Lista 3

Topologia das Variedades
IMPA, Mar-Jun/2016
Lista de exercícios 3
1. Seja X um espaço topológico, e seja A ⊂ X subespaço fechado. Suponha que
A é retrato por deformação dum aberto A ⊂ V . Provar que
Hk (X, A) ∼
= H̃k (X/A).
2. (a) Provar que Hk (X, X \{x}) = Hk (U, U \{x}) para todo aberto x ∈ U ⊂ X.
(b) Calcular Hk (H, H \ {x}) para H ⊂ Rn o semiespaço.
(c) Concluir que se f : M → N é um homeomorfismo entre variedades com
bordo, então dim M = dim N e f (∂M ) = ∂N .
S
3. (a) Seja X = k≥1 Uk , com Uk aberto e Uk ⊂ Uk+1 . Provar que
Hn (X) ∼
= lim Hn (Uk ).
→
(b) Calcular as homologias de S ∞ , P ∞ (R) e P ∞ (C).
4. (Stokes para cadeias) Provar que se ω ∈ Ωcn−1 (U ), onde ∆n ⊂ U ⊂ Rn+1 é um
aberto, então
Z
Z
n
X
dω =
(−1)i
d∗i ω
∆n
i=0
∆n−1
5. (a) Provar que se ω ∈ Ωk (M ) é fechada e tal que
c ∈ Sk (M ), então ω é exata.
R
(b) Concluir que se ω ∈ Ω1 (M ) é fechada e tal que
f : S 1 → M , então ω é exata.
cω
= 0 para todo ciclo
R
f ∗ ω = 0 para todo
S1
(c) Provar que todo f : S 2 → T é homotópico
a uma constante. Concluir que
R
existe ω ∈ Ω2 (T ) fechada e tal que S 2 f ∗ ω = 0 para todo f : S 2 → M ,
mas ω não é exata.
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