questão 16 resolução

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PARA QUEM CURSA O 8.O ANO EM 2013
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
—
—
A figura abaixo representa um pentágono regular, do qual foram prolongados os lados AB e DC
até se encontrarem no ponto F.
É correto afirmar que:
^
^
^
a) med (B) ≠ med (C)
^
b) med (F) = 36°
^
^
d) med (A) = 18°
^
c) med (E) + med (D) = 180°
^
e) med (A) + med (F) = 180°
RESOLUÇÃO
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é
Si = 180°(n – 2), para o caso do pentágono, temos: Si = 180°(5 – 2) = 540°
540°
^
^
^
^
^
Desta forma med(A) = med(B) = med(C) = med(D) = med(E) = ––––– = 108°
5
Temos então a figura:
No triângulo BCF, temos:
^
^
^
F + 72° + 72° = 180° € F = 180° – 144° € F = 36°
Resposta: B
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 17
Entre quais números inteiros está situado o número que representa o valor da expressão:
冢 冣 冢 冣
2
5
– –– . + ––
3
2
–––––––––––––––– ?
1
1 + ––
2
a) – 1 e – 2
b) 0 e – 1
c) 1 e 2
d)– 2 e – 3
e) 2 e 3
RESOLUÇÃO
Resolvendo a expressão, temos que:
冢 冣 冢 冣
10
10
2
5
– ––––
– ––––
– –– . + ––
6
6
10
3
10
2
3
2
–––––––––––––––– = ––––––––––– = ––––––– = – –––– : ––– = – –––– . ––– =
2+1
3
6
2
6
3
1
1 + ––
–––––––
–––
2
2
2
20
10
= – –––– = – –––– = – 1,111… . O número –1,111… está situado entre – 1 e – 2.
18
9
Resposta: A
QUESTÃO 18
(U.E.Feira de Santana) – Simplificando a expressão
x2 – y2
x2 + xy
––––––––– . –––––––––––––– , obtêm-se:
xy – y2
x2 + y2 + 2xy
1
a) –––––––––
x2 + y2
1
b) ––––––––––––––
x2 + y2 + 3xy
x2
d) ––––––
2xy
x
e) –––
y
2x2 + x
c) ––––––––––––
x2 + y2 + xy
RESOLUÇÃO
Fatorando os numeradores e denominadores das frações, temos que:
x2 + xy = x(x + y) Æ Fator comum
xy – y2 = y(x – y) Æ Fator comum
x2 – y2 = (x + y)(x – y) Æ Diferença de dois quadrados
x2 + y2 + 2xy = (x + y)2 Æ Trinômio quadrado perfeito
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
Resolvendo a expressão, teremos:
(x + y)(x – y)
x
x2 + xy
x2 – y2
x . (x + y)
= ––––
–––––––––– . –––––––––––––– = –––––––––––– . ––––––––––––––
(x + y)2
y
xy – y2
x2 + y2 + 2xy
y . (x – y)
Resposta: E
QUESTÃO 19
Observe o quadrado que segue:
Se a soma dos termos em cada diagonal é igual a 27, qual o valor de xy ?
a) 4
b) 8
c) 9
d)16
e) 25
RESOLUÇÃO
Se a soma dos termos de cada diagonal é igual a 27, podemos escrever o sistema:
+ 10 + y = 27
冦7x
5y + 10 + x = 27
€
17
冦x7x++5yy == 17
Multiplicando-se a 2a. equação por – 7 resulta:
= 17
冦–7x7x+ –y 35y
= – 119
fi – 34y = – 102 € 34y = 102 € y = 3
Se 7x + 10 + y = 27 e y = 3, então:
7x + 10 + 3 = 27 € 7x = 14 € x = 2
Assim xy = 23 = 8
Resposta: B
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 20
3
3
3
A sequência ––– x, ––– x, ––– x, … tem 6 termos. Sabe-se que a soma do primeiro com o
4
8
16
51
penúltimo termo dá ––– . O número natural que representa o segundo termo dessa
2
sequência é igual a:
a) 4
b) 6
c) 8
d)10
e) 12
RESOLUÇÃO
Completando essa sequência até o 6o. termo, temos:
3
––– x,
4
3
––– x,
8
1/2
1/2
3
––– x,
16
1/2
3
3
3
––– x, ––– x, –––– x
128
64
32
1/2
1/2
51
3
3
Se a soma do 1o. termo com o penúltimo termo é ––– x + –––– x = –––
2
64
4
48x + 3x
1632
temos: –––––––––– = ––––––– € 51x = 1632 € x = 32
64
64
96
3 . 32
Se x = 32, o segundo termo é igual a ––––––– = –––– = 12
8
8
Resposta: E
QUESTÃO 21
Na figura, as retas r e s são paralelas.
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
Podemos afirmar que:
a) a = y e b = x
d) a + b = x + y
b) a ≠ y e b ≠ x
e) a + y = b + x
c)a + x = b + y
RESOLUÇÃO
Sendo a e b, x e y ângulos colaterais internos e externos respectivamente, podemos
afirmar que a + b = 180° e x + y = 180°. Assim a + b = x + y
Resposta: D
QUESTÃO 22
Um reservatório de água, com 7 m de comprimento, 3 m de largura e 1,6 m de altura, tem a
forma de um paralelepípedo retângulo. Quantos litros de água contém este reservatório
3
quando estiver com ––– de sua capacidade?
4
a) 3 360 ᐉ
d) 10 800 ᐉ
b) 33,6 m3
e) 33 600 dm3
c) 25 200 ᐉ
RESOLUÇÃO
O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é:
V = a . b . c fi V = 7 m . 3 m . 1,6 m fi V = 33,6 m3
Como 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 ᐉ, temos:
33,6 m3 = (33,6 . 1000) dm3 = 33 600 dm3 = 33 600 ᐉ
3
Se o reservatório estiver só com ––– de sua capacidade, então temos:
4
100 800
3
––– . 33 600 = ––––––––– = 25 200 ᐉ
4
4
Resposta: C
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 23
A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas, em
anos, a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e 32.
Podemos afirmar que a idade média dos membros da diretoria desse clube é de:
a) 27 anos
d) 32 anos
b) 29 anos
e) 34 anos
c) 30 anos
RESOLUÇÃO
Considerando os dados do problema, podemos observar que:
– o valor 27 se repete 2 vezes
– o valor 30 se repete 5 vezes
– o valor 32 se repete 3 vezes
Assim, a média das idades é:
300
54 + 150 + 96
27 . 2 + 30 . 5 + 32 . 3
–––––––––––––––––––––– = –––––––––––––– = –––––– = 30
10
10
2+5+3
Resposta: C
QUESTÃO 24
Numa maquete, a altura de um edifício é de 80 cm.
Qual é a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na escala 1:50?
a) 400 cm
OBJETIVO
b) 36 m
c) 40 dm
d) 40 m
6
e) 360 cm
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
RESOLUÇÃO
Indicando por x a altura real do prédio, vamos usar escala para resolver a questão.
altura na maquete
escala = ––––––––––––––––––––
altura real
Assim,
1
80 cm
–––– = ––––––– € x = (50 . 80) cm € x = 4000 cm = 40 m
50
x
Resposta: D
QUESTÃO 25
(CFS) – Ao calcular o mdc entre os números A e B pelo algoritmo de Euclides (divisões
sucessivas), obteve-se:
2
1
2
A
B
x
11
y
z
0
Sendo x, y e z números naturais não nulos, podemos afirmar:
a) A – B = 27
d) A – B = 33
b) A – B = 47
e) A – B = 77
c) A – B = 55
RESOLUÇÃO
Se o mdc entre A e B é 11, a diferença entre eles será necessariamente, um múltiplo de
11, afinal ambos são múltiplos de 11.
Assim, A – B não pode ser 27 nem 47. Das últimas colunas, temos:
2
1
2
A
B
x
11
y
z
0
2
1
2
A
B
22
11
y
11
0
OBJETIVO
x = 11 . 2 + 0 = 22 e z = 11
Percebemos também que:
B = 22 . 1 + 11 = 33 e y também será 22.
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
2
1
2
A
33
22
11
22
11
0
Assim, A = 33 . 2 + 22 = 88
Se A = 88 e B = 33, então A – B = 88 – 33 = 55
Resposta: C
QUESTÃO 26
(UNICAMP-adaptado) – Roberto disse a Valéria: “pense em um número; dobre esse
número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Valéria disse
“15”, ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado,
que é igual a:
5
7
7
冢 冣 冢 冣
1
1
a) –– : ––
3
3
b) 34
d) 33 : 3–1
5
冢 冣 冢 冣
1
1
c) –– : ––
3
3
:3
e) 35 : 37
RESOLUÇÃO
Chamando o número procurado de x, temos:
O dobro do número 2x, somando 12 ao resultado obtêm-se 2x + 12 e dividindo o
2x + 12
resultado por 2, temos –––––––––
2
2x + 12
Assim: ––––––––– = 15 € 2x + 12 = 30 € 2x = 18 € x = 9
2
O número pensado por Valéria foi 9.
Analisando as alternativas, temos:
a)
5
7
–2
冢 冣 冢 冣 =冢 冣
1
––
3
1
: ––
3
1
––
3
= 32 = 9
b) 34 : 3 = 33 = 27
c)
7
5
冢 冣 :冢 冣
1
––
3
1
––
3
=
2
1
1
–– = –––
3
9
冢 冣
d) 33 : 3 –1 = 33 – (– 1) = 34 = 81
1
e) 35 : 37 = 3– 2 = –––
9
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
Assim, o número pensado por Valéria, 9 no caso, equivale a expressão
5
7
冢 冣 :冢 冣
1
––
3
1
––
3
da alternativa A.
Resposta: A
QUESTÃO 27
Os números x e y representam as medidas dos lados de um retângulo. Sabe-se que esse
retângulo tem 32 unidades de área e seu perímetro é 24 unidades. Nessas condições, dado
o polinômio 3x2y + 3xy2, qual o seu valor numérico?
a) 854
b) 992
c) 1152
d)1512
e) 1562
RESOLUÇÃO
Se x e y representam os lados desse retângulo, que tem área igual a 32 e perímetro
igual a 24, podemos escrever que:
+ 2y = 24
冦2x
x . y = 32
€
冦xx +. yy==3212
Fatorando o polinômio 3x2y + 3xy2, temos que:
3x2y + 3xy2 = 3xy(x + y) = 3 . 32 . 12 = 1152
Resposta: C
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 28
No retângulo ABCD da figura as regiões brancas são quadrados ou partes de quadrados de
3 cm de lado. Os octógonos têm ângulos internos de 135° mas não são necessariamente
regulares. Qual a área da região escurecida?
a) 200 cm2
b) 210 cm2
d) 230 cm2
e) 240 cm2
c) 220 cm2
RESOLUÇÃO
Se a medida do lado de cada quadrado mede 3 cm, então a área de cada um deles é de
9 cm2.
Na figura temos: 2 quadrados de 9 cm2 de área, 6 triângulos que agrupados 2 a 2
formam 3 quadrado de 9 cm2 de área e 4 triângulos que agrupados formam um
quadrado de 9 cm2 de área. Assim, temos:
2 . 9 + 3 . 9 + 1 . 9 = 18 + 27 + 9 = 54 cm2
A área total do retângulo é igual a 21 cm . 14 cm, que é igual a 294 cm2.
Sendo assim, a área total menos a área ocupada pelos quadrados e triângulos é igual
a área escurecida.
Em centímetros quadrados a área escurecida é de 294 – 54 = 240.
Resposta: E
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
QUESTÃO 29
Observe a figura
Se a área sombreada é n . ab o valor de n é:
a) primo
d) múltiplo de 5
b) par e primo
e) divisível por 2
c) múltiplo de 4
RESOLUÇÃO
No retângulo 1, as medidas dos lados são expressas por
2a e b. Logo a área é expressa por 2ab.
No retângulo 2, as medidas dos lados são expressas por
5a e b. Logo a área é expressa por 5ab.
No retângulo 3, as medidas dos lados são expressas por
4a e b. Logo a área é expressa por 4ab.
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO
Nessas condições, a área da figura e representada por:
2ab + 5ab + 4ab = (2 + 5 + 4)ab = 11ab = nab
Logo n = 11 que é primo.
Resposta: A
QUESTÃO 30
(MACKENZIE) – Em ⺞, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é
a) maior que 8
b) 6
c) 2
d)1
e) 0
RESOLUÇÃO
Resolvendo a inequação proposta, temos:
6
2x – 3 ≤ 3 € 2x ≤ 3 + 3 € 2x ≤ 6 € x ≤ ––– € x ≤ 3
2
S = {x Œ ⺞ 兩 x ≤ 3}
Os números naturais menores ou iguais a 3, são: 3, 2, 1, 0.
Assim o produto das soluções é 3 . 2 . 1 . 0 que é igual a zero.
Resposta: E
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 8.o ANO