resolução - Nacional Online

UFU – AGOSTO/2012
Considere o conjunto numérico U cujos eleM
mentos são todos os números naturais de dois
A
algarismos e os subconjuntos A e B de U, saT
tisfazendo:
E
M
I - A é formado por todos os elementos tais
Á
que para qualquer par de elementos distinT
tos x e y, em A, tem-se que mdc(x,y) = 33;
I
II - B é formado por todos os elementos que
C
são divisores de 132.
A
Nessas condições, faça o que se pede.
A) Determine quais são todos os elementos
da interseção A ∩ B.
B) Numerando cada uma das bolas idênticas
de uma urna com um número correspondendo a cada um dos elementos do conjunto U – (A ∪ B) e escolhendo-se ao acaso
uma delas, determine a probabilidade de
a bola escolhida ter numeração ímpar.
Resolução:
Considere o conjunto U, formado pelos números naturais de 2 algarismos:
U = {10, 11, 12, ..., 99}
De acordo com as condições citadas, temos:
A e B são subconjuntos de U.
Como mdc (x,y) = 33, ∀ {x, y} ⊂ A → A = {33, 66, 99}
Divisores do número 132:
D(132) = {1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132}
B é o conjunto dos divisores de 132 com 2 algarismos. → B = {11,12,22,33,44,66}
A)A ∩ B = {33,66}
Considere o conjunto diferença: U – (A ? B),
dele podemos concluir que:
U = {10,11,12,...,99}
U possui 90 elementos, sendo 45 pares e
45 ímpares.
A ∪ B = {11,12,22,33,44,66,99}
A U B possui 7 elementos, sendo 4 pares
e 3 ímpares.
Logo o conjunto diferença possui 90 – 7 = 83
elementos, sendo 41 pares e 42 ímpares.
B) Portanto a probabilidade de uma bola sorteada ser ímpar é igual a: 42
83