Números Complexos - Mathématiques de M. Delgado

Tle
Sr. Delgado
Números Complexos
I Equações do segundo grau
Definição : uma equação do segundo grau é da forma : ax 2 − bx + c = 0 onde x é a incógnita e a, b, c são reais.
Para resolver esta equação temos que calcular o discriminante D = b 2 − 4ac.
– Se D < 0, a equação não tem solução.
−b
.
– Se D = 0, a equação tem uma única solução : x0 =
2a
p
p
−b − D
−b + D
– Se D > 0, a equação tem duas soluções : x1 =
e x2 =
.
2a
2a
As soluções são chamadas as raízes da equação.
Exercício 1 : resolver as equaçãoes seguintes.
1. 3x 2 − 4x + 1 = 0.
3. x 2 + 2x + 2 = 0.
2. x 2 − 2x + 1 = 0.
4. −2x 2 + 4x − 5 = 0.
5. 3x 2 − 8x + 5 = 0.
6. x 2 + 2x + 5 = 0.
II Introdução aos complexos
Suponha-se que pretendemos resolver a equação x 2 + 2x + 5 = 0 utilizando a bem conhecida fórmula resolvente :
x1 =
p
p
−b + D
−b − D
e x2 =
2a
2a
A aplicação desta fórmula conduz-nos aos valores
x1 =
p
p
−2 − −16
−2 + −16
e x2 =
,
2
2
p
sem significado no conjunto dos números reais, já que neste conjunto não existe o número −16 (isto é, não existe
nenhum número cujo quadrado seja igual a −16).
Admitindo que os números obtidos têm significado, e que a algebra habitual continua válida, podemos reescreve-los
como
p p
p p
−2 + −1 16
−2 − −1 16
e x2 =
,
2
2
p
p
−2 + 4 −1
−2 − 4 −1
e x2 =
,
x1 =
2
2
x1 =
p
p
x1 = −1 − 2 −1 e x2 = −1 + 2 −1,
Définition : define-se i o número complexo como sendo : i =
p
−1 de tal modo que i 2 = 1.
Estes números, da forma a + i b, em que a, b pertencem a R são exemplos de números complexos.
Exercício 2 : determine as raízes da equação x 2 + 2x + 5 = 0.
Nota histórica : os chamados números complexos foram esboçados formalmente, pela primeira vez, na ”Algebra” de Bombeli
em 1572. A sua criação resultou da necessidade de tornar válida as famosas fórmulas de Cardan destinadas à resolução
algébrica de equações de terceiro grau da forma x 3 + p x = q, x 3 = p x + q e x 3 + q = p x, com p e q positivos. Nestas fórmulas
poderia haver necessidade de efectuar cálculos com raízes quadradas de números negativos.
A construção do conjunto dos números complexos revelou-se de grande utilidade não só na matemática mas também
noutras áreas da ciência. As transformadas de Laplace, as séries de Fourier e as transformadas de Fourier constituem alguns
exemplos de ferramentas indispensáveis da física e engenharia que nunca se teriam desenvolvido sem o aparecimento deste
novo conjunto de números.
1
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III Definições
Definição : define-se conjunto dos números complexos, e nota-se C, como sendo :
C = {a + i b/a ∈ R, b ∈ R} onde i 2 = 1.
Definição : seja z = a + i b um número complexo, a é a parte real de z (a = Re(z))e b é a parte imaginária de z (b = I m(z)).
Definição : se I m(z) 6= 0, z diz-se imaginário e se além disso Re(z) = 0, z diz-se imaginário puro.
Propriedade : dois números complexos são iguais se e só se as suas partes reais e imaginárias também são iguais.
Nota : o conjunto dos números complexos C pode ser considerado uma extensão (que conserva todas as propriedades algébricas) do conjunto dos números reais R (o conjunto dos números reais tambem pode ser interpretado como um subconjunto do conjunto dos números complexos). No entanto, no conjunto C, não existe uma relação de ordem do tipo da
existente em R : "<, menor que".
Exercício 3 : determine,
1. i 3 ;
4. i n com n ∈ N.
4
5. (2−2i )−(3+5i )+(−7i ) ;
5
6. (2 + 3i ) × (−2 + 5i ) ;
2. i ;
3. i ;
7. (2 + 3i ) × (2 − 3i ) ;
9.
8. (a + i b)2
com a ∈ R e b ∈ R ;
2 + 2i
;
2 − 4i
10. i 2 003.
Exercício 4 : calcule, indicando o resultado na forma algébrica,
1. (1 + 2i ) − (3 + 5i )(1 − i ) ;
2.
Definição : seja z = a + i b ∈ C qualquer.
1. Define-se módulo de z, e representa-se por |z| : |z| =
p
(1 + i )(3 − i )
.
1 + 2i
a2 + b2.
2. Define-se conjugado de z, e representa-se por z, como sendo z = a − i b.
3. Define-se simétrico de z, e representa-se por −z, como sendo −z = −a − i b.
Propriedades : sejam z ∈ C e w ∈ C qualqueres.
z−z
z+z
e I m(z) =
;
2
2i
2. z + w = z + w ;
³z´ z
=
;
w
w
5. z = z se, e so se, z é real ;
1. Re(z) =
4.
3. z × w = z × w ;
6. z = z ;
7. z.z = |z|2 ;
8. |z| = |z| ;
9. z n = z n para todo n ∈ N.
Exercício 5 : determine o módulo, o conjugado e o simétrico dos seguintes números complexos :
1. i ;
2. −2 ;
3. 3 − 4i .
2. z − z supondo z = 2 + 8i ;
3. z × z supondo z = 2 + 4i .
Exercício 6 : calcule.
1. z + z supondo z = 10 − 4i ;
Exercício 7 : suponha que z = a + i b 6= 0. Mostre que
Exercício 8 : resolva, em ∈ C, as equações,
1. i z − 2 = 3z ;
2. 2z − i z = 1 + 3i ;
1
a −ib
.
=
z a2 + b2
3. z 2 − z + 3 = 0 ;
1 + zi
= 2i ;
4.
3−i
2
5. z.z?z = i + 1.
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IV Representação geométrica
Definição : se a cada número complexo z associarmos o par
ordenado Z = (a, b) em que a = Re(z) e b = I m(z), Z diz-se
o afixo (ou a imagem) de z. Fixando a origem O no plano, ao
−→
vector 0Z chama-se imagem vectorial de z. O afixo de um número complexo diz-se um ponto do plano de Argand (ou simplesmente plano complexo), plano esse cujas imagens dos
números reais estão associadas ao eixo Ox e as imagens dos
números imaginários puros ao eixo O y.
Z
b
1
0
1
a
Exercício 9 : Represente no plano de Argand os afixos dos
seguintes números complexos :
1. z1 = i ;
2. z2 = −2 ;
3. z3 = 3 − 4i ;
4. z4 = 2 + 3i ;
5. z5 = −4 + 2i ;
6. z6 = −2 − 2i ;
7. z7 = 4 − 2i .
Nota : seja z = a + i b ∈ C qualquer.
1. O módulo de z é à distância do afixo de z à origem, isto é, à norma Euclidiana da imagem vectorial de z : |z| =
p
a2 + b2.
2. Geometricamente a operação de conjugação traduz-se no plano de Argand pela reflexão de z relativamente ao eixo real
Ox.
3. Em termos geométricos, o afixo de −z é simétrico em relação à origem do plano de Argand.
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