Livro-texto EaD - Universidade Anhembi Morumbi

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
Livro-texto EaD
NATAL
2010
UNIVERSIDADE POTIGUAR – UnP
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEaD
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
LIVRO-TEXTO EaD
NATAL
2010
DIRIGENTES DA UNIVERSIDADE POTIGUAR
Chancelaria
Prof. Paulo Vasconcelos de Paula
Reitoria
Profª. Sâmela Soraya Gomes de Oliveira
Pró-Reitoria de Graduação
Prof. Cláudio Márcio Campos de Mendonça
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação
Prof. Aarão Lyra
Pró-Reitoria de Extensão e Ação Comunitária
Profª. Jurema Márcia Dantas da Silva
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância
Prof. Barney Silveira Arruda
Coordenação Adjunta do Núcleo de Educação a Distância
Profª Luciana Lopes Xavier
AARÃO LYRA
GRACIANA FERREIRA DIAS
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
LIVRO-TEXTO EaD
Natal/RN
2010
Fundamentos da Matemática
EQUIPE DE PRODUÇÃO DE RECURSOS DIDÁTICOS
Criação da Produção
Prof. Barney Silveira Arruda, M. Sc. Apuena Vieira Gomes, Dra.
Prof. Cláudio Márcio Campos de Mendonça, M. Sc.
Profª. Sâmela Soraya Gomes de Oliveira, M. Sc.
Organização
Profª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.
Profª. Thalyta Mabel Nobre Barbosa, M. Sc.
Coordenação Pedagógica do NEaD
Edilene Cândido da Silva, Graduada
Coordenação de Produção de Recursos Didáticos
Profª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.
Revisão de Estrutura e Linguagem em EaD
Profª. Thalyta Mabel Nobre Barbosa, M. Sc.
Revisão de Língua Portuguesa
Janaina Tomaz Capistrano, M. Sc.
Revisão de Estrutura Normativa
Profª. Luciana Lopes Xavier, M. Sc.
Revisão Tipográfica
Profª. Úrsula Andréa de Araújo Silva, M. Sc.
Projeto Gráfico
Lúcio Masaaki Matsuno
Capa
Setor de Marketing - UnP
Cyro Lucas Filgueira Souza, Colaboração
Diagramação
Firenzze Design & Comunicação
L992f
Lyra, Aarão
Fundamentos da matemática / Aarão Lyra, Graciana Ferreira
Natal: [s.n.], 2010.
190p. : il ; 21cm
Inclui bibliografia
ISBN: 978-85-61140-05-2
1. Matemática. I. Dias, Graciana Ferreira. II. Título.
RN/UnP/BCSF
CDU 51
CONHECENDO OS AUTORES
Prof. Aarão Lyra
Sou Aarão Lyra, nascido em Natal (RN). Possuo formação técnica em Edificações
obtida através da Escola Técnica Federal do Ceará, em 1992. Sou Graduado em Licenciatura em Matemática concluída em 1994 na Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Concluí o doutorado em Engenharia Elétrica com ênfase em Engenharia de Computação,
obtido através do Programa de Pós-Graduação em do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em 2003. Profissionalmente, trabalhei como Analista de Sistemas Senior na DATANORTE, de 1994 até 2000, em 1997
fui aprovado em concurso para professor substituto da UFRN, para o Curso de Pedagogia,
ensinei disciplinas relacionadas à docência da Matemática, em 2000 ingressei no Tribunal
de Justiça do Estado do Rio Grande do Norte, onde exerço até hoje funções relacionadas
a chefia do Departamento de Desenvolvimento de Sistemas e Aplicativos. Em 1999 fui
contratado pela Universidade Potiguar para atuar como professor dos Cursos de Sistemas
de Informação e Engenharia de Computação, ministrando diversas disciplinas nas áreas
de Matemática, Linguagens Formais e Autômatos e Teoria da Computação. Ainda na
Universidade Potiguar, fui Diretor do Curso de Sistemas de Informação. Atualmente sou
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação.
Profª Graciana Ferreira Dias
Olá!! Sou Graciana Dias, natural de João Pessoa (PB). Em toda minha vida escolar
sempre me interessei muito por matemática, e por isso decidi fazer minha graduação em
matemática. Terminei o meu curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade
Federal da Paraíba em 2006. Durante a minha graduação pude trabalhar no Laboratório
de Pesquisa da Aprendizagem Científica (LEPAC), tendo oportunidade de conhecer mais
de perto a realidade do ensino de matemática e na elaboração de materiais concretos para
auxiliar na aprendizagem. Trabalhei em escolas particulares, com o ensino Fundamental
e Médio. Sou mestre em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte e
atualmente sou professora do Departamento de Matemática e Estatística da Universidade
do Estado do Rio Grande do Norte.
Fundamentos da Matemática
CONHECENDO FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
Antes de iniciar seu estudo sobre o fascinante mundo da matemática, vamos falar
um pouco sobre a importância desta disciplina em sua formação acadêmica, e de que maneira ela pode lhe ajudar a se colocar melhor no cenário profissional.
O objetivo deste material didático é apresentar a você um conjunto de conceitos
básicos de matemática, de forma leve e de fácil assimilação, traçando, sempre que possível,
um paralelo entre a teoria e os problemas práticos do seu cotidiano. Os assuntos aqui abordados são considerados fundamentais para a construção de um bom alicerce matemático,
sendo imprescindíveis para a maioria das áreas de formação acadêmica.
A matemática está presente em praticamente todos os aspectos do conhecimento
humano, e devido a sua importância, recebeu por parte de seus estudiosos o carinhoso
título de mãe das ciências. Graças a matemática, a ciência, a física e a engenharia encontraram o suporte sólido e eficaz que sempre embasou às suas teorias, e certamente com a
sua ajuda o homem realizou e continua realizando muitas de suas proezas tecnológicas.
Os avanços que tem transformado a vida do homem ao longo dos últimos anos,
como os telefones celulares, os automóveis, os aviões, os arranha-céus, etc., têm as suas origens em teorias matemáticas clássicas, que foram – e estão sendo – estudadas por diversos
matemáticos. O estudo da matemática oferece a você, aluno, a oportunidade de conhecer
o fundamento das teorias responsáveis por estes e outros avanços tecnológicos. Além disso,
o hábito de estudar matemática desenvolve o raciocínio, muito útil nas tarefas cotidianas e
de apoio à tomada de decisões.
É com muita alegria que oferecemos este material a você esperando você possa
extrair o máximo de proveito dele, e que o conhecimento assimilado possa abrir-lhe novos
caminhos em sua vida, ampliando seus horizontes.
Seja muito bem vindo aos Fundamentos da Matemática!
Fundamentos da Matemática
PLANO DE ENSINO
1 IDENTIFICAÇÃO
CURSO: NEaD - DISCIPLINAS DE GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA
BLOCO CURRICULAR: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
PROFESSOR(ES) AUTOR(ES): AARÃO LYRA E GRACIANA FERREIRA DIAS
MODALIDADE: A DISTÂNCIA
CARGA HORÁRIA: 40H
2 EMENTA
Números e operações elementares. Razões, proporções e regras de três. Expressões e produtos notáveis.
Figuras geométricas, semelhança de triângulos e área de figuras planas. Equações e inequações.
Funções. Funções do 1º grau. Funções do 2º grau. Função exponencial. Funções logarítmicas.
3 OBJETIVOS
Instrumentalizar o estudante com ferramentas da matemática a fim de que ele possa resolver
situações-problemas relacionadas com sua área profissional.
4 HABILIDADES E COMPETÊNCIAS
• Interpretar informações, definições, propriedades e utilizá-las para a solução de problemas
práticos ou aquisição de novos conhecimentos.
• Identificar grandezas mensuráveis a fatos científicos e estabelecer relações existentes entre essas
grandezas.
• Conhecer o processo de desenvolvimento e organização da Matemática.
• Compreender raciocínio em geral.
5 VALORES E ATITUDES
• Aplicar conhecimentos teóricos à solução de problemas práticos.
Fundamentos da Matemática
6 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
UNIDADE I
1. NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES.
2. RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS DE TRÊS.
3. EXPRESSÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS.
4. FIGURAS GEOMÉTRICAS, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E ÁREA DE FIGURAS
PLANAS.
5. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES.
UNIDADE II
6. FUNÇÕES.
7. FUNÇÕES DO 1º GRAU.
8. FUNÇÕES DO 2º GRAU.
9. FUNÇÃO EXPONENCIAL.
10. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS.
7 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
• Utilização de material didático impresso (livro-texto).
• Interação através do Ambiente Virtual de Aprendizagem (UnP Virtual).
• Aula Expositiva – Interativa nos momentos presenciais obrigatórios (palestra, mesa redonda,
seminário, ambiente virtual de aprendizagem, entre outros).
• Utilização de material complementar (sugestão de filmes, livros, sites, músicas, ou outro meio
que mais se adeque à realidade do aluno).
8 ATIVIDADES DISCENTES
• Pontualidade e assiduidade na entrega das atividades (propostas no material didático impresso
(livro-texto) e/ou Ambiente Virtual de Aprendizagem) solicitadas pelo Tutor.
• Participação nos encontros presenciais obrigatórios.
• Realização das atividades avaliativas nos encontros presenciais obrigatórios.
Fundamentos da Matemática
9 PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
O processo de avaliação estará presente em todos os momentos do processo ensino-aprendizagem
considerando:
• Leitura do de material didático impresso (livro-texto).
• Interação com tutor através do Ambiente Virtual de Aprendizagem (UnP Virtual).
• Realização de atividades propostas no material didático impresso (livro-texto) e/ou no Ambiente
Virtual de Aprendizagem.
• Aprofundamento de temas em pesquisa extra material didático impresso (livro-texto).
10 BIBLIOGRAFIA
10.1 BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BONGIOVANNI, Vincenzo; LAUREANO, Jose Luiz Tavares; LEITE, Olímpio Rudinin Vissoto.
Matemática. 6. ed. São Paulo: Ática, 1998. 472p.
IEZZI, Gelson et al. Matemática. São Paulo: Atual, 1997. 650p.
IEZZI, Gelson et al. Tópicos de matemática. 2. ed. São Paulo: Atual, 1981. v.2. 305p.
MARANHÃO, Maria Cristina S. de A. Matemática. São Paulo: Cortez, 1994. 197p.
TOLEDO, Marília. Didática de matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São
Paulo: FTD, 1997. 335p.
10.2 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
CASTRUCCI, Bongiovani et al. Matemática. São Paulo: FTD, 2001.
Fundamentos da Matemática
SUMÁRIO
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES .......................................................................21
1.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................21
1.1.1 Apresentação ......................................................................................................................21
1.1.2 Justificativa ........................................................................................................................21
1.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................21
1.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................21
1.2.1 História dos números ........................................................................................................21
1.2.2 Sistema de Numeração .......................................................................................................22
1.2.2.1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS ................................................................23
1.2.2.2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO NÃO POSICIONAIS ......................................................24
1.2.3 Conjuntos Numéricos ........................................................................................................26
1.2.3.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .....................................................................27
1.2.3.1.1 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS PARA OS ELEMENTOS DO CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS..................................................................................................................28
1.2.3.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ......................................................................29
1.2.3.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ...................................................................30
1.2.3.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ...............................................................33
1.2.3.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS..............................................................................34
1.2.3.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................34
1.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................35
1.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................35
1.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................36
ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................36
2 RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS DE TRÊS ...................................................................41
2.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................41
2.1.1 Apresentação ......................................................................................................................41
2.1.2 Justificativa ........................................................................................................................41
2.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................41
2.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................42
2.2.1 Razões ................................................................................................................................42
2.2.2 Proporções .........................................................................................................................44
2.2.2.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL ...................................................................................44
2.2.3 Regra de Três .....................................................................................................................47
2.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................50
2.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................50
2.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................51
ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................52
Fundamentos da Matemática
3 EXPRESSÕES E PRODUTOS NOTÁVEIS ............................................................................55
3.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................55
3.1.1 Apresentação ......................................................................................................................55
3.1.2 Justificativa ........................................................................................................................55
3.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................55
3.2 POR ONDE COMEÇAR
.........................................................................................55
3.2.1 Expressões Literais ou Algébricas.......................................................................................56
3.2.1.1 VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA ............................................56
3.2.1.2 MONÔMIOS E POLINÔMIOS.........................................................................................58
3.2.2 Produtos notáveis ..............................................................................................................58
3.2.2.1 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS .................................................................59
3.2.2.2 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ......................................................60
3.2.2.3 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ...................................61
3.2.2.4 CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS .............................................................................62
3.2.2.5 CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ..................................................................63
3.2.2.6 PRODUTO DA FORMA (X + P)(X + Q) ............................................................................64
3.2.3 Fatoração de Expressões Algébricas ...................................................................................65
3.2.3.1 FATORAÇÃO COLOCANDO EM EVIDÊNCIA OS FATORES COMUNS ...................65
3.2.3.2 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO ..............................................................................66
3.2.3.4 FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO .............................................67
3.2.3.6 FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS CUBOS .........................................................69
3.2.3.7 FATORAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS ....................................................................69
3.2.4 Simplificação de expressões algébricas ...............................................................................70
3.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................70
3.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................71
3.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................71
ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................72
4 FIGURAS GEOMÉTRICAS, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E ÁREA DE FIGURAS
PLANAS ..................................................................................................................................75
4.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................75
4.1.1 Apresentação ......................................................................................................................75
4.1.2 Justificativa ........................................................................................................................75
4.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................75
4.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................76
4.2.1 Um pouco de história ........................................................................................................76
4.2.2 Figuras geométricas ...........................................................................................................77
4.2.3 Semelhança de Triângulos ................................................................................................78
4.2.4 Áreas de figuras planas.......................................................................................................79
4.3 RELEMBRANDO .....................................................................................................................82
4.4 PARA SABER MAIS ...................................................................................................................82
4.5 O QUE FAZER ..........................................................................................................................82
ONDE ENCONTRAR ....................................................................................................................83
5 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ................................................................................................87
Fundamentos da Matemática
5.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ...............................................................................................87
5.1.1 Apresentação ......................................................................................................................87
5.1.2 Justificativa ........................................................................................................................87
5.1.3 Objetivos ...........................................................................................................................87
5.2 POR ONDE COMEÇAR ..........................................................................................................88
5.2.1 Equações ...........................................................................................................................88
5.2.2 Solução ou Raiz de uma Equação ......................................................................................89
5.2.2.1 AS OPERAÇÕES INVERSAS..............................................................................................89
5.2.3 Equações do 1° Grau com uma incógnita ..........................................................................90
5.2.3.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1 ° GRAU.................................................................90
5.2.4 Inequações do 1° Grau ......................................................................................................91
5.2.4.1 SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES ..........................................................................................92
5.2.5 Sistemas de Equações do 1 ° Grau .....................................................................................95
5.3 EQUAÇÕES DO 2° GRAU .......................................................................................................99
5.3.1 Resolução de equações do 2º grau ...................................................................................100
5.4 RELEMBRANDO ...................................................................................................................102
5.5 PARA SABER MAIS .................................................................................................................102
5.6 O QUE FAZER .........................................................................................................................102
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................103
6 FUNÇÕES .............................................................................................................................107
6.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................107
6.1.1 Apresentação ....................................................................................................................107
6.1.2 Justificativa ......................................................................................................................107
6.1.3 Objetivos .........................................................................................................................107
6.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................108
6.2.1 A ideia de Função ............................................................................................................108
6.2.2 Definição de Função .......................................................................................................109
6.2.3 Domínio, contradomínio e imagem de uma Função .......................................................111
6.2.4 Gráfico de uma Função....................................................................................................112
6.2.4.1 PLANO CARTESIANO.....................................................................................................112
6.2.4.2 CONSTRUINDO GRÁFICO DE FUNÇÕES .................................................................113
6.2.5 Tipos de Funções .............................................................................................................115
6.2.5.1 FUNÇÃO INJETORA .......................................................................................................115
6.2.5.2 FUNÇÃO SOBREJETORA ...............................................................................................116
6.2.5.3 FUNÇÃO BIJETORA........................................................................................................116
6.2.6 Composição de Funções ..................................................................................................117
6.2.7 Função Inversa.................................................................................................................119
6.2.7.1 DETERMINANDO A FUNÇÃO INVERSA ....................................................................120
6.3 RELEMBRANDO.....................................................................................................................122
6.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................122
6.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................122
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................123
7 FUNÇÕES DO 1º GRAU ......................................................................................................127
Fundamentos da Matemática
7.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................127
7.1.1 Apresentação ....................................................................................................................127
7.1.2 Justificativa ......................................................................................................................127
7.1.3 Objetivos .........................................................................................................................127
7.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................128
7.2.1 Estudo da Função do 1º grau ..........................................................................................128
7.2.2 Gráfico de uma função do 1º grau ...................................................................................129
7.2.3 Crescimento e decrescimento de uma função do 1º grau .................................................131
7.2.4 Estudo do sinal da função do 1º grau ..............................................................................133
7.2.4.1 ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU .......................................................................133
7. 3 RELEMBRANDO ..................................................................................................................136
7.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................136
7.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................136
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................137
8. FUNÇÕES DO 2º GRAU .....................................................................................................141
8.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................141
8.1.1 Apresentação ....................................................................................................................141
8.1.2 Justificativa .....................................................................................................................141
8.1.3 Objetivos .........................................................................................................................141
8.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................142
8.2.1 Estudo da função do 2º grau ...........................................................................................142
8.2.2 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................................142
8.2.3 Concavidade ....................................................................................................................144
8.2.4 Zeros de uma função quadrática ......................................................................................145
8.2.5 Vértice da parábola ..........................................................................................................147
8.2.6 Construindo o gráfico......................................................................................................150
8.2.7 Valor de máximo e valor de mínimo ................................................................................151
8.2.8 Crescimento e decrescimento de uma função quadrática .................................................152
8.3 RELEMBRANDO ...................................................................................................................154
8.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................155
8.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................155
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................156
9. FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................................159
9.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR .............................................................................................159
9.1.1 Apresentação ....................................................................................................................159
9.1.2 Justificativa ......................................................................................................................159
9.1.3 Objetivos .........................................................................................................................159
9.2 POR ONDE COMEÇAR ........................................................................................................160
9.2.1 Potenciação......................................................................................................................160
9.2.1.1 POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL ....................................................................160
9.2.1.2 POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO ......................................................................160
9.2.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL ................................................................161
9.2.1.4 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO ..........................................................................161
Fundamentos da Matemática
9.2.2 Funções Exponenciais ......................................................................................................162
9.2.2.1 DEFINIÇÃO E GRÁFICO ................................................................................................162
9.2.2.2 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL .........................................................164
9.2.3 Equações Exponenciais ....................................................................................................164
9.3 RELEMBRANDO ...................................................................................................................167
9.4 PARA SABER MAIS .................................................................................................................167
9.5 O QUE FAZER ........................................................................................................................167
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................168
10 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS .............................................................................................171
10. 1 ONDE QUEREMOS CHEGAR ..........................................................................................171
10.1.1 Apresentação ..................................................................................................................171
10.1.2 Justificativa ....................................................................................................................171
10.1.3 Objetivos .......................................................................................................................171
10.2 POR ONDE COMEÇAR ......................................................................................................172
10.2.1 O que é logaritmo ..........................................................................................................172
10.2.2 Consequências da definição ...........................................................................................175
10.2.3 Equações logarítmicas....................................................................................................176
10.2.4 Propriedade dos logaritmos ...........................................................................................177
10.2.5 Função logarítmica ........................................................................................................179
10.3 RELEMBRANDO .................................................................................................................182
10.4 O QUE FAZER ......................................................................................................................183
10.5 PARA SABER MAIS ...............................................................................................................183
ONDE ENCONTRAR ..................................................................................................................183
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................185
Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 1
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
Anotações
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES ELEMENTARES
21
1.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
1.1.1 Apresentação
Neste primeiro capítulo, estaremos apresentando a você, aluno,
uma visão geral sobre os números, suas formas de representação e como
eles podem ser agrupados em seus conjuntos numéricos.
Você verá que a partir do momento em que o ser humano sentiu a necessidade de representar grandezas ou quantidades em seu dia
a dia, a matemática passou a ser considerada imprescindível para resolver os problemas do cotidiano. Um dos desafios iniciais do homem foi
encontrar uma maneira de escrever os números, utilizando para isso
algum sistema de numeração.
Neste capítulo, você estudará os principais conjuntos numéricos existentes – naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos – verificando suas propriedades e operações principais.
1.1.2 Justificativa
Conhecendo os conjuntos numéricos, você terá uma ótima base
para o nosso estudo, pois os conjuntos numéricos serão os pontos de
partida para sua aprendizagem. Você verá na história desses conjuntos
o início do pensamento matemático e como os homens tiveram necessidade da matemática para solucionar seus problemas.
1.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• conhecer a história dos sistemas de numeração;
• conhecer os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos;
• utilizar as principais propriedades dos números.
1.2 POR ONDE COMEÇAR
1.2.1 História dos números
O ser humano sempre teve a necessidade de representar de forma numérica alguns fenômenos naturais que fazem parte de seu dia a
dia, criando para isso um conjunto de medidas que fosse capaz de identificar, por exemplo, a quantidade de ovelhas de um rebanho, ou, ainda,
o tempo gasto na execução de uma determinada tarefa.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
22
Para atender a tais necessidades, nossos ancestrais se preocuparam em criar e aperfeiçoar o conceito de número e suas formas de representação. Inicialmente, a intenção era facilitar a contagem de elementos
de pequenas dimensões, utilizando para isso estratégias rudimentares
como associar cada elemento a ser contado, a uma pequena pedrinha
em uma sacola. Assim, para representar quinze cabeças de gado, tudo
que se tinha a fazer era armazenar quinze pedrinhas em uma sacola. Se
novas cabeças fossem adquiridas, uma quantidade equivalente de novas
pedrinhas seria adicionada.
Não é difícil imaginar os diversos problemas que essa abordagem trazia aos nossos remotos antepassados. Imagine como deve ter
sido difícil representar uma grande quantidade de elementos associando-as a pedrinhas em uma sacola. Quantas sacolas seriam necessárias
para que um pastor pudesse armazenar as pedrinhas correspondentes a
um rebanho com algumas centenas de ovelhas?
Com o passar do tempo, o homem passou a representar os números de forma gráfica, resolvendo assim, a maioria dos problemas. A
partir desse momento, a matemática deixou de ser considerada apenas
uma curiosidade de poucos, firmando-se então como uma verdadeira
ciência, capaz de oferecer respostas para inúmeros problemas da época. Consequentemente, o número de estudiosos que passaram a se
dedicar a desvendar os seus mistérios cresceu em todo o mundo, com
contribuições notáveis por parte dos romanos, dos gregos, dos hindus
e dos árabes.
A partir do momento em que os números passaram a ser representados de forma escrita, tornou-se necessário definir os conceitos
de número e numeral. O primeiro representa a grandeza física em si,
aquilo que está sendo contado ou medido. Consiste na idéia que concebemos acerca do que está sendo representado, e, portanto, não possui existência material ou escrita. Já o numeral consiste exatamente na
representação gráfica de um número, expressa de forma inequívoca
em um determinado sistema de numeração. Se você pensa em uma
cesta com uma centena de maças, você está mentalizando uma quantidade, portanto, trata-se de um número. Quando você expressa esse
número através da sequência de símbolos “100”, está representando
esse número na forma de um numeral, escrito com base no sistema de
numeração decimal.
1.2.2 Sistema de Numeração
Uma sequência de símbolos é um numeral se esses símbolos
forem baseados em um conjunto de regras, além disso, se for definido uma quantidade máxima de símbolos distintos a serem utilizados.
A esse conjunto e suas regras, chamamos de Sistema de Numeração.
Existem basicamente dois tipos de sistemas de numeração: os sistemas
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 1
Anotações
posicionais e os sistemas não-posicionais, os quais serão apresentados a
seguir.
23
1.2.2.1 Sistemas de Numeração Posicionais
Veja que interessante a afirmação abaixo!
SAIBA QUE
Os sistemas de numeração posicionais são caracterizados pelo fato de cada símbolo possuir
um valor numérico dependente da posição que
ele ocupa dentro do numeral. A ideia geral é a de
que, quanto mais à esquerda um símbolo estiver
escrito, maior a quantidade numérica que ele representa.
A quantidade de símbolos diferentes utilizados em um sistema de numeração representa a base desse sistema. Assim, um sistema
de base seis possui seis símbolos diferentes; um sistema de base doze
possui doze símbolos, e um sistema de base dez, por sua vez, possui
dez símbolos.
A partir de agora, iremos aprender um pouco sobre a história
do sistema posicional na Matemática.
Foi na Babilônia, há mais de 2300 anos antes de Cristo, que
os primeiros matemáticos passaram a adotar o sistema posicional. Os
registros dessa época trazem referências a dois sistemas: um de base
dez, utilizado para pequenas quantidades, e outro de base sessenta,
adotado para grandezas maiores.
Posteriormente, os hindus foram responsáveis por vários avanços na Matemática, sendo os mais significativos, a descoberta do zero
e a popularização dos sistemas de numeração posicional de base dez.
Fala-se em “descoberta” do zero, pois naquele tempo o zero não existia como símbolo, e era visto apenas como a ausência de elementos
em um conjunto qualquer. Os hindus verificaram que sem a presença
de um símbolo gráfico que represente essa ausência, algumas quantidades simplesmente não conseguiam ser representadas graficamente,
ou seja, na forma de numerais, o que era um problema e tanto. A
popularização do sistema de base dez comparado com um sistema de
outra base qualquer, pode ser justificada pelo fato do ser humano ter
dez dedos em suas mãos, o que facilita muito a adoção de um sistema
análogo.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
24
CURIOSIDADE
Você deve se recordar dos primeiros passos no
estudo da Matemática enquanto era criança?
Certamente você contou – ainda que secretamente – com a ajuda dos próprios dedos para
efetuar os primeiros cálculos matemáticos...!
Por ter uma base com dez símbolos diferentes, esse sistema passou a ser chamado de sistema decimal de numeração e, posteriormente, cada símbolo passou a ser conhecido por algarismo. Os algarismos
utilizados no sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, representando, respectivamente, do vazio até um conjunto de nove elementos.
Para escrever quantidades maiores combinam-se os algarismos criando
assim, posições relativas dentro de um numeral, como as dezenas, as
centenas ou os milhares.
Por exemplo, quando você escreve o número 324, cada algarismo possui um valor relativo dentro do numeral. Valor relativo é aquele
que depende da classe e ordem de onde o numeral se encontra. Vejam
a seguir um exemplo.
3 è 3 centenas, ou 300
2 è 2 dezenas, ou 20
4 è 4 unidades, ou 4
CURIOSIDADE
Os árabes foram responsáveis pela popularização na Europa do sistema decimal utilizado pelos hindus. Por esse motivo, esse tipo de sistema
também ficou conhecido no mundo como sistema de numeração indo-arábico.
1.2.2.2 Sistemas de Numeração Não Posicionais
Diferentemente dos sistemas posicionais, os sistemas de numeração não-posicionais são caracterizados pelo fato de que cada símbolo
expressa sempre uma mesma quantidade, independente da posição que
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 1
Anotações
ele ocupa dentro do numeral. Esse tipo de sistema possui uma série de
limitações quando se trata de realizar operações aritméticas, sendo geralmente utilizados apenas para representar quantidades.
O sistema não posicional mais conhecido é o sistema de numeração romano, que adotava um conjunto de sete letras do alfabeto para
representar os seus algarismos.
Os símbolos e seus valores correspondentes em decimal são
mostrados no quadro a seguir.
Algarismo
Valor decimal
I
V
1
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1.000
25
QUADRO 1 – Algarismos romanos e seus valores em decimal
Diferentemente do sistema decimal, um numeral escrito no
sistema romano tem seu valor quantitativo obtido através da simples
soma de seus algarismos, independente de seus valores posicionais ou
relativos.
Exemplo:
VII è 5 + 1 + 1 = 7
LXV è 50 + 10 + 5 = 65
MMXXVI è 1.000 + 1.000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2.026
O sistema romano apresenta apenas quatro regras distintas.
Concentre sua atenção, essas regras são bastante interessantes. Veja-as
abaixo.
• Regra 1: Os algarismos I, X, C e M somente poderiam ser repetidos
sequencialmente três vezes. Exemplos:
III è 1 + 1 + 1 = 3
CXXX è 100 + 10 + 10 + 10 = 130
MMMCCC è 1.000 +1.000 + 1.000 + 100 + 100 + 100 = 3.300
• Regra 2: Os algarismos I, X e C, quando escritos à direita de algarismos maiores, somam seus valores ao desses números. Exemplos:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
26
VI è (5 + 1) = 6
XV è (10 + 5) = 15
CXI è [100 + (10 + 1)] = 111
• Regra 3: Os algarismos I, X e C, quando escritos à esquerda de algarismos menores, subtraem seus valores ao desses números. Exemplos:
IV è (5 – 1) = 4
XC è (100 – 10) = 90
CDIX è (500 – 100) + (10 – 1) = 409
• Regra 4: Colocando-se um traço vertical sobre um ou mais algarismos, indicamos que o valor correspondente deve ser multiplicado
por mil. Exemplos:
X  10 x 1.000 = 10.000
XC  (100 - 10) x 1.000 = 90.000
XV  (10 + 5) x 1.000 = 15.000
1.2.3 Conjuntos Numéricos
Com o avanço dos estudos dos números e de suas propriedades, os matemáticos decidiram agrupá-los em conjuntos numéricos.
O primeiro conjunto foi o dos números naturais, muito utilizado para
representar quantidades da natureza. Em seguida, foi definido o conjunto dos números inteiros, que amplia o conjunto dos naturais com
a adição de números negativos.
Para representar todos os números que podem ser expressos
na forma de uma fração, criou-se o conjunto dos números racionais.
No entanto, os matemáticos constataram que nem todos os números
podiam ser expressos de forma fracionária, como o número π, por
exemplo. Para representá-los, foi definido o conjunto dos números
irracionais.
A união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos irracionais resulta em um conjunto mais abrangente, chamado
conjunto dos números reais, que é o conjunto que você utilizará, nos
próximos capítulos.
Entretanto, os matemáticos verificaram que alguns números
simplesmente não conseguiam ser representados utilizando-se o conjunto dos números reais. Esses números possuíam propriedades numéricas bastante peculiares, por esse motivo foram agrupados em um conjunto mais abrangente, chamados conjunto dos números complexos.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 1
Anotações
Do ponto de vista matemático, cada um desses conjuntos
possui uma quantidade infinita de elementos. Entretanto, cada conjunto – com exceção do conjunto dos irracionais – é uma ampliação
do conjunto dos números naturais. Do ponto de vista gráfico, podemos representar os conjuntos numéricos de acordo com a figura a
seguir:
27
Nœmeros
Reais
Nœmeros
Complexos
Nœmeros
Racionais
Nœmeros
Irracionais
Nœmeros
Inteiros
Nœmeros
Naturais
FIGURA 1 – Representação dos Conjuntos Numéricos
1.2.3.1 Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é o mais conhecido, ele é
representado pelo símbolo N e possui a seguinte formação:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Observe que a quantidade de elementos é infinita, iniciando a
partir de zero. Existe uma pequena corrente de matemáticos que entende que o zero, por não poder ser “contado”, como outra quantidade
qualquer da natureza, não deveria fazer parte de N. Entretanto, como
o zero possui as mesmas propriedades algébricas dos demais números
naturais, a grande maioria dos autores considera que ele faz parte sim
do conjunto dos números naturais, e essa vai ser a corrente seguida
nesta obra.
Você verá agora algumas propriedades algébricas que são definidas para todos os elementos do conjunto dos naturais. Essas propriedades são aplicadas às duas operações fundamentais aplicáveis a esse
conjunto: a adição e a multiplicação.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
28
1.2.3.1.1 Propriedades algébricas para os elementos do conjunto dos
números naturais
a. Propriedade Associativa com Relação à Adição (a + b) + c = a + (b
+ c), para todo a, b e c pertencentes a N
Por exemplo:
(4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7)
9 + 7 = 4 + 12
16 = 16 (Verdadeiro!)
b. Propriedade Associativa com Relação à Multiplicação (a x b) x c
= a x (b x c), para todo a, b e c pertencentes a N
Por exemplo:
(3 x 2) x 8 = 3 x (2 x 8)
6 x 8 = 3 x 16
48 = 48 (Verdadeiro!)
c. Propriedade Comutativa com Relação à Adição a + b = b + a, para
todo a e b pertencentes a N
Por exemplo:
3+2=2+3
5 = 5 (Verdadeiro!)
d. Propriedade Comutativa com Relação à Multiplicação a x b = b x
a, para todo a e b pertencentes a N
Por exemplo:
4x5=5x4
20 = 20 (Verdadeiro!)
e. Propriedade Elemento Neutro com Relação à Adição a + 0 = a,
para todo a pertencente a N
Por exemplo:
7+0=7
7 = 7 (Verdadeiro!)
f. Propriedade Elemento Neutro com Relação à Multiplicação a x 1
= a, para todo a pertencente a N
Por exemplo:
3x1=3
3 = 3 (Verdadeiro!)
g. Propriedade Distributiva da Multiplicação com Relação à Adição
a x (b + c) = a x b + a x c, para todo a, b e c pertencente a N
Por exemplo:
4 x (2 + 8) = 4 x 2 + 4 x 8
4 x 10 = 8 + 32
40 = 40 (Verdadeiro!)
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 1
Anotações
O conjunto dos números naturais possui um importante subconjunto, conhecido por conjunto dos números naturais não-nulos.
Esse subconjunto corresponde ao conjunto dos naturais excluindo o
elemento zero, e é representado por:
29
N* = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Observe que, por definição, N* = N – {0}
Do ponto de vista gráfico, o conjunto dos números naturais
pode ser representado por um segmento de reta orientado, conforme
ilustrado a seguir:
0
1
2
3
4
5
6
1.2.3.2 Conjunto dos Números Inteiros
Você estudará agora o conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo Z, que é uma ampliação do conjunto dos números
naturais incluindo em sua definição os números negativos. Assim:
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
O conjunto Z apresenta, além das mesmas propriedades relacionadas à adição e à multiplicação definidas para N (naturais), a seguinte propriedade:
• Propriedade Simétrico, ou Oposto da Adição
Para todo a pertencente à Z, existe um número – a, também
pertencente à Z, tal que a + (–a) = 0.
Exemplo:
Para o número 8, temos o -8, da forma que 8 + (-8) = 0.
Para o número -2, temos o número – (-2) =2, tal que, -2 + 2 = 0.
Alguns subconjuntos importantes de Z:
a. Conjunto dos números inteiros não-nulos
Corresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se
o elemento zero. É representado por:
Z* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Observe que, por definição, Z* = Z – {0}
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
30
b. Conjunto dos números inteiros não-negativos
Corresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se
os elementos negativos. É representado por:
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Observe que, por definição, Z+ = N
c. Conjunto dos números inteiros não-positivos
Corresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se
os elementos positivos. É representado por:
Z- = { 0, -1, -2, -3, -4, ... }
d. Conjunto dos números inteiros positivos
Corresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se
o zero e os elementos negativos. É representado por:
Z +* = { 1, 2, 3, 4, ... }
Observe que, por definição, Z +* = Z+ - {0}
e. Conjunto dos números inteiros negativos
Corresponde ao conjunto dos números inteiros, excetuando-se
o zero e os elementos positivos. É representado por:
Z �* = { -1, -2, -3, -4, ... }
Observe que, por definição, Z �* = Z- - {0}
Do ponto de vista gráfico, o conjunto dos números inteiros
pode ser representado por uma reta orientada, conforme ilustrado a
seguir:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1.2.3.3 Conjunto dos Números Racionais
Concentre sua atenção agora no conjunto dos números racionais (representados pelo símbolo Q) que compreende todos os números
que possam ser colocados sob a forma de uma fração onde o numerador
é um elemento de Z (é um inteiro) e o denominador é um inteiro diFundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 1
Anotações
13
13
conjunto Z*. Pode-se definir formalmente o conjunto dos números racionais como
conjunto Z*. Pode-se definir formalmente o conjunto dos números racionais como
ferente
sendo: de zero, portanto, pertencente ao conjunto Z*. Pode-se definir
31
sendo:
formalmente
o conjunto dos números racionais como sendo:
a
*

Q= 
 a tal que, a ∈ Z e b∈ Z * 
Q= 
 b tal que, a ∈ Z e b∈ Z 

b
Exemplo de números pertencentes à Q:
Exemplo
númerospertencentes
pertencentes
Exemplo de
de números
à Q:à Q:
8
• 4  pois 4 = 8
• 4  pois 4 = 2
2
312
• 3,12  pois 3,12 = 312
• 3,12  pois 3,12 = 100
100
− 48
• -12  pois -12 = − 48
• -12  pois -12 = 4
4
− 3405
• -34,05  pois -34,05 = − 3405
• -34,05  pois -34,05 = 100
100
Observe que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos
Observe
dosnúmeros
númerosinteiros
inteiros
contido
no
Observe que
que o
o conjunto
conjunto dos
estáestá
contido
no conjunto
dos
números
racionais,
pois
qualquer
número
inteiro
pode
ser
expresso
sob
a
forma
de
uma
conjunto
dos números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser
números racionais, pois qualquer número inteiro pode ser expresso sob a forma de uma
expresso
sob adesses,
formaa de
uma fração.
Alémque
desses,
a maioria
dos númefração. Além
maioria
dos números
possuam
casas decimais
pertencem à
fração.
Além
desses,
a
maioria
dos
números
que
possuam
casas
decimais
pertencem
à
ros
que possuam
casas decimais
pertencem
à Q,
incluindo
as dízimas.
Q, incluindo
as dízimas.
Na verdade,
toda dízima
pode
ser expressa
na forma de uma
Q, incluindo
dízimas.
verdade,
toda dízima
pode ser
na forma
Na
verdade, as
toda
dízimaNapode
ser expressa
na forma
deexpressa
uma fração
de de uma
fração
de
inteiros,
e,
portanto,
faz
parte,
por
definição,
do
conjunto
dos
números
inteiros,
portanto,
parte, por
conjunto
números
fração dee, inteiros,
e, faz
portanto,
faz definição,
parte, por do
definição,
do dos
conjunto
dos números
racionais. Por
racionais.
Porexemplo:
exemplo:
racionais. Por exemplo:
3
•
•
0,333... pode ser expresso pela fração 3
0,333... pode ser expresso pela fração 9
•
•
12,3535... pode ser expresso pela fração 1223
12,3535... pode ser expresso pela fração 99
9
1223
99
INICIO DO ICONE PRATICANDO
DO ICONE PRATICANDO
PINICIO
RATICANDO
Prove que os números abaixo são números racionais:
Prove que osProve
números
abaixo
são
números
racionais:
0; 1;
3,45; -15;
0,777... racionais:
que os
números
abaixo
são
números
0;
1;
3,45;
-15;
0,777...
0; 1; 3,45; -15; 0,777...
FIM DO ICONE PRATICANDO
FIM DO ICONE PRATICANDO
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
32
c
a
Todo par de números racionais,
e , respeita as seguintes
b
d
operações, observe:
a) Igualdade
Por exemplo:
b) Adição
Por exemplo:
c) Multiplicação
Por exemplo:
Do ponto de vista gráfico, um número racional pode ser representado através de um ponto sobre uma reta orientada, de forma a
simular a representação dos números inteiros. Por exemplo, o número
0,25 (ou 1 ) pode ser representado graficamente da seguinte forma:
4
-4
-3
Fundamentos da Matemática
-2
-1
0
0,25
1
2
3
4
Anotações
Capítulo 1
Anotações
1.2.3.4 Conjunto dos Números Irracionais
33
Os matemáticos observaram a existência de alguns números
que simplesmente não podiam ser escritos na forma de uma fração,
portanto, não pertenciam ao conjunto dos números racionais.
A maioria desses números, batizados de números irracionais,
teve a sua origem em observações geométricas. Por exemplo, verificouse que a diagonal de um quadrado de lado igual a 1 não poderia ser
expressa dessa forma, tendo seu valor calculado em 1,4142135623...
Como esse número não representa uma dízima e possui infinitas casas decimais, ele não pode ser representado através de uma fração,
portanto, não pertence ao conjunto dos números racionais.
Outro número dessa categoria é obtido pela divisão do comprimento de uma circunferência pelo valor de seu diâmetro. Esse número
é extremamente importante na Matemática, e foi batizado pela letra
grega π (leia-se “pi”):
Todos os números irracionais foram agrupados em um conjunto próprio, representado pelo símbolo I. Outros exemplos de números
irracionais:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
34
Anotações
CURIOSIDADE
e = 2,71828182845... trata-se do número de
Euler, descoberto pelo matemático suíço Leonhard Euler, utilizado como base dos logaritmos
naturais (que você verá no capítulo 10).
1.2.3.5 Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais – representado pelo símbolo –
é formado pela união dos conjuntos dos números racionais com o dos
números irracionais. Nesse sentido, os números reais validam todas as
propriedades e operações definidas para os conjuntos anteriores, sendo
utilizado como o conjunto numérico da maioria dos problemas do cotidiano.
Do ponto de vista gráfico, cada número real pode ser representado como um ponto pertencente a uma reta orientada, normalmente
chamada de reta real ou reta numérica:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Observe que todos os números reais podem ser representados
por um único ponto na reta real, e cada ponto da reta relaciona-se a
apenas um único número real. A esse tipo de relação entre elementos de
domínios diferentes chamamos de correspondência biunívica.
1.2.3.6 Conjunto dos Números Complexos
Por volta do século XVI, os matemáticos verificaram a existência de uma classe de problemas algébricos que simplesmente não
possuíam solução no conjunto dos números reais. Para lidar com essa
situação, o conjunto foi ampliado com a finalidade de incorporar novas representações de números considerados satisfatórios para a solução
desses problemas, surgindo assim o conjunto dos números complexos –
representados pelo símbolo C.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
35
Anotações
CURIOSIDADE
Os números complexos transformaram significativamente a teoria por trás de alguns conceitos
da física, como o estudo das correntes elétricas
alternadas, por exemplo.
Entretanto, uma análise mais detalhada não faz parte de um
curso básico de fundamentos de Matemática, não sendo contemplada,
portanto, neste material.
1.3 RELEMBRANDO
Você acabou de aprender um pouco mais sobre a representação
dos números, e como eles podem ser organizados em conjuntos numéricos. Viu também que existem diferentes maneiras de se representar
um número, em particular, com a utilização de sistemas posicionais e
também não posicionais.
Além disso, também estudou os diversos conjuntos numéricos
existentes – naturais, inteiros, racionais, reais e complexos – assim como
as suas principais características e propriedades.
1.4 PARA SABER MAIS
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Números Naturais I.
Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/
naturais/naturais1.htm#m10209>. Acesso em: 24 jun. 2009.
Você pode aprender um pouco mais sobre os números e seus conjuntos numéricos acessando o site Matemática Essencial: ensino Fundamental, Médio e Superior. No link indicado, você poderá ver como
os números naturais foram construídos, além de poder acompanhar as
definições das principais propriedades e operações existentes em N.
TAHAN, Malba. O homem que calculava: romance: as aventuras de
um singular calculista persa. Rio de Janeiro: Conquista, 1975. 291 p.
Para saber mais sobre diversos assuntos em Matemática e operações entre números leia o livro indicado.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
36
Anotações
1.5 O QUE FAZER
1. Observe as afirmações abaixo e responda:
Laura:
Plínio:
“Quero escrever todos os
“Estou escrevendo todos os
números naturais de dois dígitos.” números naturais de 0 a 200.”
Paloma:
Caio:
“com os números CI, DI, MI, VI, XI
“Vou escrever todos os números
e os sinais, >, >, >, > e > preciso
naturais de 10 a 400.”
formar uma sentença.”
a) Quantas vezes Laura vai empregar o algarismo 8?
b) Quantas vezes Plínio vai empregar o algarismo 7?
c) Contando as repetições, quantos algarismos Caio vai escrever?
d) Escreva a sentença de Paloma.
2. Complete as sentenças abaixo com os símbolos ∈ (pertence) ou ∉
(não-pertence):
a) Ð 4 ____ Z
b) + 3 ____ Z
c) 0 ____ℵ
d) -5 ____ Q
e ) -34 ____ ℜ
f) π ____ ℵ
g) 9,35 ___ Q
h)
0 ____ ℜ
ONDE ENCONTRAR
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo: Moderna, 1996.
v.4.
CRAZYMANIA. Biblioteca. Matemática. Conjuntos Numéricos.
Disponível em: <http://www.crazymania.com.br/biblioteca/?cat=mate
matica&page2=conjuntos_numericos>. Acesso em: 24 jun. 2009.
EDITORA FERREIRA. Aulas Virtuais. Pedro Bello. Matemática
Básica. Noções de Conjunto. Disponível em: <http://www.
editoraferreira.com.br/publique/media/Matem%C3%A1tica%20
B%C3%A1sica_CVM_Parte%201.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2009.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 1
Anotações
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy.
Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 1996.
37
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio.
Matemática e Realidade. São Paulo: Atual, 2000.v.1.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Tomo I. Rio
de Janeiro: Nova Fronteira, 1998.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Tomo II. Rio
de Janeiro: Nova Fronteira, 1999.
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. A origem dos números.
Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/
numeros/numeros.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Números Naturais
I. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
fundam/naturais/naturais1.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.
TAHAN, Malba. O homem que calculava: romance: as aventuras de
um singular calculista persa. Rio de Janeiro: Conquista, 1975. 291 p.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL.
Instituto de Matemática. Matemática Elementar. Três noções
numéricas básicas: número, numeral e algarismo. Disponível em:
<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>. Acesso em: 24
jun. 2009.
WIKIPÉDIA. A enciclopédia livre. Número de Euler. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler>. Acesso
em: 24 jun. 2009.
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 2
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
Anotações
2 RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRAS
DE TRÊS
41
2.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
2.1.1 Apresentação
Olá!!! Seja bem vindo ao segundo capítulo desta disciplina, nele
será apresentado, a você, uma visão geral sobre as relações existentes
entre grandezas, as formas que a representam matematicamente e como
essas grandezas se relacionam entre si.
Verá também que a partir do momento em que o ser humano
sentiu a necessidade de representar numericamente as grandezas existentes na natureza, surgindo a necessidade de relacioná-las e representálas matematicamente estas grandezas, utiliza diretamente a operação de
divisão dos números naturais, como foi visto no capítulo 1. Mais uma
vez, a matemática tornava-se imprescindível para resolver os problemas
do cotidiano.
Você estudará neste capítulo as principais formas de relações
de grandezas naturais e a sua representação matemática, verá quais as
formas de relacionamento dessas grandezas e como obter respostas para
valores desconhecidos, considerando uma relação.
2.1.2 Justificativa
Os conceitos de razões e proporções que você estudará neste
capítulo são fundamentais para sua formação e construção de uma base
matemática sólida que contribuirá em toda a sua vida pessoal e acadêmica. As relações de grandezas são problemas facilmente encontrados
no seu dia a dia, por isso, o conhecimento teórico da natureza dessas
relações e a forma prática de se obter soluções podem ajudar as pessoas
a resolver certos problemas do seu cotidiano com mais facilidade.
2.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• aprender o que é uma razão e quando uma razão é uma proporção;
• conhecer quando duas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais;
• trabalhar com regra de três simples e composta.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
42
2.2 POR ONDE COMEÇAR
Anotações
2.2.1 Razões
CONCEITO
Você já deve ter ouvido falar na palavra razão, essa palavra tem origem latina e seu significado em português é
divisão ou quociente.
Matematicamente, representa-se a razão entre dois números a
a
e b como a divisão . Por exemplo:
b
A razão entre 10 e 5 é 2, pois:
10
=2
5
No dia a dia, você pode notar que a razão pode ser expressa na
forma de divisão de elementos de grandeza diferentes. Por exemplo, a
gasolina vendida nos nossos postos de combustíveis é na verdade uma
mistura de gasolina com álcool anidro (sem água) na seguinte razão
(em litros):
Mistura
1. caso
2. caso
3. caso
4. caso
5. caso
Gasolina
19,25 litros
30,8 litros
38,5 litros
77 litros
1 litro
Álcool
5,75 litros
9,2 litros
11,5 litros
23 litros
0,2987 litro
TOTAL
25 litros
40 litros
50 litros
100 litros
1,2987 litro
QUADRO 1 – Razão da mistura de gasolina com álcool anidro (sem água)
Um automóvel cujo tanque cabe 40 litros de combustível (2.
caso), ao ser abastecido com gasolina, na realidade, está sendo abastecido apenas com 30,8 litros de gasolina, e o restante, 9,2 litros de álcool
anidro. Nesse caso, caro aluno, não pense que você está sendo vítima de
crime contra os direitos do consumidor, pois os postos utilizam a mistura de combustíveis na razão autorizada pelo governo federal.
Analisando um pouco mais esse mesmo exemplo, você pode ver
que a razão entre o álcool anidro e a gasolina é de 0,2987 l:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
43
Anotações
l
Quase 300 ml (uma latinha de refrigerante), ou seja, 300ml de
álcool anidro para um litro de gasolina.
Veja agora um outro caso: será que Romário joga mais futebol
agora, ou há 5 anos? Considerando que o objetivo de um atacante de
futebol é marcar gols, veja: as revistas de esportes mostram que há 5
anos Romário anotava, em média, 2 gols por partida em um determinado campeonato, agora, ele faz, no mesmo campeonato, apenas 1 gol
por partida. Deixando de lado outros fatores que influenciam diretamente nos resultados estatísticos do jogador, como o time em que ele
jogava e o que joga agora, a qualidade dos companheiros de equipe,
o local dos jogos etc, e analisando apenas de forma matemática, um
observador poderia dizer que há 5 anos ele jogava mais, pois marcava
mais gols, mas com um pouco mais de informação você pode obter
outros resultados.
Há cinco anos Romário chutava em média 10 vezes ao gol e
hoje chuta apenas 3 vezes. E agora? Analisando esse outro fator, ele é
melhor ou pior? Vamos então olhar a razão entre as grandezas gols e
chutes.
ROMÁRIO
Tentativas (chutes)
Sucesso (Gols marcados)
Há 5 anos atrás
Hoje em dia
10 vezes
3 vezes
2 gols
1 gol
QUADRO 2 – Razão entre as grandezas gols e chutes
Ora, caro aluno, você pode ver que há 5 anos a relação entre
tentativa e sucesso, ou seja, chutes e gols marcados era de:
10
=5
2
E hoje esta relação é de:
3
=3
1
Significa dizer que hoje, Romário chutando menos acerta mais.
Antes ele precisava chutar, em média, 5 vezes para obter sucesso e fazer
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
44
o gol, hoje, mais experiente, ele só precisa chutar 3 vezes. Ou seja, mesmo marcando menos gols ele é mais certeiro.
2.2.2 Proporções
CONCEITO
A palavra proporção também tem origem latina e significa uma relação entre partes de uma mesma grandeza.
Para ser mais claro nesta definição, pode-se dizer que uma proporção é uma igualdade entre duas razões, ou seja, considerando as
partes A , B , C e D de uma mesma grandeza, então:
A C
=
B D
2.2.2.1 Propriedade Fundamental
Seja A , B , C e D partes de uma grandeza, onde A e D são
chamados de extremos e B e C de meios e seja satisfeita seguinte
proporção:
A C
=
B D
Então, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Em outras palavras, temos:
A×D= B×C
Veja o seguinte exemplo, a razão 2 3 é proporcional a
provar isso a proporção deve satisfazer a seguinte igualdade:
4 6,
2 4
=
3 6
Mas, pela propriedade fundamental da proporção temos:
2×6 = 3× 4
Fundamentos da Matemática
para
Anotações
Capítulo 2
Anotações
Como sabemos que essa afirmação é verdadeira, então, a razão
2 3 é proporcional a 4 6 .
45
Veja o seguinte exemplo. Concentre sua atenção!!!!
Exemplo 1
Vamos verificar se as seguintes razões são proporcionais:
a)
5 7
e
8
3
b)
3
9
e
2
6
Para verificar se duas razões são proporcionais, deve-se verificar
se a propriedade fundamental das proporções é satisfeita.
Resolvendo:
a) 1º passo: Multiplicar 5 por 3 ⇒ 5 x 3 = 15
2º passo: Multiplicar 8 por 7 ⇒ 8 x 7 = 56
Como 15 ≠ 56, a propriedade não é verificada e, portanto, as
razões não são proporcionais.
b) 1º passo: Multiplicar 3 por 6 ⇒ 3 x 6 = 18
2º passo: Multiplicar 2 por 9 ⇒ 2 x 9 = 18
Como 3 x 6 = 2 x 9 = 18, verifica-se a propriedade fundamental
das proporções, e portanto, as razões são proporcionais.
PRATICANDO
Agora, é com você, verifique se as seguintes razões são
proporcionais:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
46
Anotações
Exemplo 2
Determine o valor de x para que x 4 seja proporcional a 6 8 .
Sabemos que:
x 6
=
4 8
Mas, pela propriedade fundamental da proporção temos que:
8× x = 4×6
8x = 24
x=3
Portanto, para que a igualdade seja satisfeita, deve-se ter x = 3.
DESAFIO
Verifique qual a média de gols
por partida que o Romário deveria marcar 5 anos atrás para ser considerado
proporcional aos resultados de hoje (utilize
os dados já apresentados anteriormente).
Veja que interessante! Esses fundamentos matemáticos podem
ser estendidos para objetos de outras naturezas, como segmentos de
retas, triângulos etc. Observe a figura a seguir:
FIGURA 1 – Segmento de retas AB e CD
Considerando que o segmento AB mede 2 cm e o segmento
CD mede 6 cm, então:
AB 2
=
CD 6
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
Anotações
Ou seja, a cada 1 cm de AB temos 3 cm em CD, em outras palavras pode-se dizer que AB está para CD na razão de 1 para 3, ou CD
está para AB na razão de 3 para 1.
47
2.2.3 Regra de Três
A regra de três é um procedimento matemático utilizado para
resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas que se relacionam de duas formas: diretamente ou inversamente proporcionais.
Quando o problema envolve apenas duas grandezas, a regra de três é
denominada de simples, quando envolve mais de duas grandezas, será
denominada de composta.
Uma outra classificação é quanto à ordem, se direta ou inversa.
Classificamos a regra de três como direta, quando a razão dos elementos
que compõe cada grandeza se relaciona da mesma forma, ou seja, na em
medida que uma grandeza duplica (por exemplo), a outra grandeza
duplica também, e diz-se que a ordem é inversa quando, por exemplo,
uma grandeza triplica e a outra é dividida por três.
Para compreender melhor esses problemas, veja o seguinte
exemplo:
O ingresso para assistir a um jogo de futebol custa R$ 12,00.
Um grupo de 5 amigos resolvem assistir à partida, quanto será pago
no total?
Veja:
Primeira grandeza
Segunda grandeza
Número de ingressos
Preço do ingresso
Perceba que, quanto mais ingressos, maior o preço total, ou
seja, quando se aumentam os valores da primeira grandeza também
aumentam o da segunda, o mesmo ocorre quando diminuirmos, nesse
caso, dizemos que a regra de três é direta.
Ora, como sabemos que um ingresso custa R$ 12,00, cinco
ingressos custarão 5 × 12,00, logo o total pago pelo grupo de amigos
será R$ 60,00.
Podemos ver essa operação através da proporção:
Número de ingressos
Preço do ingresso
1
R$ 5,00
12
R$ X
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
48
Ou seja,
Anotações
1 5
=
12 x
Pela propriedade fundamental da proporção, sabe-se que:
1× x = 12×5
Para que a proporção seja verdadeira, x = 60 .
Para resolver problemas utilizando essa técnica da regra de três,
você verá agora alguns procedimentos que irá lhe ajudar nos problemas.
Primeiramente, agrupam-se os elementos de mesma espécie e identifica-se se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
P
Perceba que foram colocadas duas setas, que servem para representar a direção de crescimento, veja que se o número de ingressos aumentarem, aumenta também o preço total, e se aumenta o preço total
é porque você está comprando mais ingressos, por esse motivo as setas
têm a mesma direção e a regra de três é direta, se acontecesse o contrário
teria-se uma regra de três inversa.
Para resolver a regra de três, monta-se a proporção e utiliza-se a
propriedade fundamental das proporções:
1 5
=
12 x
(proporção montada)
1× x = 12×5
(aplicação da propriedade fundamental das proporções)
(resolve-se então a equação)
x = R$ 60, 00
Quando a regra de três é inversamente proporcional, as setas
possuem sentidos invertidos uma em relação à outra. Nesse caso, antes
de montar a proporção, necessita-se inverter a ordem de uma das raFundamentos da Matemática
Capítulo 2
Anotações
zões para aplicar então a propriedade fundamental. Observe o seguinte
exemplo:
Um automóvel se deslocando a 80 km por hora faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo ele faria o mesmo
percurso se se deslocasse a 100 km por hora?
49
1º passo: Agrupar os elementos de cada espécie:
Velocidade
Tempo
100
4
80
x
Observe que nesse modelo a ordem se inverte, pois, quanto
maior a velocidade menor o tempo de percurso, ou quanto menor o
tempo de percurso maior a velocidade do veículo.
2º passo: Escolher uma das razões para inverter os elementos, pois essa
razão é inversamente proporcional. Em vez de escrever:
o certo é: 80 = 4 (proporção montada, foi realizada a inversão na primeira razão)
100
x
3º passo:
80× x = 100× 4
(aplicação da propriedade fundamental das proporções)
(mantém-se os termos desconhecido no lado esquerdo)
x = 5 horas (resolvemos o lado direito)
Ou seja, a 100 km/h seriam gastos 4 horas, com 80km/h o tempo do percurso será maior, ou seja, 5 horas.
Agora veja o que Dante (2006) fala da regra de três composta:
os problemas de regra de três composta envolvem mais de duas grandezas dos mais variados tipos, desde que tomada duas a duas sejam proporcionais (direta ou inversamente).
Concentre sua atenção, e veja o seguinte exemplo de uma regra
de três composta.
Numa fábrica de bicicletas, 9 homens montam 20 em 5 dias.
Quantas bicicletas serão montadas por 10 homens em 16 dias?
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
50
Anotações
Observe que:
• aumentando o número de homens, a produção de bicicletas aumenta. Portanto, a relação é diretamente proporcional
(não precisamos inverter a razão);
• aumentando o número de dias, a produção de bicicletas aumenta. Portanto, a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Ou seja:
Montando a proporção:
Portanto, dez homens em 16 dias montarão 80 bicicletas.
2.3 RELEMBRANDO
Você pôde aprender muito neste capítulo. Teve contato com as
razões e percebeu que muitos fatos do seu dia a dia estão ligados a elas.
Entendendo as razões e suas igualdades você pôde perceber que elas
podem ou não formar uma proporção.
Você teve oportunidade de conhecer a propriedade fundamental das proporções e resolver alguns exemplos, entendendo que as grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.
Por último, estudou a tão conhecida regra de três, nos seus dois
casos, simples e composta.
2.4 PARA SABER MAIS
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
Anotações
Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas
Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
2006.
51
Para ler um pouco mais sobre razões e proporções, veja o livro
acima indicado.
2.5 O QUE FAZER
1. Observe os segmentos de reta a seguir. Calcule as razões entre:
a)
2. Utilizando a propriedade fundamental das proporções, calcule o valor de x em cada uma das proporções abaixo:
a)
3. Dona Maria está vendendo na feira saquinhos com 3 maçãs ao preço
de R$ 5,00. Antônio é dono de uma confeitaria e vai precisar de 30
maçãs para fazer algumas tortas. Quanto Antônio vai gastar comprando
de dona Maria as maçãs de que necessita?
4. Uma torneira que despeja 15 litros de água por minuto enche um
tanque em 2 horas. Se a torneira despejasse 30 litros de água por minuto, encheria esse mesmo tanque em quanto tempo?
5. Em uma república de estudantes, moram 4 pessoas que gastam R$
490,00 com alimentação a cada 10 dias. Se mais duas pessoas passarem
a morar nessa república, de quanto será o gasto com alimentação a cada
15 dias?
Fundamentos da Matemática
Capítulo 2
52
ONDE ENCONTRAR
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 4 ed. São Paulo:
Moderna,1996.v.3.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática,
2005.v.2.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy.
Matemática: pensar & descobrir. Nova edição. São Paulo: FTD,
2005. v. 2.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas
Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
2006.
SÓ MATEMÁTICA. Regra de três composta. Disponível em:
<http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php>. Acesso em:
24 jun. 2009.
Fundamentos da Matemática
Anotações
CAPÍTULO 3
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
Anotações
3 EXPRESSÕES E PRODUTOS
NOTÁVEIS
55
3.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
3.1.1 Apresentação
Oi! É muito bom estar com você em mais um capítulo. Neste
terceiro capítulo, você conhecerá as expressões algébricas, verá de que
forma essas expressões aparecem no seu cotidiano. Aprenderá também
produtos notáveis, como você poderá entendê-lo de um modo prático
e também como a generalização desses produtos facilita nossos cálculos.
Você verá ainda os casos de fatoração de expressões algébrica, e
como as razões que você acabou de ver no segundo capítulo são importantes para auxiliar nas simplificações de expressões.
3.1.2 Justificativa
Muitas vezes em seu cotidiano você tem contato com as expressões algébricas, talvez você não tenha se dado conta, mas se você for ao
cinema e comprar dois sacos de pipoca e um refrigerante, o preço que
você irá pagar será 2x + y, onde x é o preço da pipoca e y o do refrigerante, pronto! Você acabou de utilizar expressões algébricas. Por isso,
a importância de se compreender as expressões para que você possa
simplificá-las e aplicá-las da melhor forma no seu dia a dia.
3.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• conhecer as expressões algébricas;
• calcular o valor numérico das expressões;
• trabalhar com os principais produtos notáveis;
• aprender a fatorar e simplificar expressões.
3.2 POR ONDE COMEÇAR
No Dicionário Aurélio, a palavra expressão tem o significado
de Representação, então, expressão é uma forma de representar algo.
Em Matemática, temos como expressar o que se pretende fazer, têm-se
as expressões numéricas que são a representação de números com as
operações de soma, subtração, divisão e multiplicação. E as expressões
algébricas que você irá conhecer hoje, que são representações de letras e
números com as quatro operações.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
56
3.2.1 Expressões Literais ou Algébricas
CONCEITO
Chamam-se de expressões algébricas ou literais expressões que possuem apenas letras ou números e letras.
Veja a seguir um exemplo de uma expressão algébrica.
Considere uma caixa de chocolate pesando 250g. O peso de n
caixas será n . 250g ou 250n. A expressão 250n é uma expressão algébrica.
Veja ainda outro exemplo.
Quando você vai estudar, precisa de alguns materiais escolares.
Então, você vai à livraria e compra 2 cadernos, 2 livros e 3 canetas,
sabendo que o preço do caderno é x, o do livro é y e o das canetas z2 ,
então, você pagará por tudo isso:
2.x + 2y + 3z2
Essa expressão, que é o total de sua conta, é chamada de expressão algébrica.
3.2.1.1 Valor numérico de uma expressão algébrica
Considere a figura abaixo em que x é a medida da base e y é a
medida da altura do retângulo:
FIGURA 1– Retângulo (x é a medida da base e y é a medida da altura)
Para você lembrar, o perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados, então, o perímetro do retângulo acima é dado por:
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 3
Anotações
57
x+x+y+y=
2.x+2.y =
2x + 2y
Você tem agora a expressão 2x + 2y, que representa o perímetro
de um retângulo qualquer, basta você saber os valores da base e da altura. Vamos calcular juntos o perímetro de um retângulo que tenha 15
cm como medida da base e 22 cm como medida da altura.
Nesse caso, o valor de x será 15 e o de y, 22.
x = 15 e y = 22
Então: 2x + 2y = (lembrando: 2x significa 2 . x, como x é igual
a 15, tem-se 2 .15)
2 . 15 + 2 . 22 =
30 + 44 = 74
O perímetro desse retângulo é 74 cm.
Então, você pode concluir que:
CONCEITO
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real obtido quando substituímos as letras por números
reais dados e efetuamos as operações indicadas.
Veja outro exemplo:
Calcular o valor numérico da expressão x - 4y para x = 5 e y = -3.
x – 4y =
5 – 4( -3) =
5 + 12 = 17
Dizemos que 17 é o valor numérico da expressão x – 4y, para x =
5 e y = -3.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
58
Anotações
PRATICANDO
Voltando ao exemplo da livraria: você comprou 2 cadernos, 2
livros e 3 canetas, sabendo que o preço do caderno é x, o do
livro é y e o das canetas z2 , então, você pagará por tudo isso :
2.x + 2y + 3z2
Seja x = R$ 5,50 , y = R$ 25,00 e z = R$ 2,00
Qual o valor total da sua compra em reais?
3.2.1.2 Monômios e polinômios
CONCEITO
Os monômios e os polinômios são expressões algébricas envolvendo valores numéricos e literais, onde aparecem somente operações de adição, subtração ou multiplicação.
• Monômios são as expressões que possuem um único termo.
Veja exemplos de monômios:
5xy , 7a2b3c, -xy2
• Polinômios são as expressões algébricas que possuem dois ou mais termos.
São exemplos de polinômios:
3x²y - 4yz2, 2a3b2 – 4a3b4 - ab4
3.2.2 Produtos notáveis
A partir de agora, você estará estudando os produtos notáveis.
Certos produtos de polinômios aparecem, com muita frequência no cálculo de expressões algébricas, e esses polinômios merecem
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
Anotações
regras especiais para resolvê-los. Esses são os produtos que chamamos
de notáveis. Você irá estudar os principais.
59
3.2.2.1 Quadrado da soma de dois termos
Veja a figura abaixo, ela representa um quadrado de lado a + b.
Você sabe porque a figura abaixo é um quadrado? Como essa figura é
um retângulo e possui os quatro lados iguais, podemos afirmar que é um
quadrado.
FIGURA 2 – Quadrado de lado a + b
A área de um quadrado de lado 4 é dada por 42 , como o lado
desse quadrado é (a + b) a sua área é (a + b)2.
Vamos separar as partes em que está dividido o quadrado:
Se você somar essas áreas, vai obter a2 + ab + ab + b2 = a2 +
2ab+ b2
Logo: (a + b)2 = a² + 2ab + b².
Ou, algebricamente:
(a + b)2 = ( a + b )( a + b)
= a² + ab + ab + b²
a² + 2ab + b²
Portanto:
(a + b)2 = a² + 2ab + b²
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
60
Então, você pode concluir que:
SAIBA QUE
O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo mais duas vezes o
produto do primeiro termo pelo segundo termo
mais o quadrado do segundo termo.
Vejamos alguns exemplos:
a) (x + 1)2 = x² + 2.x.1+ 1² = x² + 2x + 1
b)
3.2.2.2 Quadrado da diferença de dois termos
Para calcular (9 – 3)2, você faz:
(9 – 3)2 = 62 = 36
Mas, para calcular o valor de (a – b)2, não se pode proceder
dessa forma. Então, você deve efetuar o produto: (a – b)(a – b)
(a – b)2 = (a – b) (a – b)= a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 3
Anotações
Você pode concluir que:
61
SAIBA QUE
O quadrado da diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo
termo mais o quadrado do segundo termo.
Veja alguns exemplos de como é simples calcular o quadrado da
diferença de dois termos:
a) (y – 3)2 = y2 – 2.y.3 + 32 = y2 - 6y + 9
b) (2a – b)2 = (2a)2 – 2.2a.b + b2 = 4a2 – 4ab + b2
PRATICANDO
Desenvolva o seguinte produto notável: (3y – 1)²
3.2.2.3 Produto da soma pela diferença de dois termos
Quando você multiplica (a + b) por (a - b), obtém:
(a + b)(a - b)= a2 – /ab +/ ab - b2 = a2 - b2
Portanto:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
62
Então, conclui-se que:
SAIBA QUE
O produto da soma pela diferença de dois termos
é igual ao quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo termo.
Veja alguns exemplos:
a) (x - 20)(x + 20) = x² - 202 = x² - 400
b) (2a – 5b) = (2a)2 – (5b)2 = 4a2 – 25b2
PRATICANDO
Agora, é sua vez de calcular:
(y – 3)(y + 3)
3.2.2.4 Cubo da soma de dois termos
Se você quer, por exemplo, calcular o volume de um cubo que
tem as três medidas iguais a a + b, você tem que calcular a expressão
(a + b)3, pois o volume de um cubo é dado pela multiplicação de suas
medidas.
Mas, como fazer esse cálculo?
Vejamos:
(a + b)3=(a + b).(a + b)2 =
(a + b).(a² + 2ab + b²) =
a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 3
Anotações
Veja se essa igualdade é verdadeira para qualquer valor de a e b.
63
Tome a = 2 e b = 3
Sabemos que (2 + 5)3 = 73 = 343
E pela fórmula você obtém:
(2 + 5)3 = 23 + 3.22.5 + 3.2.52 + 53
= 8 + 3.4.5 + 3.2.25 + 125
= 8 + 60 + 150 + 125
= 343 Verdadeiro!
Então:
SAIBA QUE
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo
do primeiro termo mais três vezes o quadrado do
primeiro termo pelo segundo termo mais três vezes o primeiro termo pelo quadrado do segundo
termo mais o cubo do segundo termo.
Veja estes exemplos:
a) (2n + m)3 = (2n)3 + 3.(2n)2.m + 3.2n.m2 + m3 =
8n3 + 3. 4n2.m + 6nm2 + m3 =
8n3 + 12n2.m + 6nm2 + m3
b) (y +
1 3 3
1
) = y + 3.y2.
+ 3.y.
+
2
2
3y2
1
1
3
+ 3.y. +
=y +
2
4
8
2
3y
3y
1
= y3 +
+
+
2
4
8
3.2.2.5 Cubo da diferença de dois termos
Para o cálculo de (a - b)3, deve-se realizar o processo semelhante
ao do cubo da soma de dois termos.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
64
Veja:
(a - b)3= (a - b).(a - b)2 = (a + b).( a² - 2ab + b²)
(a - b)3= a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3=
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Portanto, você tem:
SAIBA QUE
O cubo da diferença de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo termo mais
três vezes o primeiro termo pelo quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.
3.2.2.6 Produto da forma (x + p)(x + q)
Preste bastante atenção, vamos trabalhar juntos:
Calcule o produto de (x + 2) e (x + 5):
Veja só: 2 e 5 são os números dos produtos (x + 2).(x + 5), somando obtém-se 7 e multiplicando obtém-se 10.
Então, generalizando:
Onde: S é a soma p + q
P é o produto p .q, então:
(x + p).(x + q) = x2 + Sx + P
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 3
Anotações
Aplicando a regra que você acabou de aprender, calcule os produtos:
a) (x + 3).(x + 7)
S = p + q = 3 + 7 = 10
P = p.q = 3.7 = 21
(x + 3).(x + 7) = x2 + 10x + 21
65
b) (y – 1)(y - 6)
S = p + q = -1 + ( -6) = -1 – 6 =- 7
P = p.q = -1 . (-6) = 6
(x - 1).(x – 6) = x2 -7x + 6
PRATICANDO
Utilizando a regra que você acabou de aprender responda:
Qual é a expressão que representa o produto (y + 4)(y – 7)?
3.2.3 Fatoração de Expressões Algébricas
Assim como você pode fatorar um número, você pode também
fatorar expressões algébricas.
LEMBRETE
Fatorar significa escrever a expressão como um produto de fatores mais simples.
Veja a seguir alguns processos de fatoração.
3.2.3.1 Fatoração colocando em evidência os fatores comuns
A fatoração é um conteúdo bastante bom de trabalhar, concentre sua atenção!!
Seja a seguinte expressão algébrica:
3a + 3b + 3c
Você pode perceber que o fator comum em todos os termos é o
número 3. Então, o que você deve fazer neste caso?
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
66
Coloca-se em evidência o número 3, fazendo da seguinte forma:
3a + 3b + 3c = 3 . (a + b + c)
Outro exemplo:
6a3b – 9a2b 2
Você deve escrever 6a3b de outra forma:
6a3b = 3.2 a2 . a . b
O mesmo para 9a2b 2 :
9a2b 2 = 3. 3 . a2 .b . b
Você pode notar que existem números e letras em comum nos
dois casos, então, juntando esses números, você tem como fator comum o 3a2b.
Assim, coloca-se em evidência o fator comum e deixa-se dentro
dos parênteses o que sobra.
Portanto:
6a3b – 9a2b 2 = 3a2b. (2a – 3b)
3.2.3.2 Fatoração por agrupamento
Se você aplicar duas vezes a fatoração do fator comum, você
obterá a fatoração por agrupamento. Veja:
Seja a expressão: 3x + 3y + bx + by
Você pode perceber que os dois primeiros termos possuem em
comum o fator 3, e os dois últimos termos possuem em comum o fator
b, como você acabou de aprender, pode-se colocá-los em evidência:
3(x + y) + b(x + y)
Este polinômio possui o termo (x + y) em comum. Assim, podemos também colocá-lo em evidência:
(x + y).(3 + b)
Ou seja: 3x + 3y + bx + by = (x + y).(3 + b)
Outro exemplo : 4ax - 4a + bx – b
colocamos em evidência o fator comum de cada grupo
(4ax – 4a) + (bx – b) =
4a(x – 1) + b( x - 1)=
temos o fator x – 1 em comum
(x - 1)(4a + b)
(4ax – 4a) + (bx – b) = (x -1)(4a + b)
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 3
Anotações
67
3.2.3.3 Fatoração da diferença de dois quadrados
Você viu em produtos notáveis que:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
é a mesma coisa de a2 - b2 = (a + b) (a - b).
Visto isso, vamos juntos fatorar as seguintes expressões:
y2 – 49 = y2 - 72 = (y + 7) (y - 7)
Pronto! Está fatorada nossa expressão!
4b2 – 81c2 = ( 2b)2 – (9c)2 = (2b + 9c)(2b - 9c)
3.2.3.4 Fatoração do trinômio quadrado perfeito
CONCEITO
Um trinômio é quadrado perfeito quando ele pode ser
escrito na forma:
a2 + 2ab + b2 ou a2 - 2ab + b2
Ou seja:
• dois de seus termos são quadrados perfeitos (a2 e b2 );
• o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (2ab) ou (-2ab).
Exemplo: x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito pois:
• o seu primeiro termo é o quadrado de um número
éo
quadrado de x;
• o seu último termo também é quadrado de um número 25
é o quadrado de 5;
• e o termo que sobra 10x = 2.x.5 (dobro do produto de x e 5).
Agora, você pode verificar se os seguintes trinômios são quadrados
perfeitos:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
68
Anotações
Portanto, a2 - 4a+ 4 é um trinômio quadrado perfeito.
Portanto, x2 - 12x + 9 não é trinômio quadrado perfeito.
Neste capítulo, você viu que: (x + p).(x + q) = x2 + (p + q)x + p.q
Teremos então: x2 + Sx + P = (x + p).(x + q).
Então, veja como se fatora um polinômio da forma x2 + Sx + P.
a) x2 + 6x + 8, comparando com a forma x2 + Sx + P
Temos: S = 6 e P = 8 Ou seja, tem-se que achar dois números
que somados dê 6 e multiplicados dê 8.
Como o produto (P) é positivo, os dois números que se quer
encontrar têm o mesmo sinal. E como a soma (S) é positiva, os dois
números serão positivos.
Portanto, os números são 2 e 4, pois 2 + 4 = 6 e 2.4 = 8
Então, x2 + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4).
b) x2 + 4x -5
Temos: S=4 e P = -5, queremos encontrar dois números que
somados dê 4 e multiplicados dê -5.
Como o produto é negativo, os dois números têm sinais contrários.
Como a soma é positiva, o número de maior valor absoluto é
negativo.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
Os números são -1 e 5 pois -1 + 5 = 4 e -1. 5 = - 5
Portanto: x2 + 4x -5 = (x - 1) (x + 5).
Anotações
69
3.2.3.6 Fatoração da diferença de dois cubos
Calculemos o seguinte produto:
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3
Então: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Exemplos de fatoração da diferença de dois cubos:
a) x3 - y3 como x está elevado ao cubo e y também, você pode substituir na fórmula que acabou de aprender.
Então: x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
b) m3 - 8 = m3 - 23 = (m - 2) (m2 + m.2 + 22) = (m - 2) (m2 + 2m + 4)
PRATICANDO
Qual é a forma fatorada de 8y³ - 27?
3.2.3.7 Fatoração da soma de dois cubos
Realizando o produto (a + b) (a2 - ab + b2), obtém-se:
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3
Portanto: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
Veja alguns exemplos de fatoração da soma de dois cubos:
escrever
a) y3.+ 64 a como y está ao cubo e 64 é o cubo de 4, pode-se
y3. + 64 = y3 + 43, como os dois estão ao cubo podemos fatorar
através da fórmula acima.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
70
Anotações
y3.+ 64 = y3 + 43 = (y + 4) (y2 – y.4 + 42) =
(y + 4) (y2 – 4y + 16)
b) 8a3 + 1 = (2a)3 + 13 = (2a + 1) ((2a)2 – 2a.1 + 12) =
(2a + 1) (4a2 – 2a + 1)
3.2.4 Simplificação de expressões algébricas
é chamada de fração algébrica,
Uma expressão do tipo
simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente a ela.
Veja:
Fatora-se separadamente a expressão do numerador 12a2by e do
denominador 8ab3y. Depois, cancelamos os fatores em comum.
Vejamos outros exemplos.
Simplificar
. Hoje você pôde aprender que x² -
y² = (x + y)(x - y) e x² + 2xy + y² = (x + y)², então:
Simplificar
. Sabemos que
e que
x² - 4 = (x + 2)(x - 2) pelas propriedades de fatoração que aprendemos.
3.3 RELEMBRANDO
Neste capítulo, você pôde aprender diversas coisas, dentre elas
a importância de aprender expressões numéricas, como calcular o valor
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
Anotações
numérico de uma expressão, substituindo o valor das incógnitas por
valores conhecidos.
Teve oportunidade não só de calcular, mas também de deduzir
a fórmula do quadrado da soma e da diferença de dois números, o cubo
da soma e da diferença de dois números e de ver também como essas
fórmulas facilitam, e muito, os seus cálculos.
Trabalhou com diversas formas as expressões algébricas e viu
como a fatoração é essencial para as simplificações de expressões.
71
3.4 PARA SABER MAIS
MATEMÁTICA Essencial. Expressões algébricas. Disponível
em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/expralg/
expralg.htm#m10914>. Acesso em: 22 dez. 2009.
O site acima possui informações sobre produtos notáveis.
3.5 O QUE FAZER
1. Calcule o valor numérico das seguintes expressões algébricas:
(a) x2 + 2x, para x = -5
(b)
para a = -2 e b = 16
2. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
(a) (a + 2)(a - 2)
(c) (x + 3)²
(e) (2a+b)³
(b)(x + 3z)(x - 3z)
(d) (2a - 5)²
(f ) (a-1)³
3. Fatore as seguintes expressões algébricas:
(a) xy –x
(c) ax2 – ay2
(b) y2 + 8y + 16
(d) 3a2b2 – 12ab + 12
4. Simplifique as seguintes frações algébricas:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 3
72
ONDE ENCONTRAR
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 4 ed. São Paulo:
Moderna,1996. v.3.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática, 2005.
v.2.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy.
Matemática: pensar & descobrir. Nova edição. São Paulo: FTD,
2005. v.3.
MATEMÁTICA Essencial. Exercícios de expressões algébricas.
Disponível em : <http://www.ucs.br/ccet/deme/lzsauer/pecadi/
exercicios2.htm>. Acesso em: 24 jun. 2009.
MATEMÁTICA Essencial. Expressões algébricas. Disponível em:
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fundam.htm>.
Acesso em: 24 jun.2009
Fundamentos da Matemática
Anotações
CAPÍTULO 4
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
Anotações
4 FIGURAS GEOMÉTRICAS,
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
75
4.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
4.1.1 Apresentação
Neste quarto capítulo, trabalharemos com as figuras geométricas,
aprenderemos que tudo que está ao nosso redor pode ser chamado de figura geométrica, sejam eles computadores, folhas de papel, ou até mesmo
as linhas de trânsito que são pintadas no chão. Veremos as diferenças entre
essas figuras e as quais somos acostumados a chamar de polígonos, que são
os quadrados, os retângulos etc.
Quanto aos triângulos, aprenderemos quais propriedades os fazem semelhantes e que para ser semelhante não precisa ter exatamente o
mesmo tamanho.
Por último, algo que utilizamos demais no nosso dia a dia, que são
as medidas das áreas das principais figuras, por exemplo, se vamos comprar cerâmica para nossa casa, é mais econômico comprar cerâmicas de
forma quadrada do que cerâmicas de forma triangular. Para essas escolhas,
precisamos entender de cálculo de áreas, o que vamos ver a partir de agora.
4.1.2 Justificativa
O conhecimento das atividades com figuras geométricas proporcionam o desenvolvimento de habilidades do raciocínio lógico que
nos ajudam a aprender a analisar as figuras geométricas e a partir disso
resolver os problemas da vida diária.
Desenvolve também habilidades de desenho e representações
geométricas, e ainda possibilita a integração e a aplicação em outros
campos de conhecimento, instigando ideias, propondo aplicações práticas para que possamos enfrentar problemas reais.
4.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• aprender as principais figuras geométricas e fazer a distinção
entre elas;
• perceber quando os triângulos são semelhantes;
• calcular as áreas dos principais polígonos.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
76
4.2 POR ONDE COMEÇAR
4.2.1 Um pouco de história
CONCEITO
A palavra Geometria vem do grego, Geo, que significa
terra, e metria, de medir, medir a terra.
Originou-se como necessidade do dia a dia, por exemplo, dividir terras, construir casas, observar e previr os movimentos dos astros,
ações que sempre dependeram de operações geométricas. Já cerca de
3000 a.C os antigos Egípcios possuíam os conhecimentos de Geometria necessários para reconstituir as marcações de terrenos destruídos
pelas cheias do rio Nilo, bem como para construir as célebres pirâmides.
Por volta do ano 500 a.C. houve na Grécia um grande desenvolvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao
estudo da Geometria. Dentre eles, um dos mais importantes, foi Tales
de Mileto, que usou propriedades de figuras geométricas para a determinação de distância sobre a superfície terrestre.
No século III a.C viveu em Alexandria Euclides, o mais célebre
dos geômetras de todos os tempos. Euclides sintetizou toda a geometria
conhecida na sua época no seu tratado “Elementos”, composto por 13
livros, que ainda há poucos anos era o principal instrumento de trabalho dos estudantes de Geometria. Em seu livro, ele define pontos, retas
e planos, inclusive solução de algumas equações usando geometria.
SAIBA QUE
O conjunto dos objetos geométricos que trabalhamos hoje, as figuras geométricas, os retângulos, triângulos e os sólidos geométricos formam o
que chamamos de geometria euclidiana, pois se
baseiam nos postulados de Euclides.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 4
Anotações
4.2.2 Figuras geométricas
77
Muitas vezes, pensamos que figuras geométricas são somente
aquelas de formas retas, tais como o triângulo e o retângulo, porém,
veremos que as linhas, os contornos e os objetos de três dimensões também são figuras geométricas. Vejamos a seguir as classificações.
• Sólidos geométricos
São figuras geométricas que possuem três dimensões. São exemplos de
sólidos geométricos:
• Regiões planas
São figuras geométricas que possuem duas dimensões.
Estudaremos mais detalhadamente os polígonos. Polígonos são
regiões planas contornadas só por seguimentos de reta que não se cruzam. Como exemplo, temos o triângulo, o quadrado, o retângulo.
• Contornos
São também chamados de linhas fechadas. Existem dois tipos: as linhas
poligonais fechadas e as linhas não-poligonais fechadas.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
78
• Linhas abertas
Anotações
4.2.3 Semelhança de Triângulos
CONCEITO
Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando
os ângulos são respectivamente congruentes (isto é,
possuem mesma medida), e os lados correspondentes
são proporcionais.
Os triângulos constituem um caso especial. Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que se verifique somente uma das condições acima; ou seja, se os ângulos de dois triângulos são congruentes
podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes; da mesma forma
se os lados dos triângulos são proporcionais esses triângulos são semelhantes.
Vejamos um exemplo:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
Anotações
Dividindo o lado AC pelo lado DF, teremos
.
79
.
E o lado AB pelo lado DE:
.
E BC por EF temos:
, percebemos que os lados dos triânComo
gulos são proporcionais, portanto, os triângulos 1 e 2 são semelhantes.
Generalizando:
Se:
• o ângulo A é congruente ao ângulo O,
• o ângulo E é congruente ao ângulo I,
• e o ângulo U é congruente ao ângulo B,
Ou
,
podemos concluir que o triângulo AEU é semelhante ao triângulo OIB.
4.2.4 Áreas de figuras planas
• Paralelogramo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Para calcular a área de um paralelogramo, multiplicamos a
medida da base pela medida da altura.
• Retângulo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos e quatro ângulos retos. Para calcular a área de um retângulo, multiplicamos a medida da base pela medida da altura.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
80
Anotações
Ar = b . h
• Quadrado:
é todo paralelogramo que tem os 4 lados congruentes
e os 4 ângulos retos. Para calcular a área do quadrado, realizamos o
mesmo processo da área do retângulo, porém, como a base e a altura
são iguais, basta multiplicar o lado por ele mesmo.
Aq = l. l ⇒ Aq = l 2
• Triângulo: figura plana de três lados fechada por três linhas que se
encontram. Calcula-se a área do triângulo multiplicando a medida
da base pela altura e dividindo-se por dois.
At
=
• Trapézio: Quadrilátero que tem dois lados paralelos e desiguais. A
área é calculada somando as medidas das bases, multiplicamos essa
soma pela altura e dividimos tudo por dois.
At
=
• Losango: é um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes. A
área é calculada multiplicando as suas diagonais e dividindo-se por dois.
Al
=
• Círculo: é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos
localizados dentro da mesma.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
Anotações
81
SAIBA QUE
A circunferência é somente o contorno e o círculo
é formado pelo contorno e todos os pontos dentro
dele.
círculo.
Exemplo: o anel é uma circunferência, enquanto o prato é um
Então, a área do círculo é dada por π multiplicado pelo quadrado do raio.
Ac = π r
2
a) Cálculo da área de algumas regiões planas
1. A área de um paralelogramo que tem 2 cm de medida da base e 3,5
cm de altura. Sabemos que Ar = b . b = 3,5 e h = 2 cm
Ar = 2 . 3,5 = 7 cm2
2. A área de um quadrado que tem 5,4 m de lado.
A área do quadrado é Aq = l2 l = 5,4 m
Aq= 52=25 m2
3. A área de um trapézio que tem 1 mm de base menor; 6 mm de base
maior e altura de 3mm.
B = 6 mm b = 1 mm h = 3 mm
At =
(B + b ) h
(6 + 1) 3
73
21
=
=
=
= 10,5 cm2
2
2
2
2
Fundamentos da Matemática
Capítulo 4
82
4. A área de um losango que tem 3 cm de diagonal menor e 4cm de
diagonal maior.
d = 3 cm
D = 4 cm
Al =
Dd
12
=
= 6 cm2
2
2
5. A área de um círculo que tem 7 cm de raio.
r = 7 cm
Ac = π 72= 3,14. 49= 153,86 cm2
4.3 RELEMBRANDO
Acabamos de conhecer as principais figuras geométricas, aprendemos que elas podem ser divididas, em sólidos, regiões planas, linhas fechadas e linhas abertas. Vimos a diferença entre polígonos e não polígonos.
Trabalhamos com semelhança de triângulo e, a partir daí, podemos perceber que é útil para ampliações de imagens.
Entendemos a diferença entre círculo e circunferência e então calculamos a sua área. Calculamos também as áreas dos principais polígonos.
4.4 PARA SABER MAIS
WAGNER, E. Construções Geométricas. Rio de Janeiro: SBM,
2000. Coleção do Professor de Matemática.
O livro indicado possui mais informações sobre figuras geométricas, semelhança de triângulos e área de figuras planas.
4.5 O QUE FAZER
1. Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes, quais as medidas
de x e y?
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 4
Anotações
2. Um trapézio tem a base menor igual a 2m, a base maior igual a 3m e
a altura igual a 10m. Qual a área desse trapézio?
3. Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual a medida do lado
desse quadrado?
83
4. Qual a área do seguinte losango (em mm)?
ONDE ENCONTRAR
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
ESCOLAS de Miranda do Douro. História da Geometria. Disponível
em:< http://www.eb2-miranda-douro.rcts.pt/mat/historia1.htm
Acesso em: 24 jun. 2009.
GIOVANNI, José Ruy et. al. Matemática Fundamental: uma nova
abordagem: ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.
SÓ MATEMÁTICA. Geometria. Disponível em:< http://www.
somatematica.com.br/geometria.php>. Acesso em: 24 jun. 2009.
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Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 5
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
Anotações
5 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
87
5.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
5.1.1 Apresentação
Trabalharemos neste capítulo com as equações, no capítulo 3
aprendemos o que é uma expressão algébrica e agora iremos trabalhar
com essas expressões junto com igualdades.
Aprenderemos a trabalhar com equações do 1º grau, como
achar sua solução e diversos exemplos de sua utilização no cotidiano.
Veremos que exemplos de inequações podem aparecer nas classificações
de filmes ou na entrada do parque de diversões. Veremos os sistemas de
equações com duas variáveis e dois métodos de encontrar suas soluções.
Por último, trabalharemos com as equações do 2º grau, também
conhecidas como equações quadráticas, e utilizaremos a tão conhecida
fórmula de Bhaskara para encontrar suas soluções.
5.1.2 Justificativa
Para resolver alguns problemas, como a dúvida entre comprar
uma televisão à vista ou a prazo, podemos fazer os cálculos mentais,
mas muitas vezes nessas operações aparecem valores desconhecidos. E a
partir daí, a Matemática se posiciona perante essas diferentes situações e
será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo
do estudo de equações.
5.1.3 Objetivos
Neste capítulo você terá oportunidade de:
• aprender equações de um modo geral;
• solucionar equações do 1º grau, utilizando as operações inversas;
• reconhecer as desigualdades e descobrir os valores que satisfazem essas desigualdades;
• encontrar o par ordenado (x,y), que é solução do sistema de
equações;
• trabalhar com equações do 2º grau e descobrir suas duas soluções através da fórmula de Bhaskara.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
88
5.2 POR ONDE COMEÇAR
Anotações
5.2.1 Equações
Se alguém chega e pergunta a você:
a) Qual é idade de Carlos se daqui há 7 anos ele terá 35 anos?
b) Qual o valor de um refrigerante sabendo-se que foram comprados 6
refrigerantes e o total foi de R$ 15,00?
Talvez as respostas venham rápido à sua mente, e isso é bom
que aconteça. Você acabou de resolver uma equação! Caso não venha
rapidamente a resposta, recorreremos à Matemática para nos ajudar.
tica?
Vamos resolver os problemas anteriores através da matemá-
a) Chamando de x a idade atual de Carlos, teremos:
x + 7 = 35.
é 28.
Queremos saber o número que somado a 7 dá 35. Esse número
Mas podemos fazer a operação inversa:
x = 35 – 7
x = 28
A idade atual de Carlos é 28 anos.
b) Chamando de y o valor de cada refrigerante, temos:
6.y = 15, queremos saber qual o valor que multiplicado por 6
dá 15, como a divisão é a operação inversa da multiplicação, teremos:
y=
15
⇒ y = 2,50.
6
Então, cada refrigerante custa R$ 2,50.
Sentenças como x + 7 = 35 e 6.y = 15 são chamadas de equações. Equações são igualdades que contêm pelo menos uma letra que
representa um número desconhecido. Chamamos essa letra de incógnita, resolver a equação é encontrar o valor da incógnita (número desconhecido).
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
Anotações
São exemplos de equações:
89
• 5x – 2 = 23, equação com incógnita x;
• r2 + 3 = r – 11, equação com incógnita r.
Notamos que toda equação tem:
• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são
denominadas incógnitas (ou variáveis);
• um sinal de igualdade =;
• uma expressão à esquerda da igualdade, chamada de primeiro
membro;
• uma expressão à direita da igualdade, chamada de segundo
membro.
5.2.2 Solução ou Raiz de uma Equação
Dizemos que um número é solução (ou raiz) quando ele torna
a equação verdadeira. No caso da idade de Carlos, x = 28 é solução da
equação. E y = 2,50 (o preço de cada refrigerante) é solução da equação
6y=15.
Vejamos um exemplo!
Queremos saber se o número 6 é solução da equação 3x + 4 =
23. Substituímos o valor de x por 6 e verificamos se a igualdade é verdadeira.
3. 6 + 4 =
18 + 4 =
22 ≠ 23
Portanto, 6 não é solução da equação.
5.2.2.1 As operações inversas
Para a solução de equações, devemos relembrar as operações
inversas.
a ) se x + 5 = 9, então, x = 9 – 5
x
= - 3, então, x = (-3) . 4
4
-1
c) se 2x = -1, então, x = 2
b) se
d) se x – 10 = - 7, então x = -7 + 10
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
90
5.2.3 Equações do 1° Grau com uma incógnita
As equações que vimos acima, x + 7 = 35 e 5x – 2 = 23, são
equações do 1° grau com uma incógnita.
A equação r2 + 3 = r – 11 não é do 1° grau, como a incógnita r
está elevada a 2 dizemos que essa equação é do 2 ° grau, a qual aprenderemos mais adiante.
5.2.3.1 Resolução de equações do 1 ° grau
Uma moto está a venda da seguinte forma: Entrada de R$150,00
mais dez parcelas fixas de x reais, sabendo que o total da moto é R$ 3.
520,00. Qual é o valor de cada prestação?
Escrevendo a equação algebricamente:
150 + 10x = 3520
entrada + 10 parcelas de x = total da moto
Solução:
Como 150 + 10x = 10x + 150 podemos escrever a equação
acima como sendo:
10x + 150 = 3520
Subtraindo 150 dos dois membros da equação obtemos:
10x + 150 -150 = 3520 – 150
10x = 3370
Dividindo os dois membros por 10:
x = 337
Observação: Por que subtraímos 150 dos dois lados da equação? Isso
não muda o resultado?
Vejamos!
Sabemos que 10 = 10, se somarmos o número 3 aos dois membros da equação teremos:
10 + 3 = 10 + 3
13 = 13
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
Anotações
Pronto! Somamos 3 nos dois membros e a igualdade continua
verdadeira. O mesmo acontece para as outras equações com incógnitas.
Se dividirmos por 2 teremos:
10
2
91
10
= 2
5 = 5
Então, percebemos que a operação que fizermos nos dois lados
da equação, não mudará a igualdade.
Fazendo a mesmo cálculo usando operações inversas:
10x + 150 = 3520 150 está somando passa para o outro lado subtraindo
10x = 3520 – 150
10 está multiplicando o x, então passa para o outro lado dividindo:
10x = 3370
x = 337
Vamos resolver juntos mais uma equação:
5.(x-2) = 4 – ( - 2x+1)
5x – 10 = 4 + 2x - 1
5x – 10 = 3 + 2x
5x =3 + 2x + 10
5x = 13 + 2x
5x - 2x= 13
3x=13
13
x= 3
13
S={ 3 }
5.2.4 Inequações do 1° Grau
Na maioria dos filmes que vamos assistir, observamos uma classificação indicativa da idade permitida para o filme. Em alguns, por
exemplo, encontramos:
Filme proibido para menores de 14 anos.
Se chamarmos de x todas as idades proibidas para assistir a esse
filme podemos escrever:
x < 14
(para toda idade menor que 14 anos não se pode assistir ao filme).
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
92
Quando trabalhamos com equações do 1º grau, tínhamos somente uma solução, para o caso acima temos várias idades que são menores que 14. Não temos uma única solução. Então, acima temos uma
desigualdade. Para as desigualdades, temos os seguintes sinais:
>: maior que
< : menor que
≠: diferente de
≥: maior ou igual a
≤: menor ou igual a
LEMBRETE
As desigualdades que contêm letras que representam números
desconhecidos são chamadas de inequações.
x < 14 e y ≥ 2y + 3 são exemplos de inequações.
5.2.4.1 Solução de inequações
Seja o preço do litro da gasolina dado pela equação 2x - 2 e o
preço do álcool dado por x. Como o preço da gasolina é maior do que
o preço do álcool, obtemos a seguinte inequação:
2x – 2 > x
Substituindo x por 3, obtemos:
2.3 – 2 > 3
6–2>3
4 > 3 Verdadeiro!!
Substituindo x por 1
2.1 – 2 > 1
2–2>1
0 > 1 Falso!
Substituindo x por 5
2.5 – 2 > 5
10 – 2 > 5
8 > 5 Verdadeiro!!
Dizemos que:
3 e 5 são soluções da inequação 2x – 2 > x
1 não é solução da inequação 2x – 2 > x
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
Anotações
• Princípio aditivo das desigualdades
93
Sabemos que 9 > 4 se somarmos 3 aos dois membros da inequação:
9+3>4+3
12 > 7 Verdadeiro !!!
O mesmo para -7 < 2 subtraindo 5 dos dois membros da equação,
obtemos:
-7 -5 < 2 -5
12 < -7 Verdadeiro !!!
A desigualdade continua verdadeira.
SAIBA QUE
Se somarmos ou subtrairmos um mesmo número
aos dois membros de uma desigualdade, a desigualdade permanece a mesma.
• Princípio multiplicativo das desigualdades
Sabemos que +2 > -6 multiplicando os dois membros por + 2
obtemos:
+2. (+2) > -6 . (+2)
+ 4 > -12 Verdadeiro!!!
-3:
No mesmo caso +2 > -6 multiplicando os dois membros por
+2.(-3) ≥ -6.(-3)
-6 ≥ +18
Falso!!!!
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
94
Para que a desigualdade continue verdadeira, precisamos inverter o sinal da desigualdade.
SAIBA QUE
• Multiplicando ou dividindo os seus dois membros por um número positivo, essas desigualdades permanecem as mesmas.
• Multiplicando ou dividindo os seus dois membros por um número negativo, essas desigualdades ficam invertidas.
Exemplo 1
Achar as soluções da inequação -3 - 2x ≤ 13
-3 - 2x ≤ 13
-3 -2x + 3 ≤ 13 + 3
-2x. (-1) ≤ 16. (-1)
2x ≥ -16
somamos+ 3 aos dois membros
atenção! Multiplicamos os dois membros por -1, que é
negativo. Logo, invertemos o sinal da desigualdade.
x
x ≥ -8
Logo, as soluções da inequação são todos os números racionais
maiores ou iguais a -8.
Exemplo 2
Achar todos os valores de x que são soluções da inequação – 5(5 - x) <
(-4 + 2x)
– 5(5 - x) < (-4 + 2x)
– 25 + 5x < – 4 + 2x
+5x - 2x < - 4 + 25
3x < 21
x<7
Os valores de x que são soluções da inequação são todos os números reais menores que 7.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
Anotações
5.2.5 Sistemas de Equações do 1 ° Grau
95
Vejamos a seguinte situação: em uma partida de basquete, Ana
e Bianca marcaram juntas 20 pontos. Se quisermos descobrir o número
de pontos que cada uma fez, teremos diversas possibilidades. Por exemplo, Ana 12 e Bianca 8, Ana 17 e Bianca 3, Ana 10 e Bianca 10, e assim
por diante.
Podemos indicar essa situação por uma equação com duas incógnitas, sendo x o número de pontos de Ana e y o número de pontos
de Bianca:
x + y = 20 (equação com duas incógnitas).
Observe que podemos escrever as soluções dessa equação através
de pares ordenados ( x,y ) de números naturais: (12,8), (17,3), (10,10)
e outros.
Se além dessa informação soubéssemos que Ana fez 10 pontos
a mais que Bianca, poderemos agora saber exatamente quantos pontos
cada uma fez. Se Ana fez 10 pontos a mais que Bianca, ao somarmos 10
pontos à pontuação de Bianca, a sua pontuação ficaria igual a de Ana,
escrevendo algebricamente:
x = y + 10y
Teremos agora:
Que é um sistema de equações com duas incógnitas. A solução
de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y)
de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (15,5), notamos que satisfaz as duas
equações:
x + y = 20 15+5=20 e
Logo, a solução do sistema é (15,5).
x = y + 10 15=5+10
Vejamos dois métodos para determinar a solução de sistemas de
equações:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
96
• Método da soma
Para trabalhar com o método da soma, eliminamos uma das
variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau
com uma variável.
Exemplo 3
Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y).
Com isso, basta somar as duas equações:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das
equações:
O par ordenado ( x,y ) = (9,5) é a solução do sistema.
Outro exemplo
Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo
se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
Para a resolução desse sistema, devemos escolher uma variável
para ser eliminada.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
Para isso, multiplicamos a equação (I) por -2:
Anotações
97
Substituindo na equação II:
3.8 + 2y = 46
24 +2y = 46
2y = 46-24
2y =22
22
y= 2
y = 11
S = {(8,11)}
• Método da substituição
Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor
numa das equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra.
Sabrina foi a uma loja e comprou uma blusa e um colar, gastou
R$ 27,00. Seu namorado comprou em outro dia uma blusa de mesmo
preço e percebeu que se subtraísse desse valor o preço de dois colares
daria R$6,00. Qual o preço da blusa e do colar?
Chamando o preço da blusa de x e o preço do colar de y, teremos o seguinte sistema:
Resolvendo pelo método da substituição, escolhemos uma das
variáveis na primeira equação para determinarmos o seu valor.
x+y=27 x = 27 – y
Substituímos na outra equação (II):
(27 - y) -2y = 6
27 -y - 2y = 6
-3y = 6 - 27
-3y (-1)= -21(-1)
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
98
3y = 21
Anotações
21
y= 3
y=7
Substituindo o valor encontrado em (I):
x + y= 27
x + 7 = 27
x = 20
A blusa custou R$ 20,00 e o colar R$ 7,00. Logo, a solução do
sistema é: S = {(20,7)}.
Vejamos outro exemplo:
Isolando a variável y da equação II:
-3x + 2y = 1
2y = 1 + 3x
y=
Substituindo o valor de y na equação ( I ) :
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
Anotações
Substituindo o valor de x em (II):
99
Logo a solução do sistema é:
5.3 EQUAÇÕES DO 2° GRAU
Acabamos de conhecer as equações do 1º grau, agora aprenderemos a trabalhar com as equações do 2º grau, também chamadas de
equações quadráticas. Alguns exemplos serão apresentados a seguir.
4x2 – x + 3 = 0
e x2+ 2x – 8 = 0
São chamadas de equações quadráticas porque o maior expoente de x é igual a 2.
CONCEITO
Uma equação do 2º grau é toda igualdade do tipo
ax2 + bx +c = 0 ,
em que a.b e c são números reais e a ≠ 0
4x2 –3 x + 9 = 0
x2+ 7x +1 = 0
- x2 -6 x = 0
onde a= 4, b = -3 e c = 9.
onde a= 1, b = 7 e c =1.
onde a= -1, b = -6 e c = 0.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
100
5.3.1 Resolução de equações do 2º grau
Uma maneira muito útil para encontrar a solução de equações
do 2º grau é utilizando a fórmula de Bhaskara. Já eram conhecidas soluções de equações do 2º antes do tempo de Bhaskara. Mas, foi dado a
ele o crédito por nos ter apresentado uma fórmula prática para soluções
de equações quadráticas.
A fórmula de Bhaskara é dada por:
Chamamos b2-4ac de D (delta) e a fórmula fica:
Resolvendo a equação x2 - 9x +8 = 0
a= 1, b = -9 e c = 8
D = b2 - 4ac
D = (-9)2-4.1.8
D =81-32
D =49
Para uma equação de 1º grau, temos uma única solução e para
soluções de equações do 2º grau teremos duas soluções. Chamaremos
de x’ e x’’ as duas raízes da equação:
Estudando o valor de D
1º caso: D é um número real positivo (D > 0):
Exemplo: x² + 3x- 4
a= 1, b = 3 e c = -4
D = b2 - 4ac
D = (3)2-4.1.(-4)
D =9 + 16
D =25
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
101
Anotações
Para D (delta) maior que zero, percebemos que a equação do 2º
grau possui duas raízes reais e diferentes.
2º caso: D = 0
Exemplo: 5x²-10x+5=0
a= 5, b = -10 e c = 5
D = b2 - 4ac
D = (-10)2-4.5.5
D =100 -100
D =0
Percebemos que quando D = 0, as duas raízes são reais e iguais.
3º caso: D é um número real negativo (D<0)
Exemplo: x²+2x+7=0
a= 1, b = 2 e c = 7
D = b2 - 4ac
D = 22-4.1.7
D =4 -28
D =-24
Como D < 0, com o conjunto dos números reais que estamos
trabalhando, não existem raízes de números negativos, não podemos
. Isso só é possível com o conjunto dos números complecalcular
xos, que não faz parte do nosso estudo de agora.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 5
102
SAIBA QUE
5.4 RELEMBRANDO
Quanta coisa aprendemos hoje! Pudemos ver o quanto as equações estão presentes no nosso dia a dia. Sejam elas de 1º ou de 2º grau.
Encontramos soluções de desigualdades e trabalhamos com sistema de
equações com duas variáveis. Por último, trabalhamos com a fórmula
de Bhaskara e percebemos que ela nos é útil para resolver qualquer tipo
de equação do 2º grau.
5.5 PARA SABER MAIS
ALGO sobre vestibular. Disponível em:<http://www.algosobre.com.
br/matematica/equacoes-algebricas.html>. Acesso em: 29 jun. 2009.
No Portal Algo Sobre Vestibular, você encontra mais informações sobre equações algébricas.
5.6 O QUE FAZER
1. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B.
Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes,
quantos habitantes tem a cidade B?
2. Resolva as seguintes equações:
a) 2x-3=17
b) 4x+7= x- 8
c) 3-7(1-2x)=5-(x-9)
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 5
Anotações
3. Qual par ordenado é solução dos seguintes sistemas?
4. Resolva as seguintes inequações, em
103
:
a) 2x + 1 ≤ x + 6
b) 4x-3>1+x-4
c) 5(3x-2)<0
5.Resolver as equações:
a) x² + 6 x + 9 = 0
b) 2x² - 2 x - 12 = 0
c) 3x² - 10 x + 3 = 0
ONDE ENCONTRAR
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo. Ática, 2005.
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Equações do primeiro
grau. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
fundam/eq1g/eq1g.htm#m10701>. Acesso em: 26 jun. 2009.
__________________________. Fundamental. Funções. Disponível
em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.
htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.
PARENTE, Giovanni. Aprendendo Matemática. São Paulo: FTD,
2002.
SÓ MATEMÁTICA. Inequações. Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php>.Acesso em: 26
jun. 2009.
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 6
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
Anotações
6 FUNÇÕES
107
6.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
6.1.1 Apresentação
Olá!!! Você está iniciando o sexto capítulo, nele você estudará
as funções, que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
Você verá que seu conhecimento impulsionou o desenvolvimento tecnológico em quase todas as áreas, no ramo da Física e de outras ciências.
Neste capítulo, você estudará o que chamamos de funções reais, isto é,
relações entre quantidades que podem ser descritas por números reais.
Você terá oportunidade de aprender sua definição e algumas
aplicações no seu cotidiano. Estudará ainda os conceitos de domínio,
contradomínio e conjunto imagem, aprendendo a diferenciá-los.
Será dada uma grande atenção aos gráficos das funções, pois
será de muita utilidade para os capítulos seguintes. Você aprenderá a
construir gráficos de funções, a diferenciar também por meio de seu
gráfico se uma função é injetora, sobrejetora ou os dois casos ao mesmo
tempo, a chamada bijetora.
E para finalizar este capítulo você aprenderá a trabalhar com
funções compostas e funções inversas.
6.1.2 Justificativa
As funções permeiam sua vida cotidiana mesmo que talvez você
não tenha percebido. Por exemplo, o valor da conta de luz da sua casa
depende da quantidade de energia que você gasta, a dose de remédio
que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor para fazer cópias de um material depende do número de páginas copiadas. Usando
funções, também se estudam o crescimento de bactérias, o movimento
dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função
permite a você, enfim, descrever e analisar relações de dependência entre quantidades. Por isso, é de suma importância saber trabalhar com
funções e é o que você irá aprender agora.
6.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• aprender a definição de função e saber trabalhar com ela;
• encontrar pontos no plano cartesiano;
• construir gráficos de funções por sua lei de formação;
• saber quem é o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de uma função;
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
108
• entender o que significa uma função ser injetora, sobrejetora
e bijetora;
• compor funções e calcular a inversa de uma função quando
possível.
6.2 POR ONDE COMEÇAR
6.2.1 A ideia de Função
Quando se tem duas grandezas em que uma depende da outra,
pode-se dizer que existe uma relação entre essas duas grandezas. Imagine que você queira comprar arame para cercar o quintal da sua casa,
você verá que existe uma relação entre a quantidade de arame e o preço
que você vai pagar por ele.
Para calcular a área de um quadrado precisamos da medida do
lado desse quadrado. Então existe uma relação entre o valor da área do
quadrado e a medida do seu lado.
Vejamos outra situação:
Peso (Gramas)
Valor Básico (R$)
Até 300g
9,90
Mais de 300 até 1000g
10,50
Mais de 1000 até 2000g
11,60
Mais de 2000 até 3000g
12,70
Mais de 3000 até 4000g
13,80
QUADRO 1 - Valor do preço do SEDEX - Origem: João Pessoa e Destino: Natal
A partir do Quadro 1, você será capaz de responder as seguintes
perguntas:
• Qual o valor a ser pago por uma encomenda que “pesa”
1260g?
• Qual o “peso” máximo de uma carta para que sua tarifa não
ultrapasse R$ 12,70?
• É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o
mesmo “peso”?
Nessa relação, o “peso” da encomenda é variável independente,
e a tarifa chamamos de variável dependente. Você pode notar que cada
peso do sedex corresponde a uma única tarifa e a tarifa depende do peso
da encomenda.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
Anotações
As três relações que você acabou de ver têm características em
comum:
109
• o preço do arame depende do seu tamanho;
• a medida da área de um quadrado depende do seu lado;
• a tarifa do sedex depende do seu peso.
Em todos os três exemplos, têm-se as variáveis independentes
(tamanho do arame, lado do quadrado e peso do sedex); e as variáveis
dependentes (preço do arame, medida da área, tarifa do sedex).
Pode-se dizer então que:
• o preço do arame é dado em função do seu tamanho;
• a medida da área de um quadrado é dada em função da medida do seu lado;
• a tarifa do sedex é dada em função do seu “peso”.
6.2.2 Definição de Função
CONCEITO
Sejam dois conjuntos A e B não vazios, e f uma relação
que liga os elementos de A aos elementos de B. Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um
elemento (chamado y=f(x) ) do conjunto B.
Notação:
f : A B (função que associa valores do conjunto A a
valores no conjunto B)
x  y = f(x) ( a cada elemento x A corresponde um único y B)
Veja a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {0,5,15} e B = {5,10,15,20,25,30}, seja
a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x A e y B.
Calculando os valores de A na fórmula:
y=x+5
x=0 ⇒y=0+5=5
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
x = 5 ⇒ y = 5 + 5 = 10
x = 15 ⇒ y = 15 + 5 = 20
110
Você pode observar que: todos os elementos de A estão associados a elementos de B; a cada elemento de A está associado um único
elemento de B.
em B.
Neste caso, a relação de A em B, y = x + 5, é uma função de A
Exemplo 2:
Dados os conjuntos A = {-3,0,3,5,7} e B = {-3,0,5,10,12}, seja a
relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x A e y B.
x = -3 ⇒ y = -3
x=0⇒ y=0
x=3⇒y=3
x=5⇒y=5
x=7⇒y=7
Percebe-se que este exemplo não expressa uma função de A em
B, pois os elementos 3 e 7 do conjunto A não possuem correspondentes
em B.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
Anotações
PRATICANDO
111
6.2.3 Domínio, contradomínio e imagem de uma Função
Veja novamente o Exemplo 1 da pagina anterior
• O conjunto de todos os elementos de A é chamado domínio
da função representado pela letra D.
• Neste caso, D = {0,5,15}.
• O conjunto de todos os elementos de B é chamado de contradomínio da função. Representamos por CD.
Neste caso, CD = {0,5,10,20,25,30}.
O elemento y = f(x) é a imagem do elemento x. A Imagem de f é
o subconjunto de B formado por todos os elementos f(x). Representado
por Im.
No exemplo acima Im = { 5,10,20}
Veja outro exemplo.
Exemplo 3:
Dados os conjuntos A = {-4,-2,0,1} e B = { -2,-1,0,2,3,5}, determinar o domínio o contradomínio e o conjunto imagem da função f
: A ® B definida por f(x) = x + 2
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
112
f(-4) = (-4) + 2 = - 2
f(-2) = (-2) + 2 =0
f(0) = 0 + 2 = 2
f(1) = 1 + 2 = 3
Domínio: D = A
Contradomínio : CD = B
Im = { -2,0,2,3}
6.2.4 Gráfico de uma Função
6.2.4.1 Plano Cartesiano
Talvez você tenha ouvido falar desse nome anteriormente. Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador
René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês.
O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares
entre si que se cruzam na origem, e dividem o plano em quatro regiões,
chamadas quadrantes. Os eixos são identificados pelas letras x e y. O
eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y denominado eixo das
ordenadas.
FIGURA 1 - Plano Cartesiano
Lima (2006) nos diz que um par ordenado P= (a,b) é formado
por um objeto a, chamado a primeira coordenada de P e um objeto
y, chamado a segunda coordenada de P. A primeira coordenada pertence ao eixo x e a segunda coordenada, ao eixo y. Esse par ordenado
representa as coordenadas de um ponto.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
113
Anotações
FIGURA 2 – Par ordenado P= (a,b)
Veja alguns pontos marcados no plano cartesiano.
A ( -3,1)
B(-1,5;-2,5)
C (0,0)
D(2,3)
E(3,2).
FIGURA 3 – Pares ordenados marcados no Plano Cartesiano
No gráfico acima, você pode perceber a diferença entre os pares
ordenados (2,3) e (3,2). Daí, conclui-se que para quaisquer dois números a e b, o par ordenado (a,b) é diferente do par ordenado (b,a).
6.2.4.2 Construindo gráfico de funções
Você entrará agora no estudo sobre como construir gráfico de funções, é um assunto bastante interessante, então, concentre sua atenção!!!
Para construir gráfico de funções, utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico da função é o conjunto de todos os
pontos (x ,y), do plano cartesiano, com x � D (domínio da função) e y
� Im (Imagem da função).
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
114
LEMBRETE
Anotações
Consideramos os valores do domínio da função no eixo x (eixo
das abscissas) e as respectivas imagens no eixo y (eixo das
ordenadas).
Exemplo 4:
Construir o gráfico da função f: A ® � , dada por f(x) = 2x + 1, onde
A = {-3,-1,0,2}.
Calculando:
f(-3) =2. (-3)+ 1 = -6 + 1 =-5
f(-1) =2. (-1)+ 1 = -2 + 1 =-1
f(0) =2.0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(2) =2.2 + 1 =4 + 1 = 5
x
y = f(x)
( x,y )
-3
-1
0
2
-5
-1
1
5
(-3,-5)
(-1,-1)
(0,1)
(2,5)
Em seguida, marcam-se esses pontos no eixo de coordenadas
e depois ligam-se os pontos.
Exemplo 5:
Seja a função y = -2x2. Construir seu gráfico, sendo D=[-2 , 2 ] .
Inicialmente, atribui-se valores para x, você pode escolher qualquer valor, escolhemos -2,-1,0,2, e calcula-se o f(x) para cada um deles:
f(-2)= -2.(-2)2=-2.4=-8
f(-1)= -2.(-1)2=-2.1=-2
f(0)= -2.02=-2.0=0
f(2)= -2.22=-2.4=-8
Fundamentos da Matemática
Em seguida, marcam-se os pontos (x,y) no gráfico:
Capítulo 6
Anotações
x
-2
-1
0
2
y = f(x)
-8
-2
0
-8
115
( x,y )
(-2,-8)
(-1,-0)
(0,0)
(2,-8)
PRATICANDO
-8
Agora é sua vez de construir o gráfico da função f(x) = - x + 1
6.2.5 Tipos de Funções
6.2.5.1 Função Injetora
Uma função f : A ® B é injetora quando elementos diferentes
de A correspondem a elementos diferentes de B. Ou ainda se elementos
tem mesma imagem, esses elementos são iguais.
Exemplo 6:
A função f : � ® � , definida por f(x) = x é injetora pois a
cada elemento de B temos um único elemento em A.
3
FIGURA 4 – Função Injetora
6.2.5.2 Função Sobrejetora
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
116
Em Matemática, uma função é dita sobrejetora se o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio: Im(f ) = CD.
Exemplo 7:
Seja f : � ® � definida por f (x) = 2x +1.
O contradomínio de f é � (CD = � ), vamos verificar se f é sobrejetora.
FIGURA 5 – Função Sobrejetora
Vemos que a função percorre todos os números Reais, então, Im
(f) = � , que é igual ao seu contradomínio, portanto, f é sobrejetora.
6.2.5.3 Função Bijetora
Diz-se que uma função é bijetora se a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Vamos estudar a função f : � ® � definida por f(x)=x2.
FIGURA 6 – Função Bijetora
Você pode perceber que a função f(x)=x2 , f : � ® � não é
injetora nem sobrejetora, pois:
• tem-se a mesma imagem para elementos diferentes
f(2)=f(-2)=4 (ela não é injetora);
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
Anotações
• o domínio é diferente da imagem, uma vez que CD= � e Im
= � + (ela não é sobrejetora);
Portanto, f não pode ser bijetora.
117
Agora, redefinindo a função como f : � ® � +, temos Im =
CD = � +, pode-se dizer então que f é sobrejetora.
FIGURA 7 – Função Sobrejetora
Agora você nota que a função não é injetora, mas é sobrejetora,
pois seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio.
Novamente, redefinindo a função por f : � + ® � +, tem-se o
domínio como sendo o � +, isto é, somente os valores reais positivos e
portanto a função só terá um valor da imagem chegando a um único
valor do domínio. Com, por exemplo, f(2) = 4, não existe mais o f(-2)
chegando a 4 também. Por isso, pode-se dizer que f é injetora.
FIGURA 8 – Função Injetora
Por fim, você pôde perceber que a função agora é injetora e
sobrejetora, portanto, bijetora.
6.2.6 Composição de Funções
Acompanhe a seguinte situação: uma fábrica que produz relógios calcula o seu lucro por meio da equação L= 0,6C; onde L é o lucro
e C é o preço de venda desse relógio para o comércio. Por sua vez, o
preço C de venda é calculado fazendo-se C = 15+ 2P, onde P é o valor
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
118
gasto com o material para fabricação desse relógio. Vê-se, então, que o
lucro L é dado em função do preço C, que é dado em função do gasto P.
Seria possível determinar o lucro diretamente do gasto P com
o material? Para isso, pode-se fazer uma composição entre as duas funções:
Então, para se compor outras funções, faz-se um procedimento
análogo. Seja as funções f: A ® B, definida por f(x)=3x, g: B ® C definida por g(x) = x2. Note que o contradomínio B da função f é o mesmo
domínio da função g.
É bom que você preste bastante atenção!
f: A ® B: a cada x � A associa-se um único y � B, tal que y=3x.
g: B ® C: a cada y � B associa-se um único z � C, tal que z=y2.
Nesse caso, pode-se considerar uma terceira função, h:A ® C,
que faz a composição entre as funções f e g:
h: A ® C: a cada x � A associa-se um único z = C, tal que z = y2
(3x)2= 9x2.
z=
Essa função h, de A em C, dada por h(x) = 9x2, é denominada
função composta de g e f.
Pode-se escrever z = g(y) = g(f(x)).
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
Anotações
LEMBRETE
119
Notação: a função composta de g e f será indicada por gof
( lê-se g bola f ) (gof)(x)=g(f(x))
Exemplo 8:
Considere as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4,
calcular fog(x) e gof(x):
(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x - 4) = (2x-4)² + 1 = 4x²-16x+17
(gof )(x) = g(f(x)) = g(x²+1) = 2(x²+1) – 4 = 2x² - 2
PRATICANDO
Seja f (x)= -4x + 1 e g(x)= x3, calcule fog(x).
6.2.7 Função Inversa
Seja as funções de domínio real dadas por f (x)=2x e g(x)=x/2.
Atribuindo alguns valores para x para determinar suas imagens
pela função f, formando os pares ordenados (x, f(x)).
x = -7 f(-7) = 2.(-7) = -14 ( -7,-14)
( 0,0 )
x = 0 f(0)=2.0=0
3
3
3
3
f(
)=2
(
,2 3 )
x=
Você pode tomar os valores obtidos como imagem pela função
f e determinar as suas imagens pela função g:
x = -14
x=0
g(-14) =
g (0)=
�14
= -7
2
0
=0
2
( -7,-14)
( 0,0 )
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
120
x=2 3
2 3
g(2 3 ) =
=
2
Anotações
3 (2 3 ,
3)
Note que você obteve os pares da função g invertendo a ordem
dos elementos obtidos na função f.
Nesse caso, diz-se que g é a função inversa da função f e representa-se por g(x)=f -1(x).
Então: f(x)=2x e f-1(x)=
x
2
LEMBRETE
Só funções bijetoras possuem inversa.
Você pode analisar uma função que não seja bijetora, para verificar se ela realmente não possui inversa.
Seja a função de � em � :
f(x) = x2-3
Tomando, por exemplo, os elementos 4 e -4 do domínio de f:
x=4 f(4)=42 - 3= 16 - 3=13
x=-4 f(-4)=(-4)2 - 3=16 - 3=13
(4,13)
(-4,13)
Essa função não é bijetora, pois o elemento 13 do contradomínio de f é imagem de dois elementos, 4 e -4, do seu domínio. Ora, se
essa função possuísse inversa f -1, teríamos o elemento 13 do domínio
de f-1 com duas imagens, -4 e 4, o que é impossível, pois, como você
viu neste capítulo, uma relação para ser função é necessário que cada
elemento do domínio tenha uma única imagem.
Portanto, a função real f(x) = x2-3 não possui inversa.
6.2.7.1 Determinando a Função Inversa
Você irá aprender agora um processo prático para determinar a
inversa de uma função.
Caso a função seja bijetora e, portanto, invertível, é possível
determinar sua inversa. Para isso, “troca-se” a variável x pela variável y
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
Anotações
na lei que define a função e em seguida “isola-se” o y, obtendo a lei que
define a função inversa.
121
Exemplo 9:
Obter a função inversa da função f dada por y = x – 5.
y= x-5
x = y -5 trocando x por y e y por x
y = x + 5 isolando y
Então, y = x+5 é a lei da função inversa dada por y = x -5.
Veja os gráficos de f e f-1 num mesmo sistema de coordenadas:
x
f(x)
6
5
3
1
x
1
0
-2
-4
1
0
-2
-4
f-1(x)
6
5
3
1
Você pode notar que os gráficos das funções f e f-1são simétricos
em relação à reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes.
LEMBRETE
Bissetriz é a reta que corta os quadrantes ao meio.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 6
122
6.3 RELEMBRANDO
Hoje você teve oportunidade de aprender diversas coisas sobre
as funções, dentre elas, viu que as funções são muito importantes e estão presentes em muitas coisas do seu dia a dia. Pôde aprender o que é
domínio de uma função e a diferença entre seu conjunto imagem (valores de f(x)) e o seu contradomínio (conjunto onde estão os valores f(x)).
Você também estudou o que significa uma função ser injetora
ou sobrejetora, e que se uma função for sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo, chama-se de bijetora. Aprendeu também a construir gráfico de
funções atribuindo valores a x; colocando os pontos no plano cartesiano
e ligando esses pontos.
Trabalhou ainda com funções compostas e funções inversas e
pôde perceber que uma função só possui inversa se ela for bijetora.
6.4 PARA SABER MAIS
ALGO sobre Vestibular. Disponível em:<http://www.algosobre.com.
br/matematica/funcoes.html>. Acesso em 26 de jun.
O Portal Algosobre.com.br possui informações sobre funções
injetoras e sobrejetoras.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar.
Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual, 2004. v.1.
Para estudar um pouco mais sobre as funções, você pode consultar o livro citado acima.
6.5 O QUE FAZER
1. Dada a função h: B ® C, sendo B= {-3, 0, 3, 8}e C={-2, 0, 15, 18,
27, 40} definida pela lei h(x)=x²-3x. Indique o Domínio, Contradomínio e Imagem dessa função.
2. Desenhe o gráfico das seguintes funções:
a) f(x)=2x+3
b) g(x)=x²-2
3. Para a função real f(x)=2x+4, calcule f -1(x).
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 6
Anotações
4. Se f(x)=3x-5, g(x)= x²+2x-3 e (gof )(x)=g(f(x)), (gof )(x) e (fog)(x).
123
ONDE ENCONTRAR
CLASSIFICAÇÃO das funções. Disponível em: <http://www.
ficharionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5799>. Acesso
em: 26 jun. 2009.
FUNÇÕES e Gráficos. Disponível em: <http://www.scite.pro.br/
tudo/pdf.php?_matematicamodulo4>. Acesso em: 26 jun. 2009.
FUNÇÕES. Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/
matematica/funcoes.html>. Acesso em 26 jun. 2009.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI
JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem.
ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar.
Conjuntos, Funções. São Paulo: Editora Atual, 2004. v.1.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do Ensino
Médio. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.v.1.
PLANO Cartesiano. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/
Sistema_de_coordenadas_cartesiano> . Acesso em: 26 jun. 2007.
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 7
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
Anotações
7 FUNÇÕES DO 1º GRAU
127
7.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
7.1.1 Apresentação
Neste capítulo aprofundaremos o estudo das funções enfocando as chamadas funções do 1º grau. Um dos casos em que as funções
são bastante utilizadas são as contas de telefone, água e luz. Estudaremos a forma geral desse tipo de função que é dada pela fórmula ax + b,
onde a e b são números reais.
Veremos que para uma função ser crescente ou decrescente, depende somente do valor de a. Por último, aprenderemos em que intervalos dizemos que uma função do 1º grau, também chamada de função
afim, é positiva, negativa ou nula, e como podemos representá-la graficamente.
7.1.2 Justificativa
Dentre as funções mais utilizadas na nossa vida diária está a
função do 1º grau, por se adequar às regras utilizadas para o cálculo
das contas de água luz e telefone. Talvez não conseguimos perceber,
mas é dessa forma que os técnicos se utilizam para calcular o valor gasto por nós, em que x é a quantidade de água, por exemplo, e y o valor
que pagaremos pela conta. Dado pela fórmula y = ax + b, veja que se
não gastarmos nada, x = 0, ainda pagaremos uma taxa equivalente ao
valor de b.
7.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• aprender a trabalhar com funções do 1º grau;
• descobrir a sua forma geral sendo dados dois pontos dessa
função;
• traçar gráficos atribuindo valores a x e descobrindo o valor
de y;
• identificar quando uma função é crescente ou decrescente e
descobrir a partir da raiz da função para quais valores f(x) é
positivo, negativo ou nulo.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
128
Anotações
7.2 POR ONDE COMEÇAR
7.2.1 Estudo da Função do 1º grau
CONCEITO
Dizemos que uma função é do 1º grau se ela pode ser
escrita como, onde a e b são números reais e a ≠ 0, pois
se a = 0, teremos f(x) = b, que representa uma função
constante. Os números representados por a e b são chamados de coeficientes e x é a variável independente.
São exemplos de funções do 1º grau:
f(x) = 3x + 9
f(x) =
f(x) =
x
-1
5
7
-x
3
coeficientes: a = 3
e b=9
1
coeficientes: a = 5 e b = -1
coeficientes: a = 3
e b=9
O domínio de uma função do 1º grau, em geral, é igual a � , mas
quando tratamos de uma situação real, é preciso verificar o que representa a variável (x) para determinar o seu domínio.
Exemplo 1:
Dada a função f por f(x) = ax +b, com a ≠ 0, sendo f(3) = 5 e f(-2) = -5,
calcule f(
1
).
2
Usando os dados do problema:
f(3) = 5 x = 3 e y = 5, então, f(3)= a.3 + b 5 = 3a + b (I)
f(-2) = -5 x = -2 e y = -5 Então f(-2)= a.(-2)+ b -5 = -2a + b (II)
Resolvendo o sistema formado por (I) e (II) temos:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
129
Anotações
Substituindo a = 2 na equação (I) obtemos:
5 = 3a + b
5 = 3.2 + b
6+b=5
b=5–6
b = -1
Então, a função f é dada por f(x) = 2x -1.
Calculando f(
1
):
2
7.2.2 Gráfico de uma função do 1º grau
Para construir o gráfico de uma função do 1º grau, atribuímos
valores do domínio à variável x e calculamos os valores de y.
Seja f(x) = -2x+1
x
f(x) = -2x+1
(x , y)
-1
f(-1) = -2(-1)+1= 2+1 =3
(-1,3)
0
f(0) = -2.0+1= 0+1 =1
(0,1)
1
2
f(
2
1
1
)= -2.
+1=0
2
2
(
f(2) = -2.2+1 = -3
1
, 0)
2
(2,-3)
QUADRO 1 – Construção da função do 1º grau
Marcamos então esses pontos no plano cartesiano:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
130
Anotações
FIGURA 1 – Marcação dos pontos no Plano Cartesiano
Percebemos que os pontos obtidos estão alinhados, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
FIGURA 2 – Alinhamento dos pontos no Plano Cartesiano
Traçando outros gráficos, percebemos que o gráfico de toda
função de 1º grau é uma reta.
Vejamos a seguir o gráfico de uma função linear.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
Anotações
131
CONCEITO
Função linear – caso particular de uma função do 1º grau
– sabemos que uma função do 1º grau é da forma f(x) = ax
+ b, quando b=0, dizemos que essa função é linear.
São exemplos de função linear:
f(x) = 2x
g(x) = -5x
h(x)= -x
Exemplo 2:
Traçar o gráfico da função linear f(x) = - x.
Atribuímos os valores a x, em seguida marcamos nos gráficos os
pontos (x,y). Alinhando os pontos,
obtemos o seguinte gráfico:
x
f(x)
( x,y )
0
0
(0,0)
-2
2
(-2,2)
1
2
3
-
1
2
-3
(
1
1
,)
2
2
(3,-3)
FIGURA 3 – Gráfico da função linear f(x) = - x
7.2.3 Crescimento e decrescimento de uma função do 1º grau
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
132
CONCEITO
Anotações
Podemos determinar se uma função do 1º grau é crescente ou decrescente pelo sinal do coeficiente a da variável x na lei de formação f(x) = ax+b.
Observe os gráficos das funções:
f(x) = 3x + 2
f(x)= -3x+2
se x = 0, então, f(0) = 2
se x = 0, então, f(0) = 2
se x = 1, então, f(1) = 5
se x = 1, então, f(1) = -1
FIGURA 4 – Aumentando os valores atribuídos a FIGURA 5 – Aumentando os valores atribuídos a
x, aumentam também os valores correspondentes à x, diminuem também os valores correspondentes
imagem f(x).
à imagem f(x).
Podemos então estabelecer as seguintes relações entre o sinal do
coeficiente a e o crescimento e decrescimento dessa função.
SAIBA QUE
a > 0 f(x) = ax + b é crescente
À medida que x cresce, os valores de f(x) também crescem.
a < 0 f(x) = ax + b é decrescente
À medida que x cresce, os valores de f(x) decrescem.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
133
Anotações
FIGURA 6 – f(x) crescente
FIGURA 7 – f(x) decrescente
7.2.4 Estudo do sinal da função do 1º grau
CONCEITO
Estudar o sinal de uma função do 1 º grau y = f(x) significa determinar para que valores x do domínio da função
a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.
Primeiramente, vamos estudar o caso em que f(x) = 0.
7.2.4.1 Zero de uma função do 1º grau
Dada a função f(x) = x – 3, calcular o valor de x para que f(x) = 0
f(x )= x-3
f(x)=0
x–3=0
x=3
O número 3 é denominado zero ou raiz da função, pois se substituirmos 3 no valor de x encontraremos f(x)=0.
Chamamos de zero ou raiz da função f(x) = ax+b, o valor de x
que anula a função, isto é, torna f(x)=0.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
134
Anotações
FIGURA 8 – Zero de uma função do 1º grau
Observando o gráfico, verificamos que f(x) = 0, quando x = 3.
Geometricamente, o zero da função polinomial do 1º grau é o
valor onde a reta corta o eixo x.
Pelo gráfico, percebemos que f(x) = 0 para x = 3
f(x) > 0 para x > 3
f(x) < 0 para x < 3
Podemos então estabelecer o seguinte quadro:
a>0
a<0
_b
a
f(x)<0
_b
a
f(x)>0
x
x
_b
a
f(x)>0
f(x)<0
_b
a
Exemplo 3:
Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um
certo produto é calculado pela fórmula f(x) = 3x – 750, na qual f(x) representa o faturamento líquido de x unidades vendidas. Faça um estudo
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
Anotações
do sinal dessa função e determine a quantidade mínima de unidades
que devem ser vendidas para que haja lucro.
A função f(x) é crescente, pois a > 0.
O zero da função é: 3x – 750 = 0 3x = 750
135
x = 250.
Esboçando o gráfico:
Pelo esquema, temos:
f(x) = 0 para x = 250 (lucro zero)
f(x) > 0 para x > 250
f(x) < 0 para x < 250
f(x)>0
f(x)<0
dades.
250
Para haver lucro é necessária a venda de pelo menos 251 uni-
Note que o domínio f(x) é o conjunto dos números naturais ( ),
pois x representa o número de unidades vendidas.
Exemplo 4:
Dada a função f(x) = -2x + 4, notamos que a função é decrescente, pois a < 0.
-2x = -4
O zero da função é: -2x + 4 =0
2x = 4
x=2
b
Ou, pela fórmula que vimos a pouco, x = - a
b = 8 e a = -2
b
4
x = - a = - �2 = - (-2) = 2
f(x)>0
x=2
Temos:
Então,
y=0
y>0
y<0
f(x)<0
x=2
x<2
x>2
Fundamentos da Matemática
Capítulo 7
136
7. 3 RELEMBRANDO
Aprendemos hoje mais um tipo de função, as chamadas funções polinomiais do 1º grau, sua forma geral e como encontrá-las sendo
dados dois valores de x e f(x).Construímos os gráficos atribuindo valores a x e marcando os ponstos no plano cartesiano. Percebemos que os
gráficos das funções de 1º grau são sempre retas e que se a > 0 a reta é
inclinada para a direita e que se a < 0 a reta é inclinada para a esquerda.
Aprendemos ainda que se calculamos a raiz da função podemos saber
em quais intervalos f(x) é positivo ou negativo.
7.4 PARA SABER MAIS
ALGO sobre Vestibular. Funções, Constante, 1º e 2 º Grau.
Disponível em: http://www.algosobre.com.br/matematica/funcoesconstante-1-e-2-grau.html>. Acesso em 19 jan. 2010.
O site acima possui informações sobre funções do 1° grau.
7.5 O QUE FAZER
1. Usando f(x) = ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obtenha os
valores de a e b.
2. Represente graficamente a função f: � ® � definida por:
a) f(x) = 2x-1
1
b) f(x) = - 2 x+3
c) f(x) = 4x
3. Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes funções, indique
em que intervalo f(x) é positivo e em que intervalo é negativo.
1
a) f(x) = 3 x+3
b) f(x) = 1-5x
c) f(x) = 3x - 6
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 7
Anotações
137
ONDE ENCONTRAR
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI
JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem.
ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Fundamental. Equações do segundo
grau. Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
medio/funcoes/funcoes-a.htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
CAPÍTULO 8
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
8. FUNÇÕES DO 2º GRAU
141
8.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
8.1.1 Apresentação
Olá!!! Continuando o estudo das funções, apresentamos as funções do 2º grau. Neste capítulo, você verá as representações gráficas das
funções, assim como suas interpretações. Você irá estudar também mais
detalhadamente as características da função do 2º grau com uma variável, também chamada de função quadrática.
Verá que toda função do 2º é escrita da forma f(x) = ax2 + bx +
c, onde a, b e c são números reais; aprenderá a construir seu gráfico, que
recebe o nome de parábola e terá oportunidade de perceber que para a
concavidade da parábola ser voltada para cima ou para baixo, depende
somente do sinal coeficiente a.
Aprenderá também o que é o vértice de uma função quadrática
e uma fórmula para calculá-lo, você verá ainda os valores de máximo e
de mínimo e em que intervalos essa função é crescente ou decrescente.
8.1.2 Justificativa
Você terá oportunidade de ver que a parábola é uma das figuras
mais importantes da Matemática e sua aplicabilidade prática é muito
grande. Ela pode ser encontrada em muitas estruturas. Um exemplo
disso no dia a dia, você sentado no ônibus, jogando chaveiro para cima
e jogando de volta na mão. Embora pense que o chaveiro só vai pra
cima e para baixo, para quem está de fora do ônibus o chaveiro faz um
movimento de parábola (com concavidade para baixo), pois o ônibus se
movimenta para frente, além do chaveiro ir para cima.
Ainda como exemplo, você encontra as antenas parabólicas, os
fogões solares, os estudos de balística e aplicações na economia. Por
causa desses e de outros fatores importantes, é que você irá entrar agora
no estudo das funções polinomiais do 2º grau.
8.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• estudar funções do 2º grau;
• calcular os zeros ou raízes dessas funções;
• traçar gráficos de funções do 2º grau, calcular o vértice e perceber que esse ponto pode ser de máximo ou de mínimo;
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
142
• entender quando a concavidade é voltada para baixo ou para
cima e que isso depende exclusivamente do sinal de a;
• aprender em que intervalos a função é crescente ou decrescente.
8.2 POR ONDE COMEÇAR
A professora solicita a Marcelo que ele monte um painel para
uma exposição da feira de ciências, o painel deve conter 850 cm2 de
área. Porém, com uma condição o comprimento deve ter 20 cm a mais
do que a largura. Vamos tentar ajudar Marcelo.
• Representando por x a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (x + 20).
• Usando a fórmula de área do retângulo que você aprendeu no capítulo 4, área do retângulo: medida da base x medida altura. Podemos
escrever a equação:
(x + 20).x = 850
x2 + 20x = 850
Essa é uma equação do 2º grau. Você irá aprender a resolvê-la.
8.2.1 Estudo da função do 2º grau
Diz-se que uma função é do 2º grau quando ela pode ser escrita
da forma f(x) = ax2 + bx +c, com a ≠ 0, pois se a = 0 você teria uma função do 1º grau, que você acabou de estudar no capítulo 7.
Da mesma forma que uma equação do 2º grau, uma função do
2º grau possui a, b e c como coeficientes.
Veja alguns exemplos de funções do 2° grau:
f(x)= x2 + 2 x -5 = 0
f(x)= -x2 +
f(x) = -4x2
5
x
2
onde a = 1, b = 2 e c =-5
onde a= -1, b =
5
,c=0
2
onde a = -4 , b= 0 e c =0
8.2.2 Gráfico de uma função quadrática
Para construir o gráfico de uma função quadrática, inicialmente
será feito o mesmo processo que fizemos para os outros tipos de funções, atribuindo valores à variável x e determinando as imagens y, assinalando os pontos obtidos (x,y) no plano cartesiano.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 8
Anotações
Serão feitos alguns exemplos, com isso descobre-se a forma do
gráfico de uma função quadrática, então, percebe-se se há alguma regularidade.
143
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
Construir o gráfico da função y = x2.
Atribuindo valores para x:
x
y
(x,y)
-4
-2
0
2
4
16
4
0
4
16
(-4,16)
(-1 , 1)
(0 , 0)
(1 , 1)
(4 ,16)
Ligando-se os pontos, obtém-se o gráfico acima.
Exemplo 2:
Traçar o gráfico de y = -x2+1
Observe que é feito o mesmo procedimento, atribui-se valores
para x e encontra-se y. Os pontos são marcados no gráfico, obtendo
assim o seguinte gráfico: x
-3
-1
0
1
3
y
-8
0
1
0
-8
(x,y)
(-3,-8)
(-1,0)
(0,1)
(1,0)
(3,-8)
Olhe que interessante: existe semelhança entre os dois gráficos
que você acabou de ver, todos eles têm o formato de parábola. Por isso,
chamamos os gráficos das funções do 2º grau de parábolas.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
144
Anotações
PRATICANDO
Agora é sua vez de traçar o gráfico de uma função.
Trace então o gráfico de
8.2.3 Concavidade
A concavidade da parábola é a sua abertura. Pelos exemplos
vistos acima, pode-se observar que em um a abertura ou concavidade
está voltada para cima e no outro a concavidade está voltada para baixo.
Concentre sua atenção! Você saberá agora quando a concavidade é para cima ou para baixo:
SAIBA QUE
Na primeira função f(x) = x2 ,
temos a = 1 > 0 Concavidade voltada para cima.
No segundo exemplo f(x)= -x2+1,
temos a = -1 < 0 Concavidade voltada para baixo.
Então, você pode perceber que a concavidade de uma parábola
de uma função f(x)=ax2 + bx +c depende do sinal do coeficiente a.
Resumindo esta ideia na seguinte figura:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
8.2.4 Zeros de uma função quadrática
145
Em outros capítulos, você aprendeu que os zeros ou raízes de
uma função f(x) são os valores do domínio para os quais f(x) = 0.
CONCEITO
Os zeros ou raízes da função quadrática são as raízes
da equação do 2º grau.
Vamos aprender melhor com um exemplo:
Exemplo 3:
Determinar as raízes (soluções) da função f(x)= x² - 4x + 3
Fazemos f (x) = 0
x² - 4x + 3 = 0
Pela fórmula de Bhaskara:
D = b2 – 4ac = (-4)2 - 4.1.3 = 16 – 12 = 4
�b ± �
� (�4) ± 4 4 ± 2
x=
=
2a
2.1
2
4+2 6
x’ =
= =3
2
2
4�2 2
x’’=
= =1
2
2
x=
+3
Portanto, os números 3 e 1 são os zeros da função f(x)= x² - 4x
Como vimos no capítulo 5, para determinar as raízes de uma
função f(x)= ax2+ bx + c, temos que analisar o valor de D.
______________________________________________________
Se D > 0, a função possui dois zeros reais e distintos (ou seja, duas raízes
diferentes);
Se D = 0, a função possui um zero real duplo (duas raízes iguais);
Se D < 0, a função não possui zeros reais (não existe solução dentro do
conjunto dos números reais).
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
146
______________________________________________________
Veja alguns exemplos:
Exemplo 4:
Traçar o gráfico da função que acabamos de encontrar as raízes:
f(x)= x² - 4x + 3
Como D = 4 > 0, tem-se duas raízes
reais e distintas que são os números
1 e 3.
Olhando o gráfico você percebe
que a parábola corta o eixo x
nos pontos (1,0) e (3,0).
Exemplo 5:
f(x)= -4x2+ 4x - 1
Encontrando as raízes de f(x).
f(x) = 0 -4x2 + 4x - 1= 0
D = 42 - 4.(-4)(-1)
D = 16-16
D=0
A função possui uma raiz dupla.
Vejamos
x=
�b ± � �4 ± 0 �4 1
=
=
=
2a
2.( �4)
�8 2
x’ = x’’
1
2
Você vê no gráfico que a parábola corta o eixo x no ponto ( ,0).
Exemplo 6:
f(x) = x2 - 2x + 5
D = (-2)2-4.1.5
D = 4 – 20
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 8
Anotações
D = -16
D<0
147
A equação não possui raízes reais.
Note que a parábola não corta o eixo x.
O que se pode perceber nos três exemplos acima é que os zeros
ou raízes de uma função do 2 º grau são os valores de x dos pontos em
que a parábola corta o eixo x.
PRATICANDO
Encontre as raízes da função g(x) = - x2 + 4 e trace seu gráfico
utilizando o critério das raízes, que você acabou de aprender.
8.2.5 Vértice da parábola
Você irá entrar num assunto bastante interessante, ele irá lhe
ajudar a traçar os gráficos de uma maneira mais rápida. Veja o seguinte
gráfico onde f(x) = x2.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
148
Anotações
Note que os pontos A e A`, B e B`, C e C` são simétricos com
relação ao eixo y (isto é, possuem a mesma distância do eixo y).
SAIBA QUE
O ponto V, que é o ponto (0,0), representa o vértice da parábola.
Para determinar as coordenadas do vértice da parábola, basta
aplicar as fórmulas:
xv= �
b
2a
yv= �
�
4a
O ponto V é da forma (xv,yv), onde xv é a abscissa x do vértice
e yv é a ordenada y do vértice. Veja alguns exemplos de como é simples
encontrar o vértice da parábola.
Exemplo 7:
Seja g(x) = x2-6x+5, determine o vértice dessa parábola.
a = 1; b = -6 e c = 5
D = b2 – 4 .a.c
D = (-6)2 – 4 .1.5
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
D = 36-20
D = 16
149
Calculando xv e yv
Então, o vértice é V = (3,4)
Exemplo 8:
O custo C, em reais, para produzir x unidades de um produto
é dado por C(x) = 2x2 – 100x + 5.000. Obtenha:
a) o vértice da parábola;
b) o número de unidades que devem ser produzidas para que o
custo seja mínimo;
c) o valor do custo mínimo, em reais.
A função pedida é do tipo y = ax² + bx + c, onde a = 2, b = –100 e
c = 5.000, com x > 0.
D = b² – 4.a.c
D =100²–4.2.5.000
D =10000- 40000
D = -30000
Daí:
b) O custo será mínimo no vértice. Como x é o número de unidades,
o número de unidades para que o custo seja mínimo é o x do vértice:
xv= �
� 100
b
100
=�
=
= 25
2a
2.2
4
xv= 25 unidades.
c) O custo será mínimo no vértice. Portanto, o custo mínimo é igual a:
yv= �
�
� 30000
=�
= 4
4a
8
yv = R$3.750,00.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
150
8.2.6 Construindo o gráfico
Anotações
Você já conheceu as principais características da parábola, você
pode então esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Veja este exemplo e depois tente também.
Exemplo 9:
y = -x2 + 4
1º passo: concavidade da parábola
Como a = -1 < 0, a concavidade é voltada para baixo.
2º passo: calculando os zeros da função: -x2 + 4 = 0
-x2 = - 4 (-1)
x2 = 4 x = ± 4 x = ± 2
x ´ = 2 e x´´=-2
Do 2º passo, concluímos que a parábola toca o eixo x nos
pontos (2,0) e (-2,0).
3º passo: calculando o vértice da parábola:
Por último, marcam-se os pontos no plano cartesiano, e como
você aprendeu que o gráfico de f(x) é uma parábola, obtém-se o gráfico.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
8.2.7 Valor de máximo e valor de mínimo
151
Quase todas as funções têm um valor máximo e um valor mínimo, assim também é a função do 2 º grau.
SAIBA QUE
Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo ou um valor mínimo, dependendo do sinal
do valor a.
CURIOSIDADE
Graficamente, o ponto que representa o máximo
ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da
parábola.
Vejamos os dois casos.
• a > 0, a parábola cresce infinitamente para valores positivos de
y, não tendo portanto valor de máximo. Para qualquer valor
de y que pegamos, terá sempre um valor maior que ele.
Então, perceba que qualquer função onde a concavidade é voltada para cima a função tem somente valor de mínimo, que é calculado
através do vértice da função.
Seja a função abaixo dada por:
f(x) = 3x2 - 6x + 2
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
152
Anotações
Você pode ver que
essa função apresenta um valor mínimo yv = -1, não existe
nenhum valor menor que ele
para a função. Ele é dado pela
�
fórmula yv= � .
4a
• a < 0 , a parábola decresce infinitamente para valores negativos de y, não tendo portanto valor de mínimo. Para qualquer
valor de y, você ainda encontrará um valor menor que ele.
Então, para qualquer função onde a < 0, a função tem somente
valor de máximo, que é calculado através do vértice da função.
Seja a função g(x) = -2x2 + 4x–1
O valor de máximo de g(x) é yv = 1, veja no gráfico que não há
�
nenhum valor maior que ele para y, e é dado pela fórmula yv= � .
4a
Resumindo: a > 0 yv é o valor de mínimo e xv é chamado de
ponto de mínimo da função.
a < 0 yv é o valor de máximo e xv é chamado de ponto de máximo da função.
8.2.8 Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
O assunto que veremos agora é bem legal!
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
153
CURIOSIDADE
Aqui você irá entender em que intervalos a função cresce e decresce, e verá que essas duas
coisas acontecem numa mesma função.
Então, para estudar o crescimento e o decrescimento de uma
função do 2º grau, serão utilizado os gráficos que você acabou de construir f(x) = 3x2- 6x + 2 e g(x) = -2x2 + 4x – 1.
Iniciando com a f(x).
Como a = 1 > 0, a concavidade é voltada para cima.
Veja o comportamento das duas partes do gráfico:
Para x ≥ xv temos:
Para x ≤ xv, temos
Para x ≤1, a função é decrescente, ou seja,
quando x cresce y decresce.
Para x ≥ 1, a função é crescente, ou seja,
quando x cresce y cresce.
Note que o vértice determina a mudança de comportamento
de uma função.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
154
Anotações
No exemplo acima:
f(x) é decrescente para x ≤ 1;
f(x) é crescente para x ≥ 1.
Exemplo 10:
Observar o que acontece com a função g(x) = -2x2 + 4x–1
a = - 1< 0 admite um valor máximo, que é o vértice.
Pelo gráfico:
f(x) é crescente para x ≤ 1
f(x) é decrescente para x ≥1
PRATICANDO
Seja a função y = 4x2 - 2x + 3. Em que intervalos essa função
é crescente? E decrescente?
8.3 RELEMBRANDO
Você acabou de estudar as funções do 2 ° grau, relembrou como
calcular seus zeros ou raízes pela fórmula da Bhaskara. Pôde aprender
que as raízes de uma função são os valores que o gráfico toca o eixo x.
Você traçou junto conosco os gráficos desse tipo de função de duas formas: 1. como fez com todos os outros tipos de funções, atribuindo valores para x e encontrando os valores de y; 2. utilizando as informações
da concavidade, do seu vértice e suas raízes.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
Anotações
Aprendeu ainda quais pontos são de máximo e de mínimo e
que quando a concavidade é voltada para cima a função só possui ponto
de mínimo, se a concavidade é voltada para baixo só possui ponto de
máximo, e que esses valores representam o vértice de uma função.
Por último, viu em que intervalos a função é crescente e decrescente e é a partir do vértice que vemos essa mudança.
155
8.4 PARA SABER MAIS
GUELLI, Oscar. Contando a história da Equação do 2º grau. São
Paulo: Ática, 1992. Coleção Contando a História da Matemática.
Para saber mais sobre as funções e equações do 2 º grau, você
pode pesquisar no livro citado acima.
OFICINA de Funções. Um software para o Ensino de Matemática.
Disponível em:<http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/oficina/roteiro/
Sgrau.htm>. Acesso em 26 jun. 2009.
Você pode entrar no site sugerido e estudar um pouco sobre o
que acontece com uma função do 2º grau, quando se variam seus coeficientes, ou seja, os valores de a, b e c.
8.5 O QUE FAZER
1. Construa o gráfico das seguintes funções quadráticas:
y = 3x2
y = –x2 + x + 6
y = x2- 6x+5
2. Observando as seguintes funções do 2º grau, diga se a parábola que
representa a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo,
depois determine o seu vértice:
f(x)=1- 4x2
f(x)= - x2+x -3
f(x)= - 6x2
3. Determine se as funções abaixo possuem valor de máximo ou de mínimo e em seguida calcule esse valor.
y = -2x2+4x-1
y = x2-25
Fundamentos da Matemática
Capítulo 8
156
4. Para que valores reais de x a função f(x)=2x2-6x-1 é crescente?
5. Para que valores de x a função g(x) = 3x2-4x+1 é decrescente?
ONDE ENCONTRAR
FUNÇÃO do 2 º grau. Disponível em: <http://www.klickeducacao.
com.br/MaterialTrabalho/MaterialDisplay/0,4906,16-15-80-Dv_
matdv_mat_fernado1--POR,00.html\>. Acesso em 26 jun. 2009.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI
JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem.
ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.
GUELLI, Oscar. Contando a história da Equação do 2º grau. São
Paulo: Ática, 1992. Coleção Contando a História da Matemática.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do Ensino
Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.v.1.
Coleção do Professor de Matemática.
Fundamentos da Matemática
Anotações
CAPÍTULO 9
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
Anotações
9. FUNÇÃO EXPONENCIAL
159
9.1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
9.1.1 Apresentação
Oi!! Seja bem vindo! Neste capítulo você estudará as funções
exponenciais, essas funções são chamadas exponenciais, por causa da
sua lei de formação, que é escrita na forma de uma potência, onde x é
o expoente. Uma função escrita da forma f(x) = ax, como, por exemplo,
3x ou 52x +1, onde a é uma constante real maior que zero e diferente de
1, é chamada de função exponencial.
Você verá também potenciação de números naturais e inteiros;
e as propriedades da potenciação muito úteis para se trabalhar com
equações exponenciais. Aprenderá ainda a traçar os gráficos desse tipo
de função, da mesma forma que foi trabalhado até agora, atribuindo
valores para x e encontrando o valor de y. Por fim, você terá a oportunidade de resolver algumas equações exponenciais.
9.1.2 Justificativa
É muito bom ligar o seu conhecimento matemático ao seu cotidiano. Então, a partir de agora você perceberá que a função exponencial
intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e
Finanças, nomeadamente no cálculo dos juros compostos.
Você encontrará também diversos problemas de química em
que se utilizam as equações exponenciais, por exemplo, no cálculo da
meia-vida de alguns elementos e na meia-vida dos remédios. Em matemática financeira, aparece também esse tipo de equações, por exemplo,
nas contas de banco, a partir do que se deposita podem ser calculados
através de funções exponenciais os juros e consequentemente o saldo
que o cliente terá nos meses ou anos seguintes.
9.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• calcular potência com expoentes naturais e inteiros;
• aplicar as propriedades da potenciação para simplificar expressões com potências;
• reconhecer uma função exponencial e traçar seus gráficos;
• conhecer a função exponencial com base e;
• resolver equações exponenciais utilizando suas propriedades.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
160
9.2 POR ONDE COMEÇAR
Anotações
Você trabalhará a partir de agora com as funções exponenciais,
para isso, é bom ter em mente algumas propriedades da potenciação, por
isso você terá agora um breve resumo dessas propriedades. Boa sorte!!!
9.2.1 Potenciação
9.2.1.1 Potência com expoente natural
A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais:
5.5.5= 125 ou 53=125
Numa potenciação, chamamos o número 5 de base e o número 3 de
expoente.
Outro exemplo:
3
111 1
1� 1
=
ou �
� ÷ =
222 8
�2 � 8
De um modo geral, podemos escrever:
a n = a . a . a . ... . a
n fatores
sendo a um número real e n um número natural, com n  2.
sendo a um número real e n um número natural, com n ≥ 2.
Definimos:
Definimos:
1
a seja,
(ou seja,
qualquer
a 1 oéresultado
a1 =a a=(ou
qualquer
númeronúmero
elevado aelevado
1 o resultado
ele mesmo,é 2ele
=2,
1
mesmo, 21=2, 71=7);
7 =7);
a0 = 1 (a ≠ 0) (qualquer número elevado a 0 é sempre 1, com
0
0
0
a do
= 1 zero,
(a  0)6(qualquer
=1, 199número
=1). elevado a 0 é sempre 1, com exceção do
exceção
1
zero, 60 =1, 1990 =1).
9.2.1.2 Potência com expoente inteiro
9.2.1.2 Potência com expoente inteiro
Você irá aprender agora como calcular potência com expoente
negativo. Veja a definição e em seguida alguns exemplos. Seja n um
número
inteiroagora
positivo
a ≠ 0, potência
definimos:
Você
irá aprender
comoecalcular
com expoente negativo. Veja a
n
definição e em seguida
alguns
1 � exemplos. Seja n um número inteiro positivo e a  0,
�
-n
a =� ÷
definimos:
�a �
Fundamentos da Matemática
a
-n
1
= 
a
n
ou seja, invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente.
3
Capítulo 9
Anotações
ou seja, invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente.
161
Exemplo 1:
1
1� 1
a) 7 = �
� ÷ =
�7 � 7
b)
-1
9.2.1.3 Potências com expoente racional
m
um número racional com n
Se a é um número real positivo,
n
inteiro positivo, definimos:
m
n
a = n am
Exemplo 2:
Exemplo
2:
Exemplo 2:
2
8 32 = 3 8 2 = 3 64 = 4
8 3 = 3 8 2 = 3 64 = 4
9.2.1.4 Propriedades da potenciação
9.2.1.4 Propriedades da potenciação
Sejam
aPropriedades
e banúmeros
as seguintes igualdades são verdadeiras:
9.2.1.4Sejam
da reais,
potenciação
e b números
reais, as seguintes igualdades são verdadeiras:
Sejam a e b números reais, as seguintes igualdades são verdadeiras: n
n
an
a
1. am.an=am+n
3. a m = a m.n
5.   n = nn
n
a
a
1. am.an=am+n
3. a m = a m.n
5.  b  = b n
b
b
n
2. am:an = a m-n
4. (a.b ) = a n .b n
n
2. am:an = a m-n
4. (a.b ) = a n .b n
( )
( )
a) Exemplos utilizando as propriedades da potenciação. Simplifique as expressões:
Exemplos
utilizando
potenciação.
Simplifique
as exutilizandoas
as propriedades
propriedades dadapotenciação.
Simplifique
as expressões:
a) Exemplos
pressões:
3
1. (5 .56):510
1. 3 6(53.5106):510
5 .5 : 5 = [pela propriedade 1]
53.536+6 : 51010= [pela
propriedade 1]
= ( 5 ) : 5 = 59 : 510 = [pela propriedade 2]
= ( 53+6 ) : 510 = 59 : 510 = [pela propriedade 2]
1
59-10 = 5−1 =
1
59-10 = 5−1 = 5
5
3 x +5 − 3 x + 2
2.
3 x+5 3−x 3 x+2
2.
3x
(
(
)
)
3 x+5 − 3 x+ 2 3 x.35 − 3 x.32 3 x (35 − 32 )
5
2
x +5 x x + 2 = x 5 x x 2 = x
5x
2 = 3 − 3 = 243 – 9 =234
3 3− 3
3 .3 3− 3 .3
3 (33 − 3 )
=
=
= 35 − 32 = 243 – 9 =234
x
x
x
3
3
3
[INICIO ICONE DESAFIO]
( −x )
( −x )
[INICIO ICONE DESAFIO]
7x + 7
7x − 7
Fundamentos
( −x ) e B =
( −x ) , qual é o valor de
Sabendo que A = x
A2 – B2? da Matemática
7 +27
7 x −27
Sabendo que A =
eB=
, qual é o valor de A2 – B2?
2
2
[FIM ICONE DESAFIO]
4
4
Capítulo 9
162
Anotações
DESAFIO
7x + 7
Sabendo que A =
2
( −x
− )
7x − 7
eB=
2
( −x
− )
, qual é o valor de A
, qual é o valor de A2 – B2?
9.2.2 Funções Exponenciais
5
9.2.2.1 Definição e Gráfico
9.2.2 Funções Exponenciais
Como já foi dito neste capítulo, em Matemática chama-se funx
ção
exponencial
a função definida por f(x) = a , em que a é um núme9.2.2.1
Definição e Gráfico
ro real
a deve
ser maior
que função
zero exponencial
e diferente
de 1.
Como dado,
já foi ditoonde
neste capítulo,
em Matemática
chama-se
a função
a achama-se
base
função
definida porO
f(x)número
= a , em que
é um número real
dado,da
onde
a deve serexponencial,
maior que zero e x é o expoente
oude grau.
diferente
1.
O número
base da função
é o expoente
ou grau.
Vejaa chama-se
a construção
deexponencial,
alguns xgráfi
cos de
funções exponenciais e
observe algumas propriedades.
x
Veja a construção de alguns gráficos de funções exponenciais e observe algumas
propriedades.
Exemplo
3:
Exemplo 3:
Construir o gráfico de y = 3x.
Atribui-se
valores
para os
x valores
e encontram-se
os valores de y.
x e encontram-se
de y.
Atribui-se
valores para
Construir o gráfico de y = 3x.
Em seguida, marcam-se
os pontos
no(x,yeixo
e ligando esses
) no eixo
Em seguida,
marcam-se(x,y)
os pontos
e
ligando
esses
pontos
obtém-se
assim
o
pontos obtém-se assim o seguinte gráfico:
seguinte gráfico:
f(x)
x
(x,y)
3
-3
1
1
f(-3) = 3-3=   =
9
3
-2
1
1
f(-2) = 3-2 =   =
4
3
-1
1 1
f(-1) = 3-1 =   =
3 3
2
1
0
1
2
f(0) = 30 = 1
1
(-3, )
9
(-3,
1
)
4
1
(-3, )
3
(0,1)
1
(1,3)
2
(2,9)
f(1) = 3 = 3
f(2) = 3 = 9
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
6
Anotações
Exemplo 4:
163
Exemplo 4:
x
1
Construir
o ygráfico
Construir
o gráfico de
= 
3
x
1�
de y = �
� ÷
�3 �
Atribuem-se os valores a x, em seguida marcam-se os pontos no eixo cartesiano, e
Atribuem-se os valores a x, em seguida marcam-se os pontos no
eixo cartesiano, e ligando esses pontos obtém-se o seguinte gráfico:
ligando esses pontos obtém-se o seguinte gráfico:
f(x)
x
(x,y)
−2
2
(-2,9)
1
(-1,3)
-2
1
f(-2) =  
3
 3
=  =9
1
-1
1
3
f(-1)=   =   = 3
3
1
−1
0
(0,1)
1
1
(1, )
3
0
1
f(0) =   = 1
3
1
1 1
f(1) =   =
3 3
2
1
1
f(2) =   =
3
9
 
2
1
(2, )
9
Exemplo
5:
Exemplo 5:
Um importante número irracional é o número e que tem valor aproximado de
Um importante número irracional é o número e que tem valor
aproximado de 2,7183.Veja o gráfico de y = ex.
2,7183.Veja o gráfico de y = ex.
PRATICANDO
Agora é sua vez! Construa o gráfico cartesiano da seguinte função:
y = 2x - 1
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
164
9.2.2.2 Propriedades da Função Exponencial
Anotações
Toda função exponencial obedece a algumas propriedades, você
verá agora quais são elas.
x
1. Na função exponencial y = a , temos:
Quando x = 0
y = a0 =1,
ou seja, o par ordenado (0,1) satisfaz toda função y = a x para todo a (a
> 0 e a ≠ 1).
x
2. Se a >1, a função y = a é estritamente crescente.
x
3�
São crescentes as funções: f(x) = 2 ; f(x) = �
� ÷ ; f(x) = (1,5)x.
�2 �
x
x
3. Se 0 < a < 1, a função y = a é estritamente decrescente.
x
São decrescentes as funções:
1�
f(x) = �
� ÷;
�2 �
f(x)=(0,3)x.
4. Para todo a > 0 e a ≠ 1, temos:
se a x = a x , então, x1=x2.
1
2
Exemplo 6:
Se 5x = 57
x = 7.
5. Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o gráfico da
função y = ax está sempre acima do eixo dos x. Em todos os exemplos
acima, você pode ver que o gráfico está sempre acima do eixo dos x.
9.2.3 Equações Exponenciais
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita
no expoente de pelo menos uma potência.
São exponenciais, por exemplo, as equações 3x = 81 e 4x - 2x = 12.
Vamos resolver juntos algumas equações exponenciais!
Equação 1: 2x = 32
1º passo: transformar a equação de modo a colocá-la na forma a x = a x ,
isto é, com uma igualdade entre duas potências de mesma base:
2x = 25
2x = 32 e 32 = 25
1
Fundamentos da Matemática
2
Capítulo 9
Anotações
2º passo: utilizando a propriedade 4 que diz que se a x = a x , então,
x1=x2.
1
3º passo: daí, sabemos que 2x = 25
165
x = 5.
x
�1 �
4
� ÷ =3
�3 �
Equação 2:
2
�4
x
�1 � �1 �
� ÷ =� ÷
�3 � �3 �
x = -4.
�4
1�
Observação: 3 = �
� ÷ , pois invertendo a fração invertemos o sinal.
�3 �
4
Equação 3: 2
(x + 1)
- 2
(3 � x )
= 6
Utilizando as propriedades da potenciação, pode-se escrever
essa equação na forma:
3
2x . 2 - 2
= 6.
x
2
x
E substituindo 2 por y ( y > 0), fica:
8
y.2- y = 6
2y2 8 6y
tirando o mmc:
� =
y
y
y
2 y 2 - 6y - 8 = 0.
Encontrando as raízes da equação pela fórmula de Bhaskara:
a = 2, b = -6 e c = -8
= b2 - 4ac
= (-6)2 - 4.2.(-8)
= 36+64
= 100
Como y = 2 x , temos
para y = 4 :
para y = -1:
2x = 4
2x = 22
x = 2;
2 x = -1 é impossível.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
166
PRATICANDO
Anotações
Quais valores de x são soluções da equação:
9x – 36.3x + 243 = 0
Vamos realizar agora um problema prático!
Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de
determinado produto. Projetando um aumento anual de produção de
50%,
a) qual a produção P dessa empresa t anos depois?
b) após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
a) Um ano depois: 8000 + 50% de 8000 = 8000 +
+ 0,5)= 8 000.1,5.
.8000
= 8000 (1
Dois anos depois: 8000.1,5 + 50% de 8000.1,5 = 8000 .1,5+
.8000.1,5 = 8000(1,5) [1+0,5]= 8000(1,5)2.
(1,5)3.
Três anos depois: 8000.(1,5)2 + 50% de 8000.(1,5)2 = 8000.
Portanto, para t anos podemos usar a fórmula P = 8000.(1,50)t.
b) Fazendo P = 40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
40 500 = 8000(1,50)t.
Vamos resolvê-la: 40500 = 8 000.(1,50)t
temos:
Lembrando que 1,50 =
()
()
3
e simplificando
2
(1,50)t =
40500
8000
,
() ()
Como as bases são iguais, positivas e diferentes de 1, igualam-se
os expoentes: t = 4.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
Anotações
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
167
9.3 RELEMBRANDO
Você acabou de aprender as chamadas equações exponenciais,
que são equações onde a incógnita x é no expoente; aprendeu também a
traçar seus gráficos. Teve oportunidade também de trabalhar com equações exponenciais e algumas técnicas de como resolvê-las; viu que elas
podem ser usadas em muitas situações práticas. Por fim, você pôde resolver uma dessas situações.
9.4 PARA SABER MAIS
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas
Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
Pesquise o livro acima para ler mais e resolver problemas com
as funções exponenciais.
9.5 O QUE FAZER
1. Trace o gráfico das seguintes equações exponenciais:
x
1�
a) f(x)= �
� ÷
�4 �
b) g(x)= 5x
x
3�
c) h(x) = �
� ÷
�2 �
2. Resolver a equação 27x = 243.
3. Determinar o valor de x para o qual (4/9)x=81/16.
4. Encontre x real tal que: 3x+2 - 3x+1 + 3x + 3x-1 + 3x-3 = 16119
Fundamentos da Matemática
Capítulo 9
168
ONDE ENCONTRAR
EQUAÇÕES Exponenciais. Disponível em: <http://www.nghorta.
com/2006/04/16/equacoes-exponenciais/>. Acesso em: 26 jun. 2009.
EXERCÍCIO Função Exponencial. Disponível em: <http://www.
cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/exponencial/exercicios/exercicios.
htm>. Acesso em: 26 jun. 2009.
FUNÇÃO Exponencial. Disponível em : <http://www.educ.fc.ul.pt/
icm/icm2002/icm103/funcaoexponencial.htm>. Acesso em: 26 jun.
2009
FUNÇÕES Exponenciais: Exercício. Disponível em : <http://pessoal.
sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc-a.htm>.
Acesso em: 26 jun. 2009.
FANCCHINI, Walter. Matemática. São Paulo: Editora Saraiva,
1996.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI
JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem:
ensino médio. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson et. al. Matemática. 3. ed. São Paulo: Atual, 2005.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER,
Eduardo; MORGADO, Augusto César. Temas e Problemas
Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
2006.
Fundamentos da Matemática
Anotações
CAPÍTULO 10
Fundamentos da Matemática
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
Anotações
10 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
171
10. 1 ONDE QUEREMOS CHEGAR
10.1.1 Apresentação
Estamos chegando ao fim da nossa jornada, com o Capítulo 10,
finalizamos o nosso estudo apresentando os logaritmos, sua definição
e características. Você verá que o logaritmo é escrito como log a b = x,
onde se lê: x é o logaritmo de b na base a, b é chamado de logaritmando e x de logaritmo. Aprenderá também que para um logaritmo existir
deve obedecer a algumas condições.
Você terá oportunidade de resolver as equações logarítmicas e
verá também que com as propriedades dos logaritmos essas equações
ficam ainda mais fáceis de serem resolvidas.
Por fim, você trabalhará com as funções logarítmicas e seus gráficos, percebendo que a função logarítmica é a inversa da função exponencial vista anteriormente no Capítulo 9 e também que a partir dessa
informação torna-se ainda mais fácil traçar seu gráfico.
10.1.2 Justificativa
É muito importante você conhecer as funções logarítmicas, pois,
como a função exponencial, a função logarítmica tem as suas aplicações
e sua importância. Os logaritmos foram introduzidos no século XVII
como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas
daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os
computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmicas têm uma vasta
aplicação na matemática e na ciência.
10.1.3 Objetivos
Neste capítulo, você terá oportunidade de:
• entender a importância dos logaritmos e das funções logarítmicas;
• conhecer um logaritmo e saber calculá-lo;
• perceber que, para existir, um logaritmo deve cumprir condições de existência;
• resolver equações logarítmicas;
• traçar o gráfico dessas funções.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
172
10.2 POR ONDE COMEÇAR
Anotações
Vamos escrever alguns números como potência de base 10.
0,1 = 10-1
0,01 = 10-2
0,001 = 10-3
1 = 100
10 = 101
100 = 102
Porém, na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Por exemplo, o número 2, o 3.
Usando aproximações, você pode escrever:
2 = 100,301
3 = 100,477
10.2.1 O que é logaritmo
Veja então o seguinte quadro, o qual matemáticos dos séculos
XVI e XVII desenvolveram e onde se relacionam os números naturais e
os expoentes de 10 correspondentes. A esses expoentes foi dado o nome
de logaritmos.
Número
Logaritmo
1
2
3
4
5
...
10
...
251
...
1000
0,000
0,301
0,477
0,602
0,699
...
1,000
...
2,399
...
3,000
QUADRO 1 – Números naturais e os expoentes de 10 correspondentes
Pelo quadro você pode ver que:
• o número 0,699 é chamado o logaritmo de 5 na base 10.
Indicamos: log10 5
log10 5= 0,699, ou seja, 5 = 100,699
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
Anotações
• O número 2,399 é chamado o logaritmo de 251 na base 10.
173
Indicamos: log10 251
log10 251 = 2,399 , ou seja, 251 = 102,399
Esses quadros foram chamadas de tábuas de logaritmos decimais porque os números são representados como potências de base 10.
Entretanto, os logaritmos podem ser escritos em qualquer base
positiva diferente de 1.
Veja:
• log 7 2 = 0,356 , pois 2 = 70,356
• log 8 64 = 2 , pois 64 = 82
Daí, então, você tem que:
Diz-se que x é o logaritmo de b na base a.
Algumas observações se fazem importantes! É bom você concentrar sua atenção!
• Se a base do logaritmo for 10, costuma-se omitir a base na sua
representação.
log 10 b = log b
• Tem-se também os logaritmos chamados de neperianos, a
base desse logaritmo é o número irracional e = 2,71828...
(que você conheceu no capítulo 9).
log e b = ln b
É também conhecido como logaritmo natural por ter grandes
aplicações em diversos fenômenos da natureza.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
5
174
Anotações
Exemplo 1
Calcule log 3 81
Exemplo 1
de x.
Como não
se sabe
Calcule
logo3 valor
81 de log3 81, esse valor será chamado
Como não se sabe o valor de log3 81, esse valor será chamado de x.
x
4
x
x3 43 =x3  x = 4
=
x
81
=
3 81
81
=
x
81
=
3
3
=
3
x=4
loglog
3
Exemplo 2
Exemplo 2
Calcule Calcule
log 25 0,2log 25 0,2
log 25 0,2 = y  0,2 = 25y substituímos 0,2 por
2
10
2
2
   = 25 y invertendo a fração
obtemos
10
 10 
−1
 10 
   = 25 y
2
 5 −1 = (5 2 ) y
 5 −1 = 5 2 y
 − 1 = 2 y  2 y = −1  y = −
1
2
PRATICANDO[INICIO DO ICONE PRATICANDO]
Quanto
Quantovale:
vale:
2.2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE
LOGARITMO
logUM
4 64
[FIM DO ICONE PRATICANDO]
Você irá aprender agora quais as condições para que um logaritmo exista.
Para um logaritmo de b na base a existir, deve-se ter:
•
logaritmando positivo b > 0;
Você irá aprender agora quais as condições para que um logarit• base positiva e diferente de 1: a > 0 e a  1.
mo exista. Para um logaritmo de b na base a existir, deve-se ter:
• logaritmando
positivo b > 0;
Vamos verificar:
• base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1.
1. b = - 5 < 0
Ex: log
2 -5= x  -5 = 2 ∴ não existe x ∈ℜ que satisfaça essa equação.
Vamos
verificar:
1. b = - 5 Portanto,
<0
b não pode ser menor que 0.
Ex: log2 -5= x -5 = 2x \ não existe x � � que satisfaça essa equação.
x
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
Anotações
Portanto, b não pode ser menor que 0.
175
2. a = 1
Ex: log12 = y 2 = 1y não existe y tal que 1y seja igual a 2.
Então, a deve ser diferente de 1.
3. a < 0
Ex: log-4 4=z
4 = -4z não existe z � � que satisfaça essa equação.
Exemplo 3
Determine os valores reais de x e y para que log y + 1 (x - 8) exista.
® x–8>0 x>8
Deve-se ter:
® y + 1 > 0 y > -1 e y + 1 ≠ 1 y ≠ 1 – 1 y ≠ 0
Então, para o logaritmo acima existir, deve-se ter: x > 8, y > -1 e y ≠ 0
10.2.2 Consequências da definição
Sendo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos, que
você acabou de ver acima, verifica-se que:
1. o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0,
loga1 = 0, pois a0 = 1;
2. o logaritmo da própria base é igual a 1,
logaa = 1, pois a1=a;
3. seja log a am = p ⇔ a p = a m, portanto, p = m , então,
log a a m = m;
4. pela definição de logaritmos, temos log a b = x ⇔ b = ax, substituindo
o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que
alogab = b.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
176
Anotações
10.2.3 Equações logarítmicas
CONCEITO
Chamam-se de equações logarítmicas toda equação
que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no
logaritmando, na base ou em ambos.
São exemplos de equações logarítmicas:
log (x - 1) = -2
log x+1 (19 - x) = 1
1
3
Para resolver essas equações, aplicaremos a definição de logaritmo e a seguinte propriedade:
log a b = log a c ⇔ b = c, com a,b e c > 0, e a ≠ 1
Exemplo 4
Vamos resolver juntos as duas equações acima!
1. log (x - 1) = -2
1
3
x>1
Primeiro, deve-se observar a condição de existência: x – 1 > 0
Usando a definição de logaritmo:
log (x - 1) = -2
1
3
⎛1⎞
x −1 = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
−2
x-1 = 32
x-1=9
x = 10
Como x = 10, satisfaz a condição de existência x > 1.
Portanto, a solução é S = {10}.
€
2. log x + 1 (19 - x) = 1
Observando as condições de existência: 19 - x > 0
x+1>0
Fundamentos da Matemática
-x > -19
x > -1
x < 19
Capítulo 10
Anotações
Resolvendo pela definição:
177
log x+1 (19 - x) = 1 19 – x = (x+ 1)1
19 – x = x + 1
- x – x = 1 - 19
-2x = - 18(-1)
x = 18
x=
18
⇒ x =9
2
x = 9 é menor que 19 e maior que -1, satisfazendo assim as condições
€de existência.
Portanto, S = {9}.
DESAFIO
Qual o valor de x na seguinte
equação:
log 4 (log 2 x) = 1
10.2.4 Propriedade dos logaritmos
As propriedades dos logaritmos são muito importantes na hora
de resolver as equações logarítmicas, portanto, concentre sua atenção!!!
1ª Propriedade: Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos
fatores, sendo as bases iguais:
log a (b.c) = log a b + log a c , com a,b e c > 0, e a ≠ 1
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
178
Exemplo: log 2 (6) = log 2 (3.2) = log 2 3 + log 2 2
2ª Propriedade: Logaritmo do quociente
O logaritmo do quociente é igual ao logaritmo do dividendo
menos o logaritmo do divisor, sendo as bases iguais.
log
a
=
log
a
b
‐
log
a
c
,
com
a,b
e
c
>
0,
e
a
≠
1
Exemplo: log 3 17 = log 3
= log 3 54 - log 3 2
3ª Propriedade: Logaritmo de uma potência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente
pelo logaritmo da base da potência, isto é:
log
a
b
n
=
n
log
a
b
,
com
a,
e
b
>
0,
e
a
≠
1
Exemplo: log 5 5 3 = 3. log 5 5
Exemplos
Sendo log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5= 0,699, calcular :
a) log 81
log 81 = log 10 81= log 10 34 pela 3ª propriedade
log 10 34 =
3. log103=
3.0,477=1,431
Então log 81 = 1,431
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 10
Anotações
179
b) log 5 6
log 5 6 = pela propriedade da potenciação
1
5
log 6 = pela propriedade 3 dos logaritmos
1
. log 6 = pela propriedade 1 dos logaritmos
5
c) log 1,8
log 1,8 = log
pela propriedade 2 dos logaritmos
log 18 Ð log 10 =
log3.3.2 Ð log 2.5 utilizando a propriedade 1 dos logaritmos:
[log3 + log3 + log2] Ð [log2 + log5] = [0,477 + 0,477 + 0,301] Ð [0,301 + 0,699]
[1,255] Ð 1 = 0,255
10.2.5 Função logarítmica
A função exponencial f: � ® � + definida por f(x) = ax, com a
> 0 e a ≠ 1, é bijetora, e, portanto, podemos determinar a sua função
inversa.
CONCEITO
A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
180
Anotações
Observe:
y = ax, para calcular a função inversa permutamos as variáveis x = a y
y = log a x.
Você pode lembrar que, quando uma função é a inversa da outra, seus gráficos são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares; então, pelo gráfico da exponencial, construímos imediatamente o gráfico da função logarítmica.
Para a > 1:
Para 0 < a < 1 :
Note que:
• se a > 1, a função é crescente, isto é, quando os valores de x
crescem os de y também crescem;
• se 0 < a < 1, a função é decrescente, quando os valores de x
crescem os de y decrescem.
Exemplo 5
Construir o gráfico da função f(x) = log3 x.
1º passo: atribuir valores a x:
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
Anotações
x
f(x)
1
9
€
€
€
(x,y)
y = log 3
1
1
⇒ 3y = ⇒ 3y = 9 −1 ⇒ 3y = 3−2 ⇒ y = −2
9
9
y = log 3
1
1
⇒ 3y = ⇒ 3y = 3−1 ⇒ y = −1
3
3
1
y = log 3 1 ⇒ 3y = 1 ⇒ y = 0
3
y = log 3 3 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1
9
y = log 3 9 ⇒ 3y = 9 ⇒ 3y = 32 ⇒ y = 2
€
181
⎛1
⎜ ,−2)
⎝9
⎛1
⎜ ,−1)
⎝3
(1,0)
€
(3,1)
(9,2)
€
€
2º passo: observar se a função é crescente ou decrescente. f(x) = log3 x,
a base é igual a 3, que é maior que zero.
Portanto, a função é crescente.
3º passo: construir o gráfico:
Exemplo 6
Construir o gráfico de f(x) = log 1 x
3
1º passo: atribuir valores a x.
2º passo: verificar se é crescente ou decrescente.
3º passo: construir o gráfico.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
182
x
y
9
-2
Anotações
3
-1
1
0
1
3
1
1
9
2
PRATICANDO
Trace o gráfico da função:
g(x) =
10.3 RELEMBRANDO
Você conclui então seus estudos com as funções logarítmicas,
entendendo primeiramente o que é um logaritmo e como se faz para
calculá-lo, aprendeu que podemos escrever um logaritmo com qualquer
base desde que ela seja maior que zero e diferente de 1. Teve oportunidade de conhecer as propriedades dos logaritmos e ver o quanto elas
facilitam os cálculos.
Pôde resolver equações logarítmicas, verificando primeiramente
as suas condições de existência. Por último, você traçou junto conosco
o gráfico geral de uma função logarítmica com o auxílio da sua inversa,
que é a função exponencial. Teve oportunidade de traçar alguns gráficos
funções logarítmicas, atribuindo valores a x, encontrando y e marcando
os pontos no plano cartesiano.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
Anotações
10.4 O QUE FAZER
183
1. Qual o valor de:
a) log5 125
b)log2 264
c) log40,25
2.Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5= 0,699, calcule:
a) log 75
b) log 120
c) log 125
3. Qual o valor de x nas seguintes equações:
a) log2(x + 3) + log2(x - 3) = log27
b) log3(x + 5) = 2
4. Trace os gráficos das seguintes funções logarítmicas
a) y = log2x
b) y = log(1/4)x
10.5 PARA SABER MAIS
EDITORA Moderna. Disponível em:<http://www.moderna.com.br/
moderna/didaticos/em/artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 26
jun. 2009.
Neste link, você aprende mais sobre os logaritmos e sua história.
ONDE ENCONTRAR
A HISTÓRIA da construção do conceito de logaritmo. Disponível
em: <http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/
artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI
JR, José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem:
ensino médio. vol único.São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson et. al. Matemática: volume único. 3. ed. São Paulo:
Atual, 2005.
Fundamentos da Matemática
Capítulo 10
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planetavestibular.hpg.ig.com.br/logaritmo.htm>. Acesso em 04 jul.
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FUNÇÕES Logarítmica e Exponencial. Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/superior/logexp/logexp4.php>. Acesso em: 03
jul. 2007.
LOGARITMO. Disponível em: <http://www.nghorta.
com/2006/05/20/logaritmo/>. Acesso em: 04 jul. 2007.
LOGARITMOS. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/
matematica/medio/expolog/logaritm.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.
Fundamentos da Matemática
Anotações
Capítulo 10
Anotações
REFERÊNCIAS
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A HISTÓRIA da construção do conceito de logaritmo. Disponível
em: <http://www.moderna.com.br/moderna/didaticos/em/
artigos/2006/032006-01.htm>. Acesso em: 12 set. 2007.
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__________________________. Matemática. 4 ed. São Paulo:
Moderna,1996. v.3.
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fi charionline.com/ExibeConteudo.php5?idconteudo=5799>. Acesso
em: 26 jun. 2009.
CRAZYMANIA. Biblioteca. Matemática. Conjuntos Numéricos.
Disponível em: <http://www.crazymania.com.br/biblioteca/?cat=mate
matica&page2=conjuntos_numericos>. Acesso em: 24 jun. 2009.
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EDITORA FERREIRA. Aulas Virtuais. Pedro Bello. Matemática
Básica. Noções de Conjunto. Disponível em: <http://www.
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Anotações
Capítulo 10
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Anotações
Capítulo 10
Anotações
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189
Fundamentos da Matemática
Fonte:
LYRA, Aarão. Fundamentos da matemática. Natal: EdUnP, 2010. 190 p. E-book.
Núcleo de Educação a Distância - NEaD
www.unp.br | [email protected]