Uma balança para introduzir os conceitos de equação do 1o grau

MATEMATICA
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ÁLGEBRA
Uma balança para introduzir os conceitos
de Equação do 1ºgrau
ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR
OBJETIVO
O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes de uma
equação do 1º grau, equações equivalentes, equações do 1º grau com uma e duas incógnitas, e
sistemas de equações do 1º grau com duas e três incógnitas.
DISCUSSÃO
Os materiais utilizados serão: 1 balança e cubos com massas variadas.
A classe deverá ser dividida em grupos de 2 a 4 alunos.
IMPORTANTE
A letra ou o número indicado em cada cubo representa a sua massa.
Valores de cada cubo (apenas para professores):
Cubos brancos = 20g
a = 10g
x = 20g
p = 50g
b = 30g
y = 10g
q = 30g
c = 40g
z = 30g
r = 70g
d = 20g
v = 40g
e = 50g
w = 60g
1- EQUAÇÃO
O que é uma equação?
Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais
incógnitas, é denominada equação.
Exemplos:
2x + 4y = 8 é uma equação com duas incógnitas, x e y.
3z – 2 = 7 é uma equação com uma incógnita, z.
2- RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO
As raízes de uma equação são números que tornam a sentença verdadeira. Por exemplo,
considere a seguinte equação:
p + 5 = 14
Se substituirmos a incógnita p pelo número 9, teremos:
9 + 5 = 14
14 = 14
E como esta sentença é verdadeira, segue que o número 9 é raiz da equação dada.
1
Obs:
Conjunto Universo – Contém todas as possíveis soluções. Indica-se por U.
Conjunto Verdade – É o conjunto dos valores de U que tornam verdadeira a equação. Indica-se
por V.
Podemos determinar a raiz de uma equação com o auxílio da balança. Veja o exemplo a
seguir:
Exemplo: Considere a equação x + a = b e o seguinte conjunto universo U={a,b,c,d,e}.
Utilize a balança para determinar o valor x.
Resolução: Coloque os cubos expressos pelo 1º membro da equação em um dos pratos da
balança e o cubo expresso pelo 2º membro no outro prato. Como não conhecemos a incógnita x,
devemos fazer um teste com cada elemento do nosso conjunto universo. Aquele que deixar a
balança em equilíbrio será a solução (raiz) da equação. A resposta deste problema é x = d.
Verifique!
Exercícios:
1) Utilize a balança para encontrar as raízes das equações abaixo, sendo U={a,b,c,d,e} o conjunto
das possíveis soluções.
a) t + b = c
(Resp: a)
b) s = b + d
(Resp: e)
2) Sabendo-se que a = 1g e b = 3 g , determine as massas c,d e e. (Dica: Utilize as equações
anteriores.)
(Resp: c=4g , d=2g e e=5g)
3- EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Duas ou mais equações que apresentam a mesma solução ou raiz são denominadas
equações equivalentes.
Exemplo: q + 3 = 4 e 7 – q = 6 são equivalentes pois apresentam q = 1 como raiz.
Princípio aditivo: Quando subtraímos ou adicionamos um mesmo número aos dois membros
de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada.
Exemplo: Considere a seguinte equação: r – 3 = 9.
Se adicionarmos o número 3 aos dois membros desta igualdade, obteremos a equação r = 12
que é equivalente à equação inicial:
r–3+3=9+3
r = 12
A seguir, usaremos a balança e alguns cubos para determinar equações equivalentes.
Utilizaremos cubos com massas 1 grama e x gramas.
Considere a equação:
2
x+1=3
Coloque os cubos na balança conforme indicado nesta equação (veja figura abaixo). O
equilíbrio da balança é devido à igualdade entre os membros x + 1 e 3.
(i) Acrescente 1 cubo de 1grama a cada prato e observe que a balança continua em equilíbrio.
Veja o que foi feito:
x+1=3
x + 1 +1 = 3 +1
x+2=4
(equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2})
(adição de 1 grama a cada membro da equação)
(equação equivalente à equação dada, pois S={2})
(ii) Faça agora o contrário: ao invés de acrescentar, retire 1 cubo de 1 grama de cada prato. A
balança permanecerá em equilíbrio.
Veja o que fizemos:
x+1=3
(equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2})
x + 1 – 1 = 3 – 1 (subtração de 1 grama a cada membro da equação)
x=2
(equação equivalente à equação dada, pois S={2})
Utilizando a balança e os cubos com massas: 1 grama, v gramas, w gramas, y gramas e z
gramas, resolva os exercícios abaixo.
Exercícios:
1) Identifique os pares em que as equações são equivalentes:
(X) z + 2 = 5 e z = 3
( )y+1=3ey=1
(X) y + 3 =4 e y + 1 = 2
2) Escreva, na forma mais simples, uma equação equivalente a cada uma das equações dadas:
a) v + 3 = 7
(Resp: v = 4)
b) 8 = w + 2
(Resp: w = 6)
3
Princípio Multiplicativo: Quando multiplicamos ou dividimos por um mesmo número os dois
membros de uma equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada.
Exemplo: Considere a seguinte equação: 3x = 6.
Dividindo ambos os membros desta igualdade por 3, obtemos a equação x = 2 que é
 3x 6

= ⇒ x = 2 .
 3 3

equivalente à equação inicial 
Considere agora a seguinte equação: 2x = 4.
Encontraremos uma equação equivalente a esta com a utilização da balança e dos cubos de
massas 1 grama e x gramas.
Coloque os cubos na balança conforme indicado na equação acima (veja figura abaixo).
(i) Dobre a quantidade de cubos em cada prato (o que significa multiplicar os dois membros por
2). Observe que a balança permanece em equilíbrio.
Veja o que foi feito:
2x = 4
2.(2x) = 2.4
4x = 8
(equação dada inicialmente, com conjunto solução S={2})
(multiplicação dos dois membros da equação por 2)
(equação equivalente à equação dada, pois S={2})
(ii) Faça agora o contrário: deixe apenas a metade da quantidade de cubos em cada prato (o que
significa dividir os dois membros por 2). A balança continuará em equilíbrio.
Veja o que fizemos:
2x = 4
2x 4
=
2 2
x=2
(equação inicial, com conjunto solução S={2})
(divisão dos dois membros da equação por 2)
(equação equivalente à equação dada, pois S={2})
4
Utilizando a balança e os cubos com massas: 1 grama, v gramas, w gramas, y gramas e z
gramas, resolva os exercícios abaixo.
Exercícios:
1) Identifique os pares em que as equações são equivalentes:
( ) 4y = 4 e y = 2
(X) 2z = 6 e z = 3
(X) y = 1 e 3y = 3
2) Escreva na forma elementar uma equação equivalente a cada uma das equações dadas:
a) 3v = 12
(Resp: v = 4)
b) 2w + 3 = 15
(Resp: w = 6)
c) 2v + 2 =10
(Resp: v = 4)
4- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Toda equação que, quando reduzida, assume a forma ax = b, onde x é uma incógnita e a e b
são números racionais (com a ≠ 0), é denominada equação do 1º grau com uma incógnita. Os
números a e b são denominados coeficientes da equação.
Exemplos:
x = 10
7x – 2 = 6x + 11
x = 13 (forma reduzida)
3y = 21
Exercício: Coloque 5 cubos brancos no 1º prato da balança e 2 cubos brancos mais 1 cubo
de 6 gramas no 2º prato e responda:
a) Qual é a equação que representa a situação descrita?
(Resp: 5x=2x+6)
b) Escreva a equação na forma reduzida ax = b . Quem são os coeficientes a e b?
(Resp: 3x=6, a=3 e b=6)
c) Utilizando os princípios aditivo e multiplicativo, determine a massa de cada cubo branco.
(Resp: 2 gramas)
5- EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com
a ≠ 0 e b ≠ 0, denomina-se equação do 1º grau com duas incógnitas. Os números a, b e c são
denominados coeficientes da equação.
Exemplos:
12r + 3s = 20
2p – 5q = 12
m+n=3
Considere a equação:
x+y=5
Se o domínio considerado for o dos números naturais, as soluções desta equação são os
pares ordenados: (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1).
(Explicar para os alunos o que é domínio caso não saibam.)
5
Agora, se o domínio considerado for o dos números reais, teremos infinitas soluções, como
por exemplo: 1,7 + 3,3 = 5 ou 3,75 + 1,25 = 5.
Qualquer par ordenado (x,y) ∈ t
é solução da equação x+y=5,
com x,y ∈ R .
Exercício: Encontre, utilizando a balança, as possíveis soluções da equação
m + n = 7, com m,n∈ Ν .
6- SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas x e y significa
determinar o único par ordenado (x,y) que é solução do sistema.
Exemplo: O par ordenado (12,5) é a única solução do sistema
x + y = 17
2x – y = 19
Considere a seguinte situação: temos dois cubos com massas desconhecidas, y e z. Nosso
objetivo é determinar tais massas e para isso podemos utilizar a balança e apenas pesos de 2
gramas.
Primeiro, tente pesar os cubos y e z separadamente. Você verá que isso não é possível (a
balança não atingirá o equilíbrio, independente da quantidade de cubos de 2 gramas que for
utilizada).
O que podemos concluir a partir disso? Que os valores das massas dos cubos y e z não são
múltiplos de 2, ou seja, são valores ímpares.
Mas, a soma de dois números ímpares resulta em um número par. Assim, se colocarmos y e z
num dos pratos e 2 cubos de 2 gramas no outro, a balança ficará em equilíbrio. (Verifique!)
Logo,
y+z=4
(1)
Além disso, sabemos que a diferença entre dois números ímpares distintos também resulta
em um número par. Coloque então y em um dos pratos e z no outro. A balança ficará em
desequilíbrio.
6
Se acrescentarmos um cubo de 2 gramas ao prato onde está o cubo y, teremos o equilíbrio da
balança.
Assim, y + 2 = z 2 = z – y
Logo,
z– y = 2
(2)
Temos então um sistema formado pelas equações (1) e (2):
y+z=4
z–y=2
E resolvendo este sistema, obtemos os valores desejados:
y = 1g e z = 3g
Exercício: Com o auxílio da balança e de cubos com massas iguais a 2 gramas, descubra
quanto pesa os cubos p e q.
(Resp: p=5g e q=3g)
Desafio: Utilize a balança e os cubos com massas iguais a 3g, 5g e 7g para descobrir o
“peso” dos cubos y, x e v.
(Resp: y=1g, x=2g e v=4g)
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