos diferentes
grupos sociais com a qual vai trabalhar.
2.1.3. Conhecimentos sobre a dimensão cultural, social, política e
econômica da educação
Este âmbito, bastante amplo, refere-se a conhecimentos relativos à realidade social e
política brasileira e a sua repercussão na educação, ao papel social do professor, à
discussão das leis relacionadas à infância, adolescência, educação e profissão, às
248
questões da ética e da cidadania, às múltiplas expressões culturais e às questões de
poder associadas a todos esses temas.
Diz respeito, portanto, à necessária contextualização dos conteúdos, assim como o
tratamento dos Temas Transversais – questões sociais atuais que permeiam a prática
educativa como ética, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho, consumo e
outras – seguem o mesmo princípio: o compromisso da educação básica com a
formação para a cidadania e buscam a mesma finalidade: possibilitar aos alunos a
construção de significados e a necessária aprendizagem de participação social.
Igualmente, políticas públicas da educação, dados estatísticos, quadro geral da situação
da educação no país, relações da educação com o trabalho, relações entre escola e
sociedade são informações essenciais para o conhecimento do sistema educativo e,
ainda, a análise da escola como instituição – sua organização, relações internas e
externas – concepção de comunidade escolar, gestão escolar democrática, Conselho
Escolar e projeto pedagógico da escola, entre outros.
2.1.4. Conteúdos das áreas de conhecimento que são objeto de ensino
Incluem-se aqui os conhecimentos das áreas que são objeto de ensino em cada uma das
diferentes etapas da educação básica. O domínio desses conhecimentos é condição
essencial para a construção das competências profissionais apresentadas nestas
diretrizes.
Nos cursos de formação para a educação infantil e séries iniciais do ensino fundamental
é preciso incluir uma visão inovadora em relação ao tratamento dos conteúdos das áreas
de conhecimento, dando a eles o destaque que merecem e superando abordagens
infantilizadas de sua apropriação pelo professor.
Nos cursos de formação para as séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio, a
inovação exigida para as licenciaturas é a identificação de procedimentos de seleção,
organização e tratamento dos conteúdos, de forma diferenciada daquelas utilizadas em
cursos de bacharelado; nas licenciaturas, os conteúdos disciplinares específicos da área
são eixos articuladores do currículo, que devem relacionar grande parte do saber
249
pedagógico necessário ao exercício profissional e estar constantemente referidos ao
ensino da disciplina para as faixas etárias e as etapas correspondentes da Educação
Básica.
Em ambas situações é importante ultrapassar os estritos limites disciplinares,
oferecendo uma formação mais ampla na área de conhecimento, favorecendo o
desenvolvimento de propostas de trabalho interdisciplinar, na Educação Básica. São
critérios de seleção de conteúdos, na formação de professores para a Educação Básica,
as potencialidades que eles têm no sentido de ampliar:
a) a visão da própria área de conhecimento que o professor em formação deve construir;
b) o domínio de conceitos e de procedimentos que o professor em formação trabalhará
com seus alunos da educação básica;
c) as conexões que ele deverá ser capaz de estabelecer entre conteúdos de sua área com
as de outras áreas, possibilitando uma abordagem de contextos significativos.
São critérios de organização de conteúdos, as formas que possibilitam:
a) ver cada objeto de estudo em articulação com outros objetos da mesma área ou da
área afim;
b) romper com a concepção linear de organização dos temas, que impede o
estabelecimento de relações, de analogias etc.
Dado que a formação de base, no contexto atual da educação brasileira, é muitas vezes
insuficiente, será muitas vezes necessária a oferta de unidades curriculares de
complementação e consolidação desses conhecimentos básicos. Isso não deve ser feito
por meio de simples "aulas de revisão", de modo simplificado e sem o devido
aprofundamento.
Essa intervenção poderá ser concretizada por programas ou ações especiais, em
módulos ou etapas a serem oferecidos aos professores em formação. As Diretrizes e os
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio devem
ser usados como balizadores de um diagnóstico a ser, necessariamente, realizado logo
no início da formação.
250
Convém destacar a necessidade de contemplar na formação de professores conteúdos
que permitam analisar valores e atitudes. Ou seja, não basta tratar conteúdos de natureza
conceitual e/ou procedimental. É imprescindível que o futuro professor desenvolva a
compreensão da natureza de questões sociais, dos debates atuais sobre elas, alcance
clareza sobre seu posicionamento pessoal e conhecimento de como trabalhar com os
alunos.
2.1.5. Conhecimento pedagógico
Este âmbito refere-se ao conhecimento de diferentes concepções sobre temas próprios
da docência, tais como, currículo e desenvolvimento curricular, transposição didática,
contrato didático, planejamento, organização de tempo e espaço, gestão de classe,
interação grupal, criação, realização e avaliação das situações didáticas, avaliação de
aprendizagens dos alunos, consideração de suas especificidades, trabalho diversificado,
relação professor-aluno, análises de situações educativas e de ensino complexas, entre
outros. São deste âmbito, também, as pesquisas dos processos de aprendizagem dos
alunos e os procedimentos para produção de conhecimento pedagógico pelo professor.
2.1.6. Conhecimento advindo da experiência
O que está designado aqui como conhecimento advindo da experiência é, como o nome
já diz, o conhecimento construído “na” e “pela” experiência. Na verdade, o que se
pretende com este âmbito é dar destaque à natureza e à forma com que esse
conhecimento é constituído pelo sujeito. É um tipo de conhecimento que não pode ser
construído de outra forma senão na prática profissional e de modo algum pode ser
substituído pelo conhecimento “sobre” esta prática. Saber – e aprender – um conceito ou
uma teoria é muito diferente de saber – e aprender – a exercer um trabalho. Trata-se,
portanto, de aprender a “ser” professor.
Perceber as diferentes dimensões do contexto, analisar como as situações se constituem
e compreender como a atuação pode interferir nelas é um aprendizado permanente, na
medida em que as questões são sempre singulares e novas respostas precisam ser
construídas. A competência profissional do professor é, justamente, sua capacidade de
251
criar soluções apropriadas a cada uma das diferentes situações complexas e singulares
que enfrenta.
Assim, este âmbito de conhecimento está relacionado às práticas próprias da atividade
de professor e às múltiplas competências que as compõem e deve ser valorizado em si
mesmo. Entretanto, é preciso deixar claro que o conhecimento experiencial pode ser
enriquecido quando articulado a uma reflexão sistemática. Constrói-se, assim, em
conexão com o conhecimento teórico, na medida em que é preciso usá-lo para refletir
sobre a experiência, interpretá-la, atribuir-lhe significado.
2.1.7. Conhecimentos para o desenvolvimento profissional
A definição dos conhecimentos exigidos para o desenvolvimento profissional origina-se
na identificação dos requisitos impostos para a constituição das competências. Desse
modo, além da formação específica relacionada às diferentes etapas da Educação
Básica, requer a sua inserção no debate contemporâneo mais amplo, que envolve tanto
questões culturais, sociais, econômicas, como conhecimentos sobre o desenvolvimento
humano e sobre a própria docência.
2.1.8. Competências do Professor - Parte Geral
2.1.8.1. Competências
educativo.
relativas
aos fundamentos
do processo
C.I - Compreender o processo de sociabilidade e de ensino e aprendizagem na escola e
nas suas relações com o contexto no qual se inserem as instituições de ensino e atuar
sobre ele.
H1 - Identificar as novas demandas que a sociedade do conhecimento está colocando
para a educação escolar.
H2 - Identificar formas de atuação docente, possíveis de serem implementadas,
considerando o contexto das políticas de currículo da Secretaria de Estado da Educação
de São Paulo, nas dimensões sala de aula, escola e diretoria.
252
C.II - Situar a escola pública no seu ambiente institucional e explicar as relações
(hierarquias, articulações, obrigatoriedade, autonomia) que ela mantém com as
diferentes instâncias da gestão pública, utilizando conceitos tais como:
sistema de ensino; sistema de ensino estadual e municipal;
âmbitos da gestão das políticas educacionais - nacional, estadual e municipal, MEC,
Secretarias Estaduais e Municipais, Conselho Nacional de Educação;
legislação básica da educação: LDB, diretrizes curriculares nacionais, atos normativos
da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo e papel do Conselho Estadual de
Educação de SP;
carreira do magistério – legislação e mudanças recentes.
H3 - Identificar a composição, os papéis e funções da equipe de uma escola e as normas
que devem reger as relações entre os profissionais que nela trabalham.
H4 - Reconhecer principais leis e normas que regulamentam a profissão de professor,
sendo capaz de identificar as incumbências do professor, tal como prescritas pelo Art.
13 da LDB, em situações concretas que lhe são apresentadas.
Art. 13 Os docentes incumbir-se-ão de:
I. participar da elaboração da proposta pedagógica do estabelecimento de ensino;
II. elaborar e cumprir plano de trabalho, segundo a proposta pedagógica do
estabelecimento de ensino;
III. zelar pela aprendizagem dos alunos;
IV. estabelecer estratégias de recuperação para os alunos de menor rendimento;
V. ministrar os dias letivos e horas-aula estabelecidos, além de participar
integralmente os períodos dedicados ao planejamento, à avaliação e ao
desenvolvimento profissional;
VI. colaborar com as atividades de articulação da escola com as famílias e a
comunidade.
C.III - Reconhecer a importância de participação coletiva e cooperativa na elaboração,
gestão, desenvolvimento e avaliação do projeto educativo e curricular da escola,
253
identificando formas positivas de atuação em diferentes contextos da prática
profissional, além da sala de aula.
H5 - Diante de um problema de uma escola caracterizada, indicar os aspectos que
merecem ser discutidos e trabalhados coletivamente pela equipe escolar.
H6 - Identificar os diferentes componentes do Projeto Pedagógico.
H7 - Escolher entre as justificativas apresentadas as que mais se adequam ao papel do
professor na elaboração e/ou execução desse Projeto.
C.IV - Promover uma prática educativa que leve em conta as características dos alunos
e de seu meio social, seus temas e necessidades do mundo contemporâneo e os
princípios, prioridades e objetivos do projeto educativo e curricular.
H8 - Analisar os fatores socioeconômicos que afetam o desempenho do aluno na escola
e identificar ações para trabalhar com esses impactos externos, seja no sentido de
aproveitá-los como enriquecimento dos conteúdos curriculares seja no sentido de
atenuar eventuais efeitos negativos.
C.V - Compreender o significado e a importância do currículo para garantir que todos
os alunos façam um percurso básico comum e aprendam as competências e habilidades
que têm o direito de aprender, sabendo identificar as diferenças entre o Currículo que é
praticado (colocado em ação) na escola e as Diretrizes e Parâmetros Curriculares
Nacionais.
H9 - Compreender as fases de desenvolvimento da criança e do jovem e associar e
explicar como a escola e o professor devem agir para adequar o ensino e promover a
aprendizagem em cada uma dessas etapas.
H10 - Caracterizar, explicar e exemplificar o que pode ser uma parceria colaborativa
dos pais com a escola, tendo em vista melhorar a qualidade das aprendizagens dos
alunos.
254
2.1.8.2. Competências referentes ao domínio do conhecimento
pedagógico
C.VI - Diante de informações gerais sobre a escola, a idade da turma, a etapa
(Fundamental ou Médio) e o ano (série), bem como sobre os recursos pedagógicos
existentes e outras condições pertinentes da escola, propor situações de aprendizagem
de sua disciplina, nas quais sejam explicitadas e explicadas:
1. o que o aluno deverá aprender com a situação proposta;
2. o conteúdo a ser ensinado;
3. o tempo de duração e sua distribuição;
4. as formas de agrupamento dos alunos nas atividades previstas;
5. a forma de apresentar e comunicar aos alunos os objetivos da situação; as atividades
de professor e aluno distribuídas no tempo, de modo a ficar claro o percurso a ser
realizado para que a aprendizagem aconteça;
6. o tipo de acompanhamento que o professor deve fazer ao longo do percurso;
7. as estratégias de avaliação e as possíveis estratégias de recuperação na hipótese de
problemas de aprendizagem.
H11 - Identificar e justificar a importância dos organizadores de situações de
aprendizagem (competências e habilidades que os alunos deverão constituir; conteúdos
curriculares selecionados; atividades do aluno e do professor; avaliação e recuperação).
H12 - Reconhecer estratégias para gerenciar o tempo em sala de aula, nas seguintes
situações, considerando a diversidade dos alunos, os objetivos das atividades propostas
e as características dos próprios conteúdos:
Existência de alunos que aprendem mais depressa e alunos mais lentos;
Tempo insuficiente para dar conta do conteúdo previsto no plano de trabalho (anual,
bimestral, semanal);
Sugerir e explicar formas de agrupamento dos alunos, indicando as situações para as
quais são adequadas.
H13 - Utilizar estratégias diversificadas de avaliação da aprendizagem e, a partir de seus
resultados, reconhecer propostas de intervenção pedagógica, considerando o
desenvolvimento de diferentes capacidades dos alunos;
255
H14 - Compreender o significado das avaliações externas – nacionais e internacionais –
que vêm sendo aplicadas no Brasil e reconhecer alcances e limites do uso dos resultados
que o país vem apresentando nessas avaliações na última década.
H15 - Identificar as principais características do SARESP após suas modificações de
2007.
H16 - Interpretar adequadamente o IDEB – como se constrói, para que serve, o que
significa para a educação escolar brasileira.
2.1.8.3. Competências referentes ao conhecimento de processos de
investigação que possibilitem o aperfeiçoamento da prática pedagógica
C.VII - Demonstrar domínio de processos de ação e investigação que possibilitem o
aperfeiçoamento da prática pedagógica.
H17 - Diante de situações-problema relativas às relações interpessoais que ocorrem na
escola, identificar a origem do problema e as possíveis soluções.
H18 - Dada uma situação de sala de aula, identificar os aspectos relevantes a serem
observados e o registro mais adequado dessas observações.
H19 - Identificar e/ou selecionar dados de investigações ou estudos relevantes para a
prática em sala de aula.
2.1.8.4. Competências referentes ao gerenciamento do próprio
desenvolvimento profissional
H20 - Identificar dados e informações sobre a organização, gestão e financiamento dos
sistemas de ensino, sobre a legislação e as políticas públicas referentes à educação para
uma inserção profissional crítica.
2.1.9. Bibliografia para Parte Geral
1. OLIVEIRA, Marta K. de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento; um processo
sócio-histórico. 4. ed. São Paulo: Scipione,1997.
2. ASSMANN, Hugo. Metáforas novas para reencantar a educação – epistemologia
e didática. Piracicaba: Unimep, 2001.
3. COLL, César e outros. O construtivismo na sala de aula. São Paulo: Ática, 2006.
4. COLL, César; MARTÍN, Elena e colaboradores. Aprender conteúdos &
desenvolver capacidades. Porto Alegre: Artmed, 2004.
256
5. CONTRERAS, José. A autonomia dos professores. São Paulo: Cortez, 2002.
6. DELORS, Jacques e EUFRAZIO, José Carlos. Educação: um tesouro a descobrir.
São Paulo: Cortez, 1998.
7. FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática docente.
São Paulo: Paz e Terra, 2008.
8. GARDNER, Howard; PERKINS, David; PERRONE, Vito e colaboradores. Ensino
para a compreensão. A pesquisa na prática. Porto Alegre: Artmed, 2007.
9. HARGREAVES, Andy. O ensino na sociedade do conhecimento: educação na era
da insegurança. Porto Alegre: Artmed, 2003.
10. HOFFMANN, Jussara. Avaliar para promover: as setas do caminho. Porto
Alegre: Mediação, 2001.
11. LERNER, Délia. Ler e escrever na escola: o real, o possível, o necessário. Porto
Alegre: Artmed, 2002.
12. MARZANO, Robert J.; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. Ensino que
funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos
alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.
13. MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo:
Cortez, 2006.
14. PERRENOUD, Philippe. 10 novas competências para ensinar. Porto Alegre:
Artmed, 2000.
15. PIAGET, Jean. Para onde vai a educação?. Rio de Janeiro: José Olimpio, 2007.
16. PIAGET, Jean. Psicologia e pedagogia: a resposta do grande psicólogo aos
problemas do ensino. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1998.
17. TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes,
2002.
18. TEDESCO, Juan Carlos. O novo pacto educativo. São Paulo: Ática, 2001.
19. VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Avaliação da Aprendizagem - Práticas de
Mudança: por uma praxis transformadora. São Paulo: Libertad, 2003.
20. ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed,
1998.
2.1.10. Documentos para Parte Geral
1. BRASIL. MEC. DCNs do Ensino Fundamental. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/1998/pceb004_98.pdf
2. BRASIL. MEC. DCNs do Ensino Médio - Parecer 15/98. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/1998/pceb015_98.pdf
3. BRASIL. MEC/INEP. Fundamentos teórico-metodológicos do ENEM. Disponível
em: http://www.publicacoes.inep.gov.br/detalhes.asp?pub=4005
4. BRASIL. MEC/INEP. IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica).
Disponível em: http://portalideb.inep.gov.br/
5. BRASIL. MEC/INEP. Prova Brasil e o SAEB. Disponível em:
http://provabrasil.inep.gov.br/
6. BRASIL. MEC/SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais. Introdução. Terceiro e
Quarto Ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF,1997. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/introducao.pdf
7. BRASIL. MEC/SEMTEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio.
Brasília: MEGSEMTEC, 2002.
257
8. SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de
São Paulo para o ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio: Documento de
Apresentação.
São
Paulo:
SE,
2008.
Disponível
em:
http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Portals/18/arquivos/PropostaCurricularGeral_
Internet_md.pdf
2.6. Perfil desejado para o professor de Matemática
Duas são as dimensões fundamentais na formação profissional do professor de
Matemática:

a competência técnica, no sentido do conhecimento dos conteúdos matemáticos a
serem ensinados, bem como dos recursos metodológicos para apresentá-los aos alunos,
com a compreensão do significado dos mesmos em contextos adequados, referentes aos
universos da cultura, do trabalho, da arte, da ciência ou da tecnologia;

o compromisso público com a Educação, decorrente de uma compreensão dos
aspectos históricos, filosóficos, sociológicos, psicológicos, antropológicos, políticos e
econômicos da educação e do ensino, o que viabilizará uma participação efetiva do
professor como agente formador, tanto na conservação quanto na transformação da
realidade.
As duas dimensões citadas – a competência técnica e o compromisso público – são
complementares e interdependentes, devendo ser avaliadas em provas gerais e de
conteúdos específicos.
Para a caracterização da competência específica do professor de Matemática,
explicitaremos a seguir um elenco de dez formas mais usuais de manifestação das
mesmas:
2.6.1. O professor de Matemática deve apresentar o seguinte perfil:
1. Gostar de Matemática, compreendendo o papel de sua disciplina como uma
linguagem que complementa a língua materna, enriquecendo as formas de expressão
para todos os cidadãos, e munindo a ciência de instrumentos fundamentais para seu
desenvolvimento;
258
2. Conhecer os conteúdos matemáticos com uma profundidade e um discernimento
que lhe possibilite apresentá-los como meios para a realização dos projetos dos
alunos, não tratando os conteúdos como um fim em si mesmo, nem vendo os alunos
como futuros matemáticos, ou professores de matemática, mas sim como cidadãos que
aspiram a uma boa formação pessoal;
3. Saber criar centros de interesse para os alunos, explorando situações de
aprendizagem em torno das quais organizará os conteúdos a serem ensinados, a partir
dos universos da arte, da cultura, da ciência, da tecnologia ou do trabalho, levando em
consideração o contexto social da escola;
4. Saber mediar conflitos de interesse, dando a palavra aos alunos e buscando
aproximar seus interesses, às vezes difusos, daqueles que estão presentes no
planejamento escolar;
5. Ser capaz de identificar as ideias fundamentais presentes em cada conteúdo que
ensina, uma vez que tais ideias ajudam a articular internamente os diversos temas da
matemática, e a aproximar a matemática das outras disciplinas;
6. Ser capaz de mapear os diversos conteúdos relevantes, sabendo articulá-los de
modo a oferecer aos alunos uma visão panorâmica dos mesmos, plena de significações
tanto para a vida cotidiana quanto para uma formação cultural mais rica;
7. Saber escolher uma escala adequada em cada turma, em cada situação concreta,
para apresentar os conteúdos que considera relevantes, não subestimando a capacidade
de os alunos aprenderem, nem tratando os temas com excesso de pormenores, de
interesse apenas de especialistas;
8. Ser capaz de construir relações significativas entre os conteúdos apresentados aos
alunos e os temas presentes em múltiplos contextos, incluindo-se os conteúdos de outras
disciplinas, favorecendo, assim, a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade;
259
9. Saber construir narrativas que articulem os diversos elementos presentes nos
conteúdos ensinados, inspirando-se na História da Matemática para articular ideias e
enredos por meio dos quais ascendemos da efemeridade das informações isoladas à
estabilidade do conhecimento organizado;
10. Ser capaz de alimentar permanentemente os interesses dos alunos, estimulando
a investigação e a capacidade de pesquisar, de fazer perguntas, bem como de orientar e
depurar interesses menos relevantes, assumindo, com tolerância, a responsabilidade
inerente à função que exerce.
2.6.2. Habilidades do professor de Matemática
Um professor de Matemática deve ser capaz de mobilizar os conteúdos específicos de
sua disciplina, tendo em vista o desenvolvimento das competências pessoais dos alunos.
De acordo com a Proposta Curricular, as competências gerais a serem visadas são a
capacidade de expressão em diferentes linguagens, de compreensão de fenômenos
nas diversas áreas da vida social, de construção de argumentações consistentes, de
enfrentamento de situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações
imaginadas, não diretamente relacionadas com o prático-utilitário, e de formulação de
propostas de intervenção solidária na realidade.
Para construir uma ponte entre os conteúdos específicos e tais competências gerais, é
necessário identificar, em cada conteúdo, as ideias fundamentais a serem estudadas:
proporcionalidade, equivalência, ordem, medida, aproximação, problematização,
otimização são alguns exemplos de tais ideias.
Para isso, o professor deve apresentar certas habilidades específicas, associadas aos
conteúdos da área, tendo sempre o discernimento suficiente para reconhecer que tais
conteúdos constituem meios para a formação pessoal dos alunos.
São apresentadas, a seguir, vinte de tais habilidades específicas a serem demonstradas
pelo professor de Matemática:
260
1. Tendo por base as ideias de equivalência, ordem, construir o significado dos
números (naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos), bem como das
operações realizadas com eles em diferentes contextos;
2. Enfrentar situações-problema em diferentes contextos, sabendo traduzir as perguntas
por meio de equações, inequações ou sistemas de equações, e mobilizar os instrumentos
matemáticos para resolver tais equações, inequações ou sistemas;
3. Tendo por base a dimensão simbólica do conceito de número, desenvolver de modo
significativo a notação e as técnicas para representar algebricamente números e
operações com eles, incluindo-se a ideia de matriz para representar tabelas de números
(contagem de pixels em uma tela, coeficientes de um sistema de equações lineares, etc.).
4. Reconhecer equações e inequações como perguntas, saber resolver sistematicamente
equações e inequações polinomiais de grau 1, 2, e conhecer propriedades das
equações polinomiais de grau superior a 2, que possibilitem a solução das mesmas,
em alguns casos (relações entre coeficientes e raízes, redução de grau, fatoração, etc.);
5. Tendo como referência as situações de contagem direta, construir estratégias e
recursos de contagem indireta em situações contextualizadas (cálculo combinatório,
binômio de Newton, arranjos, combinações, permutações);
6. Conhecer a ideia de medida de grandezas de variados tipos (comprimento, área,
volume, massa, tempo, temperatura, ângulo etc.), sabendo expressar ou estimar tais
medidas por meio da comparação direta da grandeza com o padrão escolhido, utilizando
tanto unidades padronizadas quanto unidades não-padronizadas, e valorizando as ideias
de estimativa e de aproximações;
7. Explorar de modo significativo a ideia de proporcionalidade (razões, proporções,
grandezas direta e inversamente proporcionais) em diferentes situações, equacionando e
resolvendo problemas contextualizados de regra de três simples e composta, direta e
inversa;
261
8. Explorar regularidades e relações de interdependência de diversos tipos, inclusive
as sucessões aritméticas e geométricas, representando relações de interdependência
por meio de gráficos de variadas formas, e construindo significativamente o conceito de
função;
9. Conhecer as principais características das funções polinomiais de grau 1, grau 2, ...
grau n, sabendo esboçar seu gráfico e relacioná-lo com as raízes das equações
polinomiais correspondentes, e explorar intuitivamente as taxas de crescimento e
decrescimento das funções correspondentes;
10. Conhecer as propriedades fundamentais de potências e logaritmos, sabendo utilizálas em diferentes contextos, bem como sistematizá-las no estudo das funções
exponenciais e logarítmicas;
11. Compreender e aplicar as relações de proporcionalidade que caracterizam as razões
trigonométricas (seno, cosseno, tangente, entre outras) em situações práticas, bem
como ampliar o significado de tais razões por meio do estudo das funções
trigonométricas, associando as mesmas aos fenômenos periódicos em diferentes
contextos;
12. A partir da percepção do espaço e das formas, construir uma linguagem adequada
para a representação de tais percepções, reconhecendo e classificando formas planas
(ângulos, triângulos, quadriláteros, polígonos, circunferências, entre outras) e espaciais
(cubos, paralelepípedos, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outras);
13. Com base nas propriedades características de objetos planos ou espaciais,
desenvolver estratégias para construções geométricas dos mesmos, especialmente com
instrumentos como régua e compasso, tendo em vista uma compreensão mais ampla do
espaço em que vivemos, de suas representações e de suas propriedades;
14. Explorar a linguagem e as ideias geométricas para desenvolver a capacidade de
observação, de percepção de relações como as de simetria e de semelhança, de
262
conceituação, de demonstração, ou seja, de extração de consequências lógicas a partir
de fatos fundamentais diretamente intuídos ou já demonstrados anteriormente;
15. Explorar algumas relações geométricas especialmente significativas, como as
relativas às somas de ângulos de polígonos, aos Teoremas de Tales e de Pitágoras, e
muito especialmente as relações métricas relativas ao cálculo de comprimentos, áreas e
volumes de objetos planos e espaciais;
16. Explorar uma abordagem algébrica da geometria – ou seja, a geometria analítica,
representando retas e curvas, como as circunferências e as cônicas, por meio de
expressões analíticas e sabendo resolver problemas geométricos simples por meio do
recurso a tais recursos algébricos;
17. Explorar de modo significativo as relações métricas e geométricas na esfera
terrestre, especialmente no que tange a latitudes, longitudes, fusos horários;
18. Resolver problemas de escolhas que envolvem a ideia de otimização (máximos
ou mínimos) em diferentes contextos, recorrendo aos instrumentos matemáticos já
conhecidos, que incluem, entre outros temas, a função polinomial do 2º grau e algumas
noções de geometria analítica;
19. Compreender a ideia de aleatoriedade, reconhecendo-a em diferentes contextos,
incluindo-se jogos e outras classes de fenômenos, e sabendo quantificar a incerteza por
meio do cálculo de probabilidades em situações que envolvem as noções de
independência de eventos e de probabilidade condicional;
20. Saber organizar e/ou interpretar conjuntos de dados expressos em diferentes
linguagens, recorrendo a noções básicas de estatística descritiva e de inferência
estatística (média, mediana, desvios, população, amostra, distribuição binomial,
distribuição normal, entre outras noções) para tomar decisões em situações que
envolvem incerteza.
263
2.6.3 Bibliografia para Matemática
1.LOJKINE, Jean – A Revolução Informacional. São Paulo: Cortez Editora, 1995.
2.BESSON, Jean-Louis (Org.). A ilusão das estatísticas. São Paulo: Editora da
UNESP, 1995.
3.BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.
4.CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
Gradiva, 1998.
5.DAVIS, Philip J., HERSH, Reuben – O Sonho de Descartes. O mundo de acordo
com a Matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1988.
6.COURANT, Richard, ROBBINS, Herbert. O que é Matemática? Uma abordagem
elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000.
7.DERTOUZOS, Michael. O que será? Como o novo mundo da informação
transformará nossas vidas. São Paulo: Companhia das Letras, 1997.
8.DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. O talento para lidar com números e a
evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro/São Paulo: Editora Record,
2004.
9.EGAN, Kieran. A mente educada. Os males da Educação e a ineficiência
educacional das escolas. Rio de Janeiro: Editora Bertand Brasil, 2002.
10.GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo
maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.
11.LIMA, Elon Lajes et alii. A Matemática do Ensino Médio (3 volumes). Coleção do
Professor de Matemática/Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro: SBM,
1999.
12.MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides. A História da Geometria, das
linhas paralelas ao hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2004.
13.MOLES, Abraham. A criação científica. São Paulo: Editora Perspectiva, 1998
14.SATOY, Marcus Du. A música dos números primos. A história de um problema
não resolvido na matemática. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2007.
15.SBM - Sociedade Brasileira de Matemática. Revista do Professor de Matemática
(RPM). São Paulo: IMEUSP (Publicação quadrimestral, números de 56 a 70).
2.6.4. Documentos para Matemática
1.SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de
São Paulo para o ensino de Matemática para o Ensino Fundamental Ciclo II e
Ensino
Médio.
São
Paulo:
SE,
2008.
Disponível
em:
http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Portals/18/arquivos/Prop_MAT_COMP_red_
md_20_03.pdf
264
Anexo 3 - Resolução SE - 52, de 14-8-2013
Dispõe sobre os perfis, competências e habilidades requeridos dos Profissionais da
Educação da rede estadual de ensino, os referenciais bibliográficos e de legislação, que
fundamentam e orientam a organização de exames, concursos e processos seletivos, e dá
providências correlatas
O Secretário da Educação, à vista do que lhe representou a Coordenadoria de Gestão da
Educação Básica – CGEB, e considerando a importância da:
- sistematização dos requisitos mínimos que embasam os processos seletivos e os
concursos públicos dos Profissionais da Educação na consolidação de um ensino
público democrático e de qualidade;
- adoção de procedimentos operacionais de competitividade que concretizem princípios
de igualdade e eficiência devidamente sintonizados com a natureza das atividades do
cargo ou função dos Profissionais da Educação da rede estadual de ensino,
Resolve:
Artigo 1º - Ficam aprovados os ANEXOS A, B, C, D e E, integrantes desta resolução,
que dispõem sobre os perfis, as competências, as habilidades dos Profissionais da
Educação, os respectivos referenciais bibliográficos e a legislação, a serem requeridos
de Professores, Diretores de Escola e Supervisores de Ensino, da rede estadual de
ensino, nos exames, concursos e processos seletivos promovidos por esta Pasta.
Artigo 2º - Os requisitos acadêmicos e os atributos requeridos para o exercício de todo
profissional da educação implicam, obrigatoriamente, o domínio:
I - das competências, das habilidades, dos referencias bibliográficos e de legislação de
Educador e de Docente (ANEXO A); e
II - das competências, das habilidades, dos referencias bibliográficos e de legislação das
respectivas especificidades do cargo ou função objeto do exame, concurso ou processo
seletivo (ANEXOS B, C, D e E).
Parágrafo único – Para o atendimento ao contido neste artigo, os perfis, as
competências, as habilidades, os referenciais bibliográficos e de legislação se
265
apresentam organizados na conformidade dos anexos A a E, que integram a presente
resolução.
Artigo 3º - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação, revogadas as
disposições em contrário e, em especial, as Resoluções SE nº 69, de 1º.10.2009, nº 70,
de 26.10.2010, nº 13, de 3.3.2011, e nº 37, de 7.6.2013, produzindo seus efeitos a partir
de 2 de setembro de 2013.
ANEXO A
I. EDUCADOR
1. PERFIL 2
O exercício profissional de educador requer formação geral humanista/crítica,
comprometida com a construção e ampliação de uma sociedade mais justa, posicionada
contra as desigualdades sociais e a qualquer forma de opressão que garanta a todos as
mesmas oportunidades de desenvolvimento de suas potencialidades. Exige, também,
formação específica referenciada nas diversas áreas de conhecimento e no seu papel
político em contribuir na apropriação e transformação da cultura. Pressupõe

Uma formação que habilite o educador a interpretar e fazer conexões com vivências
de cunho ambiental, econômico, político, social, cultural e educacional; a dialogar sobre
tais vivências e a realizar ações que promovam a qualidade da escola, em especial, que
propiciem ensino e aprendizagem relevantes para uma formação integral, que prepare o
aluno para a atuação ética, sustentável e transformadora na vida pessoal, social, política
e
no
mundo
do
trabalho.
Exercício
profissional
dessa
natureza
implica
ação/reflexão/ação, ou seja, exige uma atitude reflexiva, fundada na realidade
educacional e na pesquisa, para a constituição de uma prática pedagógica
emancipatória, referenciada e pertinente à formação do aluno, à pratica educativa, ao
meio em que atua e à finalidade da educação. Em síntese, implica conhecimento dos
elementos sócio-históricos, políticos e culturais que interferem na construção da escola
que temos e desenvolvimento de processos políticos e educativos direcionados à
construção da escola que queremos: centrada no ensino contextualizado, na
transversalidade dos conteúdos escolares referenciados no conhecimento da realidade,
do projeto de educação nacional, do sistema educativo, da escola como instituição, das
266
diferentes tendências pedagógicas, de ensino e de aprendizagem, de desenvolvimento
humano, em seus aspectos físicos, cognitivos, afetivos e socioculturais. Nessa
perspectiva, espera-se que o educador se expresse por meio de práticas que atendam às
demandas da sociedade brasileira, do sistema de ensino e do diálogo entre educadores
nos diferentes níveis do sistema (entre educador e aluno no âmbito da escola e entre
educador e comunidade). A construção desse profissional exige providências do sistema
de ensino e atitude do educador para assegurar o direito e o dever em relação à
formação continuada em serviço centrada na análise, reflexão e efetivação de ações que
respondam às demandas educacionais direcionadas à luta pela educação como direito de
todos. Pressupõe o desenvolvimento de competências e habilidades que expressem a
compreensão do educador a respeito da relação entre a escola e a sociedade em geral, a
comunidade local, a sua função social e os espaços de atuação nos diferentes níveis do
sistema de ensino, federal, estadual, escola e sala de aula.
2. COMPETÊNCIAS
2.1 Educação Nacional
2.1.1 Relação Educação /Sociedade
a) Conhecer o Projeto Educacional da sociedade brasileira, que se depreende dos
princípios constitucionais e da legislação educacional.
b) Conhecer a função social da educação escolar e ser proficiente no uso da língua
portuguesa, oral e escrita, em todas as situações sociais e atividades relevantes para o
exercício profissional.
c) Compreender que à educação formal cabe promover o desenvolvimento integral do
educando, respondendo às demandas que a sociedade atual coloca para a educação
escolar.
d) Compreender criticamente a inclusão no projeto educacional brasileiro,
especialmente sua abertura às dimensões da diferença, da diversidade e do
multiculturalismo.
e) Conhecer os problemas e conflitos que afetam o convívio social (saúde, segurança,
dependência química, educação para o trânsito, pluralidade cultural, ética,
sustentabilidade ambiental, orientação sexual, trabalho e consumo) e compreender como
eles podem provocar preconceitos, manifestações de violência e impactos sociais,
267
políticos, econômicos, ambientais e educacionais, reconhecendo a si mesmo como
protagonista e agente transformador no âmbito de sua atuação profissional.
f) Aprimorar a capacidade de: transformação, iniciativa, criatividade, vontade de
aprender e abertura às mudanças, e ter a consciência da necessidade de uma educação
de qualidade e das implicações éticas e políticas do seu trabalho.
g) Compreender que vivemos em uma sociedade heterogênica e plural, onde se deve
respeitar e valorizar as diferenças.
2.1.2 Sistema de Ensino Público de São Paulo: Educação Básica
a) Compreender a escola pública como ambiente institucional e de relações que
profissionais e alunos mantém com as diferentes instâncias da gestão pública
b) Compreender os processos de implementação da política educacional da Secretaria
de Estada da Educação de São Paulo (SEE/SP), seus programas e projetos.
c) Compreender a composição, os papéis e funções da equipe de uma escola e do
sistema de ensino e as normas que regem as relações entre os profissionais que nela
trabalham.
d) Conhecer e compreender os mecanismos institucionais de organização,
desenvolvimento e avaliação do sistema de ensino.
e) Compreender os significados dos processos de avaliação educacional, reconhecer
alcances e limites do uso de seus resultados, para análise e reflexão do desempenho
escolar nas avaliações internas e externas, a fim de organizar e reorganizar as propostas
de trabalho.
f) Conhecer e interpretar adequadamente o Índice de Desenvolvimento da Educação
Básica - IDEB e o Índice de Desenvolvimento Educacional de São Paulo-IDESP, como
se constroem, para que servem e o que significam para a educação escolar brasileira e
paulista.
g) Desenvolver processo de ação e de investigação que possibilitem o aperfeiçoamento
profissional e da prática pedagógica.
h) Compreender a importância da autoavaliação e do autodesenvolvimento para o
aprimoramento profissional.
2.1.3 Escola
2.1.3.1 Currículo escolar, planejamento e avaliação
268
a) Compreender a importância da escola pública para a democratização do acesso ao
conhecimento sistematizado e colocar em prática metodologias que facilitem o acesso a
esse conhecimento por parte dos alunos.
b) Fazer escolhas pedagógicas orientadas por princípios éticos e democráticos, de modo
a promover a inclusão e evitar a reprodução de discriminações e injustiças.
c) Compreender e dispor-se à participação coletiva e colaborativa na elaboração,
desenvolvimento e avaliação da proposta pedagógica, cooperando em diferentes
contextos escolares.
d) Compreender os processos de desenvolvimento da criança e do adolescente, da
aprendizagem e sociabilidade dos alunos, considerando as dimensões cognitivas,
afetivas e sociais e as relações com o contexto no qual se inserem as instituições de
ensino para atuar sobre tal contexto.
e) Compreender a natureza dos processos de ensino e de aprendizagem que se articulam
na relação professor/ aluno, relação de comunicação entre sujeitos que constroem
conhecimento, sendo capaz de reconhecer fatores socioeconômicos, pedagógicos, do
ambiente escolar que podem causar impactos externos e internos que afetam o
aproveitamento do aluno na escola.
f) Desenvolver um ensino com foco na aprendizagem do aluno com vistas a sua
inserção como sujeito na sua comunidade e na sociedade.
g) Compreender a abrangência e a importância das orientações curriculares deste
sistema de ensino, tendo em vista a construção do currículo escolar contextualizado e
centralizado na aprendizagem do aluno.
h) Conhecer e compreender princípios, métodos e recursos educacionais como
elementos de apoio das ações educativas.
i) Participar nos espaços coletivos, visando à reflexão e análise sobre as práticas
educativas, para o planejamento, acompanhamento, avaliação e replanejamento do
trabalho escolar.
2.1.3.2 Relação Escola e Comunidade
a) Compreender a escola como parte da comunidade escolar, uma vez que a mesma é
constituída pelos professores, pela equipe gestora, pelos alunos, pelos funcionários e
pelos pais e/ou responsáveis pelos alunos.
269
b) Desenvolver parcerias com a comunidade escolar, ou seja, a do entorno da escola e
demais organizações e instituições.
c) Construir espaços coletivos de participação entre escola, família e comunidade
3. BIBLIOGRAFIA
A) Livros e Artigos
1. CARVALHO, Rosita Edler. Educação Inclusiva com os Pingos nos Is. 2. ed. Porto
Alegre: Mediação, 2005.
2. CORTELLA, Mário Sérgio. A escola e o conhecimento:
fundamentos epistemológicos e políticos. 14. ed., São Paulo, Cortez, 2011.
3. FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43.
ed., São Paulo: Paz e Terra, 2011.
4. FREITAS, Luiz Carlos de. Eliminação Adiada: o ocaso das classes populares no
interior da escola e a ocultação da (má) qualidade do ensino. Educação e Sociedade,
Campinas, vol. 28. n.100 – Especial, p.965-987, out. 2007. Disponível em:
\<http://www.scielo.br/pdf/es/v28n100/a1628100.pdf \>. Acesso em: 2 jul.2013.
5. GATTI, Bernadete Angelina; BARRETO, Elba de Sá; ANDRÉ, Marli Eliza Dalmazo
de Afonso. Políticas docentes no Brasil: um estado da arte. Brasília: UNESCO, 2001.
Disponível em:\< http://unesdoc.unesco.org/images/0021/002121/212183por.pdf\>
Acesso em: 05 jul. 2013
6. LA TAILLE, Yves.DANTAS, Heloisa e OLIVEIRA, Marta Kohl de, Piaget,
Vygotsky, Wallon: teorias psicogenéticas em discussão. 24. ed. São Paulo: Summus,
1992.
7. MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro, UNESCO/Cortez
Editora, cap. III e IV, p. 47-78, e cp. VI, 93-104, 2000. Disponível em:
\<https://www.google.com.br/#output=search&sclient=psyab&q=www.sistemas.ufrn.br%2Fshared%2FverArquivo%3FidArquivo%3D1035842&o
q=www.sistemas.ufrn.br%2Fshared%2FverArquivo%3FidArquivo%3D1035842&gs_l=
hp.12...2330.2330.0.4025.1.1.0.0.0.0.169.169.
0j1.1.0....0...1c..21.psyab.saDFff2tqN4&pbx=1&bav=on.2,or.r_cp.r_qf.&bvm=bv.4947
8099,d.dmg&fp=9f8639b5091b4696&biw=1366&bih=673\>Acesso em: 2 jul.2013.
8. RIOS, Terezinha Azerêdo. Ética e competência. 20. ed., São Paulo: Cortez, 2011.
9. SACRISTÀN, J. Gimeno; PÉREZ GOMES, A. I. Compreender e transformar o
ensino. 4. ed. Porto Alegre: ARTMED, 2000.
10. SAVIANI, Dermeval. Histórias das ideias pedagógicas no Brasil. Campinas;
Autores Associados, 2010.
11. TEIXEIRA, Anísio. A escola pública universal e gratuita.
Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos. Rio de Janeiro, v.26, n.64, out./dez. 1956.
p.3-27. Disponível em: \< http://www.bvanisioteixeira.ufba.br/artigos/gratuita.html\>
Acesso em 03 jul.2013.
B) Publicações Institucionais
1. BRASIL. Secretaria de Educação Especial. Política Nacional de Educação Especial
na perspectiva da educação inclusiva. Brasília, MEC/SEESP, 2008. Disponível em:
\<http: //portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/politicaeducespecial.pdf\>. Acesso em: 18 jul.
2013.
270
2. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
temas
transversais.
Brasília:
MEC/SEF,
1998.
Disponível
em:
\<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ttransversais.pdf\>. Acesso em: 18 jul. 2013.
3. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de
São Paulo para o Ensino Fundamental Ciclo II e Ensino Médio: documento de
apresentação.
São
Paulo:
SE,
2012,
p.
7-20.
Disponível
em:
\<http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/EnsinoFundCicloII/Materiais/tabid/1044/D
efault.aspx \> Acesso em: 18 jul.2013.
4. LEGISLAÇÃO
1. BRASIL CONSTITUIÇÃO DA REPÚBLICA FEDERATIVA DO BRASIL – 1988.
(Artigos 5º, 6º; 205 a 214)
2. BRASIL LEI Nº 8.069, DE 13 DE JULHO DE 1990.
Dispõe sobre o Estatuto da Criança do Adolescente – ECA(Artigos 1º a 6º; 15 a 18; 60 a
69)
3. BRASIL. LEI Nº 9.394, DE 20 DE DEZEMBRO DE 1996.
Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB
4. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CP Nº 1, DE 17 DE JUNHO DE 2004.
Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação das Relações Étnico-Raciais
e para o Ensino de História e Cultura Afro-Brasileira e Africana (anexo o Parecer
CNE/CP nº 3/2004)
5. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CEB Nº 4, DE 13 DE JULHO DE 2010.
Define Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica (anexo o
Parecer CNE/CEB nº 7/2010)
6. BRASIL. RESOLUÇÃO CNE/CP Nº 1, DE 30 DE MAIO DE 2012.
Estabelece Diretrizes Nacionais para a Educação em Direitos Humanos (anexo o
Parecer CNE/CP nº 8/2012)
7. SÃO PAULO. DECRETO Nº 55.588, DE 17 DE MARÇO DE 2010.
Dispõe sobre o tratamento nominal das pessoas transexuais e travestis nos órgãos
públicos do Estado de São Paulo e dá providências correlatas
8. SÃO PAULO. DELIBERAÇÃO CEE Nº 9/97.
Institui, no sistema de ensino do Estado de São Paulo, o regime de progressão
continuada no ensino fundamental.(Indicação CEE nº 8/97 anexa)
II. DOCENTE
1. PERFIL
Ao Professor de Educação Básica compete, como mediador nos processos de apreensão,
compreensão e produção de conhecimento, organizar condições didáticas que permitam
ao aluno a apropriação de bens culturais historicamente acumulados, fundamentais à
educação escolar de qualidade, direito do aluno.
Prática docente, apoiada no diálogo, com vistas ao desenvolvimento de ensino com foco
nas relações entre conhecimento e cultura, currículo e poder, exige do profissional a
271
promoção de aprendizagem referenciada na curiosidade, na cooperação, na pesquisa, na
experimentação, na criatividade, que instaure processos de concepção e de realização de
projetos significativos aos alunos e à comunidade em que vivem. Promover
aprendizagem dessa natureza viabiliza a efetivação do princípio da escola para todos, e
para cada um em particular. Caberá ao profissional
aprender, ensinar e trabalhar com a heterogeneidade, a diversidade e a diferença;
compreender que a relação dialógica/interação entre os sujeitos é inerente à
comunicação, à linguagem e às relações que estabelecem cultural e socialmente e
conhecer a relação entre a teoria e a prática e estar atento à dinâmica entre ambas, para
atuar, permanentemente, como protagonista de suas ações e tomar, com autonomia e
responsabilidade, as decisões pedagógicas que concorrem para a realização de seu
trabalho e a consecução dos objetivos traçados. Para isso é preciso articular as duas
dimensões formativas complementares e interdependentes:
a) a dimensão técnica, que se caracteriza pelo conhecimento dos conteúdos a serem
ensinados e os recursos metodológicos para desenvolvê-los com rigor e compreensão
dos seus significados em contextos diversos, referentes aos universos da cultura, do
trabalho, do meio ambiente, da arte, da ciência e da tecnologia, e
b) a dimensão política que se caracteriza pelo compromisso público com a educação
escolar, decorrente da compreensão dos aspectos históricos, filosóficos, sociológicos,
psicológicos e econômicos que envolvem a educação e o ensino. Também é necessário
compreender como essas duas dimensões se integram com os conteúdos próprios da
docência: currículo; planejamento, organização de tempo e espaço escolar; gestão de
classe, interação grupal, relação entre professor e aluno; elaboração, desenvolvimento e
avaliação de situações didáticas; trabalho diversificado; avaliação de aprendizagem em
suas especificidades; pesquisa sobre sua prática e investimento na autoformação,
fundamentais à participação efetiva do professor na constituição da identidade do
educando como sujeito de uma sociedade em constante transformação, com a finalidade
de torná-lo capaz de atuar na preservação da herança cultural e na transformação da
realidade por ele vivida e, de forma indireta, da sociedade em que está inserido.
272
2. COMPETÊNCIAS
2.1 Educação Nacional
a) Conhecer os atos legais que regulamentam a profissão de professor e ser capaz
aplicá-la em situações que se apresentam no cotidiano do seu trabalho pedagógico.
b) Conhecer os direitos e deveres do docente e atuar em consonância com eles,
regulamentado em lei.
2.1.1 Sistema de Ensino Público de São Paulo: Educação Básica
a) Conhecer formas de atuação docente, situações didáticas e seus elementos
constitutivos para adequá-los à aprendizagem do aluno no que se refere aos conteúdos
conceituais, atitudinais e procedimentais, conforme os contextos locais, das políticas e
do currículo da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, nas dimensões sala de
aula e escola.
b) Compreender a importância da educação escolar para a formação da identidade de
novos sujeitos sociais, para que eles possam integrar a sociedade brasileira, dela
participando de forma ativa e democrática em busca do bem comum.
2.1.2 Escola
a) Reconhecer e valorizar, em situações do cotidiano escolar e em diferentes situações
de aprendizagem, os elementos que podem contribuir para o desenvolvimento de
relações de autonomia e cooperação, entre alunos e aluno/profissional da educação.
b) Conhecer e compreender o Projeto Político Pedagógico da escola na qual atua, a fim
de posicionar-se diante dele, analisar o seu próprio trabalho e propor elementos para seu
aperfeiçoamento.
c) Reconhecer e utilizar os espaços de trabalho coletivo, como espaços de reflexão sobre
a proposta pedagógica da escola e a prática docente e de participação em ações de
formação continuada.
d) Compreender as diferentes etapas de planejamento como uma ação recursiva, flexível
e dinâmica.
e) Refletir sobre o processo de ensino e de aprendizagem, as ações didáticas e o
processo avaliativo, identificando pontos que necessitam mudanças e/ou reformulações.
f) Implementar práticas educativas que levem em conta as necessidades pessoais e
sociais dos alunos, os temas e demandas do mundo contemporâneo e os objetivos da
Proposta Pedagógica.
273
fases de desenvolvimento cognitivo, social e afetivo da criança, do jovem para
a) Organizar processos de ensino e aprendizagem apropriados a cada fase de
desenvolvimento do educando.
b) Propiciar aprendizagem significativa para os alunos, levando em conta suas
experiências, valores e conhecimentos prévios e tomando-os como ponto de partida para
a introdução de novos conteúdos.
c) Explicitar as concepções teóricas, que fundamentam as atividades educativas, para
evitar a dicotomia entre teoria e prática.
d) Apropriar-se dos diferentes componentes que organizam os planos de ensino dos
professores nas disciplinas nas diferentes etapas para sua elaboração, execução e
avaliação.
e) Compreender os princípios da organização curricular das diferentes áreas como
norteadores da organização de ensino centrado na progressão continuada da
aprendizagem.
f) Compreender o ensino da linguagem, associado a todos os conteúdos disciplinares em
todas as séries, exercitando a competência de leitura/compreensão de textos e expressão
escrita.
g) Estabelecer critérios pertinentes e relevantes para a progressão da aprendizagem, tais
como: a natureza, as especificidades e o grau de complexidade dos conteúdos; as
possibilidades de aprendizagem dos alunos; o tratamento didático, metodologia e
procedimentos de ensino e avaliação, os mecanismos de apoio, nas diferentes
modalidades em acordo com seus objetivos, tendo em vista as finalidades do projeto
educativo.
h) Desenvolver competências lógico-discursivas que instrumentalizem o estudante com
vistas à autonomia intelectual, de modo que possa, gradualmente, desenvolver a
consciência crítica e aprender a pensar por conta própria.
i) Empregar diferentes recursos e procedimentos didáticos, ajustando-os às
possibilidades e dificuldades de aprendizagem dos alunos, sempre levando em conta a
natureza, as especificidades e o grau de complexidade dos conteúdos.
j) Conhecer e utilizar recursos tecnológicos relacionados às diferentes mídias e meios de
comunicação, valorizando-os como indispensáveis à socialização de informações e à
prática de diálogo com o aluno.
274
k) Saber planejar e desenvolver os trabalhos em sala de aula, privilegiando rotinas que
atendam às necessidades dos alunos, tendo em vista a diversidade, adequação,
periodicidade das atividades, organização do tempo/espaço e o agrupamento dos alunos
de modo a potencializar as aprendizagens dos diferentes conteúdos/áreas, garantindo,
sempre que possível, a abordagem dos temas transversais pertinentes.
l) Compreender os diferentes contextos que interferem na construção das subjetividades
e identidades do aluno, de modo a lidar adequadamente com os diferentes modos de ser
e estar no mundo deste aluno.
m) Saber mediar situações de conflito e indisciplina em sala de aula.
n) Conhecer e adotar diversas formas de avaliação da aprendizagem dos alunos por
meio de estratégias e instrumentos diversificados e utilizar a análise dos resultados para
reorganizar as propostas de trabalho na escola e na sala de aula.
3. BIBLIOGRAFIA
A) Livros e Artigos
1. ABRAMOVAY, Miriam; CASTRO, Mary Garcia; SILVA, Lorena Bernadete.
Juventudes e sexualidade. Brasília: UNESCO Brasil, 2004. Disponível em:
\<http://unesdoc.unesco.org/images/0013/001339/133977por.pdf\> Acesso em: 05 jul.
2013.
2. FREURI, Reinaldo Matias. Educação intercultural: mediações necessárias. Rio de
Janeiro: Editora DPA, 2003.
3. LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar, 22. ed., São Paulo:
Cortez Editora, 2011.
4. MOREIRA, Antonio Flavio Barbosa. Currículo, diferença cultural e diálogo. Revista
Educação & Sociedade, ano XXIII, n. 79. Agosto/2002, p. 15-38. Disponível em \<
http://www.scielo.br/pdf/es/v23n79/10847.pdf\>. Acesso em: 2 jul.2013.
5. TARDIF, Maurice; LESSARD, Claude. O trabalho docente:
elementos para uma teoria da docência como profissão de interações humanas. Rio de
Janeiro, Petrópolis: Vozes, 2005.
6. SILVA, Tomaz Tadeu da. Documentos de identidade: uma introdução às teorias do
currículo. 2. ed. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2004.
7. ZABALA, Antoni; ARNAU, Laia. Como aprender e ensinar competências. Porto
Alegre: Artmed, 2010.
ANEXO C
MATEMÁTICA
2. COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
COMPETÊNCIAS
275
a) Compreender os processos de construção do conhecimento matemático, valorizando
suas aplicações práticas e também seu caráter abstrato.
HABILIDADES
a.1) Propor situações de aprendizagem por meio das quais os estudantes compreendam
que a construção de conhecimentos matemáticos, não se dá como imposição de regras e
de procedimentos, mas como fruto de experimentações, levantamento de hipóteses,
validações e a socialização das ideias de resolução.
COMPETÊNCIAS
b) Compreender a resolução de problemas e a investigação como eixos metodológicos
para a exploração dos diferentes temas matemáticos, valorizando as estratégias pessoais
dos estudantes.
HABILIDADES
b.1) Reconhecer intervenções pedagógicas que conduzam à análise de estratégias mais
eficientes.
b.2) Identificar e relacionar estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de
problemas a intervenções adequadas do professor.
COMPETÊNCIAS
c) Dominar os conceitos de Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal,
Números Racionais nas suas representações fracionária, decimal e percentual,
Operações com Números Naturais e Racionais, Espaço, formas tridimensionais e
bidimensionais, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação.
HABILIDADES
c.1) Selecionar atividades a serem realizadas pelos alunos dos anos iniciais do ensino
fundamental que evidenciem aplicações práticas do conhecimento matemático, ligadas
ao seu cotidiano, mas também as que busquem especulações de caráter mais abstrato.
c.2) Construir situações de aprendizagem que permitam aos alunos procurar
regularidades, fazer conjecturas, formular generalizações e organizar logicamente o
pensamento para a resolução de problemas matemáticos.
276
COMPETÊNCIAS
d) Conhecer e utilizar os conteúdos matemáticos previstos nas Orientações Curriculares
do Estado de S. Paulo para os Anos Iniciais.
HABILIDADES
d.1) Buscar a ampliação de conhecimentos didáticos relacionados ao ensino e à
aprendizagem, atualizando-se em relação aos resultados de pesquisas na área de
Educação
Matemática.
COMPETÊNCIAS
e) Conhecer os avanços na área da educação matemática, ligados à construção dos
números naturais e racionais, aos campos: aditivo e multiplicativo; à resolução de
problemas; aos obstáculos epistemológicos e didáticos; à construção de conhecimentos
geométricos, métricos e estatísticos para a elaboração de situações de ensino com foco
na aprendizagem dos alunos.
HABILIDADES
e.1) Utilizar o conhecimento dos avanços na área da didática da Matemática para
desenvolver situações de aprendizagem especialmente ligadas especialmente à
construção dos números naturais e racionais, aos campos aditivo e multiplicativo, à
resolução de problemas, a obstáculos epistemológicos e didáticos, à construção de
conhecimentos geométricos, métricos e estatísticos.
e.2) Analisar a coerência de atividades didáticas com as indicações produzidas em
pesquisas na área de Educação Matemática.
COMPETÊNCIAS
f) Apropriar-se de recursos tecnológicos (calculadora, softwares, objetos de
aprendizagem etc.) que possam contribuir para seu desenvolvimento profissional e para
sua atuação em sala de aula, explorando-os em prol da aprendizagem dos alunos.
277
HABILIDADES
f.1) Selecionar recursos didáticos e tecnológicos que potencializem a construção de
conhecimentos matemáticos pelos alunos e propiciem aprendizagens significativas nas
aulas de Matemática.
COMPETÊNCIAS
g) Comunicar-se matematicamente por meio de diferentes linguagens (natural, gráfica,
figural) explorando diferentes registros de representação e sabendo realizar conversões
entre eles.
HABILIDADES
g.1) Reconhecer a importância de incentivar os estudantes a se comunicarem nas aulas
de Matemática, fazendo uso da leitura e da escrita, de desenhos, de gráficos, de tabelas e
outros recursos de comunicação.
COMPETÊNCIAS
h) Identificar boas situações em que os alunos possam expor as hipóteses que formulam
sobre ideias e procedimentos matemáticos.
HABILIDADES
h.1) Utilizar as hipóteses que os estudantes formulam sobre ideias e procedimentos
matemáticos para fazer intervenções que façam os alunos avançarem em seu processo
de aprendizagem.
COMPETÊNCIAS
i) Analisar estratégias pessoais dos alunos no desenvolvimento das atividades propostas.
HABILIDADES
i.1) Verificar a compreensão dos conteúdos matemáticos pelos alunos a partir da análise
dos erros e acertos apresentados nas atividades no dia a dia e nos momentos de
diagnóstico.
i.2) Eleger estratégias de ensino a partir de resultados de avaliação.
278
COMPETÊNCIAS
j) Identificar critérios para elaborar ou utilizar situações didáticas adequadas aos
objetivos de aprendizagem que pretende atingir, articulando os diferentes conteúdos
matemáticos em variadas modalidades organizativas.
HABILIDADES
j.1) Utilizar critérios para selecionar e organizar atividades matemáticas a serem
realizadas pelos estudantes dos anos iniciais do ensino fundamental.
4. LEGISLAÇÃO
1. SÃO PAULO. DECRETO Nº 51.627, DE 1º DE MARÇO DE 2007.
Institui o Programa “Bolsa Formação – Escola Pública e Universidade”
2. SÃO PAULO. RESOLUÇÃO SE Nº 86, DE 19 DE DEZEMBRO DE 2007.
Institui, para o ano de 2008, o Programa “Ler e Escrever”, no Ciclo I das Escolas
Estaduais de Ensino Fundamental das Diretorias de Ensino da Coordenadoria de Ensino
da Região Metropolitana da Grande São Paulo.
3. SÃO PAULO. RESOLUÇÃO SE Nº 91, DE 8 DE DEZEMBRO DE 2008.
Dispõe sobre a constituição de equipe de gestão institucional para ampliação e
aperfeiçoamento do Projeto Bolsa Escola Pública e Universidade na Alfabetização, no
âmbito do Programa Bolsa Formação – Escola Pública e Universidade.
4. SÃO PAULO. RESOLUÇÃO SE Nº 96, DE 23 DE DEZEMBRO DE 2008.
Estende o Programa “Ler e Escrever” para as Escolas Estaduais de Ensino Fundamental
do Interior
ANEXO D
V. PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA II – MATEMÁTICA
1. PERFIL
O professor de Matemática deve ter uma base de conhecimentos necessários para o
ensino de conceitos e procedimentos concernentes a essa área com vistas ao
desenvolvimento das competências pessoais dos alunos. Para isso, ele deverá dominar
não apenas os conteúdos específicos que vai ensinar, mas também construir
conhecimentos curriculares e pedagógicos desses conteúdos, ou seja, aqueles que dizem
respeito à capacidade de seleção, organização e gestão dos componentes e materiais que
deverão favorecer a aprendizagem dos alunos. Desse modo, o professor deverá ser
capaz de identificar os conceitos mais relevantes e articulá-los de modo a favorecer a
construção de significados pelos estudantes. Para tanto, o docente deverá dispor de um
279
acervo variado de situações exemplares e formas distintas de abordagens para os
diferentes conceitos e procedimentos a serem ensinados.
Assim, a prática do professor de Matemática deverá ter como finalidade o
desenvolvimento das competências e habilidades dos alunos de acordo com o Currículo,
caracterizadas pela capacidade de expressão em diferentes linguagens, de compreensão
de fenômenos nas diversas áreas da vida social, de construção de argumentações
consistentes, de enfrentamento de situações-problema em múltiplos contextos,
incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o práticoutilitário, e de formulação de propostas de intervenção solidária na realidade, visando à
construção de uma ponte entre os conteúdos específicos e tais competências gerais, com
identificação, em cada conteúdo, das ideias fundamentais a serem estudadas:
proporcionalidade, equivalência, ordem, medida, aproximação, problematização, etc.
Para isso, o professor deve apresentar certas habilidades específicas, associadas aos
conteúdos da área, tendo sempre o discernimento suficiente para reconhecer que tais
conteúdos constituem meios para a formação pessoal dos alunos.
2. COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
COMPETÊNCIAS
a) Saber criar centros de interesse para os alunos, explorando situações de aprendizagem
em torno das quais organizará os conteúdos a serem ensinados, a partir dos universos da
arte, da cultura, da ciência, da tecnologia, da economia ou do trabalho, levando em
consideração o contexto social da escola.
b) Ser capaz de identificar as ideias fundamentais presentes em cada conteúdo que
ensina, uma vez que tais ideias ajudam a articular internamente os diversos temas da
matemática, e a aproximar a matemática das outras disciplinas.
c) Ser capaz de mapear os diversos conteúdos relevantes, sabendo articulá-los de modo
a oferecer aos alunos uma visão panorâmica dos mesmos, plena de significações tanto
para a vida cotidiana quanto para uma formação cultural mais rica.
d) Saber escolher uma escala adequada em cada turma para apresentar os conteúdos que
identifica como relevantes não subestimando a capacidade de os alunos aprenderem,
nem tratando os temas com excesso de pormenores, de interesse apenas de especialistas.
280
e) Ser capaz de construir relações significativas entre os conteúdos apresentados aos
alunos e os temas presentes em múltiplos contextos, incluindo-se os conteúdos de outras
disciplinas, de modo a favorecer a interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade.
f) Saber construir narrativas que conectem os diversos elementos presentes nos
conteúdos a serem ensinados, valendo-se, na medida do possível, da História da
Matemática para articular ideias e enredos de modo que os conceitos assim abordados
possam se constituir em veículos de informação cultural e sociológica de grande valor
formativo.
g) Ser capaz de alimentar permanentemente os interesses dos alunos, estimulando a
investigação e a capacidade de pesquisar, de fazer perguntas, bem como de orientar e
depurar interesses menos relevantes, assumindo, com tolerância, a responsabilidade
inerente à função que exerce.
h) Compreender que o uso de tecnologias – as digitais e calculadoras, por exemplo –
são fundamentais para o desenvolvimento de competências/habilidades dos estudantes
relativas aos conhecimentos matemáticos como o aspecto dinâmico da geometria, a
construção de gráficos de funções, a representação dos dados e obtenção de medidas
estatísticas de pesquisas com vistas à compreensão e intervenção na realidade, etc.
HABILIDADES
Construir, tendo por base as ideias de equivalência e ordem, o significado dos números
(naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais, complexos), bem como das operações
realizadas com eles em diferentes contextos;
Enfrentar situações-problema em diferentes contextos, sabendo traduzir as perguntas
por meio de equações, inequações ou sistemas de equações, e mobilizar os instrumentos
matemáticos para resolver tais equações, inequações ou sistemas;
Desenvolver de modo significativo, tendo por base a dimensão simbólica do conceito de
número, a notação e as técnicas para representar algebricamente números e operações
com eles, incluindo-se a ideia de matriz para representar tabelas de números (contagem
de pixels em uma tela, coeficientes de um sistema de equações lineares etc.);
Reconhecer equações e inequações como perguntas, saber resolver sistematicamente
equações e inequações de grau 1 e 2, e conhecer propriedades das equações polinomiais
281
de grau superior a 2, que possibilitem ,em alguns casos, a solução das mesmas,
(relações entre coeficientes e raízes, redução de grau, fatoração etc.);
Construir estratégias e recursos de contagem indireta em situações contextualizadas
(cálculo combinatório, binômio de Newton, arranjos, combinações, permutações, tendo
como referência as situações de contagem direta);
Conhecer a ideia de medida de grandezas de variados tipos (comprimento, área, volume,
massa, tempo, temperatura, ângulo etc.), sabendo expressar ou estimar tais medidas por
meio da comparação direta da grandeza com o padrão escolhido, utilizando tanto
unidades padronizadas quanto unidades não padronizadas, e considerando as ideias de
estimativa e de aproximações;
Explorar de modo significativo a ideia de proporcionalidade (razões, proporções,
grandezas direta e inversamente proporcionais) em diferentes situações, equacionando e
resolvendo problemas contextualizados de regra de três simples e composta, direta e
inversa;
Explorar regularidades e relações de interdependência de diversos tipos, inclusive as
sucessões aritméticas e geométricas, representando relações de interdependência por
meio de gráficos de variadas formas, e construindo significativamente o conceito de
função;
Conhecer as principais características das funções polinomiais de grau 1, grau 2, ... grau
n, sabendo esboçar seu gráfico e relacioná-lo com as raízes das equações polinomiais
correspondentes, e explorar intuitivamente as taxas de crescimento e decrescimento das
funções correspondentes;
Conhecer as propriedades fundamentais de potências e logaritmos, sabendo utilizá-las
em diferentes contextos, bem como sistematizá-las no estudo das funções exponenciais
e logarítmicas;
Compreender e aplicar as relações de proporcionalidade que caracterizam as razões
trigonométricas (seno, cosseno, tangente, entre outras) em situações práticas, bem como
282
ampliar o significado de tais razões por meio do estudo das funções trigonométricas,
associando as mesmas aos fenômenos periódicos em diferentes contextos;
Utilizar uma linguagem adequada para a representação de formas geométricas a partir
da percepção do espaço e das formas, reconhecendo e classificando formas planas
(ângulos, triângulos, quadriláteros, polígonos, circunferências, entre outras) e espaciais
(cubos, paralelepípedos, prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outras);
Explorar a linguagem e as ideias geométricas para desenvolver a capacidade de
observação, de percepção de relações como as de simetria e de semelhança, de
conceituação, de demonstração, ou seja, de extração de consequências lógicas a partir
de fatos fundamentais diretamente intuídos ou já demonstrados anteriormente;
Explorar relações geométricas especialmente significativas, como as relativas às somas
de ângulos de polígonos, aos Teoremas de Tales e de Pitágoras, e muito especialmente
as relações métricas relativas ao cálculo de comprimentos, áreas e volumes de objetos
planos e espaciais;
Explorar uma abordagem algébrica da geometria – ou seja, a geometria analítica,
representando retas e curvas, como as circunferências e as cônicas, por meio de
expressões analíticas e sabendo resolver problemas geométricos simples por meio de
mobilização de recursos algébricos;
Explorar de modo significativo as relações métricas e geométricas na esfera terrestre,
especialmente no que tange a latitudes, longitudes, fusos horários;
Resolver problemas de escolhas que envolvem a ideia de otimização (máximos ou
mínimos) em diferentes contextos, recorrendo aos instrumentos matemáticos já
conhecidos, que incluem, entre outros temas, a função polinomial do 2º grau e algumas
noções de geometria analítica;
Compreender a ideia de aleatoriedade, reconhecendo-a em diferentes contextos,
incluindo-se jogos e outras classes de fenômenos, e sabendo quantificar a incerteza por
meio do cálculo de probabilidades em situações que envolvem as noções de
independência de eventos e de probabilidade condicional;
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Saber organizar e/ou interpretar conjuntos de dados expressos em diferentes linguagens,
recorrendo a noções básicas de estatística descritiva e de inferência estatística (média,
mediana,desvios, população, amostra, distribuição binomial, distribuição normal, entre
outras noções) para tomar decisões em situações que envolvem incerteza.
Saber reconhecer problemas relacionados à sistemas lineares, e compreender as diversas
formas e estratégias de resolução desses sistemas, seja graficamente ou com uso de
matrizes e de determinantes
3. BIBLIOGRAFIA
A) Livros e Artigos
1. BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Educação Matemática. 2. ed., São Paulo:
Centauro, 2005.
2. BOYER, Carl B. História da matemática. 3. ed., São Paulo: Edgard Blucher, 2010.
3. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 13. ed.,
Campinas, SP: Papirus, 2006.
4. DEVLIN, Keith. O gene da matemática: o talento para lidar com números e a
evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2004.
5. FIORENTINI, Dario; Lorenzato, Sergio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores associados, 3. ed., 2009.
6. LIMA, Elon Lages et al. A matemática do Ensino Médio.
Rio de Janeiro: SBM, 1999. v. 1, 2 e 3 (Coleção do Professor de Matemática).
7. MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação
mútua. 6. ed. São Paulo: Cortez, 2011.
8. PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões
psicopedagógicas. Tradução de Juan Acunã Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas,
1996.
9. PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à
ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000.
B) Publicações Institucionais
1. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática.
Brasília:
MEC/SEF,
1998.
Disponível
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2. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática;
ensino fundamental. São Paulo: SE, 2009.
3. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática;
ensino médio. São Paulo: SE, 2009.
4. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo:
matemática e suas tecnologias. São Paulo: SE, 2012. Disponível em:
\<http://www.educacao.sp.gov.br/a2sitebox/arquivos/documentos/238.pdf\>.
Acesso
em: 18 jul. 2013.