12.3 Momento Angular Orbital
Propaganda
Resumindo, numa representação irredutível do grupo de rotação, deve haver
um número inteiro ou semi-inteiro , com
J2 = ( + 1)1
(274)
= − − + 1 − 1
(275)
Assim, podemos tomar = 0 12 1 32 2 como índice de especificar a representação irredutítivel. Vamos denotar os autovetores de 0 ,
|
(276)
J2 | = ( + 1)|
(277)
| = |
(278)
que são caracterizados por
com − ≤ ≤ . Estes vetores tem seguintes propriedades:
+ | = + | + 1
(279)
− | = − | − 1
(280)
As constantes de normalização ± são determinadas pelas Eq.(267) por
¯ ±¯ p
¯ ¯ = ( ∓ )( ± + 1)
(281)
Podemos convencionar os fatores de fase dos vetores | tal que sempre ±
seja real e positivo.
12.3
Momento Angular Orbital
Para uma partícula sem spin, as coordenadas espaciais r formam o conjunto
completo de observáveis. Neste caso o observável correspondente ao geradores
do grupo de rotação são momentos angulares orbitais. Podemos definir os operadores de momento angular orbital por
~L = r × P
(282)
É fácil de verificar que os componentes satisfazem a regra de comutação Eq.(260). Em termos de função de onda, a atuação destes operadores
ficam
µ
¶
r| | = sin
+ cot cos
(r)
(283)
µ
¶
+ cot sin
(r)
(284)
r| | = − cos
r| | = −
105
(r)
(285)
r|L2 | = −
µ
1 2
+
sin 2 2
µ
¶¶
sin
(r)
(286)
A fora de fator 12 , Eq.(286) é a parte angular do operador Laplaciano ∇2 . Isto
naturalmente não é a mera concidência. As função de onda que correspondem
para os vetores base {| } da representação irredutível do grupo de rotação
no espaço de Hilbert então deve satisfazer
r| = r|
µ
¶¶
µ
1 2
+
sin
r| = ( + 1) r|
−
sin 2 2
−
(287)
(288)
Como mensionamos, para o estado de uma partícula sem spin, as coordenadas
espaciais devem compor um conjunto completo de observáveis para descrever o
estado. Ou seja, para dado posição r, a função de onda deve ser determinado
univocamente. Neste sentido, temos que ter
| = + 2|
(289)
Esta condição, junto com Eq.(287) implica que seja número inteiro. Como
= max(), também tem que ser inteiro. Em outras palavras, os estados
de uma patícula sem spin pertencem sempre nas representações de grupo de
rotação com inteiro. Para explicitar este fato, vamos utilizar no lugar de .
Eqs.(287,288) mostram que
r| = () ( )
(290)
onde ( ) são os harmonicos esféricos. Decompondo a base |r em parte
radial e angular, |r = | ⊗|Ω podemos escrever
Ω| ≡ | = ( )
Aqui a base dos estados angulares |Ω satisfaz as propriedades,
Z
Ω|Ω Ω| = 1Ω
(291)
(292)
onde 1Ω representa a identidade no subespaço {|Ω } e
Ω0 |Ω = 2 (Ω − Ω0 ) = (cos − cos 0 )( − 0 )
(293)
Algumas propriedades dos harmonicos esféricos podem ser obtidas fácilmente
das propriedades dos estados | . Por exemplo, a condiçao de ortogonalidade
0 0 | = 0 0
(294)
implica em
Z
Ω∗0 (Ω) (Ω) = 0 0
106
(295)
Por outro lado, a relação de completeza no espaço de representação irredutível
X
=−
| | = 1
(296)
onde 1 é a matriz de identidade de (2 + 1) × (2 + 1), fica
X
=−
∗
(Ω0 )
(Ω) = (cos − cos 0 )( − 0 )
(297)
A expressão explicita de harmonicos esféricos pode ser obtida pelas propriedades
de | ,
| = |
(298)
+1 | = 0
1
−1 |
| − 1 = p
( + )( − + 1)
(299)
(300)
Utilizando as representações Eqs.(283),(284) e (285), estas propriedades ficam
expressas na forma de equação diferenciais para ( ) :
1
(301)
( ) = ( )
¸
∙
(302)
− cot
( ) = 0
µ
¶
1
−
e
−
−1 ( ) = p
+ cot
( )
( + )( − + 1)
(303)
Escolhendo o fator de fase convenientemente, temos
s
−
(−) (2 + 1) ( + )! 1
sin 2
(304)
e
( ) =
2 !
4 ( − )!
sin (cos )−
para ≥ 0. Para 0, definimos
∗
( ) = (−)|| ||
( )
12.4
(305)
Graus de Liberdade Intrinsêca, Spin
Uma partícula pode possuir as graus de liberdades intrinsêcas. Ou seja, as
coordenadas espaciais como observável não necessariamente exaurem o conjunto
completo de observáveis para descrever todos os estados desta partícula. Por
exemplo, para especificar um estado de partícula , o núcleo de 4 , precisa-se
107
especificar os estados de estrutura interna além de coordenadas do centro de
massa do sistema. Este é o exemplo trivial de graus de liberdades internas.
Entretanto, existem graus de liberdades intrinsêcas que não necessariamente
sejam atribuidas à estrutura interna da partícula. O spin de um elétron ou a
polarização de um fóton são exemplos deste tipo. Aparentemente o elétron ou
fóton, dentro de nosso conhecimento até no momento, não são sistema composto
de outras partícuas mais fundamentais e portanto não podemos imaginar a
estrutura interna.
Dentro do formalismo da Mecânica Quântica, para cada graus de liberdade
interna, devemos ter um observável para que os estados quânticos da partícula
sejam especificados completamente pelos seus autovalores. Vamos denotar,
em geral o observável correspondente à graus de liberdade intrinsêca de uma
partícula por e os autoestados de autovalor por | int . Assim, uma base
de espaço de Hilbert para estados quânticos desta partícula pode ser dada por
{|r = |r espaço ⊗| int }
Se os autovalores de forem descretos, podemos associar
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
0
⎜ 0 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
| 1 int. → ⎜ 0 ⎟ | 2 int → ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
..
..
.
.
(306)
(307)
para representar os estados de graus de liberdades intrinsêcas. Nesta representação, um estado geral
XZ
| =
r (r) |r
pode ser expresso em termos de a função de onda na forma de vetor de coluna,
⎞
⎛
1 (r)
⎜ 2 (r) ⎟
⎟
⎜
(308)
r| = ⎜ 3 (r) ⎟
⎠
⎝
..
.
Quando tiver duas graus de liberdade intrinsêca independentes, digamos e ,
a base fica
{|r = |r espaço ⊗| int 1 ⊗| int 2 }
(309)
e a função de onda agora naturalmente carrega dois indices, um para estados ,
outros para .
Os graus de liberdades intrinsêcos podem ser completamente independente
das propriedades espaço-tempo. Mas o grau de liberdade do spin ou da polarização é intimamente ligado à elas. Neste caso, a transformação ocorrida no
108
espaço de coordenadas também causa a transformação no espaço deste graus de
liberdade intrinsêca. Ou seja se é a rotação no espaço,
r → r0 = () r
(310)
então esta transformação não só induz a transformação no subespaço |r 0espaço
|r espaço → |r 0espaço = espaço ()|r espaço
(311)
| int → | 0int = int ()| int
(312)
mas também
onde espaço e int são operadores unitários nos subespaços de |r espaço e
| int , respectivamente. Podemos escrever, portanto
() = espaço () ⊗ int ()
(313)
Em termos de gerador de rotação especificada em termos de um vetor θ, a
expressão acima fica
e− ·J = e− ·L ⊗ e− ·Σ
(314)
ou equivalentemente
J=L⊗1+1⊗Σ
(315)
onde é o momento angular orbital e Σ é o gerador da rotação no espaço
intrinsêco (spin). Para simplificar a notação, podemos despensar o símbolo de
produto direto e as identidades e escrevemos apenas
J=L+Σ
(316)
que criaria nenhum perigo de confusão.
Se a dimensão do espaço intrinsêco é , Σ = (Σ Σ Σ ) são matrizes
hermitianas × . Para as partículas observadas, é conhecido que cada espécie
pertence à uma determinada representação irredutível do grupo de rotação. Por
exemplo, o elétron pertencem à representação de = 12, no entanto o fóton
pertence à = 1. O méson pertence a = 0. Ou seja, o elétron tem spin
1/2, o fóton spin 1, etc. Para uma partícula que tem spin , a dimensão do
espaço intrinsêco é dada por (2 + 1). Em outras palavras, o estado desta
partícula é representado em termos de função de onda de 2 + 1 componentes.
Em particular, para spin 1/2, o seu estado é representado pela função de onda
de duas componentes;
µ
¶
1 (r)
(r) =
(317)
2 (r)
Por outro lado, um operador geral é expresso em termos de matriz 2 × 2, sendo
que cada elemento de matriz é operador que atua no subespaço espacial:
¶
µ
11 12
(318)
=
21 22
109
onde a hermiticidade do operador implica em
†
†
†
11 = 11
12 = 21
22 = 22
(319)
Podemos também utlizar as matrizes de Pauli para expressar o operador da
forma
(320)
= 0 + O · σ
onde 0 O = ( ) são operadores hermitianos e relacionados com
por
12.5
0
=
=
=
=
1
(11 + 22 )
2
1
(11 − 22 )
2
1
(12 + 21 )
2
(12 − 21 )
2
(321)
(322)
(323)
(324)
Matriz de Rotação e Ângulos de Euler
O operador unitário () descreve a transformação no espaço de Hilbert causada pela uma rotação espacial . Vimos que este operador é expresso em
termos de soma direta de operadores que atuam nos subespaços invariantes
sob o grupo de rotação. As matrizes de representação irredutível do grupo de
rotação destes operadores são chamadas as matrizes de rotacão e denotadas por
D() ()
(325)
³
´
()
D() () = D0
(326)
D0 = | ()| 0
(327)
ou seja
onde
()
Quando o sistema sofre a rotação, então os estados se transformam de acordo
com
| 0 = ()|
(328)
e os operadores
0 = () −1 ()
(329)
Em particular, os autoestados de novo momento angular J no sistema rodado
são dados por
| 0 = ()|
(330)
Então, temos
| 0 =
X
0
()
| 0 D0 ()
110
(331)
Ou seja, com a matriz de rotação, os novos autoestados podem ser expressos em
termos de combinações lineares dos autoestados anteriores. Podemos transcrever a equação acima em termos de harmonicos esfericos para inteiro. Temos
X
()
(Ω0 ) =
0 (Ω) D0 ()
(332)
0
Para obter a expressão explícita da matriz de rotação, é conveniente descrever
a rotação em termos de ângulos de Euler, . Uma rotação é decomposta
em três rotações consecutivas, primeira em torno de eixo por ângulo em
seguida em torno de eixo 0 ( o eixo após da primeira rotação) por ângulo
e finalmente em torno de eixo 00 (o novo eixo após das duas rotações) por
ângulo .Em termos de operador no espaço de Hilbert, esta rotação é escrita
por
00
0
(( )) = e− e− e−
(333)
Entretanto, como os operadores de momento angular após da rotação são relacionados com o original,
0 = e− e
0
00 = e− e−
³
´−1
0
− −
¡
¢−1
= e− e− e e− e− − e e−
= e− e− e
(334)
podemos observar que a rotação é escrita também por geradores originais,
(( )) = e− e− e−
(335)
que justamente em ordem inversa da Eq.(333). Nesta forma, podemos explicitar
o elemento de matriz D na base de | ,
()
0
()
D0 ( ) = |e− e− e− | 0 = e− 0 ()e−
(336)
onde
()
0 () = |e− | 0
(337)
Na forma matricial,
⎛
e
⎜ 0
⎜
() ( ) = ⎜ .
⎝ ..
0
0
e(−1)
0
···
···
0
..
.
0
0
..
.
···
e−
111
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟ ()
⎜
⎟ () ⎜
⎠
⎝
e
0
..
.
0
0
e(−1)
0
···
···
0
..
.
0
0
..
.
· · · e−
(338)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
A matriz () () pode ser calculado explicitamete utilizando a propriedade da
matriz de representação de . Por exemplo, para = 12 = 12 . Neste
caso,
¶
µ
∞
X
1
(12) () = e− 2 =
−
!
2
=0
¶
¶
µ
µ
X 1
X 1
=
+
−
−
!
2
!
2
:
:
X 1 µ ¶
X 1 µ ¶
=
+
−
−
!
2
!
2
:
:
= cos
=
µ
− sin
2
2
cos 2
− sin 2
sin 2
cos 2
¶
(339)
Consequentemente,
D
12.6
(12)
( ) =
µ
1
e 2 (+) cos 2
1
e 2 (−+) sin 2
1
e 2 (−) sin 2
1
e− 2 (+) cos 2
¶
(340)
Adição de Momento Angular
Para um sistema composto de subsistemas, o espaço de Hilbert dos estados
quânticos do sistema é o produto direto de espaços de Hilbert para subsistemas,
H = H∞ ⊗ H∈ ⊗ · · ·
(341)
Sejam J1 J2 os geradores de grupo de rotação nos subespaços, H1 H2 ,
respectivamente.Então, o gerador do grupo de rotação para o espaço H é dado
por
J = J1 ⊗ 12 ⊗ 13 ⊗ · · · + 11 ⊗ J2 ⊗ · · · + · · ·
(342)
Novamente, abreviando os simbolos de produto direto e os operadores identidade, podemos escrever simplesmente,
J = J1 + J2 · · ·
(343)
O gerador J é o momento angular total do sistema. Se o sistema é esfericamente simétrica, os autoestados do Hamiltoniano é classificados em termos de
representação irredutível do grupo de rotação e portanto pelo os autovalores
de J2 e um dos componentes, digamos . Aqui, vamos estudar em particular as propriedades de momento angular total de um sistema composto de dois
sistemas.
J = J1 +J2
(344)
112
onde
[1 1 ] = 1
[1 1 ] = 1
[1 1 ] = 1
(345)
e
[2 2 ] = 2
[2 2 ] = 2
[2 2 ] = 2
(346)
que garante a regra de comutação para J, Eq.(??). Podemos verificar ainda 2
£ 2 2¤ £ 2 2¤ £ 2 2¤
(347)
J J1 = J J2 = J1 J2 = 0
mas
£ 2
¤
£
¤
J 1 = − J2 2 6= 0
(348)
Estas equações mostram que o autoestado simultaneo de J21 e J22 pode ser também ao mesmo temo o autoestado de J2 . Entertanto o autoestado de 1 ou
2 em geral não é o autoestado de momento angular total J2 . Assim, o espaço
de produto direto,
{|1 1 ⊗|2 2 } ≡ {21 + 1} ⊗ {22 + 1}
(349)
contém os autoestados de J2 , mas cada estado |1 1 ⊗|2 2 em si
não necessáriamente o autoestado de J2 . Mas observamos que estes estados são
autoestados de com autovalor 1 +2 . Estas observações levam nos concluir
que o autoestado | deve ser dado por uma combinação linear da forma
X
|1 1 ⊗|2 2
(350)
| =
1 2 1 2
1 +2 =
são chamados os coeficientes de Clebsch-Gordan e
Os coeficientes
1 2 1 2
as vezes denotado por
≡ (1 2 ; 1 2 |)
1 2 1 2
(351)
Para calcular os coeficientes de Clebsch-Gordan, lembramos que numa representação irredutível, o valor máximo de é para dado . O maior valor de
no espaço de produto direto Eq.(349) é obviamente
max() = max(1 ) + max(2 ) = 1 + 2
(352)
Assim, podemos concluir que o estado de = 1 + 2 deve ser o autoestado
de J2 com autovalor de 1 + 2 Como só tem uma possibilidade desta forma,
devemos ter
| = 1 + 2 = 1 + 2 = |1 1 ⊗|2 2
113
(353)
De fato, verifiamos que
J2 |1 1 ⊗|2 2 = (J21 + 2J1 · J2 + J21 )|1 1 ⊗|2 2
= (J21 + 21 2 + 21+ 2− + J22 )|1 1 ⊗|2 2
= [1 (1 + 1) + 21 2 + 2 (2 + 1)] |1 1 ⊗|2 2
= (1 + 2 )(1 + 2 + 1)|1 1 ⊗|2 2
(354)
(1 2 ; 1 2 |1 + 2 1 + 2 ) = 1
(355)
Com isto, temos
Uma vez obtido o autoestado, |1 +2 1 +2 , os outros estados que pertencem
ao subespaço invariante de = 1 + 2 podem ser obtidos pelas aplicações
sucessivas do operador − = 1− + 2− sobre este estado. Por exemplo,
1
− |1 + 2 1 + 2
|1 + 2 1 + 2 − 1 = p
2(1 + 2 )
1
(1− + 2− )|1 1 ⊗|2 2
=p
2(1 + 2 )
s
s
1
2
|1 1 − 1 ⊗|2 2 +
|1 1 ⊗|2 2 − 1
=
1 + 2
1 + 2
(356)
indicando que os coeficientes de Clebsch-Gordan deste estado são
s
1
(1 2 ; 1 − 1 2 |1 + 2 1 + 2 − 1) =
1 + 2
(1 2 ; 1 2 − 1|1 + 2 1 + 2 − 1) =
s
2
1 + 2
(357)
Analogamente, podemos gerar os estados |1 + 2 1 + 2 − 2 |1 + 2 1 +
2 − 2 até |1 + 2 −(1 + 2 ) , sucessivamente. Estes estados formam um
subespaço invariantes do grupo de rotação dentro de espaço de produto direto,
Eq.(349). Note que a familia de estados com = 1 + 2 não esgota o espaço
todo, pois a dimensão do espaço total é (21 + 1)(22 + 1) enquanto o subespaço
invariante com = 1 + 2 tem a dimensão 2 + 1 = 21 + 22 + 1 que em geral
é menor que (21 + 1)(22 + 1) exceto os casos, 1 = 0 ou 2 = 0 ou ambos. Isto
quer dizer que deve existir outros subespaços invariantes de grupo de rotação
dentro de espaço de produto direto, 349. Estes espaços tem que ser ortogonal ao
espaço com = 1 + 2 . Para encontrar o próximo subespaço invaritante depois
de = 1 + 2 , podemos utilizar o mesmo técnica que utilizado para encontrar o
primeiro. Isto é, perguntamos o que é o valor máximo de contido no espaço
que restou.. Já que o vetor que corresponde a = 1 + 2 já foi incorporado no
114
espaço = 1 + 2 , a próxima possibilidade é 1 + 2 − 1. Existem dois estados
com esta propriedade:
|1 1 − 1 ⊗|2 2 |1 1 ⊗|2 2 − 1
(358)
Dentro de possíveis combinações lineares, uma particular combinação linear
Eq.(356) foi incorporada no subespaço de = 1 + 1 , portanto resta uma única
combinação linear ortogonal a (356) é dada por
s
s
1
2
|1 1 − 1 ⊗|2 2 −
|1 1 ⊗|2 2 − 1
(359)
1 + 2
1 + 2
a menos de um fator de módulo um. Este estado deve ser o estado com máximo
de do subespaço invariante, portanto o estado com = 1 + 2 − 1, ou seja
s
s
1
2
| = 1 +2 −1 = 1 +2 −1 =
|1 1 −1 ⊗|2 2 −
|1 1 ⊗|2 2 −1
1 + 2
1 + 2
De fato, podemos verificar esta conclusão diretamente pela aplicação de J2 .
Agora, aplicando novamente o operador − = 1− + 2− , podemos gerar todos
os estados que pertencem ao subespaço invariante, = 1 +2 −1. Este subespaço
é composto de estados |1 +2 −1 com = 1 +2 −1 1 +2 −2 −(1 +
2 ), contendo 21 + 22 − 1 estados. Pelo procedimento até aqui, decompomos o
espaço de produto direto,{21 + 1} ⊗ {22 + 1} em 2 subespaços invariantes de
= 1 + 2 e = 1 + 2 − 1, i.e.,
{21 + 1} ⊗ {22 + 1} = {21 + 22 + 1} ⊕ {21 + 22 − 1} ⊕ {}
(360)
O subespaço {} é ortogonal aos subespaços {21 + 22 + 1} e {21 + 22 −
1}, e ainda contem subespaços invariantes. Para proceguir a decomposição do
subespaço {}, podemos continuar o processo. Isto é, em primeiro lugar,
buscamos o vetor que tem o maior valor de dentro deste subespaço. O valor
máximo agora é 1 + 2 − 2. Existem 3 vetores que tem esta propriedade:
|1 1 −2 ⊗|2 2 |1 1 −1 ⊗|2 2 −1 |1 1 ⊗|2 2 −2 (361)
Dentro de possíveis combinações lineares, as duas ortogonais já foram incorporadas nos subespaços anteriores. Assim, só pode ter uma única combinação
linear que pertence ao {}23 . Este estado deve ser o estado de = ,
portanto = 1 + 2 − 2. Uma vez obtido o estado | , podemos gerar os
estados, | − 1 | − 2 | − , aplicando sucessivamente o operador
− . Deste forma, decompomos mais um subespaço invariante,
{21 +1}⊗{22 +1} = {21 +22 +1}⊕{21 +22 −1}⊕{21 +22 −2}⊕{}0
(362)
2 3 Para obter esta combinação linear, podemos utilizar por exemplo, o método de Schmidt
de ortogonalização.
115
O procedimento de decomposição pode continuar até se esgota o espaço original,
{21 + 1} ⊗ {22 + 1} .
Para determinar os coeficientes de Clebsch-Gordan completamente, devemos fixar os fatores de fase que aparecem na Eq.(359) e demais estados na
hora de ortogonalizar os vetores para estados de máximo dos subespaços,
{} {}0 . Para fixar estes fatores de fase, são tomadas várias convenções depende de literatura. Uma passibilidade é
• Os coeficientes de Clebsch-Gordan são reais.
• (1 2 ; 1 − 1 | ) 0
12.7
Operador Tensorial e Teorema de Wigner-Eckart
Quando um operador é transformado sob a rotação no espaço, o novo operador
em geral difere do original. Mas existe caso em que um conjunto de operadores,
{1 2 }
(363)
possui a propriedade de que o resultado de transformação de cada operador
pode ser escrito em termos de combinação linear dos operadores antes de transformação:
X 0
() 0
(364)
→ 0 ≡ () −1 () =
0
0
Neste caso, os próprios operadores s servem como uma base para representação do grupo de rotação e a matriz = ( ) forma uma representação do
→
grupo. Um exemplo mais trivial é o operador de coordenada, −
r = { }. De
fato,
→
−
→
→
r 0 = ()−
r −1 () = −
r
(365)
De acordo com a discussão anterior, uma representação do grupo de rotação em
geral pode ser decomposta em representações irredutíveis. Então, escolhendo
uma certa combinação linear destes ’s, podemos construir um conjunto de
()
operadores T() = { = − } que transforma de acordo com
()() −1 () =
X
0 =−
()
()
()
0 D0 ()
(366)
onde D0 () é a matriz de rotação. O conjunto de operador T() é chamado
o operador tensorial irredutível de rank ou tensor esferico. No exemplo de
→
operador −
r , podemos verificar que o operador tensorial irredutível pode ser
construido pela transformação,
r
1
(1)
1 ≡ −
( + )
2
(1)
0 =
116
(1)
−1
≡
r
1
( − )
2
(367)
Uma outra maneira de definir operador tensorial além da Eq.(366) é utilizar a
relação de comutador com os operadores de momento angular. Vamos considerar
a transformação infinitesimal,
() = e−·J ' (1 − ² · J)
(368)
Da Eq.(366), temos
(1 − ² · J)() (1 + ² · J) =
ou
h
X
()
0
0 =−
0 |(1 − ² · J)|
(369)
i
X
()
0 0 |² · J|
² · J () =
(370)
0 =−
Como ² é arbitrário, as equações acima são equivalente à
[ ±
[ () ] = ()
p
()
() ] = ( + 1) − ( ± 1)±1
(371)
Devido a propriedade de transformação sobre o grupo de rotação, os elementos
de matrizes de um operador tensorial irredutível nos autoestados de momento
angular são bem limitados. De fato, a dependência do elemento de matriz
()
1 1 | |2 2 sobre 1 e 2 é determinada completamente pela coeficientes de Glebsch-Gordan,
1 1 |() |2 2 = (1 1 |2 2 ) (1 k T() k 2 )
(372)
onde (1 k T() k 2 ) é uma função (real) não depende de 1 e 2 (Teorema
de Wigner-Eckart). Vamos provar o teorema. Tomando o elemento de matriz
da Eq.(366),
1 1 | ()() −1 ()|2 2 =
X
0 =−
()
()
1 1 |0 |2 2 D0 ()
(373)
Substituindo as relações de completeza nos espaços de representações de 1 e 2 ,
X
01 02
−1( )
( )
D11 0 () 1 01 |() |2 02 D0 22 () =
1
2
X
0 =−
()
(374)
Usando a relação de ortogonalidade da representação do grupo de rotação,
Z
82
()
−1(0 )
(375)
D0 () D 0 () =
0 0 0
2 + 1
117
()
1 1 |0 |2 2 D0 ()
e a propriedade de produto de dois matrizes de rotação,
XX
( )
( )
()
D11 0 () D22 0 () =
(1 2 ; 1 2 |) (1 2 ; 01 02 |0 ) D0 ()
1
2
0
(376)
temos
1 1 |() |2 2 = (1 1 |2 ; 2 )
Definindo
X
01 0 02
X
01 0 02
()
(1 01 |2 ; 0 02 ) 1 01 |0 |2 02 ≡ (1 k T() k 2 )
que não depende de 1 e 2 , obtemos o teorema de Wigner-Eckart.
118
()
(1 01 |2 ; 0 02 ) 1 01 |0 |2 02
(377)
(378)
12.8
Isospin
Existem graus de leberdades internas cuja propriedades não estão associadas
com a transformação no espaço tempo, mas sim com a propriedade intrínsêca
do sistema. Por exemplo, vamos considerar os mésons . Sabemos que existem
3 tipos de meson , i.e., + 0 e − . Estas partículas tem a massa quase
igual, ( ± ' 135 MeV/c2 ). Tendo em vista a equivalência entre a massa
e energia, podemos considerar que as massas de partículas são autovalores do
Hamiltoniano que descreve os estados de partículas. Neste sentido, o autovalor
de Hamiltoniano para os é (quase) degenerado. Além disto, em relação a
interação forte, estas partículas comportam quase identicamente. Isto sugere
que o Hamiltoniano da interação forte tem a simetria. Ocorre também que as
massas de proton e neutron são praticamente degeneradas e eles comportam—se
como se fossem a mesma partícula em relação a interação forte. Para formular
estes fatos em termos de simetria do Hamiltoniano da interação forte, em vez
de tratar proton e neutron como partículas distintas, é conveniente considerar
que o proton e o neutron são os dois estados de carga de uma única especie
de partícula, nucleon, assim como no caso de píons. Para um estado geral de
nucleon, construimos uma função de onda tipo vetor coluna,
µ + ¶
Ψ
Ψ =
(379)
Ψ−
onde Ψ+ representa a amplitude de probabilidade de encontrar o estado de
proton no estado de Ψ , e Ψ− o de neutron. Um estado geral de nucleon é dado
como uma combinação linear dos estados do proton e do neutron. A idéia é que,
apesar de nunca observarmos os estados intermediários entre proton e neutron,
generalizamos o conceito de estado da partícula como se a Natureza permitisse
a existência destes estados. Atribuimos o fato de que nunca observamos tais
estados no processo da medição das partículas, porque sempre as identificamos
através da medição da carga. Com isto, pelo Princípio da Mecânica Quântica,
os estados encontrados são sempre um dos auto-estados de carga. Isto é, após
a identificação da partícula, sempre temos a função de onda do tipo
µ + ¶
Ψ
Ψ =
0
(estado de proton) ou
Ψ =
µ
0
Ψ−
¶
(estado de neutron).
A situação acima é análoga ao caso de medição do spin de um eletron, onde
o detector para o spin mede só uma direção, digamos ao longo do eixo no
espaço. Neste caso, encontramos eletrons ocupando os estados de spin só na
direção + ou −, e nenhum nos estados intermediários.
119
Para o estado de píons, introduzimos a função de onda,
⎛ + ⎞
= ⎝ 0 ⎠
−
(380)
Generalizamos o pensamento acima para todos os estados de carga de partículas. Em outras palavras, postulamos que as partículas elementares que interagem fortemente (hádrons) devem ser classificadas em termos de representação
irredutível do grupo (2) do isospin. A estrutura do espaço de estados de
carga assim construido é matematicamente análoga aos estados de momento
angular, e o grupo de transformação dos estados de carga terá a mesma estrutura do grupo de rotação tri-dimensional (grupo SU(2) ). O operador análogo
ao momento angular é chamado o isospin, e denotamos por . Os autovalores
do isospin, serão { 12 1 32 }. Suponhamos ainda que o Hamiltoniano que descreve a interação forte é invariante sob o grupo (2) no espaço de
isospin. Isto quer dizer, o Hamiltoniano para interação forte é um escalar em
relação a transformaçao de rotação no espaço de spin. Se esta idéia for correta,
os estados de um sistema de hadrons que pertence a mesmo multipletes devem
ter a mesma energia, paridade e spin, a menos das diferenças causadas pelas
interações eletromagnética e fraca. Isto é verificado experimentalmetne.
O estado de isospin de cada hadron observado é então especificado por
| da mesma forma de autoestado de memento angular | . Por
exemplo, a família de partícula ∆ tem 4 estados de carga, ∆++ ∆+ ∆0 ∆− .
Já que 2 + 1 = 4 = 32. Ou seja a partícula ∆ tem ispspin 32. Como
convenção, a partícula com carga mais alta da família é identificada como sendo
o estado de = . No caso de ∆++ é então representado como o estado de
| = 32 = 32 . O estado de 0 é |1 0 . Desta forma, a carga de
partícula é sempre relacionado com . É conhecido que vale a seguinte régra
para hádrons que não possuem a estranheza:
⎧
para mésons
⎨
+ 12
para bárions
=
⎩
− 12 para antibárions
ou equivalentemente
1
= +
(381)
2
onde é número bariônico da partícula24 .
Num processo de transformação de partícula causado pela interação forte
deve conservar o isospin. Por exemplo, a partícula ∆ decai em e via
interação forte. Neste caso, o estado final do sistema tem que ter os mesmos
números quânticos de isospin inicial. Por exemplo, ∆+ pode decair em duas
maneiras:
½ +
+
+
∆ →
(382)
0 +
24
= 0 para mésons, = 1 para bárions e = −1 para antibárions.
120
Sem ter a simetria de isospin, somente a conservação de carga não determina
qual é a razão de ocorrência destes dois processos. Utilizando a conservação de
isospin, podemos calcular a razão de ramoficação do processo.
12.9
Simetria Unitária
Como vimos no caso de isospin, podemos generalizar o conceito de partícula
para referir uma família de partículas com diferentes cargas. Assim, o proton
e neutron são um dos estados de uma partícula chamada Nucleon, . Esta
generalização necessariamente introduz os estados não observáveis na prática,
isto é, as superposições de estados de proton e neutron.
Tal generalização pode ser ampliada para incluir outros números quânticos
além da carga. Em princípio, poderiamos considerar uma família classificada
através de um conjunto qualquer de números quânticos. Por exemplo, todas as
partículas que interagem fortemente são chamadas de hadrons. Assim, poderiamos considerar a partícula (HADRON) e considerariamos cada um dos
hadrons como um estado particular de todos os estados posíveis da partícula
. Entretanto, tal generalização teria sentido só se os estados intermediários
não observáveis assim introduzidos (superposição das diferentes partículas na
família) tivessem algum papel na descrição da dinâmica das partículas. No caso
do isospin isto é verdade, pois a lei da conservação de carga fica expressa em
termos de invariância do Hamiltoniano sob a transformação do grupo SU(2)
(discutiremos mais em detalhe posteriormente). Importante é que a Lei da
Natureza fica mais compreensível para nós através deste tipo de generalização .
As indicações para descobrir qual conjunto de partículas constitui uma família
são obtidas pela regra de seleção nos processos de reação e de decaimento, junto
com os multipletos dos espectros de massa. Na década 50, o número quântico
chamado estranheza foi descoberto como quantidade conservada nos processos
da interação forte, além do isospin. No caso de hadrons, foi tentado compreender a regularidade e a lei da aditividade dos números quânticos entre numerosas
partículas até então descobertas, através de combinações das partículas fundamentais que possúem estes números quânticos. Isto é completamente análogo ao
caso de núcleos, onde a variedade da espécie núclear pode ser entendida como
simples combinações de protons e neutrons.
Dentro destas tentativas, inicialmente Sakata e outros escolheram as partículas fundamentais como sendo proton (), neutron (), e Lambda (), onde cada
121
estado é representado por
⎛
⎞
1
→ ⎝ 0 ⎠
0
⎛ ⎞
0
→ ⎝ 1 ⎠
0
⎛ ⎞
0
→ ⎝ 0 ⎠
1
Na linguagem anterior, estas três partículas são consideradas como três estados
de uma única partícula, digamos . Os hadrons seriam constituidos da forma
Barions = ̄
Mesons = ̄
onde ̄ representa a antipartícula do . Neste forma, a partícula teria o
número barionico 1 (um). Este esquema funciionou parcialmente para explicar
o espectroscopia das partículas elementares, encorajando a ídeia de sistema composto para partículas elementares. Posteriormente, Gell-Mann, e independentemente, Zweig reformularam a idéia em termos de partículas fundamentais (
= quarks) que têm três estados,
⎛ ⎞
1
→ ⎝ 0 ⎠
0
⎛ ⎞
0
→ ⎝ 1 ⎠
0
⎛ ⎞
0
→ ⎝ 0 ⎠
1
só que agora os hadrons são constituidos na forma
Barions =
Mesons = ̄
Enfatizamos que os quarks e são os três estados de uma única partícula, e a
interação forte não distingue estes estados. Assim, o Hamiltoniano da interação
forte deve ser invariante pela transformação
−→
0
=
⎛
11
= ⎝ 21
31
122
12
22
32
⎞⎛
⎞
13
23 ⎠ ⎝ ⎠
33
com a propriedade
† = 1
e
| | = +1
Todas as transformações desta forma constitui um grupo e chamado o grupo
SU(3), isto é, o grupo de transformação formada de matrizes unitárias (3 × 3),
com o determinante +1. (No modelo de Sakata, o grupo era U(3)). Todos os
hadrons então devem ser classificados em termos de multipletos da representação
irredutível deste grupo. O mecanismo é análogo ao caso de classificar o estado de
momento angular total de um sistema composto. Por exemplo, para um estado
ligado de duas partículas de spin 1/2, os estados do sistema são classficados
como um estado (singlete) de spin 0 e três estados pertencente ao estado de
spin 1 (triplete), que são as representações irredutíveis do grupo SU(2). Todos
os 4 estados são degenerados se não houver interação que dependa do spin.
Mas, quando o sistema possui a interação que depende do spin, as energias dos
estados de diferentes multipletos serão diferentes, i.e., o estado singlete e os
estados tripletes se manifestam em dois níveis de energia distinta.
Analogamente, sob a simetria do grupo SU(3), o espectro de partículas seria
classificado de acordo com os multipletes da representação deste grupo. Este
grupo SU(3) introduzido aqui refere-se a simetria entre os números quânticos
de carga e estranheza. Para distinguir do outro grupo de simetria descoberta
posteriormente, referimos esta simetria como sendo a simetria de ” Sabor”.
Quando a simetria é perfeita, todos os estados que pertencem num mesmo
multiplete são degenerados (Lemma de Schur). Quando o sistema recebe a interação que não preserva a simetria original, a degenerecência entre os estados
num mesmo multilet será levantada. Na situação real, a interação forte parece
que não possui a simetria de sabor perfeita. Além disto, sabemos que a interação eletromagnética (e fraca) não possui a simetria de sabor SU(3). Assim,
esperamos que o levantamento de degenerecência se manifeste.
12.10
Representação de Grupo SU(3)
O grupo SU(3) é o grupo de transformações formadas de matrizes unitárias
3 × 3, com o determinante 1. Os elementos de grupo, então são especificados
por 8 parametros reais.
2 · 32 − 32 − 1 = 8
( 2× 32 números reais - 32 vínculos da hermiticidade - um vínculo de Det =
+1).
Consequentemente, existem 8 geradores do grupo, pelos quais podemos expressar qualquer elemento do grupo por
8
=
= ·
123
=1
onde ’s são os parâmetros reais e as matrizes = { ; = 1 8 } são os
geradores, matrizes hermitianas (3 × 3), com o traço nulo. A propriedade de
traço nulo vem do fato que | | = +1.
Há várias possibilidades para a representação dos geradores. A representação
comumente utilizada é a de Gell-Mann,
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
0 1 0
0 − 0
1 0 0
1 = ⎝ 1 0 0 ⎠ 2 = ⎝ 0 0 ⎠ 3 = ⎝ 0 −1 0 ⎠
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
0 0 1
0 0 −
0 0 0
4 = ⎝ 0 0 0 ⎠ 5 = ⎝ 0 0 0 ⎠ 6 = ⎝ 0 0 1 ⎠
1 0 0
0 0
0 1 0
⎛
⎞
⎛
⎞
0 0 0
1 0 0
1
7 = ⎝ 0 0 − ⎠ 8 = √ ⎝ 0 1 0 ⎠
3
0 0
0 0 −2
onde os ’s são normalizados por
( ) = 2
Os geradores satisfazem às regras de comutação ( Algebra de Lie);
X
[ ] =
onde os coeficientes do lado direito, são chamados de constantes de estrutura do grupo. Na tabela abaixa, listamos valores de não nulos.
Tabela Constantes Não-Nulos de Estrutura do Grupo SU(3)
123 2
246 1
367 -1
p
147 1
257 1
458 p32
156 -1
345 1
678
32
No caso de momento angular, sabemos que foi útil o uso dos operadores +
e − para construir as representações irredutíveis (cálculo de Clebsch-Gordan).
Podemos encontrar o análogo destes operadores no caso mais geral. Daqui por
diante, resumimos os aspectos matemáticos dos grupos de Lie em geral a fim de
dar uma idéia de como obter as representações irredutíveis de um dado grupo
de Lie. Alguns teoremas são citados sem demonstrações para evitar detalhes
técnicos.
Para um grupo de Lie , podemos escrever um elemento arbitrário do
grupo na forma,
= Λ
onde Λ é chamado o gerador do elemento , e dado por
Λ =
X
=1
124
onde é a dimensão do grupo (para SU(2), = 3 e para SU(3), = 8).
Obviamente, o conjunto de todos os geradores forma um espaço vetorial linear (
a combinação linear dos Λ’s também é um gerador), o qual denominamos por Γ.
Os ’s são os vetores de base e os parâmetros reais são chamados coordenadas.
Se introduziremos uma transformação linear na base,
X
= 1
(383)
−→ 0 =
as coordenadas para um elemento de grupo sofrem a transformação,
X
(−1 ) = 1
−→ 0 =
para que o elemento do grupo em si fique invariante,
X
=
=1
X
0
0
=1
Para simplificar a notação, denotamos
(−1 ) =
(note as posições dos indices). As coordenadas { } são ditas as componentes
contravariantes do vetor sob a transformação Eq.([?]). Por outro lado, se um
conjunto de números, { } associado linearmente com o vetor , { } transforma
de acordo com a lei,
X
= 1
−→ 0 =
então, os ’s são ditos as componentes covariantes do vetor . Para fixar as
componentes covariantes como uma função linear das componentes contravariantes, basta introduzir o tensor métrico, , através do qual,
X
=
onde as componentes do tensor métrica devem se transformar como componentes covariantes. Pela definição, podemos verificar que
X
X
=
0 0
P
ou seja é invariante sob a transformação Eq.([?]). Há várias possibilidades para definir o tensor métrico. O tensor métrico é que define a estrutura
geométrica do espaço Γ em questão . No caso de um grupo de Lie onde a estrutura da álgebra de Lie é definida, podemos definir o tensor métrico do seguinte
125
modo. Se observarmos a lei da transformação da regra de comutação entre os
vetores da base, temos
X
X
[ 0 0 ] = [
]
=
X
X
Por outro lado, devemos ter
[ 0 0 ]
=
X
0
0
=
X
0
X
Comparando as Eqs.(42) e (43), concluimos que as constantes de estrutura se
transformam como
X
−→ 0 =
Nesta forma, observamos que as componentes da constante de estrutura ,
as partes que se referem aos índices e se transformam como componentes
covarinates, enquanto a componente que se refere ao se transforma como
componente contravariante. Com isto, podemos construir o tensor métrico,
X
≡
12.11
A Forma Padrão da Algebra de Lie
Consideremos o operador linear (Λ) no espaço de geradores Γ, definido por
∀Λ
(Λ)
∈ Γ
≡ [ Λ ]
Para os vetores de base, , temos
(Λ)
= [
X
]
=
X
Podemos considerar o problema de autovalor do opearador (Λ),
(Λ) = (Λ)
onde os autovalores (Λ) sãochamados raízes. Note que o autovetor aqui é um
elemento do Γ, isto é um gerador do grupo. Sendo a dimensão do espaço Γ,
126
há raizes para esta equação. Estas raizes podem possuir degenerescência, e
o grau de degenerescência depende do elemento Λ. É sempre possível escolher
um elemento particular Λ tal que o grau de degenerescência é mínimo. Ou seja,
escolhemos o elemento Λ∗ tal maneira que a Eq.(49) possui o número máximo
de diferentes raizes. Neste caso, Cartan provou as seguintes propriedades das
raizes para grupos semi-simples.
1. A degenerescência pode ocorrer só para o autovalor nulo. O grau de
degenerescência é chamado o rank do grupo ( = multiplicidade da raiz
= 0).
2. Os autovalores não nulos não são degenerados.
3. Todos os autovetores com autovalor nulo comutam entre si.
4. O proprio vetor Λ∗ comuta com todos os autovetores com autovalor nulo,
e consequentemente é dado por uma combinação linear destes autovetores.
Vamos classificar os autovetores em dois grupos;
{
= 1 }
e
{
= 1 ( − )}
onde o primeiro grupo é para os autovetores com autovalor nulo, e o segundo,
para os autovetores com autovalores () . Então, pelo que dito nos itens acima,
[ ]
[ Λ∗ ]
=
=
Λ∗
=
[ Λ∗ ]
=
0
0
X
= 1
= 1
=1
()
(384)
(385)
(386)
= 1 ( − )
(387)
Agora da identidade de Jacobi,
[ [ Λ∗ ] ] + [ [ ] Λ∗ ] + [ [ Λ∗ ] ] = 0
(388)
temos
[ [ ] Λ∗ ] + [ [ Λ∗ ] ] = 0
Utilizando Eq.([?]), temos
[ Λ∗ ] = ()
com
≡ [ ]
127
(389)
A Eq.([?]) mostra que é o autovetor do (Λ∗ ) com o autovalor () , e como o
autovalor () não é degenerado, ou seja, existe apenas um autovetor associado
ao () , concluimos que é proporcional ao . Isto é,
()
[ ] =
(390)
()
sendo é um número. A Eq.([?]) mostra que é o autovetor do operador
()
( ) , com o autovalor . Expressando coletivamente,
⎛ () ⎞
⎛
⎞
1
1
⎜ () ⎟
⎜ 2 ⎟
⎟
⎜
2
⎜
⎟
⎟
[ ⎜ . ⎟ ] = ⎜
(391)
.
⎟
⎜
⎝ .. ⎠
⎝ .. ⎠
()
Temos então,
() =
X
()
()
= · ()
O vetor é chamado o vetor raiz.
Agora, outra vez da identidade de Jacobi,
[ [ Λ∗ ] ] + [ [ ] Λ∗ ] + [ [ Λ∗ ] ] = 0
temos
[ Λ∗ [ ] ] = ( () + () ) [ ]
mostrando que a soma ( () + () ) de quaisquer dois autovalores não nulos é
outra vez o autovalor do (Λ∗ ), e [ ] é o autovetor correspondente. Os
seguintes casos devem ser considerados separadamente:
a)
() + () = 0
b) () + () 6 = 0
Cartan mostrou que para um grupo semi—simples, para quaquer autovalores
() sempre existe que satisfaz o caso (a), i.é, − () é também o autovalor. Isto
implica que o número de autovetores com autovalores não nulo, ( − ), deve
ser um número par. Podemos escrever então,
[ − ] =
X
= 1
=1
−
2
Para o caso (b), deve existir o autovetor + . correspondente ao autovalor
() + () . Podemos escrever
[ ] =
128
onde é um número e é o índice do autovalor tal que () = () + () .
Tomando { = 1 = ±1 ±2 ± 2− } como base, as constantes
de estrutura ficam,
= 0
∀ e 1 ≤ ≤
−
=
()
=
1 ≤ ≤ 1 ≤ ≤ ( − )2
=
As demais constantes são nulas. Escolhendo ’s adequadamente, é sempre
possível ajustar a normalização do tensor métrico tal que
− = 1
= 1 ( − )2
Com esta normalização, podemos mostrar que
X
()
= − =
= (
()
)
O vetor raiz ≡ { } tem as seguintes propriedades:
Sejam e os vetores de raiz arbitrários.
a) O número,
≡
2( · )
( · )
é um inteiro ( Inteiro de Cartan).
b) O vetor
≡ − 2( · )
( · )
é também um vetor de raiz.
Como consequência do item a), o número,
≡
2( · )
( · )
também é um inteiro. Então,
0 ≤
( · )2
=
4
( · )( · )
= cos2 () ≤ 1
onde é o ângulo entre dois vetores. Só existem seis possibilidades para
que números inteiros ≥ satisfaçam a Eq.(64). A saber,
129
Figure 4:
1. = = 0
2. = = 1
3. = 2 = 1
4. = 3 = 1
5. = 4 = 1
6. = 4 = 2
Em termos de geometrias, temos
1. · = 0 −→ ⊥
2. = 3 ( · ) = ( · )
3. = 4 ( · ) = 2( · )
4. = 6 ( · ) = 3( · )
5. = 0 = 2 (não é possível)
6. = 0 = (não é interessante)
A propriedade b) significa que se e são vetores de raiz, podemos obter
mais dois vetores de raiz fazendo a reflecção de um dos vetores em relação a
outro ( ver a Figura abaixo).
Fig. Como obter novos vetores de raiz partindo de dois vetores de raiz
.As propriedades acima restringem fortemente a solução para possíveis vetores raiz. Cartan analizou todas as possibilidades e mostrou que os grupos
semi—simples podem ser classificados em 4 casos, { } além de
casos particulares, { 2 4 6 7 8 }. O Grupo () encaixa no caso
de −1 . Em particular, no grupo (3), temos = 2 (há dois geradores que
130
comutam entre si, que podemos observar da Eq.(33)). Podemos escolher 3 e
8 como sendo 1 e 2 . Assim, escrevendo
Λ∗ = 1 1 + 2 8
podemos calcular os comutadores,
[ Λ∗ 1 ]
[ Λ∗ 2 ]
[ Λ∗ 3 ]
=
=
=
[ Λ∗ 4 ]
=
∗
=
∗
=
∗
=
=
[ Λ 5 ]
[ Λ 6 ]
[ Λ 7 ]
[ Λ∗ 8 ]
21 2
−21 1
0
√
(1 + 32 )5
√
−(1 + 32 )2
√
(−1 + 32 )7
√
−(−1 + 32 )6
0
Com este resultado, fica fácil escrever a álgebra de Lie na forma padrão, introduzindo as seguintes definições,
¶ µ
µ
¶
3 2
1
=
≡
8 2
2
1
±1 ≡
(1 ± 2 )
2
1
±2 ≡
(4 ± 5 )
2
1
±3 ≡
(6 ± 7 )
2
A parte da álgebra de Lie fica resumida na forma padrão como
[ ] = 0 = 1 2
± ] = ±() ± = 1 2 3
[
[ + − ] = 2() ·
com os vetores raiz,
µ ¶
1
(1) =
0
(2) =
µ
√12
32
= 1 2 3
¶
(3) =
µ
−12
√
32
¶
Na Fig.3, mostramos o diagrama de vetor raiz para o grupo SU(3).
1. Complete os cálculos para obter a forma padrão da álgebra de Lie do
grupo SU(3).
2. Para o grupo SU(3), verifique as propriedades dos vetores raiz.
131
Figure 5: Diagrama de Vetor Peso
Uma vez estabelecida a forma padrão, procedemos a obtenção de representações irredutíveis da seguinte forma. Da forma padrão , Eq.(68-a), podemos
diagonalizar simultaneamente todos os geradores ’s. Ou seja, existe um vetor
de estado
| 1 ≡ |
( Para o grupo SU(3), = 2) que satisfaz,
|
=
|
O vetor
é chamado o vetor peso. Pela a forma padrão e com o procedimento
análogo no caso de momento angular, podemos mostrar que o vetor obtido pela
aplicação do gerador para o estado |
é vetor nulo ou um outro auto Precisamente falando, temos
estado do .
] |
= |
[
Ou seja,
( |
) = ( + )
|
Daí, concluimos que
1.
|
= 0
132
com autovalor
2. ou deve existir o auto-estado de
+ ,
|
= Const × |
+
podemos gerar outro autoDesta forma, partindo de um auto-estado de ,
estado, aplicando todos os geradores sucessivamente. Todos os autovetores
obtidos deste modo formariam a base de uma representação irredutível. Entretanto, este procedimento de gerar autovetores deve terminar em algum ponto
para uma representação finita. Os vetores peso, que constituim uma representação irredutível, satisfazem as propriedades análoga as de vetor raiz, i.e, sendo
o vetor raiz e
vetor peso,
a) O número,
2( · )
≡
( · )
é um inteiro.
b) O vetor
−
2( · )
( · )
é também um vetor peso.
Na Fig. 4 abaixo, mostramos todos os possíveis pontos que correspondem
aos vetores raiz do grupo SU(3).
Fig. 4
Os vetores peso possíveis para Grupo SU(3)
5
Numa representação finita, existe um conjunto de vetores peso, para os quais
sempre existe pelo menos um gerador que satisfaz a Eq.(73). Conectando
todos os pontos correspondentes a tais vetores peso, obteremos uma curva
fechada. Todos os vetores peso desta representação estão contidos nesta curva.
Mostramos algumas representações para o caso do grupo SU(3).
133
Fig. 5
Diagrama de vetores peso das representações do grupo SU(3)
De acordo com a hipótese da invariância da interação forte sob o grupo
SU(3), os hadrons devem ser classificados em termos destes diagramas. Em
particular, notamos que o diagrama (c) tem dimensão 8 (oito). Para esta representação, associamos o octeto bariônico, { Λ Σ+ Σ0 Σ− Ξ0 Ξ− },
e também o octeto mesônico, { + 0 + 0 − ̄ 0 − }. Podemos
identificar os autovalores do eixo 1 como os de isospin,3 e o eixo 2 como a
metade da hipercarga = + (ver a figura abaixo). Com isto, verificamos
a fórmula de Gell-Mann, Nakano e Nishijima,
= 3 +
13
2
Decomposição de Produto Direto
Os diagramas (a) e (b) acima são as menores representações irredutíveis não
triviais do grupo SU(3) e são chamadas representações fundamentais do mesmo.
As dimenções destas representações são 3 (três) e denotaremos a representação
correspondente ao diagrama (a) por {3} e a do diagrama (b) por {3̄}. Note que
os vetores peso do diagrama (b) são os vetores peso do diagrama (a) com sinal
negativo. Consequentemente, os vetores do estado pertencentes á representação
{3̄} transformam inversamente em relação aos vetores de estado pertencentes
ao {3}:
Seja | Ψ um estado pertencente à representação {3} do grupo SU(3). Sob
uma transformação do grupo, o estado se transforma em
| Ψ −→ | Ψ0 = | Ψ
sendo uma matriz unitária 3 × 3. Denotamos o estado que pertence à representação {3} por | Ψ̄ . Então, este estado se transforma em
| Ψ̄ −→ | Ψ̄0 = −1 | Ψ
As representações que satisfazem a relação do tipo Eq.(78) e (79) são chamadas
as representações conjugadas. Denotamos a representação cojugada da representação, {} por {̄}. Fisicamente falando, a representação cojugada {̄}
pode ser associada aos estados de antipartículas das partículas pertencentes à
representação {} .
Como no caso de momento angular, onde todos os estados de momento angular podem ser construidos partindo dos estados de spin 1/2, podemos construir
todas as representações do grupo SU(3) partindo de representações fundamentais. Suponha que os mesons são construidos de uma partícula fundamental
pertencente à representação {3} e uma antipartícula fundamantal pertencente
à representação {3̄}, os estados destes mesons devem ser escritos como as combinações lineares dos produtos de estados, um da {3}, outro da {3̄}. O espaço
134
formado por estes estados é dito o produto direto das representações {3} e {3̄}
e denotamos por
{3} × {3̄}
O espaço direto é, em geral, redutível. Por exemplo, sabemos que o produto
direto dos dois spin 1/2 se decompõe em spin 0 e spin 1. Simbolicamente,
escrevemos
{2} × {2} = {1} + {3}
Neste exemplo, o estado na representação {1} é formado pela combinação linear
assimétrica, enquanto os estados na {3} são formados pelas combinações lineares
simétricas dos estados de cada spin. Este exemplo é o caso do grupo (2). Em
geral, para o grupo ( ), podemos classificar os estados do produto direto
em termos de simetria do estado de combinação linear em relação à permutação
de cada componente.
13.1
Grupo de Permutação
Vamos considerar um sistema composto de 2 partículas com spin 1/2. O estado
de spin do sistema pode ser obtido com a adição de momento angular,
1 1
⊕ = 0 + 1
2 2
As funções de onda correspondentes são obtidas utilzando os coeficientes de
Clebsch-Gordan,
|1 =
12
X
11
1
1
− |1)| (1) | − (2)
22
2
2
(
=−12
para o estado = 1, e
|0 0 =
12
X
(
=−12
11
1
1
− |00)| (1) | − (2)
22
2
2
para o estado = 0. Explicitamente, temos
1 1
1 1
|1 1 = | (1) | (2)
2 2½
2 2
¾
1
1 1 (1) 1 1 (2) 1 1 (1) 1 1 (2)
√
|1 0 =
| | − +| − |
2 2
2 2
2 2
2 2 2
1 1 (1) 1 1 (2)
|1 −1 = | − | −
2 2
2 2
e
1
|0 0 = √
2
¾
½
1 1 (1) 1 1 (2) 1 1 (1) 1 1 (2)
| | − −| − |
2 2
2 2
2 2
2 2
135
Notamos que os estados de = 1 são todos simetricos em relação à troca de
partícula,
| (1) | (2) ⇐⇒ | (2) | (1)
no entanto o estado de = 0 é antisimetrico, trocando o sinal. Este fato de que
todos os estados que possuem a mesma propriedade de simetria ficam agrupados
num mesmo estado de não é acidental. Vamos considerar um sistema composto
de partículas. Neste caso, o espaço de Hilbert para o sistema como todo é o
produto direto de espaços de Hilbert,
H = H 1 ⊗ H 2 ⊗ ··· ⊗ H
e estados do sistema são escritos como
X
| =
1 2 ··· | 1 (1) | 2 (2) · · · | ()
Consideramos ainda um grupo de simetria para cada partícula. Denotando o
gerador deste grupo para -esimo partícula por Λ() , o gerador do grupo para o
estado do sistema todo é
X
Λ=
Λ()
ou seja vale a adição dos geradores. Mas neste caso, qualquer permutação das
partículas não altera o gerador do grupo. Em outras palavras, denotando o
operador de permutação entre partículas por P , temos
P ΛP −1 = Λ
O conjunto de todas as permutações formam um grupo, chamado de grupo
simétrico, . Obviamente um subespaço invariante do grupo é um subespaço
invariante do grupo , e vice-versa. Isto é a razão das simetria dos estados no
exemplo acima. Em geral, se decompomos o espaço de acordo com o grupo ,
podemos ter os subespaços invariantes para o grupo , simultaneamente. Caso
em que estes são únicos subespaços invariantes do grupo , teremos automaticamente as representações irredutíveis do grupo quando o espaço é decomposto
em subespaços invariantes irredutíveis do grupo .
14
14.1
Sistema de Partículas Idênticas e Segunda
Quântização
Permutação de Partículas
Vamos considerar um sistema formado de 2 elétrons. Na Mecânica Quântica,
surge uma nova situação quando tratar mais de uma partículas idênticas, diferentemente no caso de Mecânica Clássica. Na Mecânica Clássica, o fato de que
os dois elétrons serem idênticos não gera problema especial, pois duas partículas
são sempre mantém suas identidades separadamente, e podemos distinguir-las
136
