Capítulo 2 INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS

Capítulo 2
INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS
Nesta aula serão apresentados os modelos que descrevem os principais componentes dos
circuitos elétricos e os conceitos a eles associados, bem como as leis fundamentais que
governam tais circuitos. Na parte final, estudos de casos são apresentados a fim de ilustrar a
aplicação dos conceitos e leis.
Leis básicas de circuitos elétricos
O funcionamento de qualquer circuito elétrico pode ser analisado aplicando-se dois tipos de
equações:
•
•
Equações descritivas: que descrevem o comportamento individual dos elementos
de circuito;
Leis de Kirchhoff: que descrevem as relações entre os elementos de circuito.
As equações de ambos os tipos são normalmente escritas em termos das variáveis tensão e
corrente, sendo que as equações descritivas expressas desse modo são conhecidas como
características v-i. Cada componente de um circuito elétrico possui uma característica v-i
que o identifica plenamente. Note que essa característica corresponde a um modelo abstrato
do componente físico real, cujo funcionamento pode ser bem complicado. Freqüentemente,
a característica é expressa por meio de um gráfico e, nesse caso, recebe o nome de curva
característica.
Principais elementos de circuito e suas equações
descritivas
Os elementos de circuito têm, em geral, a forma de bipolos, ou seja, são dispositivos que
apresentam dois terminais. Nesse caso, as características v-i de um bipolo referem-se à
tensão entre seus terminais e à corrente que o atravessa, como ilustra a figura abaixo.
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Dependendo da profundidade da análise que se deseja fazer, os bipolos podem ser
representados por equações descritivas mais simples ou mais detalhadas. No que se segue,
os principais bipolos serão descritos através de modelos aproximados, porém suficientes
para retratar a essência de seu comportamento elétrico.
Fonte de tensão
As fontes de tensão têm curvas características como as mostradas na figura abaixo.
Uma fonte ideal mantém constante sua tensão independentemente do valor da corrente
fornecida. Uma fonte real, porém, sempre apresentam uma diminuição da tensão à medida
que a corrente fornecida cresce. Uma fonte real pode ser representada pelo modelo expresso
pela equação descritiva Eo - ri, onde r representa uma resistência interna (suposta constante
na figura) responsável pela queda da tensão da fonte proporcional à corrente fornecida,
dando origem à curva característica mostrada na figura. O nível da queda de tensão em
função da corrente de uma fonte pode ser quantificada através de um parâmetro chamado
regulação de tensão, definido como:
Portanto, a regulação indica a variação porcentual da tensão da fonte, desde a situação a
vazio (sem carga) até a situação de plena carga, em relação à condição de plena carga. Se a
variação é pequena, diz-se que a fonte tem uma boa regulação. Observe que uma fonte
ideal tem regulação nula.
Os símbolos normalmente utilizados para representar as fontes de tensão nos circuitos são:
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Fonte de corrente
Uma fonte de corrente é uma fonte que fornece um valor constante de corrente
independentemente do nível de tensão entre seus terminais. Sua curva característica e o
símbolo utilizado para representá-la nos circuitos são mostrados em seguida.
Resistor e lei de Ohm
A equação descritiva dos resistores lineares é a conhecida lei de Ohm: “Em um condutor, a
razão entre a tensão aplicada e a corrente que circula é uma constante, chamada resistência
elétrica”:
A lei de Ohm foi descoberta experimentalmente pelo físico alemão George S. Ohm em
1826, embora a história registre que o químico inglês Henry Cavendish descobriu (mas não
divulgou!) a mesma lei por volta de 1780. Em homenagem a George Ohm a unidade de
resistência é chamada de ohm (símbolo ). Portanto 1 ohm é a resistência oferecida à
passagem de uma corrente de 1 ampere produzida por uma tensão de 1 volt.
Todo componente de um circuito elétrico que obedece à lei de Ohm é chamado de resistor
ôhmico ou resistor linear, pois sua curva característica v-i é uma reta. Entretanto, existem
resistores que não são ôhmicos, por exemplo as lâmpadas comuns incandescentes, cuja
curva característica v-i é não-linear:
, em que varia entre 1,7 e 1,9. A figura
abaixo mostra o símbolo normalmente usado para representar resistores ôhmicos, bem
como as curvas características de um resistor ôhmico e de uma lâmpada incandescente.
Observe que a resistência é dada pela tangente à curva e, no caso da lâmpada, a resistência
vai aumentando à medida que a tensão de alimentação vai crescendo até atingir o valor
nominal, devido ao aumento da temperatura no filamento.
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Para complementar, observe na figura em seguida a curva característica de uma lâmpada
incandescente de 127 V, 60 W obtida experimentalmente em laboratório.
A propósito, por que as lâmpadas incandescentes quase sempre costumam queimar no
instante em que se liga o interruptor para acendê-las? Pense nisso.
Indutor e lei de Faraday
Todo dispositivo que produz um fluxo magnético a partir de uma corrente elétrica é
chamado de indutor, como ilustra a figura abaixo. Freqüentemente, utilizam-se núcleos de
material ferromagnético para aumentar a magnitude e a densidade do fluxo.
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Um indutor é linear se o fluxo magnético é diretamente proporcional à corrente, ou seja
weber. A constante de proporcionalidade L é chamada indutância, cuja unidade é
denominada henry (símbolo H) em homenagem ao físico americano Joseph Henry (17971878). A figura em seguida mostra o símbolo usado para representar um indutor nos
circuitos elétricos e a curva característica
também chamados bobinas ou enrolamentos.
de um indutor linear. Os indutores são
Para expressar a equação descritiva de um indutor linear em termos das variáveis tensão e
corrente é necessário aplicar a lei de Faraday. Essa lei foi descoberta experimentalmente
pelo físico inglês Michael Faraday, em 1831, e pode ser enunciada simplificadamente
como segue:
“Todo condutor atravessado pelas linhas de força de um campo magnético variável sofre a
indução de uma tensão proporcional à variação do fluxo que o enlaça”.
O significado da lei de Faraday pode ser compreendido com a ajuda da experiência
ilustrada na figura abaixo.
Observe que, quando o imã vai se aproximando da bobina, as linhas de força do campo
magnético vão cortando cada vez mais as espiras condutoras (fluxo variável), gerando uma
tensão nos terminais da bobina. Fechando-se o circuito com um amperímetro, este indicará
uma corrente fluindo. O importante é a variação do fluxo que enlaça o condutor. Como
não há contato direto entre o imã e a bobina, diz-se que a tensão é induzida e daí vem o
nome lei de indução de Faraday. Como será percebido ao longo deste curso, essa lei é
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essencial para se compreender como funcionam os geradores, transformadores e motores
elétricos, não constituindo exagero afirmar que, sem a lei de Faraday, seria impossível
utilizar energia elétrica como fazemos nos dias de hoje.
Usando-se o conceito de derivada, a lei de Faraday pode ser expressa por:
em que
representa o fluxo magnético que enlaça todas as espiras da bobina.
Combinando-se a lei de Faraday com a equação
equação descritiva de um indutor linear:
, sendo L constante, chega-se à
Capacitor
Todo dispositivo que armazena carga elétrica de forma condensada é chamado de
capacitor, como está ilustrado na figura abaixo. Os capacitores também podem ser
chamados condensadores, nome que, embora apropriado, está fora de moda.
Um capacitor é linear se a carga elétrica armazenada é diretamente proporcional à tensão
em seus terminais, ou seja q = Cv coulomb. A constante de proporcionalidade C é chamada
capacitância, cuja unidade é denominada farad (símbolo F) em homenagem ao físico
inglês Michael Faraday (1791-1867). A ordem de grandeza das capacitâncias normalmente
encontradas na prática é microfarad , ou seja,
. A figura abaixo mostra o
símbolo usado para representar um capacitor nos circuitos elétricos e a curva característica
q-v de um capacitor linear.
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A equação descritiva de um capacitor em termos de tensão e corrente pode obtida
derivando-se a equação q=Cv em relação ao tempo:
Lembrando que dq/dt corresponde à corrente no capacitor, tem-se a equação descritiva de
um capacitor linear:
Diodo e tiristor
Nem todos os componentes de um circuito elétrico podem ser representados por modelos
lineares. É o caso de diodos e tiristores, que são elementos de circuito construídos com
material semicondutor e apresentam uma característica v-i essencialmente não-linear.
Diodos e tiristores são dispositivos essenciais para a construção de retificadores
(convertem tensão alternada em contínua) e inversores (convertem tensão contínua em
alternada), que têm grande utilização em carregadores de baterias (automóvel, celular,
calculadora), galvanoplastia (banhos eletroquímicos), equipamentos “no-break”, controle
de velocidade em motores elétricos e transmissão de energia a longa distância em corrente
contínua.
Diodo é um dispositivo que pode ser modelado como uma chave ideal que abre ou fecha
dependendo da tensão aplicada em seus terminais, conforme ilustra a figura abaixo.
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Esse comportamento pode ser entendido observando-se a sua curva característica v-i: se
uma tensão VACpositiva é aplicada entre o anodo (A) e o catodo (C) diz-se que o diodo está
em estado de condução, podendo ser representado por uma chave fechada ideal,
desprezando-se a pequena queda de tensão entre seus terminais; quando a tensão VAC for
negativa o diodo entra em estado de bloqueio, ou seja, não circula corrente e o modelo
corresponde a uma chave aberta. A tensão negativa (reversa) não pode ser exageradamente
grande, pois provocará a ruptura do material semicondutor (avalanche).
Tiristor é um dispositivo semicondutor com três terminais. Além dos terminais anodo e
catodo, os tiristores possuem um terceiro terminal chamado gatilho (G), cuja finalidade é
permitir o controle de seu funcionamento através da aplicação externa de um pulso de
tensão, conforme ilustrado na figura abaixo.
A curva característica típica de um tiristor indica que este somente entrará em estado de
condução se duas condições forem obedecidas: existir uma tensão VAC positiva (não muito
grande) entre seus terminais e for aplicado um pulso de tensão no gatilho. Nesse caso, o
tiristor pode ser modelado por uma chave fechada ideal, desprezando-se a queda de tensão.
Para um tiristor entrar em estado de bloqueio (representado por uma chave aberta) duas
outras condições são necessárias: a tensão VAC deve ser negativa e a corrente de condução
(que passa no tiristor) deve ser pequena (menor que um valor mínimo especificado pelo
fabricante). Existem ainda tiristores (tipo GTO) que, estando conduzindo, podem ser
bloqueados por meio de um outro pulso externo no gatilho, permitindo assim maior
controle na operação.
Leis de Kirchhoff
Além das equações que descrevem cada componente, para se resolver um circuito elétrico é
necessário dispor de equações que relacionem os vários componentes entre si, ou seja, que
descrevam a topologia do circuito. Isso é feito através das leis de Kirchhoff, enunciadas
pelo físico de origem russa Gustav Kirchhoff em 1847.
As leis de Kirchhoff são extremamente gerais, valendo para qualquer tipo de circuito desde
que seus componentes possam ser representados por bipolos com parâmetros concentrados,
quer dizer, resistências, indutâncias ou capacitâncias não são distribuídas ao longo do
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componente como acontece em linhas de transmissão. Antes de enunciar as leis é
conveniente estabelecer as seguintes definições:
•
•
•
bipolo: elemento de circuito com dois terminais.
nó: ponto de conexão de dois ou mais bipolos.
malha: caminho fechado que parte de um nó e retorna a ele próprio, sem passar
mais de uma vez pelo mesmo nó.
Lei dos Nós (1a. lei de Kirchhoff) : “Em qualquer nó a soma algébrica das correntes é
zero”.
Por convenção, considera-se como positiva uma corrente entrando em um nó e negativa
quando saindo.
Lei das Malhas (2a. lei de Kirchhoff) : “Em qualquer malha a soma algébrica das tensões é
zero”.
Para estabelecer o sinal de uma tensão costuma-se usar a seguinte convenção: (a) atribui-se
a cada bipolo uma polaridade arbitrária; (b) a cada malha associa-se um sentido de percurso
arbitrário; (c) o sinal da tensão no bipolo é positivo se o sentido de percurso sair pelo
terminal positivo do bipolo e negativo se sair pelo terminal negativo. O exemplo abaixo
ilustra a aplicação da lei das malhas.
No circuito da figura existem três malhas, resultando nas seguintes equações:
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Observe que a equação da malha III é a soma das equações das malhas I e II, não sendo,
portanto independente. Pode-se mostrar que em um circuito com b bipolos e n nós existem
b-n+1 equações independentes envolvendo tensões.
Associação em série e paralelo
Dois bipolos estão em série quando são atravessados pela mesma corrente e estão em
paralelo quando seus terminais apresentarem a mesma tensão.
Como conseqüência direta das leis de Kirchhoff e das respectivas equações descritivas, as
associações em série e paralelo de resistores, indutores e capacitores obedecem às relações
que se seguem:
Resistores:
Indutores:
Capacitores:
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A propósito, existem outras maneiras de conectar bipolos que não sejam em série ou
paralelo? Pense nisso.
Estudo de caso: fonte contínua com carga resistiva
Considere a situação mostrada na figura abaixo, na qual uma fonte de energia elétrica
(turbina+gerador) alimenta duas cargas (aquecedor e forno), ligadas em paralelo, através de
uma linha de transmissão curta:
Imagine que o gerador é um dínamo, ou seja, fornece uma tensão contínua de 220 V.
Deseja-se então obter:
(a) A corrente fornecida pelo gerador e as correntes entregues ao aquecedor e forno;
(b) As tensões no aquecedor e forno;
(c) A queda de tensão na linha;
(d) A potência instantânea fornecida pelo gerador.
Esse problema pode ser resolvido através do circuito equivalente (modelo abstrato)
mostrado na figura abaixo, no qual o gerador é representado como uma fonte ideal de
tensão, enquanto que aquecedor, forno e linha de transmissao são representados como
resistores ôhmicos.
A fonte “enxerga” um resistor equivalente cuja resistência é dada por:
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Portanto a corrente fornecida pelo gerador é dada pela lei de Ohm:
A queda de tensão na linha de transmissão é obtida, fazendo:
Desse modo, as tensões no aquecedor e forno são:
E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam:
Finalmente, a potência instantânea fornecida pelo gerador é dada por:
Observe que a potência instantânea é constante, como mostra a figura abaixo, pois somente
tensões e correntes contínuas estão envolvidas.
Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga
resistiva
Considere agora o mesmo problema anterior com uma única modificação: o dínamo foi
substituído por um alternador, ou seja, um gerador de tensão alternada senoidal expressa
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pela equação
figura abaixo:
V. O circuito equivalente do problema é mostrado na
Do mesmo modo, o alternador “enxerga” um resistor equivalente de 2,2
fornecida por ele será:
e a corrente
Note que a tensão e a corrente do alternador estão em fase, ou seja, não existe diferença de
fase entre as formas de onda senoidais.
A queda de tensão na linha de transmissão é:
Pela lei das malhas, as tensões no aquecedor e forno são:
E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam:
Com a potência instantânea fornecida pelo gerador acontece agora algo interessante:
Lembrando que
expressa por:
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, a potência instantânea pode ser
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cujo gráfico está mostrado na figura que se segue.
Note que a potência fornecida não é mais constante, mas sim pulsante, com o dobro da
freqüência da tensão do alternador e apresentando valor médio em um período igual a
22000 W.
A propósito, o que os dois casos apresentados têm em comum? E o que eles têm de
diferente? Pense nisso.
Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga
indutiva
Considere um gerador de tensão alternada senoidal (alternador) alimentando um forno de
indução existente em uma instalação industrial através de uma linha de transmissão,
conforme ilustrado na figura abaixo. O problema é obter a corrente e a potência
instantânea fornecidas pelo gerador.
Fornos de indução são equipamentos usados na purificação de ligas metálicas e podem ser
modelados simplificadamente por um resistor em série com um indutor. Associando-se as
resistências da linha e do forno, a instalação pode ser representada pelo circuito equivalente
mostrado abaixo, assumindo resistor e indutor lineares.
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Considerando o alternador como uma fonte ideal de tensão descrita por
V e aplicando a 2a. lei de Kirchhoff no circuito, obtém-se:
Lembrando da equação descritiva de resistores e de indutores lineares, pode-se escrever a
seguinte equação diferencial:
Como se vê, a obtenção da corrente fornecida pelo alternador, i(t), corresponde à solução
de uma equação diferencial linear de 1a. ordem com entrada forçada senoidal. Isso vai
sempre acontecer quando existirem indutores ou capacitores no circuito, pois as suas
equações descritivas envolvem derivadas.
A propósito, quando estava fazendo os cursos de Cálculo você imaginava que um dia iria
usar aquilo? Pois é.
Como se está somente interessado no comportamento do circuito em regime permanente,
deve-se obter uma solução particular para a equação diferencial, ignorando-se a solução da
equação homogênea, que descreve o comportamento transitório suposto já transcorrido.
Como se sabe, a solução particular correspondente a uma entrada senoidal que tem a forma
geral:
Essa forma pode sempre ser expressa de forma equivalente como:
desde que
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A solução obtida permite concluir que a corrente tem a mesma forma de onda senoidal e a
mesma freqüência apresentadas pela fonte, porém está defasada de um ângulo em
relação à tensão da fonte. A figura abaixo ilustra o fato. Esse comportamento sempre
ocorrerá quando existirem indutores ou capacitores no circuito devido às respectivas
equações descritivas.
A propósito, qual das duas formas de onda, tensão ou corrente, está “na frente”
(adiantada) ou “atrás” (atrasada) ? Pense nisso.
Falta obter a amplitude Ip e a fase da corrente. Isso pode ser feito substituindo-se a
solução particular na equação diferencial e identificando os termos membro a membro,
após utilização das identidades trigonométricas.
e
:
Para se calcular a potência instantânea fornecida pelo alternador à carga, aplica-se a
definição:
Com ajuda das identidades trigonométricas
e
instantânea em uma forma mais conveniente:
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,
, pode-se exprimir a potência
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cujo gráfico está mostrado na figura abaixo.
Note que a potência fornecida é pulsante como no caso puramente resistivo, com o dobro
da frequência da tensão do alternador. Mas o fato mais interessante é que, embora
apresentando valor médio positivo em um período, a curva da potência tem uma parte
negativa em alguns instantes! A origem desse estranho fenômeno é a defasagem entre
tensão e corrente alternadas (reveja o estudo de caso com carga resistiva) e pode ser
interpretado da seguinte maneira: convenciona-se associar o sinal positivo à potência
fornecida por um alternador (a chamada convenção de gerador); portanto, se a potência é
momentaneamente negativa, isso significa que o alternador está recebendo potência da
carga nesse intervalo. Esse comportamento, que tem importantes implicações práticas,
como se verá mais tarde. vai sempre acontecer quando existirem no circuito indutores ou
capacitores, devido à sua propriedade de armazenar energia.
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