Parte 1

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1.0
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS X
- INTRODUÇÃO
1.1
– OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis
que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer
as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a
fim de capacitá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade,
durabilidade e em condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à
ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para
a análise nesta disciplina.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para
atender a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser
confundidas com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes
ou ferramentas). A capacidade de um elemento reagir às deformações é chamada
de rigidez do elemento.
Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos
requisitos de resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um
todo, não é capaz de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A
estabilidade das estruturas é outro problema a ser analisado.
Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos
elementos (concentração de tensões), por cargas alternativas (ressonância e
fadiga do material) e por cargas dinâmicas (choque mecânico) serão também
estudados.
A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de
construção deve ser feita baseada em critérios de otimização, visando,
invariavelmente, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria
aeronáutica), facilidade de fabricação, de montagem, manutenção e reparo.
Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais
estabelece modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para
descrever a complexa realidade física, permitindo uma fácil resolução dos
problemas, obtendo-se resultados aproximados que, posteriormente, são
corrigidos através de coeficientes que levam em conta as simplificações feitas.
Esses coeficientes de correção (coeficientes de segurança) são estabelecidos
experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas Técnicas ou em função
da habilidade e experiência do projetista.
A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas
simplificados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada
pela Teoria da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis
que se propõe a solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais,
porém através da utilização de métodos matemáticos mais complexos, mas de
maior abrangência).
1.2 – HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto
às características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais,
tipos de carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidas
hipóteses e esquemas de cálculo simplificadores, a análise dos problemas seria
impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada experimentalmente.
a) Quanto aos materiais:
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc)
homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais
propriedades em todas as direções). Essas hipóteses nos permitem aplicar as
técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a solução matemática dos
problemas. Deve-se ter cautela, entretanto, quanto à sua aplicação para certos
materiais de construção (como o concreto ou a madeira), ou materiais de
estrutura cristalina (como o granito) cujas características heterogêneas e
anisotrópicas nos levariam a resultados apenas aproximados. Outra suposição
freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeitamente elásticos
(sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a que estão
submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esforços).
b) Quando à geometria dos elementos estruturais:
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados
(Fig. 1.2.1):
BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de
grandeza (a ~b ~c);
FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura)
muito menor (*) que as outras duas (e << a ~b);
BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada
comprimento) muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b).
(*) da ordem de 10 vezes ou mais.
A Resistência dos Materiais Elementar propõe métodos para resolução de
problemas envolvendo elementos estruturais do tipo de barras. Estudos mais
avançados dão conta da solução de alguns problemas relativos às folhas. O
estudo dos blocos não é tratado pela Resistência dos Materiais, devendo-se
recorrer aos métodos da Teoria da Elasticidade.
2
b
BLOCOS
a
c
e
CASCAS
b
a
FOLHAS
CHAPAS
PLACAS
PLACAS
ARCOS
BARRAS
BARRAS
BARRAS RETAS
VIGAS
PERFIS
DELGADOS
L
Fig. 1.2.1 – Classificação dos elementos estruturais quanto a sua geometria.
c) Quanto ao carregamento:
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes
modelos simplificados (Fig. 1.2.2):
Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as
forças de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de
esforços sobre placas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como
a ação ao longo de vigas, q = dF/dx);
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Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão
quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito
(uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de
contato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o
que nenhum material seria capaz de suportar sem se romper.
q(x)
W
P
(c)
(a)
(b)
F
(d)
Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em
superfícies, (c) em linha; (d) forças concentradas.
d) Quanto aos vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da
estrutura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos
cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos.
Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são
classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo
numa direção pré-determinada;
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Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do
corpo em todas as direções;
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado
do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
APOIO
MOVEL
SÍMBOLO
Biela ou
conectora
Pino deslizante
rodete
R
APOIO
FIXO
SÍMBOLO
Rx
Ry
rótula
E
N
G
A
S
T
A
M
E
N
T
O
SÍMBOLO
Rx
Mz
Ry
Fig. 1.2.3 – Tipos de vínculos e reações de apoio
e) Inexistência de esforços iniciais –
Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição,
usinagem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços
localizados cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos
que não existem esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando
existirem fortes razões para que tais esforços precisem ser considerados, eles
serão determinados experimentalmente.
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f) Princípio de Saint’Venant –
Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a
estabelecida por Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente
afastados das regiões de aplicação dos esforços, os efeitos internos se manifestam
independentemente da forma de distribuição daqueles esforços. Este princípio
permite o cálculo dos esforços no interior dos corpos utilizando a resultante dos
esforços atuantes, como uma força concentrada equivalente, hipótese válida
apenas para pontos afastados em relação ao local onde os esforços são
distribuídos, de uma distância d superior a 1,5 a 2,0 vezes a maior dimensão b da
distribuição da carga.
b
d
q
esforços
internos
q.b
d + b/2
Fig. 1.2.4 – Princípio de Saint’Venant.
g) Princípio da Superposição dos Efeitos
Os efeitos de um sistema de várias forças agindo em um corpo (ações internas ou
deformações) será igual à soma dos efeitos parciais produzidos nesse corpo
quando cada esforço é aplicado isoladamente, independentemente da ordem de
aplicação. Este princípio, largamente utilizado na Mecânica dos Corpos Rígidos,
pode ser estendido aos corpos deformáveis desde que:
1º) os deslocamentos dos pontos de aplicação das forças sejam pequenos
quando comparados com as dimensões da estrutura (manutenção da geometria
inicial);
2º) os deslocamentos devidos às deformações da estrutura variem
linearmente com os esforços (proporcionalidade esforço-deformação).
Na Fig. 1.2.5 são apresentados dois exemplos sendo um (a) onde o
princípio da superposição pode ser aplicado e outro (b), onde não pode ser
aplicado.
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(a)
P1
(b)
P1
P2
P2
P3 = P1 + P2
P3=P1+P2
F1
F2

F3  F1 + F2
F3 = F1 + F2
Fig. 1.2.5 – Princípio da Superposição dos Efeitos
1.3 - ESFORÇOS
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma
estrutura podem ser classificados segundo o quadro:
Permanentes
ATIVOS
EXTERNOS
Acidentais
REATIVOS
Força Normal
Força Cortante
ESFORÇOS
SECCIONAIS
Momento Fletor
Momento Torsor
INTERNOS
Tensão Normal
LOCAIS
Tensão Tangencial
a)
Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por
contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a
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ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os
esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam
constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando
atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida
das máquinas, etc.). Esses esforços são em geral conhecidos a priori (através das
Normas Técnicas, requisitos para o projeto, etc). No projeto de novas estruturas o
peso próprio é inicialmente desconhecido já que as dimensões das partes não
estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado em conta nesses casos a partir
de um peso estimado e utilizando-se um método de cálculo iterativo, rapidamente
convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos, também externos, são
denominados de esforços reativos, ou reações dos apoios, sendo determinados
pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em
repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a:
F x = 0F y = 0M z = 0
Quando o número de reações vinculares desconhecidas iguala o número de
equações da Estática utilizáveis, a estrutura é dita isostática (ou estaticamente
determinada). Caso o número de reações seja superior ao número de equações
disponíveis, estaremos diante de uma estrutura hiperestática. A determinação dos
esforços reativos nessas estruturas estaticamente indeterminadas será feito
utilizando-se equações suplementares que caracterizem a compatibilidade de
deformações e que serão estudadas no presente curso.
Como exemplo, a Fig. 1.3.1 apresenta um esquema da estrutura isostática
de um guindaste onde se pode reconhecer que o peso de 20 toneladas como um
esforço externo ativo permanente, a carga de 10 tf como um esforço externo ativo
transitório. A ponte móvel se apóia no mancal superior B (apoio fixo) e se
encosta em A (apoio móvel) na pista circular fixa à torre. A determinação das
reações nesse apoios, feita através das equações da Estática, nos permite obter:
A = 10,0 tf ();
B x = 10,0 tf ();
B y = 30,0 tf ();
B = 31,6 tf (71,6º )
8
2m
8m
B
20 tf
6m
A
Pista circular
rodetes
10 tf
Bx
By
20tf
A
10tf
Fig. 1.3.1 – Estrutura isostática da Ponte Móvel de um Guindaste (AMRJ).
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