Combinação - NS Aulas Particulares

Combinação
1. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para
emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes −
vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações:
— cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;
— qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas
vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas
apagadas;
— duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas
é diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.
2. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um
produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam
menores que 30?
3. (G1 - ifsp 2013) Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em
quatro outros retângulos menores, R1, R2, R3 e R4, de maneira que retângulos com um lado
comum não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de colorir
os quatro retângulos com apenas duas cores é
R1
R2
R3
R4
a) 8.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 20.
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4. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III.
Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que
fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o
número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a
a) 560
b) 1120
c) 1680
d) 2240
5. (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de
morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas
doenças.
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6
instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias
cardíacas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4
instrumentadores?
a) 200.
b) 300.
c) 600.
d) 720.
e) 1.200.
6. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e
flocos.
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria?
a) 10 maneiras
b) 9 maneiras
c) 8 maneiras
d) 7 maneiras
e) 6 maneiras
7. (Ibmecrj 2013) Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três
fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada
time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é
eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e
todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na
segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão. No
próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times e os dois
últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da
competição continuará como antes. Nessa nova organização,
a) o número de partidas da primeira fase diminuirá.
b) o número de partidas da segunda fase aumentará.
c) o número total de partidas da competição diminuirá.
d) o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará.
e) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.
8. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e
flocos.
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa
sorveteria?
a) 6 maneiras
b) 7 maneiras
c) 8 maneiras
d) 9 maneiras
e) 10 maneiras
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9. (Pucrs 2013) Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente
de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte
mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15
homens é
6
a) C15
30  C20
6
b) A15
30  A 20
6
c) C15
30  C20
6
d) A15
30  A 20
21
e) C50
10. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer
intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas
para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas
pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é
a) 1/5
b) 1/15
c) 1/45
d) 3/10
e) 3/7
11. (Udesc 2013) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que
28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3
homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é:
a) 28560
b) 851
c) 13800
d) 1028160
e) 5106
12. (Insper 2012) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divulgada em outubro último, definiu as
quantidades de jogos que serão realizados em cada uma das 12 cidades sedes, informadas
parcialmente a seguir.
Cidade
Belo Horizonte
Brasília
Cuiabá
Curitiba
Fortaleza
Manaus
Natal
Porto Alegre
Recife
Rio de Janeiro
Salvador
São Paulo
Número de jogos
???
7
4
4
6
4
4
5
5
7
6
???
Na 1ª fase, haverá oito grupos com quatro seleções em cada um, devendo cada seleção
enfrentar uma única vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oitavas de final, cada
uma das 16 equipes classificadas jogará uma única vez, o mesmo ocorrendo nas quartas de
final com as oito equipes classificadas. Depois disso, restarão ainda quatro jogos (semifinais,
disputa de 3º lugar e final) para definir o campeão mundial. Sabendo que São Paulo e Belo
Horizonte abrigarão o mesmo número de jogos, conclui-se que haverá, em cada uma dessas
duas cidades, um total de
a) 4 jogos.
b) 5 jogos.
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c) 6 jogos.
d) 7 jogos.
e) 8 jogos.
13. (Ufpe 2012) As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7
possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um dominó se cada
quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova pedra do
dominó.
14. (Fgvrj 2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há
dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles
podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no
hotel?
a) 80
b) 40
c) 20
d) 10
e) 5
15. (Mackenzie 2012) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados,
para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo
menos um advogado é
a) 70
b) 7 4
c) 120
d) 47
e) 140
16. (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil.
De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e
D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas
por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre
Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade
de um menino ganhar de uma menina é 3 5 , calcule a probabilidade de uma menina vencer
o torneio.
17. (Uftm 2012) Os seis números naturais positivos marcados nas faces de um dado são tais
que:
I. não existem faces com números repetidos;
II. a soma dos números em faces opostas é sempre 20;
III. existem 4 faces com números ímpares e 2 faces com números pares.
O total de conjuntos distintos com os seis números que podem compor as faces de um dado
como o descrito é
a) 20.
b) 28.
c) 36.
d) 38.
e) 40.
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18. (Fgv 2012) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigemse a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas
decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem
escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o
leste. A figura indica um possível caminho.
19. (Uern 2012) Uma família do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer uma
viagem de retorno à cidade de origem após passar férias no litoral. A viagem será feita de
ônibus, no domingo, e apenas dois horários estão disponíveis. De quantas maneiras poderão
viajar essas pessoas de forma que a metade da família viaje num ônibus e a outra metade no
outro?
a) 45
b) 252
c) 136
d) 90
20. (Unioeste 2012) Um professor disse que já preparou questões para a prova bimestral, e
com estas questões, pode fazer 255 provas diferentes. Quantas questões ele preparou?
a) 4.
b) 7.
c) 18.
d) 14.
e) 8.
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Gabarito:
Resposta
1ª Solução:
da
questão
1:
O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por
8 5 3
8!
5!
3!


    
 3   2   1  3!  5! 2!  3! 1!  2!
876 54


3
32
2
 1680.
2ª Solução:
O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de
permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja,
8!
3!  2!  2!
87654

22
 1680.
P8(3, 2, 2) 
Resposta da questão 2:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30)
A quantidade de números naturais, formados por 4 desses fatores, será obtida através de uma
combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4.
C10,4 
10!
10  9  8  7

 210.
4!.6!
24
Resposta da questão 3:
[E]
Existem apenas duas maneiras de colorir os retângulos usando as cores A e B:
5!
 10
2!.3!
Número de maneiras para se pintar os retângulos: 2  10  20
Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. C5,2 
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Resposta da questão 4:
[B]
1º caso: Soldados A e B na barraca I
Barraca I: C8,2 = 28
Barraca II: C6,3 = 20
Barraca III: C3,3 = 1
Total(1) = 28  20  1 = 560.
2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II
Barraca I: C8,3 = 56
Baraca II CC5,2 =10
Barraca III: C3,3 = 1
Total(2) = 56  10  1 = 560.
Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 + 560 = 1120.
Resposta da questão 5:
[B]
O resultado pedido é dado por
 5  2  6
5!
6!
2
        
4!  2!
 3   1   4  3!  2!
 20  15
 300.
Resposta da questão 6:
[A]
O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao
número de combinações completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto é,
5
5!
54
CR24  C24 21    

 10.
2
 2  2!  3!
Resposta da questão 7:
[C]
4
4!
24
 4 times terá   
 6 jogos. Logo, serão disputadas
6
 2  2!  2!
6  6  36 partidas nessa fase. Se um time é eliminado de cada grupo, a 2ª fase terá
 18 
18!
24  6  18 equipes. Desse modo, serão disputados   
 153 jogos na 2ª fase.
 2  16!  2!
Na 1ª fase, cada grupo de
Como apenas dois times vão para a 3ª fase, segue que o número total de partidas é igual a
36  153  1  190.
6
6!
 15 jogos. Logo, serão
 
2
  4!  2!
disputadas 4  15  60 partidas nessa fase. Se dois times são eliminados de cada grupo, a 2ª
No outro formato, cada grupo de
24
 6 times terá
4
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 16 
16!
 120 jogos na
fase terá 24  4  2  16 equipes. Desse modo, serão disputados   
 2  14!  2!
2ª fase, o que perfaz um total de 60  120  1  181 jogos (contando com a final).
Finalmente, como 181  190, segue-se que o número total de partidas da competição
diminuirá.
Resposta da questão 8:
[A]
O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos,
sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por
4!
 4
 6.
 
 2  2!  2!
Resposta da questão 9:
[A]
Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas são homens, seguese que o número de mulheres nesse júri é igual a 21  15  6. Portanto, o resultado é dado por
 30   20 
    .
 15   6 
Resposta
[B]
da
questão
10:
3
Existem    3 modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer
 2
 10  10!
intercâmbio no Chile, e   
 45 maneiras de escolher duas pessoas quaisquer.
 2  2!  8!
Logo, a probabilidade pedida é
3
1
 .
45 15
Resposta da questão 11:
[A]
Como a turma é constituída de 0,28  25  7 mulheres e 25  7  18 homens, existem
 7   18 
7!
18!

   
 3   3  3!  4! 3!  15!
7  6  5 18  17  16


32
32
 35  3  17  16
 28560
modos de escolher 6 representantes, sendo 3 homens e 3 mulheres.
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Resposta da questão 12:
[C]
Jogos na primeira fase: 8.C4,2  8.6  48
Jogos nas oitavas de final: 8
Jogos nas quartas de final: 4
Jogos nas semifinais: 2
Disputa do terceiro lugar: 1
Final: 1
Total de jogos: 64
Considerando x como o número de jogos em Belo Horizonte e São Paulo, temos:
x + 7 + 4 + 4 + 6 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 6 + x = 64
2x + 52 = 64
2x = 12
x=6
Resposta da questão 13:
55.
1ª Solução:
Como cada quadrado pode ter até 9 pontos, existem 10 pedras com pontos iguais e
 10 
10!
 45 pedras com pontos diferentes. Portanto, um dominó de 9 pontos possui
 
 2  2!  8!
10  45  55 pedras.
2ª Solução:
O número de pedras de um dominó de 9 pontos é dado pelo número de combinações
completas de 10 objetos tomados 2 a 2, ou seja,
11!
 11
2
2
CR10
 C10
 55.
 21    
2
2!
 9!
 
3ª solução:
Existem 10 escolhas para o 1º número e 9 para o 2º. Como a ordem dessas escolhas é
10  9
 45 pedras com números diferentes. Além disso, temos 10 pedras
indiferente, temos
2
com números iguais.
Portanto, um dominó de 9 pontos possui 45  10  55 pedras.
Resposta da questão 14:
[D]
Escolhendo dois estudantes para o primeiro quarto sobram sempre três estudantes para o
segundo quarto.
C5,2  C5,3 
5!
 10
2!.3!
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Resposta da questão 15:
[C]
Qualquer júri composto por sete jurados sempre terá um advogado, já que o número de jurados
que não são advogados é apenas 6.
Portanto, o número de júris com pelo menos um advogado será dado por:
C10,7 
10!
 120.
7!.3!
Resposta da questão 16:
a) Observe:
Grupos : A (meninas) B (meninos)

C10,4  210

C6,4  15
C (meninas)
e D (meninos e meninas)

C6,4  15

C4,4  1
Total 210  15  15  1  47 250
2 2
20
 1 
.
5 5
125
2 3 2 12
Final Maria e José e uma Maria vencer:   
.
5 5 5 125
2 3 2 12
Final marta e João e uma Marta vencer:   
.
5 5 5 125
20
12
12
44



Probabilidade pedida
.
125 125 125 125
b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer:
Resposta da questão 17:
[E]
De acordo com as informações, temos que os números que irão figurar nas faces opostas do
dado constituem os seguintes pares:
(1, 19), (2, 18), (3, 17), (4, 16), (5, 15), (6, 14), (7, 13), (8, 12) e (9, 11).
5!
5
 10 modos de escolher dois pares com
Assim, para compor o dado, temos   
2
2!
 3!
 
números ímpares e 4 maneiras de selecionar o outro par. Portanto, o resultado pedido é
10  4  40.
Resposta da questão 18:
876
 56.
3!
543
 10.
3 pessoas para o segundo quarto: c 5,3 
3!
2 pessoas para o terceiro quarto c 2,2  1.
a) 3 pessoas para o primeiro quarto: c 8,3 
Portanto 56  10  1 = 560.
b) Escolhendo 4 caminhos para norte, num total de 10, temos:
c10,4 
10  9  8.7
 210.
4.3.2.1
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Resposta da questão 19:
[B]
O resultado pedido é dado por
10!
10  9  8  7  6
 10   5 

 252.
   
5
5
5!

5!
5432
   
Resposta da questão 20:
[E]
Admitindo que as provas sejam diferentes apenas pela natureza das questões, isto é a ordem
das questões não diferencia provas. A prova pode ter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... , (n - 1), ou n
questões.
n n n
 n   n  n
n
         ...  

     2 1
1
2
3
n

2
n

1
n
     

 
  
2n  1  255  2n  256  2n  28  n  8
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