Capítulo 13: Equações hidrodinâmicas básicas e análise de escala

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CAPíTULO 13 - EQUAÇÕES HIDRODINÂMICAS BÁSICAS E ANÁLISE DE ESCALA
1. Introdução - Diferenciação total
Seja uma parcela de água cI dimensões dX,dy,dz e componentes de velocidade U,V,W,
segundo os eixos x,y,z (para Leste, Norte e para baixo). t representa o tempo.
Uma componente da aceleração desta partícula, du / dt, pode ser escrita levando em
conta que u =u (x, y, z, t), o que resulta em:
ôu
ÔU
ÔU
ÔU
du =-dt+-dx+-· dy+-dz
t
ÔX
y
ÔZ
â
â
(1)
e portanto,
du OU
ou
ou
ÔU
-=--+U--+V--+W-dt
ôt
ÔX
y
ôz
(2)
â
Analogamente, para uma propriedade qualquer, como por exemplo a
temperatura T = T (x, y, z, t)
dT
sr
sr
dt
at
ox
»r
ay
»r
az
-=--+U--+V--+W--
(3)
As variações totais das propriedades podem portanto ser consideradas como as somas
de suas variações locais (primeiro termo do segundo membro em (2) e (3» e
advectivas (demais termos do segundo membro em (2) e (3».
2. Equação da continuidade
A Fig 1 mostra as massas que adentram e saem da parcela de água, cuja densidade é p.
Dessa forma, a equação da continuidade pode ser escrita na forma:
ap
ô
ô
ô
- + -(pu) + - (pv)+ -. (pw)=ü
aI ÔX
ôy
OZ
(4)
Uma simplificação muito útil desta equação pode ser obtida considerando a densidade
da água constante. Embora não estritamente correta para a água do mar, esta
aproximação é satisfatória para muitas aplicações, de modo que a equação acima
se reduz a:
-.
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2
ou
OV
OW
OX
oy
OZ
-+-+--=0
(5)
Esta relação considera a água do mar como "um fluido incompressível".
3. A equação do movimento segundo suas componentes horizontais e vertical
Ao considerar a atuação das forças de Coriolis (com parâmetro f), do gradiente de
pressão (p) e de atrito (com coeficientes de difusão A h e A v), resulta a equação do
movimento na direção x:
ou
ou
ou
OU
-+U -+V --+w - - f v =
t
OX
y
OZ
â
_
â
~
op +A(02 U+ 02 UJ+A
P OX
h O X 2 O y2
v
(6)
Analogamente, para a direção y se tem:
ov
OV
OV
OV
-+U --+V --+w - + fu=
ot
OX
dy
OZ
J
O
(2
_ ~----.E+A
O v+ó' 2V +A O 2V
P OY
h ó' X2 O y2
v
O Z2
(7)
Note-se que efeitos do atrito do vento na superfície e do atrito das correntes com o fundo
do mar são considerados conio condições de contorno das equações (6) e (7) .
Na vertical, deve-se considerar, adicionalmente, a aceleração da gravidade g, de modo
que se tem:
OW
OW
ó'w
ó'w
--+U --+V --+W
Ot
OX
ó'y
ó'z
2
1 ó' P
(ó' 2 W + 0
----g+A
::J
h::J2::J
puZ
uX
uy 2
wJ +A
(8)
v
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3
4. As equações de conservação do calor e do sal
A variação total de temperatura T (local mais advectiva) é resultante dos efeitos difusivos
(com coeficientes A Th e A Tv) e da ação de fontes ou sorvedouros de calor (FT ) :
BT
ot
8T
oy
BT
ox
--+u --+v --+w
ATh
(õ'2 T õ'2 TJ +A
Bx
2+
oy
2
Tv
BT
Bz
02
T
Bz
2
(9)
+FT
Analogamente, para a salinidade S, com coeficientes A
sorvedouros Fs :
Sh
e A
Sv
e com fontes ou
(10)
5. A equação de estado da água do mar
3
A "equação de estado da água do mar', relaciona a densidade p (em kg/m ) com a
temperatura t (em °C), a salinidade S (%0) e a pressão p (em bars), segundo a
UNESCO (1981) . Esta equação é válida para salinidades entre O e 42,
2
temperaturas entre -2 e 40 °C e pressão entre O e 1000 bars (1 Pa = 1 N/m = 1
Kg/m/ s 2 ; 1 Bar 105 Pa ; 1 mbar 100 Pa)
=
p
=
=
p (S ,T,p)
(11)
6 . O sistema de equações hidrodinâmicas básicas
No desenvolvimento acima, se tem o conjunto de 7 equações
(5), (6), (7), (8), (9), (10), (11)
que representam a hidrodinâmica do oceano, e cuja solução fornece as 7 variáveis
dependentes
u, v, W , p, T, S, p
em função das 4 variáveis independentes
x, y, Z, t
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4
7. O sistema de equações lnelulndo o nível do mar e a aproximação hidrostática
A equação da continuidade (5) pode ser verticalmente integrada, de modo a fomecer a
velocidade vertical w (em qualquer profundidade z) e o nível da superfície do mar
11. Sendo H a profundidade total,
oI
W=--
OX
O I vdz
udz---H
O Y -H
Z
Z
O'lJ
.
O JTl
+Ô
- fTl udz+vdz=O
Ôt
OX
-H
ÔY
-H
(12)
(13)
Da equação para a componente vertical do movimento, se pode aproximar a relação
hidrostática
op
-=-pg
oz
(14)
ou seja, sendo Pa a pressão atmosférica, Po a densidade média na coluna e p' o desvio
em relação à média
(15)
Desse modo, as equações do movimento segundo x e y passam a ser
u
ÔU
ÔU
OU
-+u -+v -+w --fv=
t
ÔX
dy
OZ
â
â
1 Ô r.
Ô 'lJ
,
--g
- -g- Ô- J" pdz+
p, Ô X
Ô X
po Ô X z
(16)
e
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5
OV
OV
OV
OV
--+u --+V --+w -+fu=
t
OX
oy
OZ
â
1 o Pu
o 17 g o I TJ ,
- - - g -. - - - - pdz+
p; o y
o y Po o Y z
(17)
A(O
h
2
OX
V
2
vJ A o
+ t3 2
+
t3 y2
v
2
V
OZ2
Finalizando, o sistema de equações hidrodinâmicas que considera o cálculo do nível do
mar e a relação hidrostática é composto pelas 8 equações:
(12), (13), (15), (16), (17), (9), (10), (11)
que fornecem as 8 variáveis dependentes
w,ll, p,u,v, T,S,p
em função das 4 variáveis independentes
x, y, z, t
8. Tipos de movimentos no oceano
Os
1)
2)
3)
4)
,P -
5)
6)
7)
8)
termos mais utilizados para descrever a circulação oceânica são:
Circulação geral média - é a circulação permanente, média no tempo .
Célula de revolvimento meridional - parte da circulação termohalina.
Circulação gerada pelo vento - ocorre na superfície do oceano (prime iros 1000 m),
podendo ser forçada por ventos locais ou remotos.
Giros (ou giros sub-tropicais, ou giros hemisféricas) - são as correntes de superfície,
com dimensões próximas às das bacias oceânicas.
Correntes de contorno - que podem ser de contamo Oeste (intensas e concentradas,
como a Corrente do Golfo e do Kuroshio) e de contorno Leste (fracas e espalhadas,
como a Corrente de Benguela).
Jatos - são correntes extensas e concentradas, com dimensões de poucas centenas
de km, praticamente perpendiculares às costas oeste.
Turbilhões de mesa escala - são vórtices em escalas de poucas centenas de km.
Circulação de maré - associada às marés geradas pelo efeito gravitacional do Sol e
da Lua.
9. Análise de escala
Embora os sistemas de equações hidrodinâmicas tenham uma grande complexidade,
além de dificuldades de especificação de condições iniciais e de contamo,
soluções com base em técnicas numéricas tem sido obtidas, nas mais diversas
escalas espaciais.
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6
A análise de escala permite a .estimativa da ordem de grandeza de cada termo das
equações hidrodinâmicas básicas, em função dos padrões de movimentos
observados. Por exemplo, no interior dos oceanos, longe das camadas de Ekman
da superficie (e do fundo), em distâncias horizontais da ordem de algumas
dezenas de kilometros e em períodos de tempo de alguns dias, a aceleração do
gradiente de pressão é balanceada quase que exatamente pela aceleração de
Coriolis, num equilíbrio que se chama "balanço geostrófico".
É possível simplificar as equações do movimento para obter soluções que descrevem o
balanço geostrófico, através da seguinte análise de escala. Para o oceano
profundo, valores típicos da distância L, velocidade horizontal U, profundidade H,
parâmetro de Coriolis f, gravidade g e densidade p são:
L=106 m
U
f=10- 4 5 - 1
=10-1 m/s
9
H = 103m
=10m/52
p = 103kg/m 3
A partir desses valores se pode calcular os valores típicos de velocidade vertical W,
pressão P e tempo T, usando as equações da continuidade (5) e hidrostática (14):
8li! __
ôz.- ·
ll[
H
P
-
(aU +· âyâv)
ÔX
[T
= -'
L~
. . ..
rlli
~li = -
L
pgz ~ 10 10 10
3
$#
1
10-1 10 3
=
3
lOS
'=
..
.· - 4
ln/s
· = 10 ·m/. s
10" Pa
T = L/U= lO" s
Dessa forma, para a equação do movimento na vertical se tem
f)w
()W
õui :
()w
1 õp . ~
ât · + u
+ v ôy +Ul fiz .« < ~ pôZ. + ~~ t: ueos Y'.- 9
ôx
Jo/" . U'W·
[[RI'
lV:l
P
. .
++ -D+ --""'-+fU~.g
T
L
1/ pH
11
10- + lO-H + lO-H + 10- 14 .=: 10 + lO-!) ~ 10
de modo que o equilíbrio na vertical pode ser expresso pela relação hidrostática
Gp
ai: =
-pg
A análise de escala para a equação do movimento na direção x indica que
Ou .
õu.
fJu
..
-ât +u __
õx +véJy +wllz =
10-8 + 10--8 + 10-8
õú
+ 10-8
=
lôP .
~· -
p
__
õa: +lv
10- 5
+ 10- 5
e portanto a aceleração de gradiente de pressão equilibra a aceleração de Coriolis,
levando às equações do balanço geostrófico:
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7
1~
~
p
v:J;'
.... :--....:
.........
-...-
e
- g
"
l}z
Este balanço se aplica a fluxos oceânicos com dimensões horizontais maiores que 50
km e períodos maiores que alguns dias.
10. A importância da rotação
A taxa de rotação da Terra (ou velocidade angular) é
n=
2Jr rad
Tempo de 1 revolução
2Jr rad = 7.292xl0- 5rad / s
24 h
Se o movimento do fluido evolui em escala de tempo comparável (ou maior) que o
período de rotação, o fluido sente o efeito da rotação . Logo, ao calcular a razão
c =
I
Tempo de 1 revolução
= O-I = (OTt'
Escala de tempo do movimento
T
se Et ~ 0(1), os efeitos de rotação da Terra devem ser considerados. Alternativamente,
se pode usar a escala estimada pela velocidade
Tempo de 1 revolução
Tempo para partícula percorrer L com velocidade U
5=----------=-------'----------=
O-I
%
U
D.L
Et é o "número de Rossby local" e E é o "número de Rossby advectivo".
11. A importância da estratificação
o oceano consiste tipicamente
de camadas de fluido de diferentes densidades, que sob
a ação da gravidade tendem a se arranjar em pilhas verticais correspondentes a
um estado de energia potencial mínima. Os movimentos dos fluidos tendem a
perturbar esse estado de equilíbrio, soerguendo fluidos mais densos e afundando
fluidos mais leves.
Por conservação de energia, um aumento de energia potencial tem de ocorrer às custas
de decréscimo de energia cinética. Logo, a importância da estratificação pode ser
avaliada comparando as energias potencial e cinética , considerando as escalas de
densidade média Po e de variação de densidade L'lp:
S=
Energia cinética disponível / unid. volume
Variação de energia potencial / unido volume
1
2" Po
U2
tip gH
Esta relação indica que para S s O (1) os efeitos da estratificação tem que ser
considerados; para S « 1 os movimentos verticais são limitados e para S » 1 a
estratificação não é importante.
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8
EQUAÇÕES HIDRODINÂMICAS 8ÁSICAS
ôu
ôv
ôw
-+-+-=0
x
y
z
â
â
(5)
â
u
u
u
u
-+u - + v -+w - -fv=
ôt
x
y
ô z
â
_
~
â
â
â
â
[Ô
ô P +A
P ô X
h
â
U
2
Ô X2
+
(6)
Ô uJ + A
ô
2
Ô y2
v
2
U
Ô Z2
v
ÔV
ÔV
ÔV
-+u -+V -+w -+fu=
t
ÔX
y
ÔZ
â
â
â
_~
p
p
2
2
2V
(7)
ô + A [ ô v + ô vJ + A Ô
2 Ôy2
ôY
h ÔX
v
Ô Z2
ô w
ÔW
ÔW
ÔW
- + u -+V -+W - =
ô t
ÔX
y
z
â
ô
â
[ô
wJ
(8)
1
P
2 W
Ô 2
--u+A - -2+ - - +A
p
z e»
h
ÔX
Ôy2
v
â
ôT
ô T
ôT
ô T
- + u -+V - + W - =
ôt
ÔX
y
ÔZ
â
2
2
ô T Ô 2 TJ
ô T
~h [ - 2 + - - 2 + A Tv - 2 + F;.
ÔX
ôy
ÔZ
(9)
(10)
p =p (S,T,p)
(11 )
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9
EQUAÇÕES HIDRODINÂMICAS BÁSICAS INCLUINDO O NíVEL DO MAR
E A RELAÇÃO HIDROSTÁTICA
o JZ udz-O JZ vdz
w=--
(12)
Ô 17
O J' vdz=O
+O
- J' udz+-
(13)
OX
ôt
OY
- tt
OX
Ô
-H
-H
Y
-ll
(15)
OU
OU
OU
OU
-+lI-+V -+w - - f v =
01
OX
â
OZ
y
__
1 O Pa _g O 'l
P« O x
Ox
_ ~ ~ r p'dz+
pO
ox
(16)
z
0 2u 0 2uJ
0 2U
Ah ( - 2 + - - 2 + Av - - 2
OX
y
OZ
â
ov
OV
OV
OV
-+U -+V -+w -+fu=
01
OX
â
OZ
y
__
1 O Pa _g O 'l_~~r p'dz+
r, O Y
0 2v
OY
pO
0 2 v]
oY
(17)
z
02 V
Ah ( - - 2 + - - 2 + Av - - 2
OX
y
OZ
â
(9)
ss
ss
ss
ss
-+U -+V -+W - =
01
OX
y
OZ
â
ASh (
O2
S O SJ +A
2
--2 +-2
OX
Oy
p = P (S,T,p)
Sv
O2
S
(10)
--+~
O Z2
(11 )