Aula 01 – Teoria das Tensões

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
Aula 01 – Teoria das Tensões
Eng. Civil Augusto Romanini
Sinop - MT
2016/2
AULAS
Aula 00 – Apresentação/Revisão
Aula 01 – Teoria das Tensões
Aula 02 – Critérios de Resistência
Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas
Aula 04 – Teoria das Deformações
Aula 05 – Flambagem de Colunas
Aula 06 – Torção Simples/Pura
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Mecânica dos Sólidos II
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Objetivos
Conceitos
Equações
Circulo de Mohr
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Mecânica dos Sólidos II
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Objetivos
Objetivo Geral: Apresentar a teoria das tensões aplicadas em estruturas civis usuais e afins.
Objetivo Especifico:
• Definir e aplicar o estado plano de tensões em quaisquer direções.
• Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em
componentes associadas a um sistema de orientação diferente.
• Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a
orientação dos elementos sobre os quais atuam.
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Conceitos
Tensão
O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão,
como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por
unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa ideia
para os casos em que a força por unidade de área pode não ser,
necessariamente, normal.
Definição (1) : A relação entre a força infinitesimal aplicada em uma
área infinitesimal é denominada tensão.
Definição (2) : Os esforços aplicados em uma massa infinitesimal
podem apresentar duas resultantes na direção normal ( 𝑅𝛼 ) e
Tangencial (𝑇𝛼 ), a partir das quais definem – se os estados de
tensões normais e cisalhante, 𝜎𝑎 e 𝜏𝑎 .
𝑅𝛼
𝜎𝑎 =
𝐴
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𝑇𝛼
𝜏𝑎 =
𝐴
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Conceitos
Tensor de tensões
A partir das tensões obtidas da relação anterior pode – se definir “o estado de tensão em um ponto". O estado de tensão
de um ponto pode ser caracterizado a partir do conhecimento dos componentes normal e tangencial do vetor de tensão em
relação a três planos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas as direções do sistema de coordenadas de
referência do corpo).
Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes,
define-se uma orientação desses componentes em relação à
porção do corpo analisada. Normalmente x,y e z. Os
componentes do vetor de tensão em relação aos três planos
mutuamente ortogonais serão organizados para formar o
denominado tensor de tensão.
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Conceitos
Atenção: Apesar desta visão
volumétrica do estado de tensão, o
mesmo corresponde às informações
de um ponto do sólido analisado.
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Tensor de tensões
Índices dos componentes:
O 1º índice indica a direção normal à face de atuação
e o 2º índice indica a direção do componente.
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Conceitos
Tensão Uniaxial
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Tensor de tensões
Tensão bi-axial
Mecânica dos Sólidos II
Tensão tri-axial
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Conceitos
Tensor de tensões
Tensões Normais
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑥
𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑦
𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑧
Tensões Cisalhantes
Estado Geral de Tensão
Estado Plano de Tensão
𝜏𝑥𝑦 ; 𝜏𝑥𝑧
 Plano YZ
𝜏𝑦𝑧 ; 𝜏𝑦𝑥
 Plano XZ
𝜏𝑧𝑦 ; 𝜏𝑧𝑥
 Plano XY
OBSERVAÇÃO: Conforme o teorema de Cauchy ( 1798 – 1857) , também conhecido como Teorema do Tetraedro que
a partir do equilíbrio de um elemento cúbico infinitesimal , tem – se que 𝝉𝒙𝒚 e 𝝉𝒚𝒙 . O mesmo ocorre com os outros
planos que compõem o tensor de tensões.
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Conceitos
Tensor de tensões
Convenção de sinal
Tensão Normal
Tensão Cisalhante
Tração ( + )
Vertical para cima face direita (+)
Anti-horário (+)
Compressão ( - )
Vertical para baixo face direita (-)
Horário (-)
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Mecânica dos Sólidos II
Ângulo de rotação
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Conceitos
Tensor de tensões
Transformação de tensão
Definição (1) : O estado plano de
tensão em um ponto é representado
exclusivamente por três componentes
que agem sobre um elemento que uma
orientação especifica neste ponto.
Importante(1): Para transformar as
tensões são necessários duas
condições. A primeira é que o equilíbrio
do elemento cúbico infinitesimal
naquele ponto e as tensões normais e
cisalhantes conhecidas.
Estado Plano de Tensão
Definição (1) : O estado plano de tensão em um ponto é
representado exclusivamente por três componentes que agem
sobre um elemento que uma orientação especifica neste ponto.
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Importante(2): A transformação dos
componentes de tensão é diferente pois
lembre – se que tensão leva em conta o
valor e a direção ( vetorização), além da
orientação da área sobre este
componente age.
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Equações
Tensor de tensões
Transformação de tensão
Equações Gerais de tensões
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑦′ =
𝜎𝑥 +𝜎𝑦
+
2
𝜎𝑥+𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦′ =
2
−
𝜎𝑥 −𝜎𝑦
2
𝜎𝑥 −𝜎𝑦
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (1)
∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (2)
∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (3)
Corrigida em 29/10/2016
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Equações
Tensor de tensões
Tensões (normais) Principais
𝜎1,2 =
𝜎𝑥 +𝜎𝑦
2
±
𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2
2
Transformação de tensão
As tensões principais ocorrem nos planos principais e tem
tensão cisalhante igual a zero. Apresentam a maior e menor
tensão normal que atuam em determinado ponto de análise.
+ 𝜏𝑥𝑦 2 (4)
Planos Principais
𝑇𝑔2𝜃1,2 =
2∙𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥−𝜎𝑦
(5)
Importante:
• Sempre é valido: 𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐
• A soma das tensões é invariante entre si:𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 = 𝝈𝒙′ + 𝝈𝒚′
• 𝜽𝟐 = 𝜽𝟏 + 𝟗𝟎º
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Equações
Tensor de tensões
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
𝜏𝑚á𝑥,𝑚í𝑛 = ±
𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 (6)
Transformação de tensão
Os planos para tensão de cisalhamento máxima (mínima)
podem ser determinados orientando um elemento a 45º em
relação á posição de um elemento que define os planos da
tensão principal.
Planos Principais
𝑇𝑔2𝜃3,4 = −
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2∙𝜏𝑥𝑦
(7)
Importante:
• 𝜽𝟑 é o ângulo de inclinação da tensão normal
associada (𝝈𝒄 ) a tensão de cisalhamento máxima
• 𝜽𝟒 é o ângulo de inclinação da tensão normal
associada (𝝈𝒄 ) a tensão de cisalhamento mínima
• Aplicando os valores de 𝜽𝟑 e 𝜽𝟒 na equação (3)
pode – se encontrar o valor das cisalhantes
máximas e mínimas.
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Tensão Associada
𝜎𝑐 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
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Conceitos
Tensor de tensões
Transformação de tensão
Estado tri-axial
Tração Pura
Compressão Pura
Cisalhante pura
Estado duplo
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Compressão Hidrostática
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Círculo de Mohr
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Defina o eixo das tensões normais conforme o eixo
x(+) e eixo das tensões cisalhantes de acordo com
o eixo y(+) , vertical para cima.
A partir do sistema cartesiano definido, o primeiro
ponto, que é denominado POLO (P), utilizando o
par de tensões da face “direita” do EPT.
No mesmo sistema cartesiano, deve se plotar os
demais pontos que são 𝑻𝒙 , 𝑻𝒚𝟏 , 𝑻𝒚𝟐 . 𝑻𝒙 é por de
tensões da face esquerda; 𝑻𝒚𝟏 𝒆 𝑻𝒚𝟐 são os pares
de tensões nas faces superior e inferior do EPT.
Unir os pontos opostos, 𝑻𝒙 𝒆 𝑻𝒚𝟐 , diretamente
opostos determinando o centro do círculo.
Determinar o raio do círculo. O raio pode ser
determinado ligando o centro determinado no item
anterior ao POLO.
Extrair as informações do círculo que são as
tensões principais, tensões cisalhantes e planos de
atuação.
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Círculo de Mohr
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Referências
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.
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Mecânica dos Sólidos II
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Obrigado pela atenção.
Perguntas?
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Nível: Fácil
Exemplos
Exemplo 01 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura
abaixo. Determine o que é solicitado.
a) Tensões Principais e os Planos Principais
b) Tensão de Cisalhamento máxima e Tensão associada.
c) Tensões normais e Tensão de Cisalhante para um plano orientado a +45,00º
𝜎𝑦
𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
EPT
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𝜎𝑥
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Nível: Fácil
Exemplos
Exemplo 02 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura
abaixo. Apresente o circulo de Mohr.
𝜎𝑦
𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
EPT
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𝜎𝑥
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Exemplos
Nível: Fácil
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Exemplo 03 – Uma viga de madeira foi construída para vencer determinado vão e suportar um respectivo
carregamento. Deseja – se obter algumas informações sobre como se comporta o elemento estrutural e
sua seção, para que assim se possa determinar imposições executivas. A seção de análise está a 4,00
metros do apoio fixo. O ponto de análise da seção está indicado como “P”.
a) Tensões Normais Principais
45
b) Tensões Cisalhantes
c) Plano de atuação das tensões
P
d) Tensões atuantes no ponto , sabendo que as fibras da madeira
estão inclinadas com um ângulo de +23º, com a horizontal.
e) Círculo de Mohr para o EPT
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10
15
cm
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Exemplos
Nível: Médio
Exemplo 04 – A construção de uma passarela utilizara diversos elementos de aço. Devido ao tamanho do
vão a ser vencido será necessário soldar estes elementos para confeccionar a viga principal. A viga principal
será composta por duas vigas de 6,00 metros soldadas no meio do vão. Foi escolhido utilizar uma viga de
formato “T” robusta pois a mesa superior da viga já servirá como um tabuleiro. O plano de carregamento
ficará situado no meio da mesa. O esquema de carregamento e a seção geométrica são apresentadas
abaixo, assim como os pontos de análise. São solicitada duas seções de análise:
I.
Seção no meio do vão ( 4,00 metros do apoio móvel)
II. Seção imediatamente a direita do apoio móvel
45
5
A
B
.
20
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5
20
cm
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Exemplos
Nível: Médio
Exemplo 04 – Solicita – se para a situação anterior.
a) EPT atuante no ponto
b) Tensões principais e plano de atuação.
c) Tensões cisalhante e plano de atuação.
d) Circulo de Mohr para cada EPT
e) Para a Seção “I” – Qual o EPT atuante para um plano inclinado a 30º
f) Para a Seção “II” – Qual o EPT atuante para um plano situado a 60º
g) Analise as características das tensões nos pontos e seções para o carregamento apresentado. Qual a
situação mais crítica?
Sugestão de Exercício Continuado: Analise a Seção imediatamente a esquerda do Apoio móvel. Analise a
seção imediatamente a direita do Apoio fixo.
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Exercícios Sugeridos
Hibeller 7ed – Capitulo 9 – Pag.321 – Disponível na biblioteca.
9.10, 9.11, 9.16, 9.25, 9.26, 9.43, 9.77
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Circulo de Mohr
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Eixos
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Circulo de Mohr
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Escala e Polo
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Circulo de Mohr
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Tx e Ty’s
Mecânica dos Sólidos II
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Circulo de Mohr
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Centro do Circulo
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Circulo de Mohr
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Raio
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Circulo de Mohr
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Traçar Circulo
Mecânica dos Sólidos II
31
Circulo de Mohr
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Traçar Circulo
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32
Circulo de Mohr
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Traçar Circulo
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Circulo de Mohr
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Tensões Principais
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34
Circulo de Mohr
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Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II
35
Circulo de Mohr
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Tensões Principais
Mecânica dos Sólidos II
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Circulo de Mohr
29/10/2016
Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II
37
Circulo de Mohr
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Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II
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Circulo de Mohr
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Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II
39
Circulo de Mohr
29/10/2016
Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II
40
Circulo de Mohr
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Planos Principais
Mecânica dos Sólidos II
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