Circuito RLC série

1
Circuito RLC série
Quando adicionamos uma resistência ao circuito LC
série, como mostrado no diagrama ao lado, o
comportamento do circuito é similar ao comportamento do
circuito LC sem a resistência, mas existem algumas
variações. Com exemplo, para verificar as diferenças,
usaremos os mesmo parâmetros utilizados no circuito LC
discutido anteriormente, logicamente acrescido do
resistor:
f = 1MHz
εrms = 10V
L = 150µH
C = 220pF
R = 100Ω
Com o acréscimo do resistor, medimos agora:
VLrms = 39,1V
VCrms = 30,0V
VRrms = 4,15V
Isto faz sentido? Sabemos como lidar com a diferença entre VLrms e VCrms,
que é aproximadamente 9V, mas agora temos VRrms com aproximadamente 4
volts. Como podemos converter uma voltagem de alimentação de 10V em
uma voltagem de 13V? Ou estamos esquecendo alguma coisa?
Como vimos anteriormente, temos que levar em
consideração a diferença de fase. Entre a voltagem e a
corrente em cada um do s três elementos do circuito. O
diagrama de vetores à direita ilustra este conceito.
Uma vez que temos um circuito série, a corrente é a
mesma em todo o circuito e, portanto a estamos usando
como referência (fase 0°), mostrada em vermelho no
diagrama. A voltagem no resistor é VR, em fase com a
corrente e mostrada em verde. O vetor azul VL e está a
+90°, enquanto que o vetor dourado representa VC, que
está a -90°. Uma vez que VL e VC são diametralmente opostos, a voltagem
reativa total é VL-VC. É este vetor diferença eu está somado com VR para
encontrar VT mostrado em ciam no diagrama, e que é igual a ε
Já sabemos que εrms=10V. Agora podemos ver que também εrms é um
vetor soma de (VL-VC) e VR. Por causa da presença de R, o ângulo de fase
entre VT e I será arctan((VL-VC)/VR), e poderá variar de -90° até +90°.
2
Como sempre, o cálculo da voltagem e da corrente neste circuito será
baseado na aplicação da “Lei de Ohm”. As expressões básicas são:
=
=
=
=
Uma vez que temos um circuito série, o valor de I em cada expressão é o
mesmo, ou seja, I=IL=IC=IR e será o valor de referencia para os cálculos.
Precisarem também do valor de ω (=2πf) para determina XL e XC. Pra
f=1MHz,
ω =2πf = 6,2831853 × 1.000.000 = 6283185,3
e completando nossos cálculos temos:
=
1
=
=
(
−
&'(
&'(
=
=
&'(
= ,-(
−
=
1
6283185,3x220x10
%=
) +
&'(
= 6283185,3x0,000150 = 942,4778Ω
(942,4778 − 723,43156) + 100 % = 240,79297Ω
&'(
=
=
) +
=
10
= 41,529452)*
240,79297
= 0,041529452+942,4778 = 39,1405
&'(
&'(
= 723,43156Ω
= 0,041529452+723,43156 = 30,04371
&'(
.=
= 0,041529452+100 = 4,1529452
(39,1405 − 30,04371) + 4,1529452 % = 10
A voltagem do gerador obtida é exatamente 10V que é o valor
inicialmente especificado. Portanto nossos cálculos conferem e nossos
resultados são válidos.
Um resultado da adição de uma resistência ao circuito aumentar sua
impedância e, portanto reduzir a corrente através do circuito. Como isso
afeta a na ressonância, quando XL =XC?i
3
Efeito de R na ressonância
Nas frequências muito baixas, o
Capacitor C ser comportará como
um circuito aberto e virtualmente
nenhuma corrente atravessará o
circuito. Nas frequências altas o
indutor L se comportará como um
circuito aberto e nenhuma corrente
atravessará o circuito. Entretanto,
nas frequências intermediárias, XC e
XL terão valores moderados e a
diferença entre eles serão pequenas.
Na ressonância a diferença será zero
e apenas R irá limitar a corrente
fluindo no circuito.
O gráfico à direitas mostra os
valores os valores normalizados da
corrente que atravessa um circuito
RLC num intervalo de frequências
angulares que vai de 1% da
frequência de ressonância até 100
vezes a frequência de ressonância.
Fora deste intervalo, como pode ser
extrapolado do gráfico, nenhuma
corrente significante atravessará o circuito. Dentro deste range, a corrente
dependerá primariamente do valor de R.
Para obter ω0 igual a 1, temporariamente ajustamos os valores de L para
1 henry, C para 1 faraday e usamos a frequência em rad/s. Também
assumimos um valor normalizado de ε=1 volt. Desta forma podemos obter
facilmente os valores da corrente apenas ajustando o valor de R.
(Estes valores são usados apenas para obter um gráfico normalizado,
uma vez que temos o gráfico, podemos mudar os valores dos componentes e
o teremos ainda o mesmo comportamento do gráfico ao redor da frequência
de ressonância, desde que a razão L/C não se altere. Adiante veremos o que
acontece quando esta razão se altera.)
Em um circuito completamente normalizado, teremos R=1Ω. Assim
teremos uma corrente de 1 ampere fluindo no circuito na ressonância, como
indicado pela curva verde do gráfico. Da mesma forma, se ajustarmos o valor
de R para 2Ω, a corrente na ressonância será 0,5A, como mostrado na curva
azul.
As outras curvas mostram o que acontece se reduzimos o valor de R para
0,5Ω (curva amarela) e para 0,1Ω (curva vermelha).
4
Note que para baixos valores de R a corrente na ressonância atinge
valores de pico altos, mas cai rapidamente quando a frequência muda. Para
Valores maiores de R, a curva é mais “achatada” e temos correntes de
ressonância menores. Este é a relação comportamental entre a largura de
banda (intervalo de frequências para o qual a corrente diminui para 0,707 do
seu valor máximo) e corrente máxima e o valor de R é crítico para o controle
deste fator.
Mudando a relação L/C
Podemos mudar o valor da relação L/C sem mudar o valor da frequência
de ressonância. Para tanto devemos ter certeza de que o produto LC não se
altere. Neste caso, mudamos o valor das duas reatâncias pra uma dada
frequência qualquer se mudar a frequência de ressonância. Por exemplo, se
temos L=1H e C=1F, LC=1 e L/C=1. Entretanto se L=2H e C=0.5F, ainda
teremos LC=1, mas agora L/C=4. Ou, se L=0,5H e C=2F, L/C=0,25.
Mudando L e C dessa maneira, mudamos os valores de XL e XC na
ressonância e ao redor dela, sem mudar a frequência de ressonância. Desta
forma controlamos a impedância total do circuito nas proximidades da
frequência de ressonância e damos ao resistor R, maior ou menor controle
sobre a corrente na ressonância. O resultado é a mudança no intervalo de
frequências em que o circuito irá conduzir quantidades significantes de
corrente. Os três gráficos a seguir ilustram isto:
L/C=4
L/C=1
L/C=0,25
Quando fazemos os gráficos desta maneira, torna-se claro que quando
L/C cresce, limitamos o circuito a permitir passagem de corrente numa banda
num intervalo de frequências cada vez menor (largura de banda cada vez
menor). Por outro lado, se reduzimos o valor de L/C alargamos a banda que
permite passagem de corrente significativa no circuito. Isto é muito
importante quando lidamos com este tipo de circuito trabalhando como
filtros, e especialmente em circuitos sintonizados.
5
Circuito RLC paralelo
O diagrama ao lado mostra três componentes
conectados a um gerador, em paralelo. Mantendo
consistência com nossos exemplos anteriores,
usaremos neste exemplo os mesmos valores dos
componentes, exceto para R.:
εrms = 10V
f = 1MHz
L = 150µH
C = 220pF
R = 100Ω
(ω=6283185,3rad/s)
(XL = 942,4778Ω)
(XC = 723,43156Ω)
E de acordo com a “Lei de Ohm”:
&'(
&'(
=
=
&'(
&'(
=
=
10
= 0,01061033 = 10,61033mA
942,4778
10
= 0,013823008 = 13,823008mA
723,431568
&'(
=
&'(
=
10
= 0,01 = 10mA
100
Se medirmos a corrente fornecida pela fonte encontraremos
I=10.503395mA, apenas 0,5mA a mais do que a corrente que atravessa o
resistor, IR.
Temos agora 10mA de corrente resistiva e aproximadamente 3,2mA de
corrente reativa e a corrente total medida é apenas 10,5mA. Já estava na
hora de esperarmos por isso, pois estamos familiarizados com as razões para
tal aparente discrepância. Mesmo assim vamos completar o exercício e
estudar o circuito com um pouco mais de detalhes.
a
a
Como já vimos, o diagrama de vetores ao lado conta-nos
estória. Como temos um circuito paralelo, a voltagem V (ε) é
mesma sobre todos os componentes do circuito Agora é a
corrente que possui fases e amplitudes diferentes em cada
componente.
Como a voltagem sobre os componentes é a mesma,
usaremo-la como referência (ângulo de fase = 0°).A
corrente sobre o resistor está em fase com a voltagem,
portanto IR aparece também com fase 0°. A corrente no
indutor está atrasada em relação à voltagem e aparece com fase -90°. A
corrente no capacitor se adianta em relação à voltagem, e aparece com fase
+90°. Como IC é maior do que IL, a corrente reativa resultante é capacitiva,
co fase +90°.
6
Agora, a corrente total IT (I) é o vetor soma da corrente reativa com
a corrente resistiva. Uma vez que R é significativamente maior do que (IC
– IL), a impedância total Z do circuito é preponderantemente resistiva e o
vetor representativo de I tem um pequeno ângulo de fase, como
mostrado na figura.
Como sempre, com os vetores acima temos uma clara ideia de como
correntes atravessam cada componente do circuito, quais são as relações
entre elas e com a corrente total fornecida pela fonte. De fato poderíamos
desenhar os vetores em escala com precisão suficiente para realizarmos os
cálculos e determinar suas magnitudes e ângulos de fase, entretanto, pela
limitação em precisão destas medidas é sempre melhor calcular
algebricamente e comparar os resultados finais com os valores do circuito
real.
Continuemos então com as relações básicas:
=,
1
+
2 = 34567
1
onde IX é a reatância total e φ é o ângulo de fase da corrente I.
Substituindo os valores numéricos que temos, obtemos:
=
(13,823008 − 10,61033) + 10 = 10,503395)*
2 = 34567
13,8230080 − 10,61033
= 345670,3
10
Estes valores conferem com os valores medidos para a corrente fornecida
pela fonte e também com o diagrama de vetores mostrado anteriormente.
Quando XL = XC
Quando um circuito deste tipo opera na ressonância, temos que XL=XC, o
que implica que IL=IC. Portanto, IC-IL=0, e a corrente fornecida pela fonte é
IR.
Este é de fato o caso. Na ressonância, uma corrente circula por L e C
sem deixar estes dois componentes, e a fonte somente precisa fornecer
corrente para compensar as perdas. Neste caso, R representa as perdas
energéticas dentro do circuito e é o único componente que drena
corrente da fonte. A impedância efetiva do circuito é nada mais do que R
e a corrente fornecida pela fonte está em fase com a voltagem.