1 Números Naturais Trata-se do conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}1

CÁLCULO – FUNÇÕES DE UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS
Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab.
Números Naturais
Trata-se do conjunto
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}1
Este conjunto é fechado para as operações de soma, e multiplicação. Isto significa que dados dois
números naturais, a sua soma e multiplicação é um número natural.
Porém, a subtração de dois números naturais não necessariamente é um natural. Por exemplo,
esta operação entre 1 ∈ e 5 ∈ é 1-5 = -4 ∉ .
Assim define-se o conjunto dos números inteiros.
Números Inteiros
Trata-se do conjunto
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Este conjunto é fechado para as operações de soma, subtração e multiplicação. Porém, dados
dois números inteiros, a divisão entre eles não é necessariamente um inteiro.
Números Racionais
Trata-se do conjunto
= {
a
/ a ∈ Z , b ∈ Z , b ≠ 0}
b
Este conjunto é fechado para as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.
Em geral temos
⊂
⊂
Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua representação é infinita e
periódica.
Por exemplo,
1
1
1
= 0, 5 000...; = 0, 3333...
2
3
Foi definido o conjunto N* = {1, 2, 3, 4,...}, que é o conjunto dos naturais excluído o zero.
Então, N* ⊂ N
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Números Reais
Os números reais são definidos por
=
∪I
onde I é o conjunto dos números irracionais .
O conjunto dos irracionais foi “descoberto” quando se constatou que os racionais, embora fosse
um conjunto denso (entre dois racionais há infinitos racionais), estes não englobam todos os
números.
Os números irracionais são aqueles que podem ser escritos sob a forma decimal infinita, mas não
periódica.
Por exemplo, 2 = 1, 41421356... ; π = 3,141492...
Toda raiz quadrada de número inteiro cujo resultado não seja inteiro é um número irracional.
Os números reais podem ser representados como pontos numa reta ordenada, com o zero sendo a
origem. Daí, todo valor à direita de zero é positivo e este valor é a distância até a origem. A idéia
é a mesma para valores menores do que zero.
Equações do Primeiro Grau
É toda equação que pode ser reduzida à forma
a.x = b
em que a e b são números reais com a ≠ 0.
A solução da equação é obtida dividindo-se ambos os lados da equação por a.
b
E então o valor é a solução, ou raiz, do problema.
a
Inequações do Primeiro Grau
São desigualdades que podem ser reduzidas a uma das seguintes formas
ax < b, ax ≤ b, ax>b, ax ≥ b
em que a e b são números reais com a ≠ 0.
A resolução da desigualdade é similar ao das equações de 1o grau, porém quando a inequação é
dividia ou multiplicada por um valor negativo, o sentido da desigualdade muda.
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Equações do Segundo Grau
É toda equação que pode ser reduzida à forma
ax 2 + bx + c = 0
em que a , b e c são números reais com a ≠ 0.
A raiz do problema é obtida pela seguinte relação
−b ± b 2 − 4ac
2a
onde o valor b 2 − 4ac é o discriminante , indicado por ∆ (delta) da equação.
De acordo com o sinal do ∆ , temos:
∆ > 0 ⇒ a equação terá duas raízes reais e distintas
∆ = 0 ⇒ a equação terá uma única raiz real
∆ < 0 ⇒ a equação não terá raízes reais
Intervalos
Sejam os números reais a e b tais que a < b.
Os seguintes intervalos são definidos:
Intervalo aberto: ] a, b [ = {x ∈
Intervalo fechado: [ a, b ] = {x ∈
/ a < x < b}
/ a ≤ x ≤ b}
Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x ∈
Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x ∈
/ a < x ≤ b}
/ a ≤ x < b}
Intervalo aberto de a até infinito: ] a, ∞ [ = {x ∈
Intervalo fechado de a até infinito: [ a, ∞ [ = {x ∈
/ x > a}
/ x ≥ a}
Intervalo aberto de menos infinito até b: ] - ∞ , b [ = {x ∈
Intervalo fechado de menos infinito até b: ] - ∞ , b ] = {x ∈
/ x < b}
/ x ≤ b}
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Módulo ou Valor Absoluto
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por x , é definido como:
 x, se x ≥ 0
x = -x, se x < 0
Desta forma, o módulo sempre responde um valor positivo.
Por exemplo, -5 = 5; -4 = 4.
Assim o módulo de um número significa a distância do número até a origem. A distância de –7
até zero é a mesma distância de 7 até zero. Daí, -7 = 7 =7.
Dado este conceito decorrem as seguintes propriedades:
Seja k uma constante positiva
(1) Se x = k, então x = k ou x = - k.
(2) Se x < k, então – k < x < k.
(3) Se x  > k, então x > k ou x < - k.
Por exemplo, se x < 5 temos que a distância de x até zero é no máximo 5. Então x pode ser -1
ou 4 ou –3, ou 2... Daí, -5 < x < 5.
Em geral x-y < k, significa que a distância de x até y (que é a mesma de y até x, y-x = x-y ) é
no máximo k.
Por exemplo:
2x-3  < 7, temos que a distância de 2x até 3 é no máximo 7.Daí, 3-7 < 2x < 3+7
Então, o conjunto solução é o intervalo ]-2, 5[.
O raciocínio é análogo para o caso x-y > k.
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