estatística - Macetes para Concursos

Professor ERICK Y. MIZUNO - CENTRAL DE CONCURSOS
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Resolução da 1ª lista de exercícios de
ESTATÍSTICA
15 de Fevereiro de 2009
Prof.: Erick
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1. (ICMS/RJ - 2007 - Prova Amarela) Uma amostra de 100 servidores de uma repartição apresentou
média salarial de R$ 1.700,00 com uma dispersão de R$ 240,00. Pode-se afirmar que:
(A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a amostra em função do elevado valor
do desvio-padrão.
(B) a melhor medida para representar a amostra é a remuneração por unidade de desvio-padrão.
(C) o salário mediano representaria melhor a amostra devido ao alto nível de heterogeneidade dos
salários na amostra.
(D) a amostra não é suficientemente grande para analisarmos o valor encontrado para a média dos
salários.
(E) a média aritmética pode perfeitamente representar os salários da amostra pelo fato de esta
apresentar uma dispersão relativa inferior a 20%.
RESOLUÇÃO:
Foram fornecidos, no enunciado, os valores da média e do desvio padrão. Pelas opções de resposta,
vemos que a primeira providência será calcular o CV (Coeficiente de Variação), que será encontrado
dividindo-se o desvio padrão pela média. Assim o fazendo, teremos:
CV = 240/1.700 = 0,141176 que é, aproximadamente, 14,1%.
Tal CV (abaixo de 50%) indica que a distribuição é homogênea e a média é representativa para a
distribuição. Dado que:
"Considera-se que um CV superior a 50% indica alto grau de dispersão e conseqüentemente pequena
representatividade da Média, enquanto para um CV inferior a 50% a Média será tanto mais representativa
quanto menor for o valor do CV, ou seja, quanto menor for o CV mais homogênea será considerada a série
e quanto maior for o CV, mais heterogênea."
Somente com esse raciocínio já eliminamos, imediatamente, as opções A, B e C e observamos que a opção
da letra E está absolutamente correta. A letra D está errada porque o tamanho da amostra (n = 100) é
suficientemente grande (é maior do que 30).
Alternativa: e).
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2. Se a média e a variância da variável aleatória X são 12 e 80 respectivamente, então a média e a
variância da variável aleatória Y = X/4 + 1 são dadas respectivamente por
(A) 4 e 20
(B) 4 e 5
(C) 3 e 20
(D) 4 e 21
(E) 3 e 5
RESOLUÇÃO:
Novamente, recordande-mo-nos da aula sobre Dispersões. Naquela ocasião, discutimos sobre as
propriedades da Média e da Variância (e, Desvio-Padrão).
1ª Propriedade da Média/Desvio-Padrão: Se multiplicarmos cada termo de uma coleção
de dados amostrais por uma mesma constante, a nova Média/Desvio-Padrão será igual
ao produto da anterior por esta constante.
2ª Propriedade da Média/Desvio-Padrão: Se somarmos a cada termo de uma coleção de
dados amostrais uma mesma constante, a Média será aumentada da mesma constante.
Já o Desvio-Padrão da nova variável será idêntico ao da anterior!
Temos que a média
X = 12 e a variância de x é σ2 = 80.
Como definiu-se Y=X/4 + 1, temos que:
Y = X /4 +1, ou seja: Y = 12/4 +1 = 4
 Y2 =
 X2
= 80/16 = 5
42
Alternativa b).
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3. (ICMS/RJ - 2007 - Prova Amarela) Considere as informações contidas no Box Plot abaixo,
referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo.
É correto afirmar que:
(A) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos homens.
(B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa.
(C) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres.
(D) a distribuição dos salários dos homens é atípica.
(E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens.
RESOLUÇÃO:
A mecânica necessária para a resolução deste exercício, como já deve ter sido possível imaginar, será o
uso do “BOX PLOT”. Como estou certo de que ‘todos’ estão perfeitamente lembrados do assunto... recordo:
É apresentado na questão o desenho esquemático chamado Diagrama de Caixa (Box Plot), que utiliza o
"esquema dos cinco números" (best known as: “Five Number Summary”) a saber:
Mínimo, 1º Quartil, Mediana (que é o 2º Quartil), 3º Quartil e o Máximo da distribuição,
onde os quartis são chamados de "juntas" da Caixa.
A distância entre as juntas (d ) corresponde à amplitude interquartílica (ou distância interquartílica ou ainda
j
desvio interquartílico) e será obtida através da diferença entre o 3º Quartil (Q ) e o 1º Quartil (Q ), ou seja:
3
1
d = Q − Q . Essa medida, serve para a detecção de Outiliers (valores atípicos) de uma distribuição.
j
3
1
Serão considerados Outliers os valores inferiores a Q − 1,5d ou superiores a Q + 1,5d .
1
j
3
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j
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Com o entendimento do "esquema dos cinco números", uma rápida visualização do diagrama é suficiente
para verificar que a alternativa correta de resposta encontra-se na opção da letra A, pois a distância entre
os quartis na caixa do sexo feminino é bem maior do que na caixa do sexo masculino.
Vemos ainda que a opção da letra B está errada, pois se a mediana (Md) está mais próxima do 1º Quartil
(Q ), a distribuição será assimétrica positiva.
1
Vemos também que a letra E também está errada porque as medianas serão iguais para ambos os sexos.
Quanto às opções das letras C e D, nada podemos afirmar quanto ao valor da média ou quanto aos valores
atípicos, pois não dispomos no diagrama de informações precisas dos valores necessários aos cálculos.
Alternativa: a).
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4. Para se estudar o desempenho das corretoras de ações A e B, selecionou-se de cada uma delas
amostras aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-se a porcentagem de
lucro apresentada durante o período de um ano. Os gráficos a seguir apresentam os desenhos
esquemáticos relativos à porcentagem de lucro das amostras de A e B durante o período citado.
Relativamente à porcentagem de lucro obtida por essas corretoras pode-se afirmar que
(A) exatamente 25% dos valores de A são inferiores a 55.
(B) menos de 50% dos valores de B são superiores a 55.
(C) o maior valor de A é 60.
(D) os valores de A apresentam maior variabilidade que os de B.
(E) os valores de B apresentam assimetria positiva.
RESOLUÇÃO:
Observando o desenho esquemático, agora com as cinco medidas posicionadas nas caixas
correspondentes às Corretoras A e B, vemos que:
Para a Corretora A:
O valor mínimo (MIN) é aproximadamente igual a 45;
O valor do 1º Quartil (Q1) está entre 50 e 55;
O valor da Mediana (Md) é aproximadamente igual a 55;
O valor do 3º Quartil (Q3) é aproximadamente igual a 60;
O valor máximo (MAX) é aproximadamente igual a 70.
Para a Corretora B:
O valor mínimo (MIN) é aproximadamente igual a 50;
O valor do 1º Quartil (Q1) está entre 50 e 55;
O valor da Mediana (Md) está entre 55 e 60;
O valor do 3º Quartil (Q3) está entre 55 e 60;
O valor máximo (MAX) está entre 60 e 65;
Analisando agora as opções de resposta, vemos que:
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A 1ª opção está errada porque não é exatamente 25% dos valores da Corretora A que são
inferiores a 55 e sim aproximadamente 50%, pois é a Mediana (e não o 1º Quartil) que está
próxima do valor 55;
A 2ª opção está errada, porque a Mediana de B é um valor maior do que 55. Então entre este
valor e a Mediana teremos X% e acima de 55 teremos: 50% + X%, ou seja, mais de 50% serão
superiores a 55;
A 3ª opção está errada porque o maior valor de A não é igual a 60, mas sim superior a 60. Como
podemos notar no desenho esquemático, o máximo de A é aproximadamente igual a 70;
A 4ª opção de resposta está correta, porque a Amplitude Total (diferença entre o máximo e o
mínimo) da distribuição A é bem maior do que a da distribuição B (basta olhar para o tamanho das
caixas). Então a variabilidade de A, com certeza, será maior;
A 5ª opção de resposta está errada, pois na distribuição B a mediana está mais próxima do 3º
quartil e assim a assimetria é negativa (e não positiva). Haverá assimetria positiva na distribuição
A, pois naquela a mediana está mais próxima do 1º quartil. Quando a mediana está exatamente
no meio (da amplitude entre os dois quartis), a distribuição será simétrica. Basta lembrar do
Coeficiente Quartílico de Assimetria de Pearson, dado por:
AS1 
Q1  Q3  2  M d
.
Q3  Q1
Repare que o denominador, dado pela amplitude interquartílica (diferença entre os quartis) será
sempre positivo, pois o 3º quartil sempre será maior do que o 1º quartil. Logo a assimetria
(positiva, negativa ou nula) depende do resultado do numerador, que variará em função da
posição da mediana.
Para facilitar o entendimento, vamos arbitrar valores para as medidas, por exemplo, suponha que Q3 =
60, Q1 = 50 e que a mediana esteja exatamente entre estes valores, ou seja, Md = 55. Neste caso, a
assimetria será nula, pois Q3 + Q1 - 2Md = 0. Agora suponha que, a mediana é igual a 57 (está mais
próxima do 3º quartil). Neste caso, a assimetria será negativa (caso da distribuição B), pois Q3 + Q1 2Md = 60 + 50 - 114 = −4. Agora suponha que a mediana é igual a 52 (mais próxima do 1º quartil).
Então teremos uma assimetria positiva (caso da distribuição A), pois Q3 + Q1 - 2Md = 60 + 50 - 104 = 6.
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