Teorema de Laplace / Regra de Chió

Determinante de matrizes de ordem n (Teorema de Laplace / Regra de Chió)
Teorema de Laplace- Permite o cálculo de determinantes de ordem n (n≥ 2), a partir de
uma linha ou uma coluna da matriz. Entretanto, para compreendê-lo, precisaremos
definir:
Cofator de um elemento aij
Dada a matriz quadrada A, de ordem n (n≥), e uma elemento aij de A, chama-se cofator
do elemento aij ao produto de (-1)i+j pelo determinante que se obtém de A quando se
eliminam a linha i e a coluna j.
Por exemplo, para calcular o cofator do elemento a12, sendo
Logo o cofator de a12 será:
Exemplo:
Regra de Chió
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n(n≥2) também pode ser calculado
através de uma regra prática, denominada regra de Chió.
Para poder aplicá-la, a matriz cujo determinante se quer calcular deve possuir um
elemento aij =1.
Consiste nos seguintes passos:
1- Elimina-se a linha i e a coluna j que se cruzam no elemento 1.
2- Subtrai-se, de cada elemento da matriz obtida no passo 1, o produto dos elementos
que estejam nas filas eliminadas e que pertençam à linha e à coluna do elemento
considerado.
3- Calcula-se o determinante da matriz obtida de acordo com os passos 1 e 2, multiplicase o resultado por (-1)i+j
Exemplo:
Propriedades dos determinantes
1ª propriedade- O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua
transposta.
2ª propriedade: Se os elementos de uma fila de uma matriz quadrada forem iguais a
zero, seu determinante será nulo.
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada tem duas filas paralelas iguais, seu
determinante será nulo.
Exemplo:
4ª propriedade: Se duas filas paralelas de uma matriz quadrada têm seus elementos
correspondentes proporcionais, seu determinante é nulo.
5ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila de uma matriz
quadrada por um número real, seu determinante ficará multiplicado por esse número.
Exemplo:
6ª propriedade: Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de uma matriz, o
determinante muda de sinal.
7ª propriedade: Se todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal de uma
matriz quadrada forem iguais a zero, o determinante da matriz será o produto dos
elementos da diagonal principal.
8ª propriedade: Multiplicando-se uma fila qualquer de uma matriz A por um número real
diferente de zero e adicionando-se o resultado a outra fila paralela, seu determinante
não se altera.
9ª propriedade: Teorema de Binet- O determinante do produto de duas matrizes é igual
ao produto dos determinantes das matrizes.
det(A.B) = det A . det B
10 propriedade: determinante da matriz identidade
Se In é matriz identidade, então det In = 1.