Apostila de Geometria Espacial - Prof. Jeca

Geometria de Posição
e
Geometria Espacial Métrica
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
Autor - Lucas Octavio de Souza
(Jeca)
Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.
Relação das aulas.
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
01
02
03
04
05
06
07
08
09
-
Página
Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........
Poliedros convexos ............................................................
Prismas ...............................................................................
Pirâmides ............................................................................
Cilindro de revolução ..........................................................
Cone de revolução .............................................................
Esferas ...............................................................................
Sólidos semelhantes ..........................................................
Exercícios diversos sobre sólidos compostos ....................
02
17
21
30
38
45
51
56
61
Considerações gerais.
Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como
objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de
curso pré-vestibular. Nessas aulas, projeto na lousa esta apostila e complemento a
teoria exemplificando e demonstrando as fórmulas apresentadas. Não tem a
pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.
Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material,
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
Meu e-mail - [email protected]
Um abraço.
Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Jeca 01
Geometria de Posição
Aula 01
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Conceitos fundamentais
da Geometria de Posição.
(São João da Boa Vista - SP)
GEOMETRIA DE POSIÇÃO.
A Geometria de Posição é a parte da Geometria
que estuda a determinação dos elementos
geométricos, bem como as posições relativas e as
interseções desses elementos no espaço.
2c) Determinação de plano.
Um plano fica determinado :
I - Por três pontos distintos não colineares.
A
B
C
a
1) Elementos da Geometria.
a) Ponto - A, B, P, …
b) Reta - a, b, r, …
c) Plano - a, b, g, …
II - Por uma reta e um ponto fora dela.
r
P
a
2) Determinação dos elementos.
2a) Determinação de ponto.
Um ponto fica determinado :
I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.
III - Por duas retas paralelas distintas.
r
r
P
a
s
s
II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.
IV - Por duas retas concorrentes.
r
r
s
a
P
a
3) Combinações dos elementos.
(dois a dois)
3a) Ponto - ponto.
3b) Ponto - reta.
3c) Ponto - plano.
3d) Reta - reta.
3e) Reta - plano.
3f) Plano - plano.
2b) Determinação de reta.
Uma reta fica determinada :
I - Por dois pontos distintos.
B
r
A
II - Por um ponto e uma direção.
ç
re
di
4) Posições relativas e interseções dos
elementos dois a dois.
ão
4a) Ponto - ponto.
As posições relativas que dois pontos podem
assumir são :
I - Os dois pontos são coincidentes.
P
III - Pelo cruzamento de dois planos.
b
A
r
A
B
B = A ( ou B )
II - Os dois pontos são distintos.
A
a
B
Jeca 02
A
B=
O
4b) Ponto - reta.
As posições relativas que um ponto e uma reta
podem assumir são :
I - O ponto está contido na reta.
P
r
P
Retas perpendiculares.
(caso particular de retas concorrentes)
Duas retas concorrentes são ditas
perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no
plano)
r=P
II - O ponto está fora da reta.
P
r
P
r=
2) Retas reversas (ou não coplanares)
Duas retas são ditas reversas ou não coplanares
se não existe um plano que as contém.
O
4c) Ponto - plano.
As posições relativas que um ponto e um plano
podem assumir são :
Retas ortogonais.
(caso particular de retas reversas)
Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem
entre si ângulos de 90º. (no espaço)
P
I - O ponto está contido no plano.
s
r
P
P
a
a=P
a
P’
s =O
r
s’
II - O ponto está fora do plano.
P
4e) Reta - plano.
P’
P
a=
a
O
As posições relativas que uma reta e um plano
podem assumir são :
I - A reta está contida no plano.
4d) Reta - reta.
r
As posições relativas que duas retas coplanares
podem assumir são :
r
a
1) Retas coplanares.
Duas retas são ditas coplanares se existe um
plano que as contém.
II - A reta é paralela ao plano.
I - Duas retas paralelas coincidentes.
r
a=r
r
s
r
a
s = r (ou s)
r’
r
a
a =O
II - Duas retas paralelas distintas.
r
a
III - A reta é secante ou concorrente com o plano.
r
s
s =O
P é chamado de
“traço de r em a”.
r
III - Duas retas concorrentes.
P
a
a
r
P
s
r
s=P
Jeca 03
r
a=P
Projeções ortogonais (”Sombra”)
Reta perpendicular ao plano.
(caso particular de reta secante ao plano)
A
Teorema.
Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do
plano.
r
P
t
B
t
A - Projeção ortogonal de P em r.
B - Projeção ortogonal de P em s.
C - Projeção ortogonal de P em t.
C
s
r
A
B
s
a
F
D
C
E
r
A’
4f) Plano - plano.
As posições relativas que dois planos podem
assumir são :
I - Dois planos paralelos coincidentes.
a
a
B’
D’
C’
E’ = F’
Projeções ortogonais em r.
Distância.
Distância entre duas retas reversas.
A distância entre duas retas reversas é a medida do
segmento que tem extremidades nas duas retas e que
b = a (ou b) é simultaneamente perpendicular a essas retas.
b
r
d
II - Dois planos paralelos distintos.
a
b
a b=O
s
Ângulo.
Ângulo entre reta e plano.
É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogonal da reta sobre o plano.
P
III - Dois planos secantes (ou concorrentes)
b
P’
q
r
a
a
b=r
Ângulo entre dois planos.
É o ângulo formado por duas retas, uma de cada plano, perpendiculares à intersecção dos dois planos num
mesmo ponto.
Planos perpendiculares.
(caso particular de planos secantes ou concorrentes)
Teorema.
Dois planos são perpendiculares entre si se um
deles contém uma reta perpendicular ao outro.
q
Intersecção
Determina
t
b
Entende-se
Onde se lê
Existe e é único
Existe um
Existe pelo menos um.
Um único
Um e somente um.
Coincidentes Têm todos os pontos em comum.
Distintos
a
Têm pelo menos um ponto diferente.
Concorrentes Se cruzam.
Colineares
Coplanares
Reversos
Jeca 04
Existe uma reta que os contém.
Existe um plano que os contém.
Não existe um plano que os contém.
Responder V se verdadeira ou F se falsa
nas afirmações abaixo.
038) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum,
então elas são reversas.
039) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum,
001) ( ) O ponto não tem dimensão.
então elas são concorrentes.
002) ( ) Uma reta contém infinitos pontos.
040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse pla003) ( ) Um plano contém infinitos pontos.
no em dois semi-planos.
004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta.
005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o 041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa
plano em dois semi-planos.
plano que os contém.
042) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas
006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano.
são reversas.
007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos.
043) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não
008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares.
têm ponto em comum.
009) ( ) Três pontos distintos e não colineares deter044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são
minam um plano.
paralelas entre si.
010) ( ) Todo plano contém infinitas retas.
045) ( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto.
011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum
046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices de
são secantes.
um quadrilátero reverso.
012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semi047) ( ) As retas que contém as diagonais de um quaretas.
013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa drilátero reverso são retas reversas.
048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas,
essa reta em duas semi-retas.
014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semi- então são concorrentes.
049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um
planos.
015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano que as contém.
050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto
plano em dois semi-planos.
016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois comum.
051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distinsemi-espaços.
tos.
017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares.
052) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto
018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre coplacomum.
nares.
019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos 053) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles
opostos, então o segmento que os une intercepta a coincidem.
054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
origem dos dois semi-planos.
020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma ori- paralela a uma reta do plano.
055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
gem.
paralela a infinitas retas do plano.
021) ( ) Três pontos distintos não são colineares.
022) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são 056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a todas as retas do plano.
concorrentes.
057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
023) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum
reversa a uma reta do plano.
são concorrentes.
024) (
) Duas retas distintas que têm um ponto 058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
ortogonal a uma única reta do plano.
comum são concorrentes.
059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então
025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano.
026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam ela é concorrente com infinitas retas desse plano.
060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então
um plano.
existe no plano uma reta concorrente com ela.
027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer
028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano.
029) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, reta que concorre com uma delas concorre com a
outra.
determinam três planos.
030) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, 062) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então
todo plano que contém uma é paralelo ou contém a
determinam um único ou três planos.
031) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em outra.
063) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer
pontos distintos, são coplanares.
plano que contém uma intercepta a outra.
032) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas
064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um
retas e infinitos planos.
033) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são plano, então são paralelas entre si.
065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe
vértices de um quadrilátero.
034) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três no plano uma reta paralela à reta dada.
066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe
a três, são vértices de um quadrilátero.
035) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares, um plano que contém uma e é paralelo à outra.
067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção
três a três determinam quatro planos distintos.
036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora uma reta.
068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum
delas, determinam um único ou três planos.
037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora então eles são secantes.
069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são sedelas determinam três planos.
cantes.
Jeca 05
070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum
são secantes.
071) ( ) Duas retas reversas e uma concorrente com
as duas, determinam dois planos.
072) ( ) Dois planos distintos são secantes.
073) ( ) Se dois planos distintos são paralelos entre
si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são
paralelas entre si ou reversas.
074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos
secantes, então ela é paralela à interseção desse
planos.
075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então
toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.
076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta,
entãosão paralelos entre si.
077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um
terceiro, então são paralelos entre si.
078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a uma reta do plano.
079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a todas as retas desse plano.
080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular a infinitas retas desse plano.
081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano,
então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do
plano.
082) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas retas desse plano.
083) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas retas concorrentes desse plano.
084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então
toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular
ao plano.
085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma
única reta perpendicular a um plano dado.
086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é
perpendicular a duas ou mais retas desse plano.
087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro,
podem ser perpendiculares entre si.
088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta
seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano
sejam secantes.
089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um
mesmo plano, então elas são paralelas entre si.
090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma
mesma reta, então são paralelos entre si.
091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas
paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que
as contém.
092) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então
toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano.
093) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares,
então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao
plano.
094) ( ) Por um ponto dado, existe um único plano
perpendicular a uma reta dada.
095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então
eles são secantes entre si.
096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são
perpendiculares.
097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto
comum.
098) ( ) Se uma reta é paralela a uma reta do plano,
então ela é paralela ao plano.
099) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém uma e é perpendicular à outra.
100) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém as duas retas.
101) ( ) Dadas duas retas reversas, existe um plano
que contém uma e é paralelo à outra.
102) ( ) As intersecções de dois planos paralelos com
um terceiro plano, são retas paralelas.
103) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes
e ambas paralelas a um outro plano, então esses
planos são paralelos entre si.
104) ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um
plano é um ponto.
105) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um
plano é uma reta.
106) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um
plano é um ponto ou uma reta.
107) ( ) A projeção ortogonal de um segmento sobre
um plano é um ponto ou um segmento menor que ele.
108) ( ) A projeção ortogonal de um quadrilátero plano sobre um plano é um quadrilátero.
109) ( ) A projeção ortogonal de um quadrado plano
sobre um plano pode ser um triângulo.
110) ( ) A projeção ortogonal de um plano sobre outro
plano é um plano ou uma reta.
GABARITO
001 V
002 V
003 V
004 V
005 F
006 F
007 V
008 V
009 V
010 V
011 V
012 F
013 V
014 F
015 V
016 V
017 F
018 V
019 V
020 V
Jeca 06
021 F
022 F
023 V
024 V
025 F
026 V
027 F
028 F
029 F
030 V
031 V
032 V
033 F
034 V
035 V
036 V
037 F
038 F
039 F
040 F
041 F
042 V
043 F
044 V
045 V
046 V
047 V
048 F
049 F
050 V
051 V
052 V
053 F
054 V
055 V
056 F
057 V
058 F
059 V
060 F
061 F
062 V
063 F
064 F
065 F
066 F
067 V
068 V
069 F
070 V
071 V
072 F
073 V
074 V
075 F
076 F
077 V
078 V
079 F
080 V
081 V
082 F
083 V
084 F
085 V
086 F
087 V
088 V
089 V
090 V
091 F
092 F
093 F
094 V
095 V
096 F
097 V
098 F
099 F
100 F
101 V
102 V
103 V
104 V
105 F
106 V
107 F
108 F
109 F
110 V
Geometria de Posição
Aula 01
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Geometria de Posição)
(São João da Boa Vista - SP)
01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um
vértice a outro do prisma reto de bases triangulares
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do
vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal
da face ADGC e, finalmente completou seu passeio
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou
ao vértice :
C
a) A
A
b) B
B
c) C
d) D
e) E
G
D
E
03) (Unifesp-SP)
Dois segmentos dizem-se
reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o
número de pares de arestas reversas num tetraedro,
como o da figura, é:
A
a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
D
02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no
prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
u
t
3m
r
s
v
4m
a)
b)
c)
d)
e)
Das retas assinaladas, podemos afirmar que:
t e u são reversas.
s e u são reversas.
t e u são concorrentes.
s e r são concorrentes.
t e u são perpendiculares.
04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB
é perpendicular ao plano a, CD e BC estão
contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC.
Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a distância de A a D.
A
C
a
B
4m
cumeeira
B
D
C
05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal
de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as
projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse
plano."
Na figura abaixo, determine a medida da projeção
ortogonal do segmento AB sobre o plano a.
t
a e p são planos secantes
p
C p e BC t
A
A
AB t e BC t
AB = 10 cm
T
60º
b
T
B
06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si;
a reta b, perpendicular a a em A, com A C c, o
ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto
de b, X C a, então a reta s, definida por X e B:
d
c
a
A
C
a
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano a.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
Jeca 07
B
07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta entreaberta e o canto de uma sala:
x
08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r
contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas
não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s
sobre a é perpendicular a r.
r
t
z
s
y
As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente,
as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não
se pode afirmar:
a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então é perpendicular a esse
plano.
b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que
sejam perpendiculares duas a duas.
c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem
infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano
são paralelas.
e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos
passar um e apenas um plano perpendicular à reta e
passando pelo ponto.
10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida
no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a
distância de A a C, em centímetros, é igual a:
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5
11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de
uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A
e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano
da circunferência. O número de faces do tetraedro
VABC que são triângulos retângulos é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplanares A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a
AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as
retas:
a) EA e EB
b) EC e CA
c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE
Jeca 08
13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P
do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num
ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta
por P, contida em p, e ortogonal a r.
14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira ?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um
plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum,
tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta
desse plano.
e) Se a é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano,
que é paralela à r, não será paralela à reta s.
15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no
espaço. Analise as seguintes afirmações:
( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano
que as contém.
( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio,
então r é paralela a s.
( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então
existe um plano que as contém.
( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e
s são reversas.
16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira ?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então
elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio,
então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que
as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, então elas determinam um e um só plano.
U
Considerando V para sentença verdadeira e F
para sentença falsa, a sequência correta que classifica essas afirmações é:
a) V, V, V, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, V, F, F.
17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição
verdadeira.
a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela
é perpendicular a todas as retas do plano.
b) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si.
c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é
sempre uma reta.
d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é
paralelo ao plano.
e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a
três planos paralelos, são paralelas.
18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.
a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa
pelo menos um plano perpendicular a a.
b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um
segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.
c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de
um plano a é perpendicular ao plano a.
d) Um plano perpendicular à dois planos concorrentes é perpendicular à intersecção deles.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas.
Jeca 09
19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D,
E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como
pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se:
AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces
como planos, responda as solicitações abaixo.
C
D
A
B
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da
Geometria de Posição.
G
H
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta
AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta
AD.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o
plano EAB.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano
EHG.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente
com o plano ADC.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG
e EH ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o
plano ABF ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF
e o plano FGH ?
Resp.
k) Determine todas as arestas do cubo que são
perpendiculares à reta BC.
Resp.
E
F
l) Determine todas as arestas do cubo que são ortogonais à reta EF.
Resp.
m) Determine todas as arestas do cubo que são
concorrentes com a reta DH.
Resp.
n) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano BCG.
Resp.
o) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano BDH.
Resp.
p) Determine todas as faces do cubo que são paralelas à aresta CG.
Resp.
q) Determine todas as faces do cubo que são perpendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano FGH.
Resp.
s) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas distintas à aresta AB.
Resp.
t) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano EGD.
Resp.
Jeca 10
20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretangular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10
cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das
faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respectivamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices
desse paralelepípedo, determinar o que se pede em
cada questão a seguir :
D
C
A
S
B
T
R
H
b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?
Resp .
c) O que é e qual é a intersecção entre os planos
ADB e EFH ?
Resp .
d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?
Resp .
e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendiculares à aresta EF ?
Resp .
f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à
aresta DC ?
Resp .
g) Quais faces do paralelepípedo são perpendiculares ao plano AEH ?
Resp .
h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?
Resp .
i) O que é e qual é a intersecção entre os planos
CGH e BFH ?
Resp .
j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?
Resp .
l) Qual a distância entre os pontos S e R ?
Resp .
G
U
a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas distintas à aresta AD ?
Resp.
E
F
m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao
plano BCG ?
Resp
n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao
plano CDH ?
Resp .
o) Qual a tangente do ângulo formado entre os
planos ABF e BFH ?
Resp .
p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e
EG ?
Resp .
q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm
do vértice E ?
Resp
r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice
D?
Resp .
s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à
reta FC ?
Resp .
t) O que é e qual é a intersecção entre os planos
AHG e DEF ?
Resp .
u) Qual a medida da soma dos comprimentos de
todas as arestas do paralelepípedo ?
Resp .
Jeca 11
21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular
de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e
a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e
utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas
como retas e as faces como planos, responda as solicitações
abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham
uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém
nenhuma aresta.
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da
Geometria de Posição.
M
G
H
L
J
I
figura
01
A
F
E
B
C
D
A
F
figura
02
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a
reta AB.
Resp.
B
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.
Resp.
E
C
D
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta
AF.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o
plano GMA.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano
JLE.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente
com o plano ABH.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG
e GM ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o
plano HIB ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF
e o plano CDJ ?
Resp.
k) Determine todas as retas do prisma que são
perpendiculares à reta AG.
Resp.
l) Determine todas as retas do prisma que são ortogonais à reta EF.
Resp.
m) Determine todas as retas do prisma que são concorrentes com a reta CD.
Resp.
n) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano BCE.
Resp.
o) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano BCH.
Resp.
p) Determine todas as faces do prisma que são paralelas à reta DJ.
Resp.
q) Determine todas as faces do prisma que são perpendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do prisma que não
estão contidos no plano JLD.
Resp.
s) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AB.
Resp.
t) Determine todas as retas do prisma contidas no
plano GMA.
Resp.
Jeca 12
22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retorretangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são:
AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.
A
B
D
C
E
F
H
G
a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta
GH ?
plano BCG ?
a) 7 5
b) 5 7
c) 5 6
d) 6 5
e) 7 6
a) 6
b) 12
c) 9
d) 8
e) 10
c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?
a) 9
b) 6
c) 8
d) 12
e) 10
d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta
FH ?
a) 36/5
b) 24/5
c) 18/5
d) 27/5
e) 21/5
e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto
B?
a) 273
b) 247
c) 257
d) 261
e) 253
f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta
AD ?
a) 109
b) 117 c) 123
d) 113 e) 127
g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos
e a face EFGH ?
BCG e BCH ?
a) 2/5
b) 2/3
c) 3/2
d) 3/4
e) 4/3
a) 2/3
b) 5/2
c) 3/2
d) 3/4
e) 4/3
Jeca 13
23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face D
face E
face C
face A
peça 1
peça 2
face A
face B
esboços
face A
face B
face C
face D
face E
24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face D
face E
face C
face A
peça 1
peça 2
face A
face B
esboços
face A
face B
face C
face D
face E
25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2,
com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original.
Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces
A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.
D
A
C
B
figura 1
figura 2
figura 3
esboços
face A
face B
Jeca 14
face C
face D
26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra
a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando
frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma
que cada observador visualiza a face observada.
L
F
figura 1
figura 2
K
R
Ob
se
r
P
J R
J
F
va
do
rB
F
J R
figura 3
F
J R
(exemplo)
Observador A
Observador B
P
L
Observador A
Observador B
Observador A
Observador B
Observador A
Observador B
Observador A
Observador B
Observador A
Observador B
figura 1
a)
F
P L
figura 1
b)
L
J
K
figura 1
c)
R
K
P
figura 1
d)
K
J R
figura 1
F
L J
e)
figura 1
Jeca 15
Observador A
Respostas da aula 01.
Respostas da Aula 01
As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das
páginas 05 e 06 estão na página 06.
Respostas da Aula 01 - Exercícios complementares.
s
A
A'
B
r é perpendicular a s (do enunciado).
AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.
A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendicular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano
AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)
B
r
A
13) Demonstração
C
p
A'
B'
P
Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas projeções ortogonais sobre o plano p.
A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa
por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.
(CQD)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
CB, FG e EH
retas reversas e ortogonais
não existe intersecção
4 cm
EA, EH, BF e GF
EA, EH, BF e GF
ADC, DHG, HEF e AEB
6 cm
c
d
b
a
d
b
a
c
23)
face A
face B
face C
face D
face E
face A
face B
face C
face D
face E
24)
25)
face A
face B
face C
Obs. A
Obs. B
26) a)
J
R
b)
F
c)
d)
R
e
c
b
e
e
a) CD, HG ou EF
b) AD, CD, EH ou GH
c) AB, BF, CD ou CG
d) CD, DH, EA ou BA
e) CDH
f) EAD, HDC, BCG ou EAB
g) EAD, HDC, BCG ou EAB
h) o ponto H
i) não existe intersecção
j) a reta EF
k) AB, BF, CD e CG
l) BC, CG, AD e DH
m) AD, CD, EH e GH
n) AD, DH, HE e EA
o) AE e CG
p) ABE e ADH
q) ADC, BCG, EFG e AEH
r) A, B, C e D
s) CD, GH e EF
t) A, B, C, H e F
22) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
e)
face D
P
b
b
e
d
J
09)
10)
11)
12)
K
r
a
DE, JL ou HG
JI, JL, CD ou DE
IC, HB, GA ou MF
AB, BC, GA, MF, FE ou DE
CDJ
JLM ou DEF
GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM
o ponto G
o ponto C
a reta CD
GH, GM, AB e AF
JD, IC, HB e AG
DE, EF, JD, IC, BC e AB
HI, IJ, JL, LM, MG e GH
JD, LE, MF e AG
BCH, HGA, GMA e MLF
GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB
M, G, H, I, F, A, B e C
HB e GA
GM, MF, AG e AF
L
08) Demonstração
21) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
P
e
a
b
AD = 29 cm
5 cm
d
b
F
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
20) i) a reta DH
j) retas reversas
l) 41 cm
m) AD, DH, HE e EA
n) ABF
o) 4/5
p) o ponto U
q) F
r) ADC, ADH e CDH
s) AB e HG
t) a reta RT
u) 96 cm
Favor comunicar eventuais erros deste trabalho
através do e-mail
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Obrigado.
Jeca 16
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Poliedros convexos.
(São João da Boa Vista - SP)
I - Elementos dos poliedros.
Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.
Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.
face
aresta
Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.
Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.
Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou
mais arestas.
Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-
ângulo
poliédrico
quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.
vértice
poliedro convexo
Classificação dos poliedros.
4 faces - tetraedro
5 faces - pentaedro
6 faces - hexaedro
7 faces - heptaedro
8 faces - octaedro
9 faces - eneaedro
10 faces - decaedro
11 faces - undecaedro
12 faces - dodecaedro
13 faces - tridecaedro
14 faces - quadridecaedro
15 faces - pentadecaedro
16 faces - hexadecaedro
17 faces - heptadecaedro
18 faces - octodecaedro
19 faces - eneadecaedro
20 faces - icosaedro
poliedro não convexo
Relação de Euler.
Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:
Soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces do poliedro convexo.
Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.
b) Através dos vértices.
A= m.V
2
A= n.F
2
A - número de arestas do poliedro.
n - número de lados de cada face.
F - número de faces do mesmo tipo.
m - número de arestas de cada vértice poliédrico.
V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.
Poliedro regular.
Um poliedro é dito regular se tem todas as faces
formadas por polígonos regulares e congruentes.
Existem apenas 5 poliedros regulares
Existem apenas 5 poliedros de Platão.
é de Platão
S - soma dos ângulos
V - nº de vértices
S = 360 (V - 2)
Poliedros de Platão.
Um poliedro é dito de Platão se:
- é convexo e fechado;
- tem todas as faces do mesmo tipo;
- tem todos os vértices do mesmo tipo.
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
V - nº de vértices
A - nº de arestas
F - nº de faces
V -A+ F = 2
a) Através das faces.
Classificação dos ângulos
poliédricos.
3 arestas - ângulo triédrico
4 arestas - ângulo tetraédrico
5 arestas - ângulo pentaédrico
6 arestas - ângulo hexaédrico
etc
B
A
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
3
4
3
5
3
nº de lados
de cada face
- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo
poliedro de Platão é regular.
- Todo poliedro regular pode ser inscrito e
circunscrito numa esfera.
não é de
Platão
Jeca 17
01) Determine o número de vértices de um poliedro
convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces
triangulares e 5 faces quadrangulares.
02) Determine o número de faces de um poliedro convexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vértices tetraédricos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
03) Determine o número de vértices de um poliedro
convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 faces triangulares e 2 faces quadrangulares.
04) Determine o número de faces de um poliedro
convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e
2 vértices heptaédricos.
05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices
desse poliedro é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 22
06) (UFTM-MG) Um poliedro comvexo, com 32 arestas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e
quadrangulares. Sendo q o número de faces quadrangulares e t o número de faces triangulares, então os valores de q e t são, respectivamente,
a) q = 6 e t = 14
b) q = 16 e t = 4
c) q = 4 e t = 14
d) q = 14 e t = 4
e) q = 4 e t = 16
Jeca 18
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Poliedros convexos)
(São João da Boa Vista - SP)
07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:
n
n - nº de lados de cada face do poliedro regular;
F - nº de faces do poliedro regular;
A - nº de arestas do poliedro regular;
m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;
V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;
S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do
poliedro regular.
F
A m V
S
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado
que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédricos e 10 vértices triédricos ?
a) 25
b) 18
c) 16
d) 24
e) 20
09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de
faces triangulares e quadrangulares. Qual o número
de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21
arestas e apenas esses dois tipos de face ?
a) 9
b) 15
c) 11
d) 13
e) 12
10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces de um poliedro convexo fechado
que tem 20 faces e 30 arestas ?
a) 2560º
b) 2160º
c) 3800º
d) 3600º
e) 5260º
11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decagonal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual
é o número de vértices desse poliedro ?
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 25
Jeca 19
12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº
de faces quadrangulares, sabendo-se que esse
poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de
faces quadrangulares é igual ao nº de faces
triangulares.
13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº
de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro
tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces
quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.
14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15
faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de
quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes
partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do
poliedro.
15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente
faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas.
Quantas faces tem de cada tipo se a soma das
medidas dos ângulos internos das suas faces é
2880º ?
Jeca 20
Geometria Espacial Métrica
Aula 03
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Prismas.
(São João da Boa Vista - SP)
I - Volume de um sólido.
3m
2
m
3m
m
3m
2
1m
2
2m
3m
m
3
3
V=3.2.1=6m
3
V = 3 . 2 . 2 = 12 m
V = 3 . 2 . 3 = 18 m
Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o
volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da
base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção
transversal)
V = Abase . h
II - Prismas.
Características dos prismas.
- Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si.
- Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si.
- As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos.
- A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases.
- Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base.
Tipos de prisma.
- Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base.
- Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
- Prisma regular: é o prisma reta cujas bases são polígonos regulares e congruentes.
Base
Base
Base
Base
Base
h
h
h
h
h
Prisma
oblíquo
Prisma
reto
Prisma
quadrangular
regular
Prisma
hexagonal
regular
Base
face
lateral
aresta
lateral
Prisma
genérico
aresta
da base
Fórmulas dos prismas
Área da base
Ab = depende da base
Área lateral
Al =
Área total
AT = Al + 2 . Ab
Volume
V = Ab. h
Jeca 21
Afaces laterais
Prisma
triangular
regular
III - Prismas particulares.
b) Cubo (hexaedro regular).
a) Paralelepípedo retorretangular.
d
c
D
d
a
D
a
a
b
Área da base do cubo - Ab = a
a
2
Área total do paralelepípedo - AT = 2ab + 2ac + 2bc
Área lateral do cubo - Al = 4 . a
Volume do paralelepípedo - V = Ab . h
Área total do cubo - AT = 6 . a
Diagonal do paralelepípedo - D =
2
2
a +b +c
Volume do cubo - V = a
2
2
2
3
Diagonal de uma face do cubo - d = a 2
Diagonal do cubo - D = a 3
Exercícios.
01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine:
a) a área da base do cubo;
b) a área lateral do cubo;
c) a área total do cubo;
d) o volume do cubo;
e) a diagonal de uma face do cubo;
f) a diagonal do cubo.
02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de
dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:
a) a área total do paralelepípedo;
b) o volume do paralelepípedo;
c) a diagonal do paralelepípedo;
d) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo.
Jeca 22
03) Dado um prisma triangular regular de aresta da
base 10 cm e altura 15 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da
base 4 cm e altura 7 cm, determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) a área total do prisma;
d) o volume do prisma.
05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da
base k e altura k 2 , determine:
a) a área da base do prisma;
b) a área lateral do prisma;
c) o volume do prisma.
06) Determine a altura de um prisma triangular regu2
lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua
2
área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm .
Jeca 23
Geometria Espacial Métrica
Aula 03
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Prismas)
(São João da Boa Vista - SP)
07) A figura abaixo representa um único sólido formado por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4
cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:
a) o volume total do sólido;
08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de
secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam
totalmente. Determine o volume do sólido resultante .
A
B
b) a área total do sólido;
c) a distância entre os vértices A e B.
09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um
paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m,
9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros
paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m.
Determine a área total e o volume do sólido resultante.
3m
3m
8m
3m
10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua
base inferior é perfeitamente horizontal e as suas
arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa
inicialmente com água até a altura de 1 m, num
determinado instante, é aberto um registro que permite
uma entrada constante de 200 litros de água por
minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a
1000 litros e que nesse período não existe saída de
água, qual a altura de água na caixa seis horas após o
registro ter sido aberto ?
a) 3,24 m
b) 3,88 m
c) 4,12 m
d) 4,24 m
e) 4,08 m
3m
3m
3m
Jeca 24
11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:
I)
II)
III)
a) o nome do sólido.
a) o nome do sólido.
a) o nome do sólido.
b) a área da base do prisma (Ab).
b) a área da base do prisma (Ab).
b) a área da base do prisma (Ab).
c) a área de cada face lateral (A1F).
c) a área de cada face lateral (A1F).
c) a área de cada face lateral (A1F).
d) a área lateral do prisma (Al)
d) a área lateral do prisma (Al)
d) a área lateral do prisma (Al)
e) a área total do prisma (AT).
e) a área total do prisma (AT).
e) a área total do prisma (AT).
f) o volume do prisma (V).
f) o volume do prisma (V).
f) o volume do prisma (V).
Jeca 25
12) Todas as arestas do sólido representado na figura 13) Sabendo-se que o volume de um prisma heabaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é
paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado 768 3 cm3, determinar a altura desse prisma.
CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são perpendiculares à face CDIH. Determine a área total e o
volume do sólido.
F
A
J
G
B
H
C
E
I
D
14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí2
pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm,
determine o seu volume.
16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é
2
64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a
área total desse cubo.
H
G
F
E
17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cubo maciço e deseja caminhar até o vértice B, diagonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o
menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem
aresta K, determine a distância percorrida pela
formiga.
B
D
A
15) De cada canto de uma folha retangular de cartolina de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado
12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem
tampa. Determine o volume dessa caixa.
C
B
A
Jeca 26
18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um 19) A área total de um prisma triangular regular de
cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm2. Determine:
vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm.
Determinar a área total e o volume do sólido resultante. a) a área da base do prisma;
3 cm
b) a área lateral do prisma;
c) a altura do prisma;
d) o volume do prisma.
20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção transversal de uma piscina de 20 m de comprimento por
10 m de largura, com profundidade variando uniformemente de 1 m a 3 m.
20 m
1m
21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O
bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um
cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma
de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80
cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o
volume do bloco seja igual ao volume do orifício.
80 cm
3m
80 cm
80 cm
a) Determine o volume de água necessário para encher a piscina até a borda.
Sugestão - Calcule a área da secção transversal da
piscina ilustrada pela figura.
b) Qual é a distância mínima que uma pessoa de 1,70
m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique totalmente submersa ?
Sugestão - Use semelhança de triângulos.
L
L
Bloco vazado
Vista aérea
É correto afirmar que o valor L do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a
a) 20 2 cm
b) 40 2 cm
c) 50 2 cm
d) 60 2 cm
e) 80 2 cm
Jeca 27
22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen3
tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas
bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos médios dos segmentos
AD e BC, respectivamente, determine o volume des3
se prisma (em m )
G
23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da
base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com
base nesses dados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de
K?
F
2
a) 14.K.P 3
H
E
N
C
D
d) 14.k.P
2
3
e) 28.P .K
G
E
3
25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta
da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com
base nesses dados, responda:
Qual é o volume desse prisma em função de P e de
K?
F
2
a) 72.P.K 3
2
A
3
B
24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles,
sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6,
AD = 4 e AE = 10.
D
2
2
c) 7.P.K
A
M
H
3
b) 21.K .P 3
d) 72.K .P
C
B
O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. A área desse quadrilátero é:
a) 8 29
b) 10 29
c) 16 29
d) 32 29
e) 64 29
Jeca 28
2
b) 72.P .K 3
3
2
e) 36.K .P 3
2
c) 36.P .K 3
Respostas das aulas 02 e 03
Respostas da Aula 02
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
V = 11 vértices
F = 19 faces
V = 8 vértices
F = 14 faces
a
e
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
n
F
3
4
3
5
3
4
6
8
12
20
A m V
6
12
12
30
30
3
3
4
3
5
4
8
6
20
12
S
720º
2160º
1440º
6480º
3600º
e
c
d
b
6 faces quadrangulares
1 face hexagonal
A = 31 arestas
2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares
Respostas da aula 03
11) III) a) prisma hexagonal regular
2
b) 24 3 cm
2
c) 48 cm
2
d) 288 cm
2
e) 24(12 + 3 ) cm
3
f) 288 3 cm
2
3
12) (112 + 8 3 ) cm
16(4 + 3 ) cm
13) h = 8 cm
3
14) 384 cm
3
15) 6912 cm
2
16) 384 cm
17) k 5 uc
2
3
18) 486 cm
513 cm
2
19) a) 9 3 cm
2
b) 180 cm
c) 10 cm
3
d) 90 3 cm
3
20) a) 400 m
b) 7 m
21) b
3
22) 1 m
23) c
24) c
25) b
2
01) a) 49 cm
2
b) 196 cm
2
c) 294 cm
3
d) 343 cm
e) 7 2 cm
f) 7 3 cm
2
02) a) 468 cm
3
b) 648 cm
c) 261 = 3 29 cm
d) 108 cm
2
03) a) 25 3 cm
2
b) 450 cm
2
c) 50(9 + 3 ) cm
3
d) 375 3 cm
2
04) a) 24 3 cm
2
b) 168 cm
2
c) 24(7 + 2 3 ) cm
3
d) 168 3 cm
2
05) a) 2k 2 (2 + 3 )
2
b) 8k 2
3
c) 4k (2 + 3 )
06) h = 11 dm
3
07) a) 576 cm
2
b) 448 cm
c) 4 17 cm
3
08) 160 cm
2
3
09) 510 cm e 504 cm
10) b
11) I) a) prisma triangular regular
2
b) 4 3 cm
2
c) 48 cm
2
d) 144 cm
2
e) 8(18 + 3 ) cm
3
f) 48 3 cm
II) a) prisma quadrangular regular
2
b) 16 cm
2
c) 48 cm
2
d) 192 cm
2
e) 224 cm
3
f) 192 cm
Favor comunicar eventuais erros deste trabalho
através do e-mail
[email protected]
Obrigado.
Jeca 29
15
Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Pirâmides.
(São João da Boa Vista - SP)
I - Pirâmides.
Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o
sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V.
Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)
II - Tipos de pirâmide.
h
Base
h
Pirâmide
oblíqua
Pirâmide
reta
Pirâmide
regular
Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si.
Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si.
Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
Fórmulas das pirâmides
Área da base
Ab = depende da base
Área lateral
Al =
Área total
AT = Al + Ab
Volume
V=
Afaces laterais
1
A .h
3 b
III - Elementos da pirâmide regular.
2
vértice da
pirâmide
aresta
lateral
centro
da base
m
h
2
Apótema da base (a): é a distância entre o centro do
polígono regular da base e o ponto médio de qualquer
aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígonos regulares)
Apótema da pirâmide (m): é a distância entre o vértice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da
base.
a
aresta
da base
2
m =h +a
m - apótema da pirâmide.
a - apótema da base.
h - altura da pirâmide
ponto médio
da aresta da base
Altura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice
da pirâmide e o plano da base.
Jeca 30
IV - Pirâmides particulares.
a) Tetraedro trirretangular.
b) Tetraedro regular.
É a pirâmide triangular regular
que tem:
- todas as faces formadas por
triângulos equiláteros congruentes.
- todas as arestas congruentes.
h
BICO
2k
3
k
3
Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.
C
C
A
A
B
B
B
D
E
B
F
F
D
E
C
A
A
F
D
C
F
D
E
E
É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume.
Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância
entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como
base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o
triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas
pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume.
As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do
prisma, que é o volume total.
Exercícios.
01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:
a) o apótema da base (a);
b) o apótema da pirâmide (m);
c) a área da base;
d) a área lateral;
e) a área total;
f) o volume da pirâmide.
Jeca 31
02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta 03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da
2
2
da base 4 cm e altura 12 cm, determine:
base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , dea) a medida do apótema da
termine:
base da pirâmide (a);
a) a aresta da base da pirâmide;
b) a medida do apótema da
pirâmide (m);
b) a área lateral da pirâmide;
c) a área da base da pirâmide;
d) a área lateral da pirâmide;
c) o apótema da pirâmide.
e) o volume da pirâmide.
04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta 05) Dado um octaedro regular de aresta 10
da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:
determine:
a) o apótema da base (a);
a) a altura h do octaedro;
3 cm,
h
b) o apótema da pirâmide (m);
c) a área lateral da pirâmide;
b) o volume do octaedro;
d) a área da base da pirâmide;
e) o volume da pirâmide.
c) a área total do octaedro.
Jeca 32
06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirâmi- 07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área
de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC lateral 280 cm2 e aresta da base 10 cm. Determine:
e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o
ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi- a) a área de uma face lateral da pirâmide;
da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâmide.
V
1
b) a medida do apótema da pirâmide;
1
C
1
A
M
60º
1
1
B
c) a área da base da pirâmide;
d) o volume da pirâmide;
e) a área total da pirâmide.
08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área
2
2
da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm .
Determine:
a) a área total da pirâmide;
b) a medida da aresta da base;
09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a embalagem de um perfume que uma fábrica quer construir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é
formada por uma região quadrangular regular de aresta k e por quatro triângulos isósceles. A altura
dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15
cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é
igual a:
a) 5
b) 10
2
3
c) 5 3 / 3
2
3
d) 10 3 / 3
e) 100
c) a medida do apótema da pirâmide;
d) a medida da altura da pirâmide;
e) o volume da pirâmide;
Jeca 33
Geometria Espacial Métrica
Aula 04
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Pirâmides)
(São João da Boa Vista - SP)
O
11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir
de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram
traçados quatro triângulos isósceles e determina-dos
os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura
a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP,
FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide
quadrangular). Qual a altura da barraca ?
a) 1,2 m
B
A
b) 3 m
c) 3 7 m
H
C
d) 6 3 m
Q
D
P
P
C
D
G
T
A
6 3m
10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Cada aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido
OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede
2
H
a) 8 2 cm
G
2
b) 8 3 cm
S
2
c) 16 2 cm
E
2
F
d) 16 3 cm
R
B
F
12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular,
sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a
medida da aresta da base. Então a área total dessa
2
pirâmide, em cm , vale:
2
a) k 327 / 4
2
b) k 109 / 2
2
c) k 3 / 2
2
d) k 3 (2 + 33 ) / 2
2
e) k 3 (1 + 109 ) / 4
12 m
E
13) Determine a medida da aresta de um tetraedro
regular de altura 12 cm.
Jeca 34
H
14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :
I)
II)
III)
a) o nome do sólido.
a) o nome do sólido.
a) o nome do sólido.
b) o apótema da base (a).
b) o apótema da base (a).
b) o apótema da base (a).
a
a
a
c) a área da base da pirâmide (Ab).
c) a área da base da pirâmide (Ab).
c) a área da base da pirâmide (Ab).
d) o apótema da pirâmide (m).
d) o apótema da pirâmide (m).
d) o apótema da pirâmide (m).
e) a área lateral da pirâmide (Al)
e) a área lateral da pirâmide (Al)
e) a área lateral da pirâmide (Al)
f) a área total da pirâmide (AT).
f) a área total da pirâmide (AT).
f) a área total da pirâmide (AT).
g) o volume da pirâmide (V).
g) o volume da pirâmide (V).
g) o volume da pirâmide (V).
Jeca 35
15) Determine a área total, a altura h e o volume de
um tetraedro regular de aresta K.
V
16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado
8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm.
Determinar a área total e o volume do octaedro
ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que
BC = BD = BE = BF.
A
k
k
h
k
F
C
E
G
k
C
A
G
D
M
k
B
B
17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces
ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos
catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices
seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.
18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF
com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cortado por um plano passando pelos vértices D, B e
C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular
e uma pirâmide quadrangular.
D
F
D
E
C
A
A
B
C
B
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a.
Os volumes destas duas pirâmides são:
3
3
a) 125 cm e 250 cm
3
3
b) 125 3 cm e 250 3 cm
3
3
c) 150 2 cm e 225 2 cm
3
3
d) 150 3 cm e 225 3 cm
3
3
e) 250 cm e 250 cm
Jeca 36
19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo
retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm,
sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que
contém o triângulo ABC.
A
20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio
de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo
de forma triangular, sendo dobrada na linha média de
sua extensão de modo que as abas formem um ângulo a. Veja a seguinte figura:
50 cm
5
cm
D
a
50
B
60 cm
4
C
5
60 c
1m
m
a) A área do triângulo ABC depende de a. Seja
2
A(a) essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo
3
em função de A(a), em cm .
b) Determine a de modo que o volume do abrigo
3
seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros
3
e em m .
21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide
com vértice num ponto E. A base é um retângulo
ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o
ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se
cortada por um plano paralelo à base, na altura H.
Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura
H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm
e a altura h = AE = 6 cm, determine
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.
b) o volume do tronco de pirâmide.
22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um
cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em
que M, N e P são os pontos médios das arestas,
como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo,
o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmides, é igual a
a) V / 2
P
b) 3V / 4
M
c) 2V / 3
A
d) 5V / 6
e) 3V / 8
N
E
D'
C'
A'
h
H
B'
C
D
B
A
6 cm
3c
m
Jeca 37
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Cilindro circular reto.
(ou de revolução)
(São João da Boa Vista - SP)
I - Cilindros.
Área da base
Área lateral
Cilindro de revolução.
É o sólido obtido da rotaçõ
de um retângulo ao redor de
um dos seus lados.
h
h
2pR
R
Cilindro equilátero.
Um cilindro é dito equilátero se a
sua secção meridiana é um
quadrado, ou seja, a altura é igual
ao diâmetro da base.
h = 2R
Secção
meridiana
do cilindro
Área da secção meridiana
h
R
R
Fórmulas dos cilindros
Ab = pR
Área lateral
Al = 2pRh
Área total
AT = Al + 2 . Ab
Volume
V = A b. h
h
2R
ASM = 2R . h
2
Área da base
Exercícios.
01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e
raio da base 4 cm, determine:
a) a área da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro;
d) a área da secção meridiana do cilindro;
e) o volume do cilindro.
02) Determine a área total de um cilindro equilátero
3
sabendo que o seu volume mede 1458p cm .
Jeca 38
03) Dado um cilindro de revolução de volume 896p
3
cm e altura 14 cm, determine:
04) Determinar o volume de um cilindro de revolução
sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de
lado 6p cm.
a) a medida do raio da base do cilindro;
b) a área lateral do cilindro;
c) a área total do cilindro.
05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata
cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T,
diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata
e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância
que essa formiga deve percorrer dentro da lata para
alcançar o torrão de açúcar. (adotar p = 3)
F
06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10
cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e
está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de
raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio,
encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está
conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um
registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a
água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o
equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro
quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o
volume do tubo de conecção)
T
Jeca 39
07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada
sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de
água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo q com a
horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da
base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo
H > 2R e q > 45º, determinar o volume de água derramado, em função de R e de q.
q
08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cu-bo
conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o
3
volume do cubo é 256 cm .
a) Calcule o volume do cilindro.
b) Calcule a área total do cilindro.
horizontal
09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é 10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto é
cortado por um plano não paralelo à base, conforme 16p cm3. Um cone reto, de base equivalente à do cilinfigura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R,
3
dro, tem 5p cm de volume. Qual a razão entre as meda altura maior a e da altura menor b.
didas das alturas do cone e do cilindro ?
a
b
2R
Jeca 40
Geometria Espacial Métrica
Aula 05
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Cilindro circular reto)
(São João da Boa Vista - SP)
11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de
altura e base com 20 cm de raio está sobre uma
superfície plana horizontal e contém água até a altura
de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindose totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível
da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, a
medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água
é igual a
12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em
forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o
volume da substância presente a cada 100 ml. Se o
diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas ?
20 cm
3
2
c) 10 12
d) 10
3
40 cm
b) 10
60 cm
a) 10 2
12
13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas caixas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica,
com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da
base de cada caixa tem comprimento igual a 4p cm, é
correto afirmar que
a) as duas caixas têm o mesmo volume.
b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume
da caixa cúbica.
c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume
da caixa cúbica.
d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume
da caixa cúbica.
14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era
vendida em uma embalagem, completamente cheia,
no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm
e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabricante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a
altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na realidade, o preço do produto
a) diminuiu.
b) se manteve estável.
c) aumentou entre 10% e 20%.
d) aumentou entre 20% e 30%.
e) aumentou entre 30% e 40%.
Jeca 41
15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes
tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com
cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados
opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma
cilindros e, em seguida, os preenche completamente
Tipo II
com parafina.
Tipo I
10 cm
20 cm
10 cm
20 cm
16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e
altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa
horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo
de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se
apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao
cilindro por um tubo com um registro, que está
fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo
tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar
a altura da água no cubo quando o equilíbrio for
alcançado. (adotar p = 3 e desprezar o volume do
tubo de conecção)
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II,
será
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm,
determinar :
a) a área lateral.
b) a área total.
c) o volume do cilindro.
18) (UFMG-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede
a. Depois de derretida, a parafina é derramada em
moldes em formato de pirâmides de base quadrada,
cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma,
a / 2. Considerando-se essas informações, é correto
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas
uma dessas caixas, enche-se um total de
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
Jeca 42
10 cm
19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. 20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e
Determinar a área da secção meridiana e o volume altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o
volume inverteu as medidas e usou R como altura e H
desse cilindro.
como raio da base. Determinar a diferença entre:
a) a área total correta e a área total encontrada pela
pessoa.
b) o volume correto e o volume encontrado pela
pessoa.
16p cm
21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6
metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que
está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme
mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é
fechado na base que toca o solo e aberto na outra,
qual é o volume máximo de água que o tanque pode
conter antes de derramar ?
2
m
22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação
completa do retângulo ABCD em torno do eixo x.
Então, o volume de S é
a) 550p
y
b) 600p
c) 640p
B
C 8
d) 720p
e) 780p
2
A
6
m
D
-2
45º
horizontal
Jeca 43
8
x
Respostas das aulas 04 e 05.
Respostas da aula 04
Respostas da aula 05
01) a) 5 cm
b) 13 cm
2
c) 100 cm
2
d) 260 cm
2
e) 360 cm
3
f) 400 cm
02) a) 2 3 cm
b) 2 39 cm
2
c) 24 3 cm
2
d) 24 39 cm
3
e) 96 3 cm
03) a) 8 cm
2
b) 180 cm
c) 15 cm
04) a) 6 cm
b) 9 cm
2
c) 108 3 cm
2
d) 72 3 cm
3
e) 72 15 cm
05) a) 10 6 cm
3
b) 1000 6 cm
2
c) 600 3 cm
3
06) ( 3 / 16) uc
2
07) a) 70 cm
b) 14 cm
2
c) 100 cm
3
d) (400 6 / 3) cm
2
e) 380 cm
2
08) a) 552 cm
b) 12 cm
c) 17 cm
d) 253 cm
3
e) 48 253 cm
09) b
10) d
11) b
12) e
13) 6 6 cm
14) I) a) pirâmide triangular regular
b) (2 3 / 3) cm
2
c) 4 3 cm
d) (2 327 / 3) cm
2
e) 4 327 cm
2
f) 4( 3 + 327 ) cm
3
g) 16 3 cm
II) a) pirâmide quadrangular regular
b) 2 cm
2
c) 16 cm
d) 2 37 cm
2
e) 16 37 cm
2
f) 16(1 + 37 ) cm
3
g) 64 cm
III) a) pirâmide hexagonal regular
b) 2 3 cm
2
c) 24 3 cm
d) 2 39 cm
2
e) 24 39 cm
2
f) 24( 3 + 39 ) cm
3
g) 96 3 cm
2
3
15) k 3
k 6/3
k 2 / 12
2
3
16) 32( 13 + 29 ) cm
(896 / 3) cm
17) a/3
18) b
2
19) a) (5 57 / 2) cm
b) (20 57 / 57) cm
20) a) 75 000.sen a
3
3
b) 75 000 cm
75 litros
0,075 m
3
3
21) a) 4/3 cm
b) 104/3 cm
22) d
01) a) 16p cm
2
b) 96p cm
2
c) 128p cm
2
d) 96 cm
3
e) 192p cm
2
02) 486p cm
03) a) 8 cm
2
b) 224p cm
2
c) 352p cm
2
3
04) 54p cm
05) 30 2 cm
06) 3,6 cm
3
07) pR / tg q
08) a) 64p cm3
3
b) 48p 2 cm2
2
09) pR (a + b) / 2
10) 15/16
3
11) 10 12 cm
12) 4/p cm
13) c
14) e
15) b
16) 4,28 cm
2
17) a) 36p cm
2
b) 54p cm
3
c) 54p cm
18) c
2
19) a) 160 cm
3
b) 640p cm
2
2
20) a) 2p(R - H )
b) pRH(R - H)
3
21) 5p m
22) b
2
Favor comunicar eventuais erros deste trabalho
através do e-mail
[email protected]
Obrigado.
Jeca 44
15
Geometria Espacial Métrica
Aula 06
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Cone circular reto.
(ou cone de revolução)
(São João da Boa Vista - SP)
I - Cone reto ou de revolução.
Cone de revolução.
É o sólido obtido da rotaçõ
de um triângulo retângulo ao
redor de um dos seus catetos.
g
g
q
g
h
R
g = 2R e
2pR
Área lateral
Cone equilátero.
Um cone é dito equilátero se a
sua secção meridiana é um triângulo equilátero, ou seja, a sua geratriz é igual ao diâmetro da base.
2
2
g =h +R
Área da base
R
2
g - geratriz do cone
h - altura do cone
R - raio da base do cone
q = 180º
Fórmulas dos cones
Secção
meridiana
(corte no meio)
Área da secção meridiana
ASM = R . h
2
Área da base
Ab = pR
Área lateral
Al = pRg
Área total
AT = Al + A b
Volume
V = 1 Ab . h
3
Ângulo central
q = 360g. R
Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central.
Determinar a área lateral de um cone circular reto
Determinar a fórmula do ângulo central do cone
como sendo um "triângulo".
através de uma regra de três.
g
g
g
Al =
b . h = 2pR . g
2
2
Al =
pRg
Regra de três
360º
q
2pg
2pR
q = 360g. R
q=
2pR . g
g
(em graus)
(em radianos)
2pR
Exercícios.
01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.
Jeca 45
02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e
altura 12 cm, determine:
a) a geratriz do cone.
b) a área da base.
c) a área lateral.
d) o volume do cone.
03) Dado um cone equilátero de raio da base R,
determine, em função de R :
a) a geratriz e a altura do cone.
b) a área da base, a área lateral e a área total.
c) o volume do cone.
04) Determinar o volume de um cone de revolução sa- 05) Determinar o volume de um cone de revolução
2
mede 2 cm e que a
bendo que a sua área lateral mede 3p 73 cm e que sabendo-se que o raio da sua base
2
2
sua área lateral mede 4p 10 cm .
a sua área da base mede 9p cm .
Jeca 46
06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de- 07) Dado um cone equilátero de base 16p cm2, detertermine:
mine:
q
q
a) a geratriz do cone;
a) o raio da base;
b) a geratriz do cone;
b) o raio da base;
c) a área lateral;
c) a área da secção meridiana;
d) o volume do cone.
d) o volume do cone.
12 cm
08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado
de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco
de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.
3
O volume desse recipiente, em cm , é igual a:
a) 216p
2 cm
b) 208p
c) 224p
d) 200p
09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada
a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e
pelas retas y = x + 1 e y = 3x:
Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em
torno do eixo y.
Então é correto afirmar que o volume de S é:
a) p / 24
y
b) p / 12
c) p / 8
d) p / 4
6 cm
x
Jeca 47
Geometria Espacial Métrica
Aula 06
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Cone circular reto)
(São João da Boa Vista - SP)
11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone
circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo
raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido um bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que
sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3
m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a
2
figura. Que quantidade de lona, em m , será necessário comprar ?
3m
10 m
10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone
circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30
cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2p / 3
radianos e juntando os lados. A área da base do
2
chapéu, em cm , é
a) 140p
b) 110p
c) 130p
d) 100p
e) 120p
24 m
12) (UFU-MG) Na figura abaixo, tem-se um cilindro
de altura h e base de raio r. Inscrito nesse cilindro,
há um cone reto de mesma base e mesma altura.
Considerando essas informações, marque para as alternativas (V) verdadeira (F) falsa ou
(SO) sem opção.
13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h
são obtidos cones da forma descrita no desenho.
Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e
a soma dos volumes dos dois cones à direita, definidos por um ponto B sobre o eixo que une os dois centros dos círculos da base do cilindro.
G
h
h
r
1. ( ) A área lateral do cone reto é igual à metade da
área lateral do cilindro.
2. ( ) Se um plano paralelo às bases do cilindro e à
base do cone reto divide esse cone em dois sólidos de
mesmo volume, então um desses sólidos é um cone
reto de altura h / 2.
3. ( ) Seja m a medida do lado de um cubo de
volume igual ao volume do cilindro acima. Se m = r,
então r = hp.
4. ( ) Um plano perpendicular à base do cone reto,
passando pelo seu vértice A, corta a circunferência da
base desse cone nos pontos B e C. Se h > r, então o
ângulo BAC é obtuso.
Jeca 48
h
B
r
r
14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido
ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e
5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações
métricas no triângulo retângulo)
15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5
cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado
girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo
AD.
4
cm
A
3
B
cm
D
16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é
igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do
3
cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m ,
determinar o raio da base e a altura do cone.
C
17) Dado um cone equilátero de área lateral 98p cm2,
determine:
q
a) o raio da base do cone;
b) a geratriz do cone;
c) a área da base do cone;
d) a área total do cone;
e) a altura do cone;
f) o volume do cone.
Jeca 49
18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas
na forma de árvore de Natal, conforme a figura abaixo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero
e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâmetro de sua base. Sabendo que as dimensões são
dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a
3
terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do
molde desse enfeite, em função de R, é:
19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em
forma de um cone circular reto, para encher com água
um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de
base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm,
50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo.
20 cm
20 cm
40 cm
3
a) pR (9 3 + 1) / 27
3
b) 20pR / 27
3
c) pR (9 3 + 2) / 27
B
120 cm
3
d) 10pR / 27
3
R
e) 11 3p R / 27
A
r
12 cm
20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o
formato de um cone, com as dimensões indicadas na
figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta
quando está completamente cheia ?
b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na
figura.
4 cm
x
50
cm
Cada vez que Fernando enche o recipiente na
torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo
no caminho e despeja o restante no aquário. Estando
o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo
de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na
torneira para que a água despejada no aquário atinja
1/5 de sua capacidade ?
21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em
um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos
sejam colineares, conforme representado na ilustração abaixo.
A altura do cone e o diâmetro da sua base medem,
cada um, 12 cm.
Admita que as medidas, em centímetros, da altura e
do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone.
Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter
para que sua área lateral seja máxima.
Jeca 50
Geometria Espacial Métrica
Aula 07
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Esferas.
(São João da Boa Vista - SP)
Esfera
Fuso esférico ("casca")
Cunha esférica ("gomo")
R
a
Regra de três
360º ----------- Aesfera
R - raio da esfera
Aesfera = 4pR
a
2
a
3
Vesfera = 4 pR
3
Regra de três
360º ----------- Vesfera
a
-------------- Afuso
Afuso = a Aesfera
360
Hemisfério ("meia esfera")
-------------- Vcunha
Vcunha = a
360
Vesfera
Secção plana de uma esfera
secção plana
(círculo)
base do
hemisfério
plano de corte
r
d
R
Área total do hemisfério
ATH = 1 Aesfera + Abase
2
2
2
R =r +d
2
Volume do hemisfério
R - raio da esfera.
r - raio da secção plana (círculo).
d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.
VH = 1 Vesfera
2
polo norte
meridiano
paralelo
centro da esfera
Raio
equador
polo sul
eixo polar
Jeca 51
01) Dada uma esfera de raio 12 cm, determine:
a) a área da superfície
esférica;
02) Dada uma esfera de raio 13 cm, determine:
a) a área da superfície
esférica;
b) o volume da esfera;
b) o volume da esfera;
c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta
a esfera a uma distância de 12 cm do centro;
c) a área e o perímetro da secção plana obtida do
seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm
do centro da esfera.
d) a área dessa secção plana;
e) o perímetro dessa secção plana.
03) Dada uma esfera de raio 9 cm, determine:
04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfé-rio
a) a área da superfície
esférica;
é 64p cm , determine:
2
a) a área total do hemisfério;
a
b) o volume da esfera;
c) a área de um fuso esférico de ângulo central a = 50º;
b) o volume do hemisfério;
d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central
a = 80º;
c) o perímetro da base do hemisfério.
Jeca 52
05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 06) Determinar a área e o volume de uma esfera de
6 cm.
raio 2/5 cm.
07) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério 08) Determinar a área da superfície esférica de uma
3
2
é 64p cm , determinar a área total e o volume desse esfera de volume 972p cm .
hemisfério.
09) Determinar, em função de d, a área da superfície 10) Dada uma esfera de raio 12 cm, determinar a área
esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d.
da secção plana dessa esfera quando a mesma é
cortada por um plano que dista 7 cm do seu centro.
Jeca 53
Geometria Espacial Métrica
Aula 07
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Esferas)
(São João da Boa Vista - SP)
11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada 12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equino plano xy de modo que seu polo sul toque a origem látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ?
desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte
dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície
esférica, chamamos de projeção estereográfica desse
outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy.
Identifique a projeção estereográfica dos pontos que
formam o hemisfério sul da esfera.
13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de
uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo
a de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a
área do fuso esférico determinado por a é
2
a) 20p m
2
b) 15p m
fuso esférico
2
c) 10p m
2
d) 5p m
2
e) p m
B
A
a
14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma
amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou
um pingente, com o formato de um octaedro regular
contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma
esfera de raio r, conforme representado na figura a
seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de
3
comprimento, o volume da pérola, em cm , é
a) 2 p / 3
b) 8p / 3
c) 8 2 p / 3
d) 4 6 p / 9
e) 8 6 p / 27
Jeca 54
15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para formar uma outra em formato de esfera. Dentre as velas derretidas, uma tem formato de cilindro circular
reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em formato de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esférica, em centímetros, será:
a) menor que 4
b) 4,5
c) 5
d) 6
e) 6,5
16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai
numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade,
cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a
distância do vértice da cavidade à esfera.
17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8
cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita
com parafina transparente, e a outra com parafina
vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita
no cone, como está indicado na figura, feita fora de
3
escala. Sabe-se que o preco de 1 cm de parafina
3
transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina
vermelha. Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para
fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir
que:
a) T/V = 5/6
b) T/V = 5/2
c) T/V = 9/2
d) T/V = 8/3
e) T/V = 10/3
18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia
internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se
p = 3, determine o valor aproximado da porcentagem
ocupada pelo volume da bola em relação ao volume
da caixa.
12 cm
5 cm
Jeca 55
Geometria Espacial Métrica
Aula 08
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Sólidos semelhantes.
(São João da Boa Vista - SP)
I - Sólidos semelhantes.
Sólidos semelhantes - Dois sólidos são ditos
seme-lhantes se um deles é a redução ou a
ampliação do outro.
l
Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se
mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.
1
l
2
tronco de
cone
Tronco de cone (ou de pirâmide) - É o sólido
obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por
um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâmide).
Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior
são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhante
aos cones.
Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações:
S1
=
S2
l
l
V1
=
V2
( )
1
2
2
l
l
l-
qualquer segmento do sólido.
S - qualquer área do sólido.
V - volume do sólido.
( )
1
3
2
Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide).
VTronco = V2 - V1
VTronco - volume do tronco
V2 - volume do cone maior (pirâmide maior)
V1 - volume do cone menor (pirâmide menor)
Observação importante - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes.
Exercícios.
15 cm
01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo
ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine:
a) o raio da base do cone menor;
b) o volume do cone maior;
c) o volume do cone menor;
d) o volume do tronco de cone.
tronco de
cone
Jeca 56
02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm,
é seccionado por um plano paralelo à sua base e distante 8 cm do seu vértice. Determine;
a) o volume do cone maior;
03) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base
quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao
plano da base, de maneira que os volumes dos dois
sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura
do tronco de pirâmide obtido ?
4 cm
h
b) o volume do cone menor;
c) o volume do tronco de cone.
04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é
seccionado por um plano paralelo ao plano da base e
distando 3 cm do vértice do cone. Determine:
4 cm
a) o volume do cone maior;
05) A figura abaixo representa um tronco de cone de
altura 5 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio da
base menor igual a 4 cm. Determine a área total e o
volume do tronco de cone.
tronco de
cone
b) o volume do cone menor;
c) o volume do tronco de cone.
Jeca 57
Geometria Espacial Métrica
Aula 08
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios complementares.
(Sólidos semelhantes)
(São João da Boa Vista - SP)
06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante
em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm.
Para não derramar, a lanchonete serve os copos com
18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual
é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do
refrigerante no copo ?
6 cm
a) 200p
b) 175p
c) 225p
d) 150p
e) 250p
07) Um cone circular reto de altura h e volume V é
seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu
vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em
função de V ?
h
tronco de
cone
20 cm
18 cm
08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone
com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm.
Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e
de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a
altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ?
a) 8 / 3 cm
3 cm
09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da
base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano
paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice.
Determine:
a) o volume da pirâmide
maior;
15 cm
b) 6 cm
c) 4 cm
d) 4 3 cm
e) 4
3
4 cm
8 cm
x
b) o volume da pirâmide menor;
c) o volume do tronco de pirâmide.
Jeca 58
10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por
dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e
justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício
que permite a passagem de areia da parte de cima para
a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um
intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima,
e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima
reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo
que em cada minuto a quantidade de areia que passa
do cone de cima para o de baixo é constante, em
quanto tempo mais toda a areia terá passado para a
parte de baixo ?
11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura
2 e base horizontal de raio 1, contém água até a
metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do
recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do
nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ?
2
d
h
1
h
2
Fig. I
No início
Fig. II
35 minutos após
12) A figura abaixo representa um cone de altura h, 13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada
volume V e área lateral A, seccionado por um plano por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim
paralelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do uma pirâmide menor de volume 108 cm3 e um tronco
3
cone. Determine:
de pirâmide de volume 392 cm . Determine:
a) a área lateral do cone menor;
a) o volume da pirâmide
b) a área lateral do tronco de cone;
maior;
c) o volume do cone menor;
d) o volume do tronco de cone.
15 cm
h
b) a altura do tronco de cone.
Jeca 59
14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera
inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num
mesmo cubo ?
15) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base
quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao
plano da base, de maneira que os volumes dos dois
sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura
do tronco de pirâmide obtido ?
4 cm
h
16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura
h com um plano paralelo ao da base, à distância x do
vértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais.
Qual o valor de x ?
17) A figura abaixo representa um cone de revolução
de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por um
plano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine
a área lateral do tronco de cone.
x
h
12 cm
tronco de
cone
Jeca 60
Geometria Espacial Métrica
Aula 09
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Exercícios sobre sólidos compostos.
(São João da Boa Vista - SP)
01) A figura abaixo representa um cone de revolução
e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone.
Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que o
raio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio
da esfera menor.
02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três
tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o
bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra,
no formato de um cone reto de base circular de raio
2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro
reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é
igual a:
a) 3 / 6
b) 3 / 3
c) 2 3 / 3
d) 3
e) 4 3 / 3
03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço
constituído por um paralelepípedo retorretangular de
altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16
cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério
de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o
volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.
04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e
contém água até uma determinada altura. Uma esfera
de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente
submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se
que o nível da água no cilindro subiu 1 cm.
1 cm
R = 6 cm
Jeca 61
05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte
inferior que é um cilindro reto e a parte superior que
contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A
parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio
da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada
sobre uma mesa horizontal e contendo água até a
altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para
baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de
ar. Determine o volume interno da garrafa.
ar
parte superior
(gargalo)
06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e
altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal
e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndrica de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada
dentro da forma de tal maneira que as bases ficam
justapostas. Determine a altura h de água na forma
de bolo após a colocação da lata.
(adote p = 3,14)
7 cm
h
parte inferior
15 cm
07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O volume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em
3
2
função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se
uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da
face perpendicular a essa aresta pode ser expressa
por:
2
a) x - 6x + 8
2
b) x + 14x + 8
2
c) x + 7x + 8
2
d) x - 7x + 8
2
e) x + 6x + 8
08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um
paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, as
medidas das arestas concorrentes em um mesmo
vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:
a) 7 / 8
b) 8 / 8
c) 9 / 8
d) 10 / 8
e) 11 / 8
Jeca 62
09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de
altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera
é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco
de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular
menor do tronco de cone, como na figura a seguir.
R
10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a
pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da
3
pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é :
a) 2K
H
b) 3K
c) 4K
E
d) 6K
F
e) 9K
G
H
C
D
2R
A
Então a relação entre H e R é:
a) H = 16R / 7
b) H = 10R / 7
c) H = 7R / 16
d) H = 16R / 10
e) H = 7R / 10
11) Um sólido é obtido girando-se o quadrilátero ABCD
ao lado ao redor do eixo AB. Determinar a área total e o
volume desse sólido.
B
6 cm
D
12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e
um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre o
eixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o
triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado
ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume.
8 cm
A
12 cm
7 cm
A
B
C
15 cm
2R
B
Jeca 63
13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está
inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma
das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro
3
medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a:
a) p 3 /4
b) p 3 / 6
c) p 6 / 6
d) p 6 / 9
e) p / 3
14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâmetro está flutuando em uma piscina. A bola está
com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é
o raio da calota esférica imersa na água ?
a) 2 2 cm
b) 3 2 cm
c) 4 3 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um
quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada
uma das faces laterais, é igual a:
a) 5 / 9
b) 4 / 9
c) 1 / 3
d) 2 / 9
e) 1 / 9
16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de
lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem
volume igual a:
a) 720
b) 81p 2
c) 36p 2
d) 108p 2
e) 27p 2
Jeca 64
17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular,
como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério
é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m.
Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade
máxima de água comportada por esse reservatório é
3
a) 9p m
3
b) 18p m
3
c) 27p m
3
d) 36p m
h
3
e) 45p m
18) (UFC-CE) As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhido um vértice V do
cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo
que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam
contidas nas arestas do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida x = VA = VB = VC, com
0 < x < 1.
C
A
V
B
a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função
de x.
b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelos
pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.
19) (UFMG-MG) Nesta figura, estão representadas
uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular
ABCD, e sua sombra em forma de um quadrilátero
ACBP:
D
a
A
C
P
20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular
reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e
contém água até a altura de 19 cm (despreze a
espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço,
de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a
fim de que a água não transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
B
Sabe-se que:
- cada aresta da pirâmide mede 20 m;
- o segmento CP está contido na mediatriz
do segmento AB;
- o seno do ângulo a = CPD é 2/3.
Considerando esses dados:
a) calcule a altura da pirâmide.;
b) calcule a área da sombra da pirâmide.
Jeca 65
Respostas das aulas 06, 07, 08 e 09.
Respostas da Aula 06
2
Respostas da Aula 07
3
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
01) 200p cm
320p cm
02) a) 253 cm
2
b) 9p cm
2
c) 3p 253 cm
3
d) 36p cm
03) a) 2R
R 3
2
2
2
b) pR
2pR
3pR
3
c) pR 3 / 3
3
04) 24p cm
3
05) 8p cm
06) a) 24 cm
b) 12 cm
2
c) 288p cm
3
d) 576p 3 cm
07) a) 4 cm
b) 8 cm
2
c) 16 3 cm
3
d) (64p 3 / 3) cm
08) b
09) b
10) d
2
11) 744p m
12) F F V F
13) VE / VD = 1
14)
15)
16)
17)
2
Respostas da aula 08.
01) a) 4 cm
3
b) 180p cm
3
c) (160p / 3) cm
3
d) (380p / 3) cm
3
02) a) 100p cm
3
b) (800p / 27) cm
3
c) (1900p / 27) cm
03) (4 - 2 3 4 ) cm
3
04) a) 12p cm
3
b) (81p / 16) cm
3
c) (111p / 16) cm
2
05) 2p(26 + 5 29 ) cm
06) b
07) 19V / 27
08) e
3
09) a) 320 cm
3
b) (1728 / 25) cm
3
c) (6272 / 25) cm
10) 5 minutos
11) 3 7
12) a) A / 4
b) 3A / 4
c) V / 8
d) 7v / 8
3
13) a) 500 cm
b) 6 cm
14) 3 / 9
3
15) (4 - 2 4 ) cm
16) h 2 / 2
2
17) (520p / 9) cm
3
(84p / 5) cm
(48p / 5) cm
3
(380p / 3) cm
8m
6m
a) 7 cm
b) 14 cm
2
c) 49p cm
2
d) 147p cm
e) 7 3 cm
3
f) (343p 3 / 3) cm
18) c
19) 26 vezes
3
20) a) 16p cm
3
3
b) (x p / 108) cm
21) 6 cm
Respostas da aula 07
2
3/2
a
e
d
6,4 cm
e
38,5 %
01) a) 576p cm
3
b) 2304p cm
2
c) 95p cm
2p 95 cm
2
02) a) 676p cm
3
b) (8788p / 3) cm
c) 5 cm
2
d) 25p cm
e) 10p cm
2
03) a) 324p cm
3
b) 972p cm
2
c) 45p cm
3
d) 216p cm
2
04) a) 192p cm
3
b) (2048p / 3) cm
c) 16p cm
2
3
05) 144p cm
288p cm
2
3
06) (16p / 25) cm
(32p / 375) cm
2
3
07) 192p cm
(2048p / 3) cm
2
08) 324p cm
2
3
09) pd
pd / 6
2
10) 95p cm
11) A projeção estereográfica dos pontos que formam o
hemisfério sul é um círculo com centro no polo sul e raio
igual a 2.
(380p / 3) cm
3
Respostas da aula 09
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
4/3 cm
e
2
3
4(256 + 9p) cm
16(128 - 9p) cm
3 cm
3
550p cm
3,44 cm
e
c
a
b
2
3
6p(30 + 61 ) cm
372p cm
3
160p cm
d
c
d
c
e
3
a) x / 6
b) (3 - 3 ) / 2
2
a) (20 6 / 3) m
b) (100 3 ( 10 - 2) / 3) m
e
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através do e-mail
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Obrigado.
Jeca 66