CONTEÚDO LÓGICA FUZZY LÓGICA FUZZY Proposições Fuzzy

CONTEÚDO
• Introdução
– Introdução, Objetivo e Histórico
LÓGICA FUZZY
• Conceitos Básicos
– Definição, Características e Formas de Imprecisão
• Conjuntos Fuzzy
– Propriedades, Formas de Representação e Operações
• Lógica Fuzzy
– Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado
• Aplicações
LÓGICA FUZZY
Proposições Fuzzy
• Frases da forma Π é A, onde A é um conjunto
• Regras são implicações lógicas
se x é A então y é B
fuzzy definido no universo X de Π
• Podem ser combinadas por meio de diferentes
operadores:
a função de pertinência desta relação é
definida por meio do operador de implicação
• conectivos lógicos e e ou
• negação: não
• operador de implicação: se .... então
relacionado à Lógica Proposicional
• Podem ser descritas em termos de relações fuzzy
1
Lógica Proposicional
•
Lógica Proposicional
Regras são formas de proposição
• Proposições podem ser verdadeiras ou falsas
declaração envolvendo termos já definidos
• Proposições p e q podem ser combinadas a
partir de três operações básicas:
Ex: a temperatura é alta
se temperatura é alta então diminui a vazão
• conjunção
• disjunção
• implicação
Lógica Proposicional
• Conjunção p ∧ q:
– Estabelece a verdade simultânea de
duas proposições p e q
Lógica Proposicional
• Disjunção p ∨ q:
– Estabelece a verdade de uma ou de
ambas as proposições p e q
2
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
Outras operações:
• Implicação p Æ q:
• Equivalência: p ⇔ q
verifica se as duas proposições são
– verifica se a regra abaixo é verdadeira (V)
simultaneamente verdadeiras ou
simultaneamente falsas
SE p ENTÃO q
• Negação: ~ p
antecedente
consequente
para se dizer é falso que ....
Lógica Proposicional
• Implicação é verdadeira quando:
– Antecedente é V, Consequente é V
– Antecedente é F, Consequente é F
– Antecedente é F, Consequente é V
• Implicação é falsa quando:
– Antecedente é V, Consequente é F
Lógica Proposicional
• TABELA VERDADE:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
p ↔q p →q
V
V
F
F
F
V
V
V
~p
F
F
V
V
3
Lógica Proposicional
• Axiomas Fundamentais:
c Cada proposição é V ou F, mas nunca
ambos;
d A Tabela Verdade para:
¾ Conjunção
¾ Disjunção
¾ Equivalência
¾ Implicação
¾ Negação
Lógica Proposicional
Situações possíveis:
⇒ p = V (estou bem de saúde)
q = V (fui à escola)
promessa cumprida → declaração verdadeira
Lógica Proposicional
Exemplo:
Considere-se a declaração condicional
se eu estiver bem de saúde (p)
então irei à escola (q)
Lógica Proposicional
Situações possíveis:
⇒ p = V (estou bem de saúde)
q = F (não fui à escola)
promessa violada → declaração falsa
4
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
Situações possíveis:
⇒ p = F (não estou bem de saúde)
q = V (fui à escola)
Situações possíveis:
⇒ p = F (não estou bem de saúde)
q = F (não fui à escola)
promessa (de ir à escola) cumprida →
declaração verdadeira
promessa não violada →
declaração verdadeira
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
• TAUTOLOGIA:
⇒ É uma proposição formada pela
combinação de outras proposições
(p, q, r,...) que é sempre verdadeira,
qualquer que seja a veracidade ou
falsidade de p, q, r, ....
• Tautologias importante:
(p→
(p→q) ↔ ~[ p ∧ (~q)]
(p→
(p→q) ↔ [(~p) ∨ q]
Permite expressar a função de pertinência
de p→q em termos de p e ~q ou ~p e q
5
Lógica Proposicional
• Comprovação:
p
V
V
F
F
q p→q
V V
F F
V V
F V
Lógica Proposicional
(p→
(p→q) ↔ ~[ p ∧ (~q)]
~q p∧(~q) ~[p∧(~q)]
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
Lógica Proposicional
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→ q
V
F
V
V
~q
F
V
F
V
q p→q
V V
F F
V V
F V
~p (~p)∨q
F
V
F
F
V
V
V
V
Isomorfismos:
(p → q) ↔ [(~p
[(~p) ∨ q]
p ∧ (~ q ) ~ [p ∧ (~ q )] ~ p
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
p
V
V
F
F
(p→
(p→q) ↔ [(~p) ∨ q]
Lógica Proposicional
• Comprovação das tautologias:
(p → q) ↔ ~[ p ∧ (~q)]
• Comprovação:
(~ p ) ∨ q
V
F
V
V
O isomorfismo entre a álgebra booleana, a teoria dos
conjuntos e a lógica proposicional garante que cada
teorema em qualquer uma dessas teorias tem um teorema
equivalente em cada uma das outras duas teorias
6
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
• Considerando
Equivalências importantes:
• as tautologias anteriores
LÓGICA
TEORIA DOS
CONJUNTOS
ÁLGEBRA
BOOLEANA
∧
∩
×
∨
∪
+
~
′
′
V
1
F
0
↔
=
Lógica Proposicional
• Tautologia 1:
• que, em conjuntos crisp, a função característica
pode assumir apenas os valores 0 e 1
obtêm-se funções características
para a implicação
Lógica Proposicional
Tradicional
• Tautologia 1:
(p→
(p→q) ↔ ~[ p ∧ (~q)]
µ p→q (x,y) =
• as equivalências entre lógica, teoria de
conjuntos e álgebra booleana
1 - µ p ∩⎯q
∩⎯q (x,y)
=
1 - mín [µ
[µp (x), 1 - µq (y)]
=
1 - µp (x). [1 - µq (y)]
(p → q) ↔ ~[ p ∧ (~q)]
f p→ q ( x , y ) = 1 − min [ f p ( x ), 1 − f q ( y )]
7
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
• Tautologia 2:
• Tautologia 2:
(p→
(p→q) ↔ [(~p) ∨ q]
µ p→q (x,y) =
(p → q) ↔ [(~p) ∨ q ]
µ ⎯p∪q (x,y)
f p → q ( x , y ) = max [1 − f p ( x ), f q ( y )]
=
máx [1 - µ p (x), µ q (y)]
=
mín [1, 1 - µ p (x) + µ q (y)]
Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
• Demonstração:
I
f p → q ( x , y ) = max [1 − f p ( x ), f q ( y )]
II
f p→ q ( x , y ) = 1 − min [ f p ( x ), 1 − f q ( y )]
• Observação: existem inúmeras outras
funções características para a
implicação, não necessariamente
fp(x)
fq(y)
1 - fp(x)
1 - fq(y)
I
II
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
fazendo uso dos operadores max e min
8
Lógica Proposicional
ÖRegras de Inferência Clássicas:
™ MODUS PONENS
™MODUS TOLLENS
Lógica Proposicional
• Implicação é verdadeira quando:
– Antecedente é V, Consequente é V
– Antecedente é F, Consequente é F
– Antecedente é F, Consequente é V
• Implicação é falsa quando:
– Antecedente é V, Consequente é F
Lógica Proposicional
• MODUS PONENS:
Premissa 1: x é A
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
(p)
(p→
(p→q)
Lógica Proposicional
• MODUS PONENS:
Premissa 1: x é A
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
Conclusão: y é B
(p)
(p→
(p→q)
(q)
9
Lógica Proposicional
• MODUS PONENS:
Premissa 1: x é A
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
Conclusão: y é B
ª
Lógica Proposicional
• MODUS TOLLENS:
(p)
(p→
(p→q)
Premissa 1: y é nãonão-B
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
(~q)
(p→
(p→q)
(q)
[ p ∧ (p→
(p→q) ] → q
Lógica Proposicional
• Implicação é verdadeira quando:
– Antecedente é V, Consequente é V
– Antecedente é F, Consequente é F
– Antecedente é F, Consequente é V
• Implicação é falsa quando:
– Antecedente é V, Consequente é F
Lógica Proposicional
• MODUS TOLLENS:
Premissa 1: y é nãonão-B
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
Conclusão: x é nãonão-A
ª
(~q)
(p→
(p→q)
(~p)
[ ~q ∧ (p→
(p→q) ] → ~p
10
Lógica Fuzzy
• Os conceitos de Lógica Fuzzy nasceram inspirados na
lógica proposicional (tradicional)
• A extensão da lógica tradicional para a Lógica Fuzzy
foi efetuada através da substituição das funções
Lógica Fuzzy
• A declaração condicional
se x é A então y é B
tem uma função de pertinência
µ A→ B ( x , y )
características (bivalentes) por funções de pertinência
mede o grau de verdade da
relação de implicação entre x e y
fuzzy
Lógica Fuzzy
• Exemplos de funções de implicação, obtidas
por simples extensão da lógica tradicional:
µ A→ B ( x , y ) = 1 − min [ µ A ( x ), 1 − µ B ( y )]
µ A→ B ( x , y ) = max [1 − µ A ( x ), µ B ( y )]
LÓGICA FUZZY
• MODUS PONENS GENERALIZADO:
Premissa 1: x é A*
Premissa 2: SE x é A
ENTÃO y é B
Conclusão: y é B*
ª A* e B* não são necessariamente
iguais a A e B, respectivamente
11
LÓGICA FUZZY
• Exemplo:
LÓGICA FUZZY
• Conclusão:
Se Homem é Baixo
Então Homem não é bom jogador de basquete
Ð
A = BAIXO
B = não é bom jogador de basquete
Ð
Premissa:
Homem é abaixo de 1.60m
A*
Homem é mau jogador de basquete
B*
Conclusão:
LÓGICA FUZZY
• Conclusão:
• Lógica Fuzzy Ö
A regra é disparada desde que exista um
grau de similaridade diferente de zero
entre a premissa 1 e o antecedente da
regra, sendo que o resultado é um
consequente que tem um grau de
similaridade diferente de zero com o
consequente da regra.
™Lógica Tradicional (Crisp
(Crisp)) Ö
A regra é disparada somente se a
premissa 1 for exatamente igual ao
antecedente,
antecedente, sendo que o resultado da
regra é o pró
próprio consequente.
consequente.
LÓGICA FUZZY
Interpretação do Modus Ponens Generalizado:
O Modus Ponens Generalizado é uma
composição fuzzy,
fuzzy onde a primeira relação
fuzzy é apenas um conjunto fuzzy e a segunda
relação é a relação de implicação.
implicação
12
LÓGICA FUZZY
Lógica Fuzzy
Interpretação do Modus Ponens Generalizado:
Exemplo:
Exemplo
• dada a relação de implicação:
Como µP ° Q (z) = sup [µP (x) * µQ (x,z)]
x∈U
µA* (x)
µA→B (x,y)
µ A→ B ( x , y ) = max [1 − µ A ( x ), µ B ( y )]
• e dois conjuntos A e B, em universos discretos e finitos
X e Y, com funções de pertinência:
µ B ( y ) = sup [ µ A ( x ) ∗ µ A→ B ( x , y )]
*
x∈ A∗
*
Lógica Fuzzy
Lógica Fuzzy
µ A ( x ) = {0; 0,2; 0,7;1; 0,4; 0}
• dado um conjunto A* definido por:
µ B ( y ) = { 0,3; 0,8; 1; 0,5; 0}
µ A ( x ) = {0; 0,3; 0,8;1; 0,7; 0,2}
∗
• obtém-se:
⎡ 1
⎢0,8
⎢0,3
µ A→ B ( x , y ) = ⎢0,3
⎢0,6
⎢
⎣ 1
1
0,8
0,8
0,8
0,8
1
1
1
1
1
1
1
1
0,8
0,5
0,5
0,6
1
1 ⎤
0,8⎥
0, 3 ⎥
0⎥
0,6⎥
⎥
1 ⎦
• e utilizando o min para a norma-t em:
µ B ( y ) = max [ µ A ( x ) ∗ µ A→ B ( x , y )]
*
x∈ A∗
*
(universos discretos e finitos: sup → max)
13
Lógica Fuzzy
• tem-se
µ A ( x ) = {0; 0,3; 0,8;1; 0,7; 0,2}
∗
⎡ 1
⎢0,8
⎢ 0, 3
µ A → B ( x , y ) = ⎢ 0, 3
⎢0,6
⎢
⎣ 1
1
0,8
0,8
0,8
0,8
1
LÓGICA FUZZY
1
1
1
1
1
1
1
0,8
0,5
0,5
0,6
1
1 ⎤
0,8⎥
0,3⎥
0⎥
0,6⎥
⎥
1 ⎦
⎧max (0 ∧ 1; 0,3 ∧ 0,8; 0,8 ∧ 0,3 ; 1 ∧ 0,3; 0,7 ∧ 0,6 ; 0,2 ∧ 1);⎫
⎪max (0 ∧ 1; 0,3 ∧ 0,8; 0,8 ∧ 0,8 ; 1 ∧ 0,8; 0,7 ∧ 0,8 ; 0,2 ∧ 1);⎪
⎪⎪
⎪⎪
µB∗ ( y ) = ⎨max (0 ∧ 1; 0,3 ∧ 1; 0,8 ∧ 1; 1 ∧ 1; 0,7 ∧ 1; 0,2 ∧ 1);
⎬
⎪max (0 ∧ 1; 0,3 ∧ 0,8; 0,8 ∧ 0,5 ; 1 ∧ 0,5; 0,7 ∧ 0,6 ; 0,2 ∧ 1);⎪
⎪
⎪
⎪⎩max (0 ∧ 1; 0,3 ∧ 0,8; 0,8 ∧ 0,3 ; 1 ∧ 0; 0,7 ∧ 0,6; 0,2 ∧ 1); ⎪⎭
Interpretação do Modus Ponens Generalizado:
Supondo que a entrada (A*) do sistema é precisa:
A* é um conjunto SINGLETON
⎧1 para x = x'
⎩0 para todo outro x ∈ X
µ A ( x) = ⎨
*
= {0,6; 0,8; 1; 0,6; 0,6}
LÓGICA FUZZY
Usando a fórmula do Modus Ponens Generalizado
µ B ( y ) = sup [ µ A ( x ) ∗ µ A→ B ( x , y )]
*
*
x∈ A∗
Substituindo µA*(x) = 1, x=x’
x=x’
= 0, x≠x’
µ B ( y ) = [ µ A ( x' ) ∗ µ A→ B ( x' , y )]
*
*
= [1∗ µ A→ B ( x' , y )]
= µ A→ B ( x ' , y )
LÓGICA FUZZY
Implicações Fuzzy:
Fuzzy:
Estendendo a Lógica Crisp:
µ p→q (x,y) = 1 - mín [µ
[µp (x), 1 - µq (y)]
= 1 - µp (x). [1 - µq (y)]
= má
máx [1 - µ p (x), µ q (y)]
(ZADEH)
=
mí
mín [1, 1 - µ p (x) + µ q (y)]
ª não são adequadas para problemas onde
se tem relação de causa e efeito
14
LÓGICA FUZZY
LÓGICA FUZZY
• Exemplo: considere-se a implicação
Para uma entrada singleton x’, o consequente B* será
dado por:
µ A→ B ( x , y ) = 1 − min [ µ A ( x ), 1 − µ B ( y )]
µ B ( y ) = 1 − min [ µ A ( x' ), 1 − µ B ( y )]
*
e conjuntos A e B representados por funções de
Graficamente, o procedimento consiste em:
pertinência triangulares, em universos contínuos
Lógica Fuzzy
Lógica Fuzzy
µ
1
Regra (implicação): se A então B
• A*
µ
x'
1
µ
µA (x)
1
µB (y)
x
x
y
15
LÓGICA FUZZY
LÓGICA FUZZY
Comprovação: µ A→B (x’
(x’,y) = 1 - mín [µ
[µA (x’
(x’), 1 - µB (y)]
(x’,y) = mí
mín [1, 1 - µ A (x’
(x’) + µ B (y)]
Comprovação: µ A→B (x’
(Zadeh)
Zadeh)
1 - µA(x’
(x’) + µB (y)
1 - µB (y)
µB (y)
1 - mín [ ]
µA(x’
(x’)
y
mín [ ]
y
mín [ ]
µB (y)
1 - µA(x’
(x’)
y
y
y
y
Da mesma forma, dada uma certa entrada x=x’,
x=x’ o resultado de uma
regra específica, cujo consequente é associado com um conjunto
fuzzy com suporte finito,
finito é um conjunto fuzzy com suporte infinito
⇒ NÃO FAZ SENTIDO!!!
Lógica Fuzzy
LÓGICA FUZZY
• Observa-se que o resultado de uma regra específica, cujo
consequente é associado a um conjunto fuzzy com
Implicações Fuzzy:
Fuzzy: propostas por MANDANI.
suporte finito,
finito é um conjunto fuzzy com suporte infinito
• Este comportamento, que é observado também para
outras implicações, viola o senso comum, de importância
em aplicações em engenharia
— Implicação Mínimo
µ pp→q
→q (x,y) =
m
ín [µ
[µpp (x), µqq (y)]
mín
— Implicação Produto
foram definidas implicações que não violassem o senso
comum : min e produto [Mamdani e Larsen → Controle],
mesmo rompendo o vínculo com a lógica proposicional
µ pp→q
→q (x,y) = µp
p (x). µq
q (y)
16
Lógica Fuzzy
Lógica Fuzzy
Refazendo o exemplo com essas implicações:
µ
• Com estas implicações, chamadas de implicações de
µ
µA (x)
1
min
1
engenharia [Mendel], observa-se que:
µB (y)
– o conjunto fuzzy resultante está diretamente associado
µB ( y)
*
x'
ao consequente da regra.
y
x
µ
grau de ativação
da regra
produto
1
– não existe mais o patamar (suporte infinito)
µB (y)
µB ( y)
*
y
• Outros operadores também são usados para implicação
geralmente normasnormas-t
y
Lógica Fuzzy
LÓGICA FUZZY
• Em resumo: 1: x é A*
• Quanto aos demais operadores, utilizam-se, geralmente:
• conectivo e ( fe )
• conectivo ou ( fou )
y
(valor preciso)
2: SE x é A
Conclusão:
normasnormas-t
ENTÃO y é B
y é B*
coco-normasnormas-t
• norma-t no modus ponens generalizado
µBB** (y) = µAA→B
’,y)
(x
(x’,y)
→B (x’
min
µ AA→B
ín [µAA (x’
’), µBB (y)]
m
(x
mín
(x’),
→B (x,y) = mí
µAA (x’
’) . µBB (y)
(x
(x’)
regra de inferência maxmax-min
y
17