TESTE OU PROVA

Aluno (a)
Pré-Seleção OBM – Nível 3
Questão 1. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias?
a)
b)
c)
d)
e)
segunda-feira
sábado
domingo
sexta-feira
quinta feira
Resolução
Uma semana tem 7 dias. Assim, se dividirmos 99 por 7 temos a quantidade de semanas. O resto nos
dará a quantidade de dias que se passam depois de sábado.
semanas, sobra 1 dia. Como
estamos contando uma semana que termina no sábado, mais um dia temos DOMINGO.
Gabarito: c
Questão 2.
a)
b)
c)
d)
e)
0,4444... 
0,2222…
0,3333…
0,4444…
0,5555…
0,6666…
Resolução
Gabarito: e
João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:
 André: Eduardo é o culpado.
 Eduardo: João é o culpado.
 Rafael: Eu não sou culpado.
 João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado?
a) André.
b) Eduardo.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Questão 3. Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e
MATEMÁTICA
2
c) Rafael.
d) João.
e) Não se pode saber.
Resolução
Analisemos:
Apenas Eduardo ou João podem estar falando a verdade, pois uma fala nega a outra.
Se André ou Eduardo estão falando a verdade, então ou Eduardo é culpado ou João o é. E, Rafael estão
mentindo. Mas se Rafael está mentindo, então ele é o culpado. Chegamos em um absurdo, já que só
podemos ter um culpado.
Assim, André e Eduardo estão mentindo.
Se João está falando a verdade, então André, Eduardo e Rafael estão mentindo. Como Rafael está mentindo e diz que ele não é o culpado, então o culpado é ele.
Gabarito: c
Questão 4. Um número inteiro n é bom quando 4n + 1 é um múltiplo de 5. Quantos números bons há
entre 500 e 1.000?
a) 0
b) 51
c) 100
d) 101
e) 102
Um número é bom quando o quádruplo dele mais um é múltiplo de 5.
Mas, para ser múltiplo de 5, o número deve ter o algarismo das unidades igual a 0 ou 5.
Logo, os números que procuramos são tais que ao multiplicá-los 4, resultem em um número cujo algarismo das unidades é igual a 4 ou 9. Desta forma, ao somarmos 1 a estes números obteremos um número terminado em 0 ou 5.
Vejamos: quando multiplicamos algum número por 4 só obtemos números em que os algarismos das
unidades são iguais a 0, 2, 4, 6, e 8. Assim, procuramos números que ao serem multiplicados por 4 tenham os algarismos das unidades igual a 4. Tais números devem, desta forma, terem algarismos das
unidades iguais a 1 ou 6.
Assim, os números são:












Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
3



Ou seja, a cada 10 números, 2 são bons. Entre 500 e 1000 temos 500 números e, com isto, 100 números bons.
Gabarito: c
Questão 5. A soma das raízes reais de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Pelo método de Tartaglia encontramos duas raízes complexas e uma real.
Gabarito: d
Questão 6. Vendi dois rádios por preços iguais. Em um deles tive lucro de 25% sobre o preço de
compra e no outro tive prejuízo de
. Em relação ao capital investido:
a) não tive lucro nem prejuízo
b) lucrei
c) lucrei
d) tive prejuízo de
e) tive prejuízo de
Resolução
Como o total é 100%, então eu tive prejuízo de 6,25%.
Gabarito: d
Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente?
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Teste 1ª Unidade 8º ano
Questão 7. Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.
MATEMÁTICA
4
Resolução
Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro emenda 4 cadeias de 3 elos, formando um pedaço de 15
elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos; abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará portanto 7 5= 35 minutos. Para
verificar que não é possível em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8
pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelos menos 7 elos abertos para serem ligados.
Gabarito: b
Questão 8. O número de soluções inteiras distintas da equação
a)
b)
c)
d)
e)
é:
0
1
2
3
4
Resolução
Observemos que a base da potência no lado esquerdo da igualdade é par. Como o expoente da potência
é inteiro e positivo (é igual a (x – 1)2 + 1), temos que a base, em módulo, é menor ou igual a 4, sendo
então igual a –2, 2 ou 4.
Assim, a equação dada é equivalente a
–
–
–

, onde temos x = 0 ou x = 2;
–
–
–

, onde não apresenta solução;
–
–
–

, onde temos x = 1.
–
Assim, a equação admite três soluções inteiras distintas.
Gabarito: d
Questão 9. Se x e y são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior?
a)
b)
c)
d)
e)
Temos
Assim, como
.
,
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
5
Gabarito: c
Questão 10. Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecutivos e as distâncias entre
dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
G
F
C
B
D
Temos que
A
E
. Logo
.
Temos também que
e, portanto, a área desejada é
. Logo a área do triângulo
é
.
Gabarito: d
Questão 11. Escrevemos uma lista com todos os números inteiros de 1 a 30, inclusive. Em seguida, eliminamos alguns destes números de forma que não sobrem dois números tais que um seja o dobro do
outro. Qual é a quantidade máxima de inteiros que podem permanecer na lista?
a) 15
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
Considere os seguintes conjuntos:
;
;
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
2
;
;
Cada conjunto contém números que são o dobro de algum número do mesmo conjunto. Observemos que
podemos tomar todos os números dos conjuntos de A9 a A15, somente um dos dois elementos dos conjuntos A5 a A8, dois elementos dos conjuntos de A2 a A4, e três elementos do conjunto A1. Portanto podemos
tomar no máximo 7 + 4 + 3  2 + 3 = 20 elementos.
Gabarito: d
Questão 12. Sejam a e b números reais positivos tais que
a)
b)
c)
d)
e)
é igual a
. Então
.
é igual a .
é menor que .
é maior que mas menor que 1.
pode ser maior que 1.
Resolução
Como
, temos
. Portanto, como
, temos que
e
é maior que
mas menor que .
Gabarito: d
Questão 13. Seja f uma função real que tem as seguintes propriedades:
i)
Para todos
reais,
ii)
Quanto vale
a) 0
b) 2
c) 1998
d) 2000
e) 2002
Resolução
Fazendo x = 2000 e y = 0, temos f(2000 + 0) = 2000 + f(0) = 2000 + 2 = 2002.
Questão 14. Considere a seguinte seqüência:
27  3  3  3
207  3  3  23
2007  3  3  223
20007 3  3  2223
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: e
MATEMÁTICA
2
Qual dos seguintes inteiros é um múltiplo de 81?
a) 200.007
b) 20.000.007
c) 2.000.000.007
d) 200.000.000.007
e) 20.000.000.000.007
Resolução
Se 200...07  3  3  22...23 deve ser múltiplo de 81, o número 22...23 deve ser múltiplo de 9. Perceba que
número de algarismos zero em 200...07 é o mesmo número de algarismos 2 em 22...23, assim o problema se resume a verificar a divisibilidade de 22...23 por 9, ou seja, quando 2  z  3 é múltiplo de 9, sendo z o número de zeros de 200...07. Isso se verifica para o número 20.000.000.000.007, com 12 zeros.
Gabarito: e
Questão 15. O desenho abaixo mostra um semicírculo e um triângulo isósceles de mesma área. Qual é
o valor de
?
xo
a) 1
b)
c)
d)
e)
Resolução
Sendo o raio do semicírculo e
mos que as áreas são iguais:
a altura do triângulo em relação à base, cujo comprimento , sabe. Mas
logo,
.
Gabarito: e
Ramanujam no hospital, o outro grande matemático Hardy disse que o número do táxi que o trouxe,
1729, era um número sem graça; Ramanujam respondeu prontamente: “Não diga isso, Hardy! 1729 é o
menor número inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois cubos perfeitos positivos de duas
maneiras diferentes!” De fato, 1729 = 103 + 93 = 123 + 13.
Um outro episódio não muito conhecido na Matemática foi quando o pequeno matemático Muralijam
foi visitado pelo outro pequeno matemático Softy, que disse que o número do lotação que o trouxe era
Teste 1ª Unidade 8º ano
Questão 16. Um episódio muito conhecido na Matemática foi quando ao visitar o grande matemático
MATEMÁTICA
3
um número sem graça. Muralijam responde imediatamente: “Não, Softy, ele é o menor inteiro positivo
que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos positivos de duas maneiras diferentes!”
A que número Muralijam e Softy se referem?
a) 18
b) 41
c) 45
d) 50
e) 65
Resolução
Os quadrados perfeitos necessários para verificar as alternativas são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Vamos
fazer uma tabela com a soma de cada dois deles e verificar qual o primeiro inteiro que ocorre como
soma de dois pares distintos de quadrados perfeitos (só precisamos de uma parte da tabela):
1
4
9
16 25 36
49
64
2
5
10 17 26 37
65
1
50
5
8
13
20
29
40
53
68
4
10 13 18 25 34 45
58
73
9
65
80
16 17 20 25 32 41 52
74
89
25 26 29 34 41 50 61
85
100
36 37 40 45 52 61 72
98
113
49 50 53 58 65 74 85
64 65 68 73 80 89 100 113 128
Encontramos o número 50 como o menor deles.
Gabarito: d
Questão 17. Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser
obtida retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma palavra
com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum idioma ou não. Por
exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO.
Quantos são os quase-anagramas da palavra BACANA que começam com A?
a) 48
b) 60
c) 72
d) 96
e) 120
Resolução
Gabarito: b
Teste 1ª Unidade 8º ano
Retirando-se um A, devemos achar anagramas de BACAN que começam com A, que são 4!=24.
Retirando-se um B, devemos achar anagramas de ACANA que começam com A, que são 4!/2!=12.
Retirando-se C ou N, obtemos também 12 anagramas começados com A.
Esses anagramas obtidos são quase-anagramas de BACANA, um total de 60 quase-anagramas.
MATEMÁTICA
4
Questão 18. Todo número real a pode ser escrito de forma única como
inteiro e
Se
. Chamamos
,
parte inteira de a e
e
parte fracionária de a.
, quanto vale –
, em que
é
?
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Somando as equações e juntando partes fracionárias com partes inteiras obtemos
.
Extraindo as possíveis partes fracionárias das equações dadas e dessa nova obtida, temos as seguintes
possibilidades:
;
;
;
.
Se
, teríamos
, o que não fornece solução. Assim,
. Reescrevendo o sistema para as variáveis, temos
.
Gabarito: b
Questão 19. Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. Quanto
mede o ângulo LMN?
N
M
L
a)
b)
c)
d)
e)
o
90
105o
120o
135o
150o
Resolução
a medida da aresta do cubo, pelo teorema
.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Seja
uma paralela às arestas verticais do cubo. Sendo
de Pitágoras,
e
MATEMÁTICA
5
Pela lei dos co-senos,
. Logo o ângulo
mede
.
Gabarito: c
Questão 20. Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta
PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL é ,  < 60o, quanto mede o ângulo LRP?
L
M

P
N
Q
R
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
ANULADA
Deveria ser  > 60o
Questão 21. As letras O, B e M representam números inteiros. Se O  B  M = 240, O  B + M = 46
e O + B  M = 64, quanto vale O + B + M?
a) 19
b) 20
c) 21
d) 24
e) 36
Resolução
Sabendo que
e
Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é
Assim,
.
Gabarito: b
e
.
Teste 1ª Unidade 8º ano
.
MATEMÁTICA
6
Questão 22. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
x  12 y  x  12 y  1
.
Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução
Elevando ambos os membros ao quadrado:
Desenvolvendo o produto notável:
Elevando ambos os membros ao quadrado:
A única alternativa que contém um número da forma
–
é a alternativa C.
Gabarito: c
Questão 23. Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm 3.
Suponha que a produção mundial de platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50
anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história.
a) uma caixa de sapatos
b) uma piscina
c) um edifício de dez andares
d) o monte Pascoal
e) a Lua
O volume de platina produzido na história é
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
7
Tal volume é mais próximo ao de uma piscina (por exemplo, uma piscina com 1,6 m de profundidade,
16 m de largura e 10 m de comprimento).
Gabarito: b
Questão 24. Esmeralda adora os números triangulares (ou seja, os números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…),
tanto que mudou de lugar os números
do relógio de parede do seu quarto de modo que a
soma de cada par de números vizinhos é um número triangular. Ela deixou o 12 no seu lugar original.
Que número ocupa o lugar que era do 6 no relógio original?
a) 1
b) 4
c) 5
d) 10
e) 11
Resolução
Os
seguintes
pares
de
números
têm
soma
igual
a
algum
número
triangular:
Assim, observando em quais pares aparecem o número 12, observamos que seus vizinhos são obrigatoriamente 3 e 9. Da mesma forma, o outro vizinho do 3 é o7; o outro vizinho do 7 é 8; o outro vizinho do
8 é 2. Além disso, como o 6 só está nos pares
os vizinhos de 6 são obrigatoriamente 4 e
9. Assim, supondo sem perda de generalidade que 3 está à direita de 12, temos os seguintes números no
relógio:
Teste 1ª Unidade 8º ano
Considerando que 4 e 2 não podem ser vizinhos, concluímos que o outro vizinho do 4 é 11. Continuando, temos que o outro vizinho do 11 é 10; o outro vizinho do 10 é 5; outro vizinho do 5 é 1. E podemos
completar o relógio:
MATEMÁTICA
8
Assim, o número que ocupa a posição original do 6 é o 5. Note que esse número ainda seria 5 se trocássemos as posições dos vizinhos do 12.
Gabarito: c
Questão 25. Os termos
de uma seqüência de inteiros positivos satisfazem a relação
an+3 = an+2(an+1 + an) para n = 1, 2, 3…
Se a5 = 35, quanto é a4?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Resolução
Sejam
e
. Então
e
, ou seja,
. Sendo
e inteiros positivos,
e
são maiores que 1 e também são
divisores de
. Assim, como 35 não pode ser escrito como produto de três inteiros maiores que
1,
. Portanto, como é pelo menos 1,
é maior ou igual a
, de modo que
e
. Logo,
Gabarito: d
Questão 26. Um professor de inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo
Resolução
Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um
aluno de cada nacionalidade não haverá dois alunos da mesma nacionalidade, o que é um absurdo.
Logo, há alunos de no máximo 3 nacionalidades.
Teste 1ª Unidade 8º ano
menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo
menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma
nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
MATEMÁTICA
9
Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 da mesma nacionalidade, pois se houvesse poderíamos
formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo, há no máximo 3
alunos de cada nacionalidade.
Como há 9 alunos, no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos
de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros.
Gabarito: c
Questão 27. A função f é dada pela tabela a seguir.
1
4
2
1
3
3
4
5
5
2
f ( f (...( f ( f (4))...))
Por exemplo,
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
. Quanto vale
2004 vezes
?
Resolução
Logo, como 2004 é múltiplo de 4, este ciclo se repetirá até a 2004º vez, que terá como resultado 4.
Gabarito: d
Questão 28. Seja AB um segmento de comprimento 26, e sejam C e D pontos sobre o segmento AB
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Teste 1ª Unidade 8º ano
tais que AC = 1 e AD = 8. Sejam E e F pontos sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, sendo EC
e FD perpendiculares a AB. Quanto mede o segmento EF?
MATEMÁTICA
10
Sendo G a projeção ortogonal de E sobre o segmento DF, então EG = 7.
Como AEB é um triângulo retângulo em E, EC 2  AC  CB  EC 2  1 25  EC  5.
Como AFB é um triângulo retângulo em F, DF 2  AD  DB  DF 2  8 18  DF  12.
Logo FG = DF – EC = 7 e EF 2= EG2 + GF2  EF =
.
Gabarito: d
Questão 29. O produto dos números que aparecem nas alternativas incorretas dessa questão é um cubo
perfeito.
Assinale a alternativa correta.
a) 4
b) 8
c) 18
d) 54
e) 192
Resolução
4  8 18  54 192  (22 )  (23 )  (2  32 )  (2  33 )  (26  3)  213  36 Como o produto das incorretas é um cubo per-
feito, os expoentes que aparecem na fatoração deste produto em primos devem ser múltiplos de 3. Logo
a alternativa correta deve ser da forma 2a  3b , onde
213  36
 213 a  36b é tal que 13 – a e 6 – b são múl2a  3b
tiplos de 3  a – 1 e b são múltiplos de 3.
Assim, a alternativa correta é a que apresenta 54 = 2  33.
Gabarito: d
Questão 30. Qual é o menor inteiro positivo n para o qual qualquer subconjunto de n elementos de
contém dois números cuja diferença é 8?
a) 2
b)
c)
d)
e)
F
E
G
7
8
12
13
15
Resolução
Considere os subconjuntos {1, 9, 17}; {2, 10, 18}, {3, 11, 19}, {4,
12, 20}; {5, 13}; {6, 14}; {7, 15}; {8, 16}. Dos quatro primeiros
podemos tomar no máximo 2 elementos e dos demais no máximo 1 de modo a não haver dois números
cuja diferença é 8. Logo o menor inteiro n é 4  2  4 1  1  13.
7
D
Gabarito: d
Questão 31. Sejam
18
B
Teste 1ª Unidade 8º ano
A1 C
MATEMÁTICA
11
e
Qual é o inteiro mais próximo de
a) 500
b) 501
c) 999
d) 1000
e) 1001
?
Resolução
Façamos
Agora, observemos que
Portanto, o inteiro mais próximo de
é 501.
Gabarito: b
Questão 32. Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. Inicialmente, o
cone superior está cheio de areia e o cone inferior está vazio. A areia flui do cone
superior para o inferior com vazão constante. O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto tempo demora até que a altura da areia no cone
inferior seja metade da altura da areia no cone superior?
a) 30min
b) 10h
c) 1h03min20s
d) 1h10min12s
e) 1h14min30s
2h
h
Quando a altura da areia no cone interior é a metade da altura da areia no cone superior, passaram
2
3
19
para o cone inferior 1    
do volume total de areia.
 3  27
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
12
Portanto demora
19
19
1h30min   5400s  3800s  1h03min 20s.
27
27
Gabarito: c
Questão 33. A função real f, definida nos inteiros, satisfaz
–
–
,
para todo n inteiro. Quanto vale
a) –17
b) 0
c) 1
d) 2
e) 9
Resolução
Fazendo n = 0, temos f(0) – f(2) = 9
Fazendo n = 2, temos f(2) – 3f(0) = 25
Somando as duas igualdades, obtemos –2f(0) = 34, e logo f(0) = – 17.
Gabarito: a
Questão 34. Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 6! = 1  2  3  4  5  6.
Se n! = 215  36  53  72  11  13, então n é igual a
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Resolução
Observemos que todos os números primos menores ou iguais a n aparecem na fatoração de n!. Como
17 não é fator de n!, temos n < 17. Alem disso, como n! tem 3 fatores 5 e os três primeiros múltiplos de
5 são 5, 10 e 15, que não têm mais de um fator 5, temos n  15. Logo n = 15 ou n = 16.
Como há
16
16
16
 8 números pares menores ou iguais a 16, sendo
 4 múltiplos de 4,
 2 múltiplos
2
4
8
de 2 e 1 múltiplo de 16, 16! admite 8 + 4 + 2 + 1 = 15 fatores 2, logo n = 16.
Gabarito: d
Questão 35. Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como
Teste 1ª Unidade 8º ano
mostra a figura.
MATEMÁTICA
13
75
30
x
126
Qual a medida do ângulo x?
a) 39º
b) 41º
c) 43º
d) 44º
e) 46º
Resolução
Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:
75º
30º
x
126º
Então os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respectivamente 180º –
126º – 30º = 24º e 90º – 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita
são respectivamente 180º – 75º – 66º = 39º e 90º – 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos
ângulos igual a x, temos x = 90º – 51º = 39º.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: a