Matemática para Ciência de Computadores

Matemática para Ciência de Computadores
1 o Ano - LCC & ERSI
Luı́s Antunes
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DCC-FCUP
Luis Antunes DCC-FCUP
Complexidade 2002/03
1
Máximo divisor comum
Determine mdc(91, 287).
287 = 91 × 3 + 14
todo o divisor de 91 e de 287 é ainda divisor de 14 = 287 − 3 × 91.
Todo o divisor de 91 e 14 é divisor de 287 = 91 × 3 + 14. Logo
mdc(287, 91) = mdc(91, 14)
Luis Antunes DCC-FCUP
Complexidade 2002/03
2
Máximo divisor comum
Teorema: Seja a = bq + r, onde a, b, q e r são inteiros. Então
mdc(a, b) = mdc(b, r).
Prova: Basta mostrar que os divisores comuns de a e de b são os mesmos
divisores comuns de b e de r.
Sup que d divide a e b, então d divide a − bq = r. Logo todos os divisores comuns
de a e de b são os mesmos divisores comuns de b e de r.
Analogamente, suponhamos que d divide b e r, então d divide bq + r = a. Logo
todos os divisores comuns de b e de r são os mesmos divisores comuns de a e de b.
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Complexidade 2002/03
Máximo divisor comum: algoritmo de Euclides
x=a;
y=b;
while(y!=0)
{
r = x % y;
x = y;
y = r;
}
return x;
Teorema: Sejam a e b inteiros positivos, então existem inteiros s e t tais que
mdc(a, b) = sa + tb.
Luis Antunes DCC-FCUP
3
Complexidade 2002/03
4
Exercı́cios
1. Determine, usando o algoritmo de Euclides, mdc(414, 662).
2. Mostre que os inteiros 8n + 3 e 5n + 2 são primos relativos.
3. Mostre que se a e b são inteiros positivos então ab = mdc(a, b)mmc(a, b).
4. Exprima mdc(252, 198) como combinação linear de 252 e 198.
5. Mostre que um inteiro é divisı́vel por 9 se a soma dos seus dı́gitos decimais for
divisı́vel por 9.
6. Sejam a e b inteiros positivos e d = mdc(a, b), mostre que mdc(a/d, b/d) = 1.
7. Sejam a e b inteiros positivos e c = mdc(a, b), mostre que c2 divide ab.
8. Sejam a e b primos relativos com a > b, mostre que mdc(a − b, a + b) = 1 ou 2.
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