IntroducaoInformacaoQuantica

Introdução à Informação Quântica
Amir O. Caldeira
IFGW-UNICAMP
Sumário da palestra
• Introdução; a evolução histórica das áreas
que geraram a Informação Quântica.
• A Teoria Clássica da Informação.
• A Mecânica Quântica.
• A Informação Quântica.
• Comentários finais.
O desenvolvimento das diferentes
áreas
Física
Quântica
Teoria da
Computação
Computação
Quântica
Informação
Quântica
Teoria da
Informação
Criptografia
A Mecânica Quântica
• Na virada do século XX a
Física Clássica não
consegue explicar diversos
fenômenos observados
experimentalmente.
• Hipóteses de Planck,
Einstein, Bohr e de
Broglie culminam com a
criação de uma nova teoria
na década de 20;
A Mecânica Quântica
• Um novo paradigma para as
teorias físicas.
• A dualidade partícula-onda e a
formulação matricial;
Schrödinger & Heisenberg.
• A visão unificada de Dirac.
• O que é o sistema físico? A
ênfase na observação; a teoria
da medida. von Neumann.
A Teoria da Computação
• Ábaco de areia inventado provavelmente na
Babilônia em torno de 3000 a.C.
• Matemático babilônio desenvolve algoritmos de
cálculo numérico em torno de 1800 a.C.
• Ábacos gregos e romanos em torno de 400 a.C.
Desenvolvimento recente:
• Na década de 30, Alan Turing
desenvolve o conceito teórico de um
computador programável; a máquina
de Turing. “ Qualquer algoritmo pode
ser eficientemente simulado em uma
máquina de Turing”
• Pouco tempo depois John von
Neumann desenvolve o modelo
teórico de como implementar a
máquina de Turing
• “ Hardware” só teria impulso
no final dos anos 40 após o
desenvolvimento do transistor
por Bardeen, Brattain e
Shockley; Prêmio Nobel de
Física de 1956
A Teoria da Informação
• Na década de 40 Claude Shannon
desenvolve matematicamente o
conceito de informação. Quantificação
do armazenamento e transmissão de
informação. Codificação da informação
em canais com e sem ruído e códigos
de correção de erros.
Questões da teoria de informação
• Que recursos ou meios são necessários para a
transmissão de informação através de canais de
comunicação?
• Como esta informação pode ser protegida de
influências externas (ruído) enquanto estiver sendo
transmitida?
Ambas respondidas pelos dois teoremas
de codificação de Shannon
Criptografia
• Métodos de comunicação secreta foram
desenvolvidos por inúmeras civilizações antigas na
Mesopotâmia, Egito, Índia, China...
• Os espartanos desenvolveram a CÍTALA em torno
de 400 a.C.
Desenvolvimento recente:
• Durante a segunda grande guerra ocorrem avanços
significativos na criptografia ; Alan Turing e a equipe
de Bletchley Park na Inglaterra quebram os códigos
cifrados da ENIGMA (máquina de cifrar usada pelos
alemães) ; desenvolvimento do primeiro computador
digital, o COLOSSUS !
• Em 1949, contribuição seminal de Shannon:
"Communication theory of secrecy systems".
Teoria clássica da informação
• Envio de informação – letras, palavras, números –
através de canais de comunicação que operam de acordo
com as leis da física clássica.
• Codificação da informação : sistema binário.
• O sistema decimal
1120 = 1 x 103 + 1 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100
21 = 2 x 101 + 1 x 100
• O sistema binário
21 = 16 + 4 + 1 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x
20
10101; representação alternativa para os números
Exemplo:
Deseja-se enviar mensagens com as 23 letras do
alfabeto e símbolos de pontuação . , : ; ! ? 30 elementos
a cada elemento corresponde um número; 1,2,...30
30 = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
= 11110
Precisa-se de 5 dígitos por elemento e cada um
deles = 0 ou 1. Diferentes codificações
maior
eficiência na transmissão ou armazenamento.
dígito 0 ou 1 é o chamado “ bit ’’ de informação
• Por quê o sistema binário?
Operacionalização: geração do bit
Determinada característica
é ativada
1
excitação
Elemento
Físico
Não há ativação da
característica em questão
0
Se usarmos uma composição de elementos físicos
como o anterior
1
0
0
1
1
0
1
Esquema da transmissão de informação
Emissor
A
Entrada
Receptor
B
Canais de transmissão
Realisticamente
apresentam erros na
comunicação dos bits
Saída
Codificação em canais sem ruído (Shannon I)
Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos
de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer
nH ( p1 , p2 ,..., pn )
bits para ser transmitida confiavelmente, onde
d
H ( p1 , p2 ,..., pd ) = −
∑ p log p
i
i =1
é a Entropia de Shannon
i
Esquematicamente
Entrada
Codificador
Descodificador
Cn
Dn
Canal clássico
sem ruído
(compressão de
dados)
Saída
Codificação em canais com ruído (Shannon II)
A capacidade de um canal N , com ruído, é dada por
C (N) = max H ( X : Y )
p( x)
onde
H (X :Y )
é a informação (entropia) mútua
de X e Y
H ( X : Y ) = H ( X ) + H (Y ) − H ( X , Y )
X é o conjunto de entrada e Y o de saída
Esquematicamente
Entrada
X
Codificador
Descodificador
Cn
Dn
Canal clássico
com ruído
(compressão de
dados)
Saída
Y
• os bits são os elementos básicos na teoria
clássica da informação, mas o elemento físico
tende a ser cada vez menor para o melhor
desempenho no armazenamento, transmissão e
processamento da informação
miniaturização
• tão pequenos que as leis da física clássica não mais
se aplicam a eles
bits de sistemas regidos pela
física quântica
“ qubit ’’
• Quem são e como se comportam ?
Para responder questões como estas precisamos de
alguns conceitos novos.
A Mecânica Quântica
• Um conjunto de postulados que descreve a
evolução temporal e os resultados de
observações de grandezas de um sistema físico.
• Seus efeitos são fortemente evidenciados nas
escalas molecular, atômica e sub-atômica.
• Na escala macroscópica, aquela do nosso
cotidiano, a física quântica reproduz os
resultados e previsões da física clássica.
•
Miniaturização nos leva a bits de dimensões
suficientemente pequenas para que a mecânica
quântica entre em cena
“ qubit ’’
•
Os postulados
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
O estado físico e o espaço de Hilbert
Os observáveis e os operadores hermitianos
Auto valores e resultados da medida
Probabilidades dos diferentes auto valores
Redução do pacote de onda
Operadores unitários e a evolução temporal
Quantização canônica
No nosso caso de interesse...
• Espaço de Hilbert bidimensional
Spin do elétron, polarização do fóton, sistemas de
dois níveis em geral ;
φ
(1)
= ↑ ou φ
( 0)
=↓
base associada os valores 1 ou 0 do bit clássico.
Auto estados do observável σ z !
1 0 
σz = 

0 − 1
Mas, em Mecânica Quântica existe o...
Princípio da superposição
φ
(+)
=
↑ +↓
2
ou φ
(−)
=
↑ −↓
que são os auto - estados do operador σ x
0 1 
σx = 

1
0


Em geral
ψ = cos θ ↑ + sin θ ↓
Estado puro
2
N qubits : espaço de Hilbert é um produto direto
Ξ1 ⊗ Ξ 2 ⊗ Ξ 3 ⊗ ... ⊗ Ξ N
ψ = ψ 1 ⊗ ψ 2 ⊗ ... ⊗ ψ N = ψ 1 ,ψ 2 ,...,ψ N
é um produto direto de estados puros
Base do espaço
φ{i , i ,...i
1
Exemplo
2
N}
= φ ,φ
( i1 )
1
↑1 , ↑ 2 ,..., ↓ N
( i2 )
2
,..., φ
( iN )
N
Forma genérica do estado
1
ψ =
∑c
{i1 , i2 ,...i N }
i1 , i2 ,...i N = 0
φ ,φ
( i1 )
1
( i2 )
2
,..., φ
( iN )
N
que em geral não é um produto direto !
Emaranhados
Exemplo em
Ξ1 ⊗ Ξ 2
ψ =
↑1 , ↑ 2 + ↓1 , ↓ 2
2
Emaranhados de N qubits
ψ =
↑1 , ↑ 2 ,..., ↑ N + ↓1 , ↓ 2 ,...,↓ N
2
Se N é macroscopicamente grande...
O gato de Schrödinger
Misturas estatísticas
Membros de um ensemble descritos por ψ i e
aos quais se atribui uma distribuição clássica de
probabilidades {pi}
ρ≡
∑p ψ
i
i
ψi
i
Se Ξ = Ξ1 ⊗ Ξ 2 teremos para o subsistema 1
ρ1 = tr2 ρ
Quando o estado é puro
ρ≡ψ ψ
Misturas são importantes para se descrever o
comportamento de sistemas não-isolados em
Mecânica Quântica, em particular, a sua dinâmica.
H = H s + H res + H in
Sistema isolado
Equação de Schrödinger
para o estado puro
Sistema
não-isolado
Equação de Liouville
para a mistura
Informação Quântica
Novamente queremos atuar em vários elementos
físicos. Agora os elementos são quânticos
0 ou 1
φ (1) = ↑ ou φ ( 0 ) = ↓
excitação
Determinada característica
é ativada
φ (1) = ↑
Elemento
Físico
Stern-Gerlach
Não há ativação da
característica em questão
φ (0) = ↓
Qubits podem ser preparados por inúmeros
“magnetos” orientados para medir σ x ou σ z e,
portanto, encarados como qubits não-ortogonais
↑
?
+
?
↑
?
↓
?
−
?
−
?
↑
?
Comunicação de dados quânticos
A deseja enviar N qubits para B: sem medir!!!
↑
↑
+
+
↑
↑
↓
↓
−
−
−
−
↑
↑
Fonte de informação quântica
ψi
com probabilidade
Operador densidade
ρ≡
pi
∑p ψ
i
i
ψi
i
ψ i não necessariamente ortogonais
Não podem ser medidos sem que sejam destruídos
e não podem ser copiados (no – cloning )
Codificação em canais quânticos sem ruído
(Schumacher)
Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos
de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer
nS ( ρ )
qubits para ser transmitida confiavelmente, onde
S ( ρ ) ≡ − tr ρ log ρ
é a entropia de von Neumann
Esquematicamente
ρ
n logd
qubits
Cn
ρ′
nS ( ρ )
qubits
Fidelidade no i – ésimo canal
Dn
ρ ′′
n logd
qubits
ψ i ψ i′
2
Compressão de dados quânticos (Schumacher)
ρ=
1
(↔ ↔ + ↔ ↔ )
2
Fótons com polarização horizontal ≡ ↑ ou 1
Fótons com polarização a 45o ≡ +
Teleportação
Comunicação sem o envio dos qubits
1qubit
A
Par EPR
2 bits clássicos
B
1qubit
Base de Bell para o par EPR
ψ
(+)
AB
ψ
(−)
AB
φ
(+)
AB
φ
(−)
AB
1
(10 AB + 01 AB )
=
2
1
(10 AB − 01 AB )
=
2
1
(11 AB + 00 AB )
=
2
1
(11
=
2
AB
− 00
AB
)
Emaranhamento com C
ψC φ
ψC φ
(+)
AB
(+)
AB
= (a 0 C + b 1 C )
1
(11
2
AB
+ 00
AB
)
1 (+)
1 (+)
= φ AC ψ B + ψ AC σ x ψ B +
2
2
1 (−)
1 (−)
+ ψ AC (−iσ y ) ψ B + φ AC σ z ψ B
2
2
A comunica classicamente (2 bits) a B o
resultado de sua medida na base de Bell.
B através de transformações unitárias obtém o
estado original!
Note que ao determinar a característica do
composto (A+C) o objeto C desaparece!
Objetos quânticos não podem ser copiados
(no – cloning)
Fax clássico
Original
Intacto
X
cópia
Original
destruido
(2+3)
objeto
teletransportado
(1)
dados
dados
Gravação
Teletransporte
tratamento
Gravação B
A
3
2
Original
matéria prima
Original
1
EPR
Codificação superdensa quântica
2 bits clássicos
A
Par EPR
1qubit
B
2 bits clássicos
Canais com ruído, decoerência e correção de erros
• Descrição do ruído em mecânica quântica:
acoplamento com um meio externo, o reservatório
• Operador densidade representativo de uma
mistura estatística = emaranhado (estado puro)
do sistema composto
• Dinâmica irreversível do sub-sistema de interesse
(N – qubits ) = evolução unitária do sistema
composto
Esquematicamente
Codificação em canais quânticos com ruído
(Holevo – Schumecher – Westmoreland)
A capacidade C (ϑ ) de um canal quântico , com
ruído, é dada por
  
C (ϑ ) = max  S ϑ 
{ p ,ρ }
  
i
onde
ϑ
i
∑
j

p j ρ j   −

∑
j

p j S (ϑ (ρ j ))

é uma operação quântica que
preserva o traço
Correção de erro
Emaranhamento de um qubit com outros pode
transportá-lo confiavelmente
Uma das possíveis vantagens da transmissão
por canais quânticos
confirma
A
pergunta
O(sqrt(N)
logN)
O(N) bits
qubits
B
resposta
Comentários gerais:
• Vimos como o uso de emaranhados em apenas 1
canal pode trazer resultados surpreendentes à
teoria de comunicação.
• Importância grande em criptografia. Não –
clonagem protege o envio de mensagens
codificadas.
• Processamento de informação lado a lado com o
desenvolvimento da computação quântica. Uma
preocupação...quebra de senhas.
Avanço na implementação prática
destes conceitos
Manipulação individual de sistemas quânticos
• íons em armadilhas lineares
• fótons em cavidades ópticas
• spins em pontos quânticos
• fluxóides em dispositivos supercondutores
• NMR em moléculas
Comentários finais
• Informação + Computação Quântica; maior
eficiência no armazenamento, processamento e
transmissão da informação
paralelismo via
emaranhamento.
• Influência do meio em processadores e canais
quânticos de comunicação
decoerência
efeitos quânticos rapidamente destruidos.
Códigos quânticos de correção de erros.
• Exploração de recursos de multi-canais quânticos
ainda em desenvolvimento.
• Mais aplicações ?
• Problemas em aberto?
• Implementação em escala industrial ?
A área ainda está na sua infância e respostas a
estas questões serão dadas nas próximas
décadas !