Álgebra Linear e Geometria Analıtica E Álgebra Linear e Geometria

1–3
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica E
Exame – 08 de Fevereiro de 2007
Departamento de Matemática
PREENCHA DE FORMA BEM LEGÍVEL
Respostas
Nome:
A
Número de caderno:
B
C
D
1.
2.
Atenção
3.
- Relativamente às questões que queira responder, assinale
com um X a opção que considerar adequada.
4.
5.
- Caso assinale uma opção e depois queira alterá-la, risque-a e
assinale com um X a sua nova opção.
- Para cada um dos grupos de escolha múltipla, a cotação
atribuı́da é a seguinte:
• Se não responder ou assinalar com um X mais do que
uma opção: 0 valores;
• Se responder correctamente: +1, 5 valores;
• Se responder erradamente: −0, 5 valores.
- A classificação da parte de escolha múltipla (Grupos 1 a 5)
é dada por max{0, clM } , onde clM designa a soma das classificações obtidas nos 5 grupos de escolha múltipla.
¡
¢
¡
¢
1. Considere a base B1 = (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) do espaço vectorial real R3 e as bases B2 = (1, 0), (1, 1)
¡
¢
e B3 = (1, 0), (3, 1) do espaço vectorial real R2 . Seja f : R3 −→ R2 a aplicação linear definida por
f (a, b, c) = (a + b, b − c)
para todo (a, b, c) ∈ R3 .
Apenas uma das seguintes afirmações é FALSA. Indique qual é.
"
A M(f ; B1 , B2 ) =
B M(idR2 ; B2 , B3 ) =
"
C M(f ; B1 , B2 ) =
"
D M(f ; B1 , B3 ) =
2
1
1
#
0 0 −1
"
#
1 −2
0
1
−2
0
1
1
−2
0
1
1
#
.
.
M(f ; B1 , B3 ).
#
M(f ; B1 , B2 ).
¤
¡
£Continua no verso desta folha ¢
Departamento de Matemática FCT-UNL
ALGA E 2006/07 – Exame
2–3
2. Para α, β ∈ R, considere o sistema de equações lineares, nas incógnitas x, y, z, sobre R,


x+y+z =1



 x + (β + 1)y + z = 1
.

x + y + (α + 3)z = β




2x + 2y + 2z = 2
Apenas uma das seguintes afirmações é FALSA. Indique qual é.
A Se α 6= −2 e β = 0 então o sistema é impossı́vel.
B Se α 6= −2 e β 6= 0 então o sistema é possı́vel e determinado.
C Se α = −2 e β 6= 1 então o sistema é impossı́vel.
D Se α = −2 e β = 1 então o conjunto solução do sistema é {(1 − z, 0, z) : z ∈ R}.
3. No espaço vectorial real R4 considere o subespaço
©
ª
F = (a, b, c, d) ∈ R4 : a + 2c − d = 0 ∧ a + b + 3c = 0 .
Apenas uma das seguintes afirmações é FALSA. Indique qual é.
A dim F = 2.
B (−2, −4, 2, 2) 6∈ F .
­
®
C F = (−2, −1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (−1, −2, 1, 1) .
¡
¢
D (−2, −1, 1, 0), (1, −1, 0, 1) é uma base de F .

0

 2
4. Considere a matriz A = 

 0
0
1
8
0
9
0
0
0
4
8


9 
 ∈ M4×4 (R).

3 
0
Apenas uma das seguintes afirmações é FALSA. Indique qual é.
A A é invertı́vel.
B |A| = 24.
C |2A| = 24 |A|.
D | − A| = −|A|.
5. Em R3 consideremos o referencial canónico. Sejam R1 a recta com equação vectorial
(x, y, z) = (3, 0, 1) + α(1, 0, 0), α ∈ R
e R2 a recta com equações cartesianas
(
x−1=0
y−z+1=0
.
Apenas uma das seguintes afirmações é FALSA. Indique qual é.
(
y=0
A
é uma representação cartesiana da recta R1 .
z−1=0
B O ponto (1, 2, 4) é um ponto da recta R2 .
C O ponto (1, 0, 1) é um ponto comum às rectas R1 e R2 .
D (x, y, z) = (1, −1, 0) + β(0, 1, 1), com β ∈ R, é uma equação vectorial da recta R2 .
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Álgebra Linear e Geometria Analı́tica E
Exame – 08 de Fevereiro de 2007
Departamento de Matemática
Só serão consideradas as respostas devidamente justificadas. Mude de folha sempre que mudar de grupo.
[Cotação]



1
0
0


6. Considere a matriz A = 
 4 0 1  ∈ M3×3 (R).
0
1
0
[2.0]
(a) Justifique que A é invertı́vel e, utilizando a matriz adj A, determine A−1 .
[1.5]
(b) Determine matrizes elementares E1 , E2 ∈ M3×3 (R) tais que E2 E1 = A−1 .
¤
¡
£Mude de Folha ¢



1
0
1


7. Considere a matriz A = 
 0 2 0  ∈ M3×3 (R).
1
0
1
[1.0]
(a) Calcule os valores próprios de A.
[2.0]
(b) Determine uma base de cada um dos subespaços próprios de A.
[1.5]
(c) Mostre que A é diagonalizável e indique uma matriz invertı́vel P ∈ M3×3 (R) e uma matriz diagonal
D ∈ M3×3 (R) tais que P −1 AP = D.
¤
¡
£Mude de Folha ¢
8. Para cada α ∈ R e β ∈ R considere a aplicação linear fα,β : R3 −→ R3 definida por
³
´
fα,β (a, b, c) = (α + 1)a + c, (α + 1)a + (β − 2)b, (β − 2)b + αc
para todo (a, b, c) ∈ R3 .
[1.5]
(a) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais fα,β é injectiva.
[1.0]
(b) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais fα,β é sobrejectiva.
¤
¡
£Mude de Folha ¢
[2.0]
9. Sejam A, B ∈ Mn×n (R), com n≥2, matrizes invertı́veis. Mostre que adj(AB) = (adj B)(adj A).
¤ ¡
£Fim ¢