Mecânica Geral

17/02/2016
Mecânica Geral
Capítulo 2 – Estática de Partículas
Resultante de Duas Forças
• Força: ação de um corpo sobre outro;
caracterizada por seu ponto de aplicação,
sua intensidade, sua direção, e seu
sentido.
• Evidências experimentais mostram que o
efeito conjunto de duas forças pode ser
representado por uma única força resultante.
• A resultante de duas forças é equivalente à
diagonal de um paralelogramo que contém
as forças em lados adjacentes.
• Força é uma grandeza vetorial.
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Vetores
• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade,
direção e sentido e que se somam conforme a lei do
paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades,
acelerações.grandezas físicas que têm intensidade mas
• Escalares:
não têm direção. Exemplos: massa, volume e
temperatura.
• Classificações de vetores:
- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos
e não podem ser deslocados sem que se alterem as
condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaço
sem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo
de suas linhas de ação sem que se alterem as
condições do Problema.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo
sentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua
mesma intensidade e sentido oposto.
2-3
Adição de Vetores
• Regra do paralelogramo para soma de
vetores
• Regra do triângulo para soma de
vetores
• Lei dos cossenos,
R 2 = P 2 + Q 2 − 2 PQ cos B − regraTriangulo
R 2 = P 2 + Q 2 + 2 PQ cos( PAˆ Q ) − regraParale log ramo
r r r
R = P +Q
• Lei dos senos,
senA senB senC
=
=
Q
R
P
• A adição de vetores é comutativa,
r r r r
P +Q = Q+ P
• Subtração de vetores
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2
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Adição de Vetores
• Soma de três ou mais vetores por meio da
aplicação sucessiva da regra do triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou
mais vetores.
• A adição de vetores é associativa,
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
2-5
Problema Resolvido 2.1
SOLUÇÃO:
As duas forças atuam sobre um
parafuso A. Determine sua
resultante.
• Solução gráfica - construímos um
paralelogramo com lados nas mesmas
direções de P e Q desenhados em
escala. Avaliamos graficamente a
resultante que é equivalente à diagonal
em direção e proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a
regra do triângulo para soma de vetores
em conjunto com a lei dos cossenos ou a
lei dos senos para encontrar a resultante
de P e Q.
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Problema Resolvido 2.2
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a
Regra do Paralelogramo para soma vetorial.
O paralelogramo tem lados nas direções dos
dois cabos e diagonal na direção do eixo da
barcaça com comprimento proporcional a
22.250 N.
Uma barcaça é puxada por dois
rebocadores. Se a resultante das
forças exercidas pelos
rebocadores é 22.250 N dirigida
ao longo do eixo da barcaça,
determine:
a) A força de tração em cada um
dos cabos para α = 45o,
b) O valor de α para o qual a
tração no cabo 2 é mínima.
• Obtemos uma solução trigonométrica
aplicando a Regra do Triângulo para soma
vetorial. Com a intensidade e a direção da
resultante conhecida e as direções dos
outros dois lados, paralelas aos cabos
dados, aplicamos a Lei dos Senos para
encontrar as trações nos cabos.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é
determinado aplicando-se a Regra do Triângulo e observando o efeito de variações em
α.
2-7
Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
• Pode-se decompor uma força em dois componentes
perpendiculares de forma que
r or paralelogramo
resultante é um retângulo.Fx e Fy são chamados de
componentes retangulares e
r r
r
F = Fx + Fy
• rDefinimos
então os vetores unitários perpendiculares
r
que são paralelos aos eixos x e y.
iej
• Os componentes de um vetor podem ser expressos
como produtos dos vetores unitários pelas
intensidades dos componentes do vetor.
r
r
r
F = Fx i + Fy j
r
Fx e Fy são chamados de componentes escalares deF
.
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Adição de Forças pela Soma dos Componentes
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais
forças concorrentes,
r r r r
R = P +Q+ S
• Para isso, decompomos cada força em
componentes retangulares
r
r
r
r
r
r
r
r
R x i + R y j = Px i + Py j + Q x i + Q y j + S x i + S y j
r
r
= ( Px + Q x + S x )i + (Py + Q y + S y ) j
• Os componentes escalares da resultante são
iguais à soma dos componentes escalares
correspondentes das forças dadas.
R x = Px + Q x + S x
R y = Py + Q y + S y
= ∑ Fx
= ∑ Fy
• Para encontrar a intensidade e a direção da
resultante, 2
R
R = Rx + Ry2
θ = arctg y
Rx
2-9
Problema Resolvido 2.3
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em
componentes retangulares.
• Determinamos os componentes da
resultante somando os componentes
correspondentes de cada uma das
forças.
Quatro forças atuam no parafuso A,
como mostrado na figura. Determine a
resultante das quatro forças no
parafuso.
• Calculamos a intensidade e a direção
da resultante.
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Equilíbrio de uma Partícula
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é
zero, a partícula está em equilíbrio.
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a
partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em
linha reta.
• Para uma partícula em
equilí-brio sob a ação de
duas forças, ambas as forças
devem ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Para uma partícula sob a ação de três ou mais
forças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução
algébrica:
r
r
R = ∑F = 0
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
2 - 11
Diagramas de Corpo Livre
Diagrama espacial : Um esboço
mostrando as condições físicas
do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço
mostrando apenas as forças que atuam
sobre a partícula escolhida para
análise.
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Problema Resolvido 2.4
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre
para a partícula na junção da corda e do
cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio
criando um polígono fechado a partir
das forças aplicadas na partícula.
Numa operação de descarregamento
de um navio, um automóvel de
15.750 N é sustentado por um cabo.
Uma corda é amarrada ao cabo em A
e puxada para centrar o automóvel
para a posição desejada. Qual é a
tração na corda?
• Aplicamos relações trigonométricas
para determinar a intensidade das
forças desconhecidas.
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Problema Resolvido 2.6
SOLUÇÃO:
Deseja-se determinar a força de arrasto
no casco de um novo barco a vela a
uma dada velocidade. Um modelo é
colocado em um canal de teste e são
usados três cabos para alinhar sua proa
com a linha de centro do canal. A uma
dada velocidade, a tração é de 180 N
no cabo AB e de 270 N no cabo AE.
• Escolhendo o casco como um corpo
livre, desenhamos o diagrama de
corpo livre.
• Expressamos as condições de
equilíbrio para o casco escrevendo que
a resultante de todas as forças é zero.
• Decompomos a equação vetorial de
equilíbrio em duas equações para as
componentes. Resolvemos para as
trações desconhecidas nos dois
cabos.
Determine a força de arrasto exercida
no casco e a tração no cabo AC.
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Componentes Retangulares no Espaço
r
• O vetorF está
contido no plano
OBAC.
r
• Decompomos F em
uma componente
horizontal e outra
vertical
• Decompomos F h
componentes
retangulares
Fx = Fh cos φ
F y = F cos θ y
Fh = Fsen θ y
em
= Fsenθ y cos φ
Fy = Fhsen φ
= Fsen θ y sen φ
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Componentes Retangulares no Espaço
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Componentes Retangulares no Espaço
Componentes Retangulares no Espaço
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Cossenos diretores
Cossenos diretores
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Cossenos diretores
Exercício
2.71 e 2.72
Determinar as componentes x,y
e z das forças de 750N e 900N e
os ângulos diretores , que as forças formam com os
eixos.
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Componentes Retangulares no Espaço
A direção de uma força é definida
pelas coordenadas de dois pontos,
M (x1 , y1 , z1 ) e N (x2 , y2 , z 2 )
em sua linha de ação.
r
d = vetor que liga M e N
r
r
r
= d xi + d y j + d z k
d x = x2 − x1 d y = y2 − y1 d z = z2 − z1
r
r
F = Fλ
r
r 1 r
r
λ = d xi + d y j + d z k
d
Fd y
Fd x
Fd z
Fx =
Fz =
Fy =
d
d
d
(
)
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Problema Resolvido 2.7
SOLUÇÃO:
• Considerando a posição relativa dos
pontos A e B, determinamos o vetor
unitário orientado de A para B.
• Utilizamos o vetor unitário para
determinar os componentes da força
atuando em A.
A tração no cabo de sustentação da
torre é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força
que atua no parafuso em A,
• Observando que os componentes do
vetor unitário são os cossenos que
orientam a direção do vetor,
calculamos os ângulos
correspondentes.
b) os ângulos θx, θy e θz que definem a
direção da força.
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Estática da partícula no espaço
•
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Exercício
•
Um cilindro de 200 kg é
sustentado por dois cabos
AB e AC que estão presos
ao topo de um muro como
mostrado na figura. Uma
força horizontal P segura o
cilindro na posição
mostrada. Determine a
magnitude de P e das
trações nos cabos.
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17/02/2016
Bibliografia
Beer,
Johnston,
Mazurek,
Eisenberg:
• Mecânica
Vetorial para
Engenheiros:
Estática
• 9ª Edição
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