C´ALCULO FUNCIONAL DE MATRIZES

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CÁLCULO FUNCIONAL DE MATRIZES
Equipe de Cálculo IV do Departamento de Matemática
24 de Setembro de 2009
Vamos resolver os problemas discreto e contı́nuo
v 0 (t) = Av(t),
v(0) dado
un+1 = Aun ,
u0 dado
onde A é uma matriz d × d fixa e u e v são vetores com d coordenadas. Abstratamente, pelo menos, as soluções são fáceis de escrever:
un = An u0 e v(t) = etA v(0)
(confira!). Queremos agora mostrar receitas para calcular funções f (A) de uma
matriz A (os exemplos que nos interessam são f (x) = xn e f (x) = etx ).
Receita: Calcule os autovalores λ1 , λ2 , . . . , λk de A, (isto é, as soluções de
det(A − λI) = 0) junto com as multiplicidades m1 , m2 , . . . , mk . Agora, você deve
procurar um polinômio p tal que
p(λ1 ) = f (λ1 ), p0 (λ1 ) = f 0 (λ1 ), . . . , p(m1 −1) (λ1 ) = f (m1 −1) (λ1 ),
..
.
p(λk ) = f (λk ), p0 (λk ) = f 0 (λk ), . . . , p(mk −1) (λk ) = f (mk −1) (λk ).
A matriz procurada, f (A), é simplesmente p(A).
Exemplo: Se


3 −4 −1
1 ,
A =  −3 5
21 −32 −7
λ1 = 1, m1 = 1, λ2 = 0, m2 = 2.
Para calcular etA , basta obter p tal que p(1) = et1 , p(0) = et·0 , p0 (0) = tet·0 .
Para satisfazer três pedidos, um polinômio de grau dois, ax2 + bx + c, é suficiente.
De fato, faça c = 1, b = t, a = et − t − 1. Moral:
etA = (et − t − 1)A2 + tA + 1 · I.
1
1o Atalho: Se a matriz for diagonalizável, calcule os autovalores λ1 , λ2 , . . . , λk
e procure um polinômio p tal que
p(λ1 ) = f (λ1 ), . . . , p(λk ) = f (λk )
De novo f (A) = p(A).
Aliás, matrizes simétricas são diagonalizáveis, assim como matrizes com todos
seus autovalores diferentes entre si.
Exemplo: Se


2 2 3
A =  2 5 6 ,
3 6 10
seus autovalores são 1 e 15 (confira: qual é o autovalor duplo?). Como A é
simétrica, é diagonalizável. Para calcular A1000 , procure um polinômio levando 1
a 11000 = 1 e 15 a 151000 . Uma mera reta faz isto:
p(x) =
e
151000 − 1
15 − 151000
x+
.
14
14

A1000

2α + β
2α
3α

5α + β
6α
= p(A) =  2α
3α
6α
10α + β
onde
151000 − 1
15 − 151000
, β=
.
14
14
Note que se tivéssemos seguido a receita principal terı́amos que achar um polinômio
de grau dois enquanto no presente caso um de primeiro grau é suficiente.
2o atalho: Suponha que saibamos o polinômio minimal de A e que suas raı́zes
sejam λ1 , λ2 , . . . , λk com multiplicidades m1 , m2 , . . . , mk . Procedemos agora com
estes dados exatamente como na receita principal. A vantagem é que a multiplicidade de uma raiz do polinômio minimal pode ser menor que a multiplicidade de
uma raiz do polinômio caracterı́stico. Assim o grau do polinômio procurado poderia ser menor do que seria dado pela receita principal. Alias, o primeiro atalho é
um caso particular deste pois o polinômio minimal de uma matriz diagonalizável
é (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λk ) onde λ1 , λ2 , . . . , λk são os autovalores.
Exemplo: Se


1 0 1 0
 0 2 0 0 

A=
 0 0 1 0 ,
0 0 0 2
α=
o polinômio minimal é (λ − 1)2 (λ − 2). Para calcular etA devemos achar um
polinômio de grau dois p(x) = ax2 + bx + c tal que p(1) = et , p0 (1) = tet e
2
p(2) = e2t . Uma conta revela:
a = e2t − et (t + 1)
b = et (3t + 2) − 2e2t
c = e2t − 2tet
e assim etA = aA2 + bA + cI.
3