Baixar aqui - WordPress.com

NOTAS DE GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA
Filipe Mendonça de Lima
16 de março de 2012
Sumário
1 Axiomas de Incidência e Ordem
1.1 Axiomas de Incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Axiomas de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
2
Capı́tulo 1
Axiomas de Incidência e Ordem
1.1
Axiomas de Incidência
Daqui para a frente, nessas notas, P = Conjunto de todos os pontos do plano, M =
Conjunto de todas as retas do plano para melhor facilitar e organizar a escrita.
Axioma 1.1 (I1 ) m ∈ M ⇒ ∃ P1 , P2 ∈ P / P1 ∈ m e P2 6∈ m.
Axioma 1.2 (I2 ) Seja A 6= B ∈ P e m,n ∈ M. A,B ∈ m e A,B ∈ n ⇒ m=n.
Proposição 1.1 Seja m,n ∈ M. m 6= n e m ∩ n 6= ∅ ⇒ ∃! A ∈ P / A = m ∩ n.
Prova: 1 Vamos supor que existam mais de um ponto na interseção das retas. ∃ A 6=
B ∈ m ∩ n ⇒ A, B ∈ m e A, B ∈ n. Mas, por I2 , se isso acontece, m = n.
2
1.2
Axiomas de Ordem
Dada uma reta m e três pontos A, B e C, colocados nessa ordem. Dizemos que o ponto
B localiza-se entre A e C, e representaremos A ∗ B ∗ C.
Axioma 1.3 (O1 ) Sejam A, B, C ∈ P e m ∈ M. Se A 6= B 6= C, só um localiza-se
entre os outros dois.
Definição 1.1 Um segmento de reta AB contido em uma reta m, é o conjunto formado
por A, B e todos os pontos da reta m que estão entre A e B. Obviamente, AB = BA.
Definição 1.2 Seja A 6= B ∈ P. Seja SAB = { AB ∪ {C / A ∗ B ∗ C}}. SAB é um
subconjunto da reta m chamado de semirreta de origem A passando por B.
Proposição 1.2 Seja A 6= B ∈ P e m ∈ M determinada por A e B. Para as semirretas
determinadas por dois pontos A e B, tem-se:
2
1.2 Axiomas de Ordem
3
• SAB ∪ SBA é a reta determinada por A e B,
• SAB ∩ SBA = AB.
Prova: 2 Vamos provar que SAB ∪ SBA = m. Podemos fazer isso provando que SAB
∪ SBA ⊂ m e m ⊂ SAB ∪ SBA ao mesmo tempo.
1. Seja C ∈ SAB ∪ SBA , então C ∈ SAB ou C ∈ SBA . Como SAB ⊂ m e SBA ⊂ m,
então C ∈ m, e portanto, SAB ∪ SBA ⊂ m.
2. Seja C ∈ m. Relacionando os pontos A, B e C com o axioma (O1 ), temos três
opções:
(a) C está entre A e B, o que implica que C ∈ AB ⊂ SAB .
(b) A está entre C e B, o que implica que C ∈ SBA .
(c) B está entre A e C, o que implica que C ∈ SAB .
Com isso, ou C ∈ SBA ou C ∈ SAB , e assim C ∈ SAB ∪ SBA , portanto m ⊂ SAB ∪
SBA , e concluı́mos que SAB ∪ SBA = m.
Agora vamos provar que SAB ∩ SBA = AB. Da mesma maneira, vamos provar que um
conjunto está contido no outro para chegarmos à igualdade.
1. Seja C ∈ AB. Pela definição de semirreta com origem no ponto A passando pelo
ponto B, sabemos que AB ⊂ SAB , portanto C ∈ SAB . Como AB = BA, C ∈ BA.
Da mesma maneira, BA ⊂ SBA , fazendo C ∈ SBA . Então temos que C ∈ SBA e
C ∈ SAB , portanto C ∈ AB ⊂ SAB ∩ SBA .
2. Seja C ∈ SAB ∩ SBA . Vamos supor que C ∈
/ AB. Já que C ∈ SAB mas C ∈
/ AB,
então C ∈ {C / A ∗ B ∗ C}}, portanto B está entre A e C. Mas temos também que
C ∈ SBA . Analogamente temos que C ∈
/ AB e C ∈ {C / B ∗ A ∗ C}}, e portanto
A está entre B e C. Ora, pelo axioma (O1 ), dados três pontos, só um está entre
os outros dois, e portanto chegamos a um absurdo. Portanto, C ∈ AB, e assim C
∈ SAB ∩ SBA ⊂ AB.
Portanto, AB = SAB ∩ SBA .
2
Axioma 1.4 (O2 ) Dados A, B ∈ P. A 6= B ⇒ ∃ C tal que A ∗ C ∗ B, e ∃ D tal que
A ∗ B ∗ D.
Proposição 1.3 Entre quaisquer dois pontos de uma reta existem uma infinidade de
pontos.
Prova: 3 Vamos supor que existam finitos pontos entre dois pontos A e B em uma reta.
Vamos enumerá-los como {A, P1 , P2 , ..., Pn , B} onde n é um número natural finito. Ora,
basta pegar quaiquer par de pontos consecutivos, vamos supor P1 e P2 . Ora, pelo axioma
(O2 ), deverı́amos ter um ponto entre P1 e P2 , o que é impossı́vel já que os pontos são
finitos.
1.2 Axiomas de Ordem
4
2
Definição 1.3 Seja m ∈ M e A 6= B ∈ P tal que A,B ∈
/ m. Se AB não intercepta a
reta m, então dizemos que os pontos A e B estão do mesmo lado da reta.
Definição 1.4 Seja m ∈ M, e A ∈ ∈ P tal que A ∈
/ m. Seja PmA = AB ∪ { B / AB
não intercepta m }. Chamamos esse conjunto de semiplano determinado pela reta m
contendo A.
Axioma 1.5 (O3 ) Uma reta m determina exatamente dois semiplanos cuja interseção
é a reta m.
Definição 1.5 Um conjunto S é chamado de convexo se para todo A 6= B ∈ S, temos
que AB ⊂ S, ou seja, o segmento AB está totalmente contido em S. Os exemplos mais
elementares de conjuntos convexos são o próprio plano, a reta e um semiplano qualquer.
Proposição 1.4 A interseção de n-conjuntos convexos é convexa. Mas nem sempre a
união de convexos é convexa.
Prova: 4 Sejam os conjuntos S1 , S2 , S3 , ... ,Sn , todos convexos, e definiremos o conjunto S = S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩,..., ∩ Sn . Seja A 6= B ∈ S. Então A, B ∈ S1 , e A, B ∈ S2 ,
... e A, B ∈ Sn . Mas cada um dos conjuntos é por si só convexo, então AB ⊂ S1 , e AB
⊂ S2 , ..., AB ⊂ Sn . Portanto, AB ⊂ S. Então, a interseção de convexos é convexa. A
união de convexos não é convexa, basta considerar um conjunto formado por duas retas
r e s que se cruzam e não são coincidentes. Se pegarmos um ponto A ∈ r e um B ∈ s
e A,B 6∈ r ∩ s, automaticamente AB 6⊂ r ∪ s, pois se fosse subconjunto e como A e B
são pontos distintos, determinam uma reta única que obrigatoriamente deveria ser r ou
s, fazendo com que os pontos estivessem na mesma reta.
2