Campo Magnético de Espiras e a Lei de Faraday

Campo Magnético de Espiras e a Lei de Faraday
Semestre I - 2005/2006
1.Objectivos
1) Estudo do campo magnético de espiras percorridas por corrente eléctrica.
2) Estudo da lei de indução de Faraday.
2. Introdução
Nesta experiência terá ocasião de explorar duas leis que fazem parte dos fundamentos da
tecnologia moderna. São da maior importância em praticamente todos os aspectos de engenharia
eléctrica e electrónica. Governam, por exemplo, o design de circuitos electrónicos, a construção
de maquinaria eléctrica, ou a transmissão de energia eléctrica.
A primeira destas leis descreve a relação entre a corrente eléctrica num pequeno troço de fio e o
campo magnético gerado pela corrente na região à volta do fio.
A lei de Biot-Savart, afirma que o campo magnético decai com o inverso do quadrado da
distância ao segmento de fio. Conhece semelhante comportamento na electrostática, na relação
entre uma carga eléctrica e o seu campo eléctrico associado, descrito pela lei de Coulomb.
Contudo, a corrente possui uma direccionalidade, enquanto que cargas eléctricas não. Logo o
vector campo magnético terá de se relacionar não só com a distância ao fio, mas também, com a
direcção da corrente, o que complica a lei de Biot-Savart comparativamente à lei de Coulomb.
A segunda lei estudada nesta experiência é a lei de Faraday. Trata do comportamento dum
circuito imerso num campo magnético variável: os portadores de carga no circuito sentirão forças
que originam uma queda de potencial (a chamada força electromotriz) nos extremos dum circuito
aberto e o fluxo de corrente num circuito fechado.
3. Material
Enrolamentos de campo e de teste
Gerador de sinais
Osciloscópio
2 Resistências de 10 kΩ
Fios de ligação eléctrica
1
4. Lei de Biot-Savart. O Campo Magnético duma Espira
Uma corrente I a fluir num circuito produz um campo magnético à volta do fio (Figura 1). Considere
um pequeno comprimento ds de fio e pela lei de Biot-Savart o campo magnético produzido dB a
uma distância r de ds é dado por
dB = µ I ( d s×3 r) ,
4π
r
(1)
onde ds, dB e r são quantidades vectoriais. Os seus módulos são respectivamente ds, dB e r.
Escrevemos ds e dB em vez de s e B para indicar que estamos a falar do elemento de campo
produzido pelo elemento de fio e não todo o fio.
dr
δ
ds
I
z
y
ds × r
x
I
Figura 1
O sentido de ds é o sentido de fluxo de corrente, ou seja, no sentido do comprimento do fio. O
vector r aponta de ds para o ponto onde se pretende conhecer o campo magnético.
A permeabilidade magnética, µ, toma o valor de 4π.10-7 Tm/A no Sistema Internacional (SI), em
que T representa a unidade do campo magnético, o Tesla.
O produto vectorial (ds × r) significa que o resultado é um novo vector simultâneamente
perpendicular a ds e r e de módulo ds.r.senδ.
Logo o módulo do campo magnético é dado por
dB =
µI ds senδ
.
,
4π
r2
(2)
onde δ é o ângulo entre ds e r.
Para se obter o campo criado por todo o comprimento de fio, temos de somar (integrar) sobre
2
todos os elementos do fio, geralmente uma tarefa difícil, pois que a contribuição para o campo
total de cada elemento é em geral diferente em módulo e sentido.
O cálculo para casos especiais, contudo, obtem-se com alguma facilidade.
O cálculo do campo no eixo duma espira circular de raio R e à distância X do centro do círculo
é um desses casos particulares (ver a Fig. 2).
r
R
P
X
Figura 2
Se a bobina tiver N espiras, temos um enrolamento de N voltas e o campo será N vezes o campo
de uma única espira.
O módulo do campo magnético B da totalidade dum enrolamento circular, sobre um ponto no eixo
x é dado por
µI 0 NR 2
B = ∫ Bx =
(3)
2( R 2 + X 2 ) 3 / 2
Fora do eixo x, o campo é bastante mais difícil de calcular porque a soma da componente By ao
longo da espira já não se anula.
Todas as vossas medições ao longo deste trabalho serão realizadas neste eixo x.
5. Indução (Lei de Faraday)
Se uma espira de área A se encontra num campo magnético, B, ela é atravessada por um fluxo
magnético dado por,
Φ = A . B = A B cosδ
(4)
O vector que representa a área possui módulo A sendo a sua orientação no sentido do eixo da
espira, isto é perpendicular à área.
3
O fluxo é o produto escalar de dois vectores sendo δ o ângulo entre eles. Como a função cos
assume o seu valor máximo para δ=0°, o fluxo é máximo, se os vectores A e B forem paralelos.
Suponhamos que utilizamos uma espira grande para produzir um campo magnético. Segundo a
equação (3), se a corrente que atravessa a espira varia no tempo, o campo terá a mesma
variação. Uma única espira, pequena, colocada no campo da espira maior sentirá um fluxo
variável no tempo.
A lei de Faraday diz-nos que um fluxo variável no tempo induz uma força electromotriz (uma
queda de tensão) no circuito dada por
V =−
dφ
,
dt
(5)
onde dt é o intervaIo de tempo em que ocorre a variação de fluxo dΦ.
Se utilizarmos um pequeno enrolamento de teste com N voltas em vez duma única espira, a
queda de tensão induzida no enrolamento de teste será N vezes superior.
Nesta experiência, o enrolamento produtor do campo (enrolamento de campo) será alimentado
por uma corrente triangular, isto é, na subida do sinal triangular I = Iot, sendo Io um declive
constante fixado pelo gerador de sinais que origina o campo do enrolamento.
Logo o campo magnético e o fluxo produzido pelo enrolamento de campo terão igualmente um
declive constante, desde que se possa desprezar a corrente auto induzida.
Para nos certificarmos de que é o caso, a corrente no enrolamento de campo é limitada por uma
resistência de 10 kΩ e a frequência deverá manter-se abaixo de 1 kHz.
Nestas condições, esperamos que o enrolamento de teste apresente uma queda de tensão
induzida constante na parte crescente da onda triangular e queda de tensão constante, de sinal
oposto, na parte decrescente (Figura 3).
4
Figura 3
6. Procedimento e Análise
6.1 – Cálculo do campo magnético
Ligue o gerador de sinais ao enrolamento de campo e ao canal 1 do osciloscópio, como vem
representado na figura 4. A resistência de 10 kΩ deverá estar em série com o enrolamento para
limitar a corrente.
Figura 4
Nestas circunstâncias, poderá calcular a corrente do enrolamento de campo, I, a partir da tensão
do gerador de sinais medida no osciloscópio (canal 1).
Ligue o enrolamento de teste a outra resistência de 10 kΩ e ao canal 2 do osciloscópio.
Meça o campo no centro do enrolamento de campo, colocando o enrolamento de teste no
centro deste. Os dois enrolamentos deverão estar paralelos.
Seleccione a frequência do gerador de sinais para 100 Hz e o tipo de onda para onda triangular.
Registe a queda de tensão do gerador e do enrolamento de teste.
Varie a tensão de saída do gerador e registe a variação no enrolamento de teste.
Repita para 5 valores diferentes e faça um gráfico.
5
Medição
Tensão do
gerador
Tensão enrol.
de teste
Intensidade
Corrente
B exp
B teor.
V gerador (V)
V teste (V)
(A)
(T)
(T)
1
2
3
4
5
Meça para o enrolamento de teste.
Raio do enrolamento de teste: R teste=________ ± ___ cm
Área do enrolamento de teste: A teste =________ ± ___ cm2
Numero de espiras do enrolamento de teste n =
Meça para o enrolamento de campo
Raio do enrolamento de campo: R campo=________± ___ cm
Numero de espiras do enrolamento de campo N =
Faça o gráfico de V teste em função de V gerador
6
Calcule o campo magnético a partir da queda de tensão do enrolamento de teste utilizando as
equações 4 e 5.
Compare o resultado com o valor do campo calculado a partir da equação 3. Terá de determinar o
valor de Io.
Cálculos:
Campo magnético B exp: =________ ± ___ T
B teo: =________ ± ___ T
6.2 - Resposta em frequência
Repita o procedimento anterior com uma onda sinusoidal.
Meça no osciloscópio a diferença de fase entre a tensão de entrada e a de saída.
Frequência do gerador f gerador = 100 Hz (onda sinusoidal)
Tensão do gerador
Tensão enrol. de teste
Fase
V gerador (V)
V teste (V)
Θ (rad)
Medição
1
2
3
4
5
Explique o porquê da diferença na fase.
7
6.3 – Dependência da frequência
Meça a dependência da tensão sinusoidal no enrolamento de teste com a frequências do
gerador.
Tensão do gerador V gerador = _____ ± ___ V (pico a pico)
Frequência no gerador
Tensão enrol. de teste
F gerador (Hz)
V teste(V)
Medição
1
100
2
3
4
5
1200
Faça um gráfico de V teste em função de F gerador.
8
Dê uma explicação qualitativa da dependência da tensão no enrolamento de teste com a
frequências, para valores inferiores a 100 Hz e muito superiores a 1000 Hz.
6.4 – Dependência do ângulo δ
No centro do enrolamento de campo, meça a dependência da tensão induzida com o ângulo
entre os enrolamentos de campo e de teste.
Ângulo entre enrolamentos
Tensão enrol. de teste
δ (°)
V teste (V)
Medição
1
2
3
4
5
Faça um gráfico de V teste em função dos ângulos entre enrolamentos e compare com a teoria
(eq. 4).
Explique qualitativamente os resultados obtidos.
9
6.5 – Dependência da distância
Meça o campo (módulo e sentido) em 4 pontos adicionais ao longo do eixo do enrolamento de
campo.
Distância entre enrolamentos
Tensão enrol. de teste
X (cm)
V teste (V)
Medição
1
0
2
3
4
5
Faça um gráfico de V teste em função da distância entre enrolamentos e compare com a teoria
(eq. 3).
Explique qualitativamente os resultados obtidos
10