4. Gravitação

LISTA de GRAVITAÇÃO
PROFESSOR ANDRÉ
1. (Ufrgs 2013) Em 6 de agosto de 2012, o jipe “Curiosity" pousou em Marte. Em um dos mais espetaculares
empreendimentos da era espacial, o veículo foi colocado na superfície do planeta vermelho com muita precisão.
Diferentemente das missões anteriores, nesta, depois da usual descida balística na atmosfera do planeta e da
diminuição da velocidade provocada por um enorme paraquedas, o veículo de quase 900 kg de massa, a partir de 20
m de altura, foi suave e lentamente baixado até o solo, suspenso por três cabos, por um tipo de guindaste voador
estabilizado no ar por meio de 4 pares de foguetes direcionais. A ilustração abaixo representa o evento.
O cabo ondulado que aparece na figura serve apenas para comunicação e transmissão de energia entre os módulos.
Considerando as seguintes razões: massa da Terra/massa de Marte ~ 10 e raio médio da Terra/raio médio de Marte
~ 2, a comparação com descida similar, realizada na superfície terrestre, resulta que a razão correta entre a tensão
em cada cabo de suspensão do jipe em Marte e na Terra (T M/TT) é, aproximadamente, de
a) 0,1.
b) 0,2.
c) 0,4.
d) 2,5.
e) 5,0.
2. (Unesp 2013) No dia 5 de junho de 2012, pôde-se observar, de determinadas regiões da Terra, o fenômeno
celeste chamado trânsito de Vênus, cuja próxima ocorrência se dará em 2117.
Tal fenômeno só é possível porque as órbitas de Vênus e da Terra, em torno do Sol, são aproximadamente
coplanares, e porque o raio médio da órbita de Vênus é menor que o da Terra.
Portanto, quando comparado com a Terra, Vênus tem
a) o mesmo período de rotação em torno do Sol.
b) menor período de rotação em torno do Sol.
c) menor velocidade angular média na rotação em torno do Sol.
d) menor velocidade escalar média na rotação em torno do Sol.
e) menor frequência de rotação em torno do Sol.
3. (G1 - cftmg 2013)A terceira Lei de Kepler estabelece uma proporção direta entre o quadrado do período de
translação de um planeta em torno do sol e o cubo do raio médio da órbita. A partir dessa Lei, é correto afirmar que
a) o movimento de translação, em uma órbita específica, é mais rápido quando o planeta está mais próximo do sol.
b) a velocidade média de translação é maior para os planetas em órbitas mais distantes do Sol.
c) as áreas varridas pelo raio orbital são iguais durante o movimento de translação.
d) as posições do sol estão nos focos das órbitas de translação elípticas.
4. (Ufpr 2013) Dois satélites, denominados de SA e SB, estão orbitando um planeta P. Os dois satélites são esféricos
e possuem tamanhos e massas iguais. O satélite SB possui uma órbita perfeitamente circular e o satélite SA uma
órbita elíptica, conforme mostra a figura abaixo.
Em relação ao movimento desses dois satélites, ao longo de suas respectivas órbitas, considere as seguintes
afirmativas:
1. Os módulos da força gravitacional entre o satélite S A e o planeta P e entre o satélite SB e o planeta P são
constantes.
2. A energia potencial gravitacional entre o satélite SA e o satélite SB é variável.
3. A energia cinética e a velocidade angular são constantes para ambos os satélites.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
5. (Fgv 2013) A massa da Terra é de 6,0  1024 kg , e a de Netuno é de 1,0  1026 kg . A distância média da Terra ao
Sol é de 1,5  1011 m , e a de Netuno ao Sol é de 4,5  1012 m . A razão entre as forças de interação Sol-Terra e SolNetuno, nessa ordem, é mais próxima de
a) 0,05.
b) 0,5.
c) 5.
d) 50.
e) 500.
6. (Enem 2012)A característica que permite identificar um planeta no céu é o seu movimento relativo às estrelas
fixas. Se observarmos a posição de um planeta por vários dias, verificaremos que sua posição em relação às estrelas
fixas se modifica regularmente. A figura destaca o movimento de Marte observado em intervalos de 10 dias,
registrado da Terra.
Qual a causa da forma da trajetória do planeta Marte registrada na figura?
a) A maior velocidade orbital da Terra faz com que, em certas épocas, ela ultrapasse Marte.
b) A presença de outras estrelas faz com que sua trajetória seja desviada por meio da atração gravitacional.
c) A órbita de Marte, em torno do Sol, possui uma forma elíptica mais acentuada que a dos demais planetas.
d) A atração gravitacional entre a Terra e Marte faz com que este planeta apresente uma órbita irregular em torno do
Sol.
e) A proximidade de Marte com Júpiter, em algumas épocas do ano, faz com que a atração gravitacional de Júpiter
interfira em seu movimento.
7. (Uespi 2012) Um planeta orbita em um movimento circular uniforme de período T e raio R, com centro em uma
estrela. Se o período do movimento do planeta aumentar para 8T, por qual fator o raio da sua órbita será
multiplicado?
a) 1/4
b) 1/2
c) 2
d) 4
e) 8
8. (Epcar (Afa) 2012) A tabela a seguir resume alguns dados sobre dois satélites de Júpiter.
Nome
Diâmetro
aproximado (km)
Raio médio da órbita em relação
ao centro de Júpiter (km)
Io
3,64  103
4,20  105
Europa
3,14  103
6,72  105
Sabendo-se que o período orbital de Io é de aproximadamente 1,8 dia terrestre, pode-se afirmar que o período orbital
de Europa expresso em dia(s) terrestre(s), é um valor mais próximo de
a) 0,90
b) 1,50
c) 3,60
d) 7,20
9. (Ufpa 2012)O Brasil possui um centro de lançamento de satélites em Alcântara (MA), pois, devido à rotação da
Terra, quanto mais próximo da linha do Equador for lançado um foguete, menor a variação de velocidade necessária
para que este entre em órbita. A esse respeito, considere um sistema de referência inercial em que o centro da Terra
está em repouso, estime tanto o módulo da velocidade VE de um ponto da superfície da Terra na linha do Equador
4
quanto o módulo da velocidade VS de um satélite cuja órbita tem um raio de 1,29 x 10 Km. É correto afirmar que VE é
aproximadamente
Obs.: Considere que o perímetro da Terra no Equador é 40 080 Km, que a aceleração da gravidade na órbita do
4
2
satélite é 3,1 x 10 Km/h e que a Terra dá uma volta completa a cada 24 horas.
a) 1 % de VS
b) 2 % de VS
c) 4 % de VS
d) 6 % de VS
e) 8 % de VS
2
10. (Ufrgs 2012) Considerando que o módulo da aceleração da gravidade na Terra é igual a 10 m/s , é correto
afirmar que, se existisse um planeta cuja massa e cujo raio fossem quatro vezes superiores aos da Terra, a
aceleração da gravidade seria de
2
a) 2,5 m/s .
2
b) 5 m/s .
2
c) 10 m/s .
2
d) 20 m/s .
2
e) 40 m/s .
11. (Espcex (Aman) 2012)Consideramos que o planeta Marte possui um décimo da massa da Terra e um raio igual à
metade do raio do nosso planeta. Se o módulo da força gravitacional sobre um astronauta na superfície da Terra é
igual a 700 N, na superfície de Marte seria igual a:
a) 700 N
b) 280 N
c) 140 N
d) 70 N
e) 17,5 N
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a
situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são
circulares, que o raio da órbita terrestre (RT ) mede 1,5  1011m e que o raio da órbita de Júpiter (RJ ) equivale a
7,5  1011m .
12. (Unicamp 2012)De acordo com a terceira lei de Kepler, o período de revolução e o raio da órbita desses planetas
2
3
T 
R 
em torno do Sol obedecem à relação  J    J  em que em que TJ e TT são os períodos de Júpiter e da Terra,
T
 T
 RT 
respectivamente. Considerando as órbitas circulares representadas na figura, o valor de TJ em anos terrestres é mais
próximo de
a) 0,1.
b) 5.
c) 12.
d) 125.
mm
13. (Unicamp 2012)A força gravitacional entre dois corpos de massa m1 e m2 tem módulo F  G 1 2 , em que r é a
r2
distância entre eles e G  6,7  1011
Nm2
2
kg
. Sabendo que a massa de Júpiter é mJ  2,0  1027 kg e que a massa da
24
Terra é mT  6,0  10 kg , o módulo da força gravitacional entre Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade
é
a) 1,4  1018 N
b) 2,2  1018 N
c) 3,5  1019 N
d) 1,3  1030 N
14. (Unicamp simulado 2011)Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a
−11
aceleração gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M , dada por g  G M 2 , sendo G = 6,7 x 10
d
2
2
Nm /kg a constante de gravitação universal. Sabendo-se o valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade
24
na superfície da Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, Mt= 6,0 x 10 kg.
 
2
A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra é igual a g = 0,25m/s .
A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de
3
a) 1,7 x 10 km.
4
b) 4,0 x 10 km.
3
c) 7,0 x 10 km.
5
d) 3,8 x 10 km.
15. (Uftm 2011)No sistema solar, Netuno é o planeta mais distante do Sol e, apesar de ter um raio 4 vezes maior e
uma massa 18 vezes maior do que a Terra, não é visível a olho nu. Considerando a Terra e Netuno esféricos e
2
sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra vale 10 m/s , pode-se afirmar que a intensidade da
2
aceleração da gravidade criada por Netuno em sua superfície é, em m/s , aproximadamente,
a) 9.
b) 11.
c) 22.
d) 36.
e) 45.
GABARITO e RESOLUÇÃO
Resposta da questão 1:
[C]
Desenhando as forças que atuam no jipe:


P : peso do jipe; T : tensão em um dos cabos.



Analisando os vetores velocidade ( V ), força resultante ( R ) e aceleração ( a ) do jipe, sendo que ele desce em
movimento retardado:


m.a  m.g
Aplicando a Segunda Lei de Newton: R  m.a  3T  P  m.a  T 
, sendo a aceleração (a) igual em todos
3
os casos, pois temos os mesmos 20m para parar o jipe com a mesma velocidade inicial.
Marte: TM 
m.a  m.gM
3
Terra: TT 
m.a  m.gT
3
Lembrando que g 
gM 
G.MM
rM2
e gT 
G.M
r2
G.MT
, onde M é a massa do planeta e r o raio do planeta.
rT 2
Como MT  10MM e rT  2rM , teremos:
G.MT
G.10MM
G.10MM
gT 
 gT 
 gT 
 gT  2,5.gM
2
2
rT
(2rM )
4rM2
Lembrado que: TT 
m.a  m.gT
m.a  m.gM
e TM 
3
3
m.a  m.gM
TM
T
a  gM
3

 M 
TT m.a  m.gT
TT a  gT
3
Aplicando gT  2,5.gM :
TM a  gM
T
a  gM
T

 M 
 M  0,4
TT a  gT
TT a  2,5.gM
TT
Resposta da questão 2:
[B]
– Sendo r o raio médio da órbita e T o período de translação do planeta,analisando a 3ª Lei de Kepler:
2
TVênus

2
TTerra
. Sendo o raio médio da órbita de Vênus menor que o da Terra, o período de translação de Vênus é
3
3
rVênus
rTerra
menor que o da Terra, logo a frequência é maior.
2 π
. Como Vênus tem menor período, sua velocidade angular é maior.
– a velocidade angular é: ω 
T
– Para analisar a velocidade linear (v), aproximando as órbitas para circulares, a força gravitacional age como
resultante centrípeta. Sendo m a massa do planeta e M a massa do Sol:
RCent  FGrav

m v2

GMm
2
 v
r
r
Terra, Vênus tem maior velocidade linear que a Terra.
GM
. Sendo o raio médio da órbita de Vênus menor que o da
r
Resposta da questão 3:
[A]
GM
, sendo r o raio da órbita, G a constante de
r
gravitação universal e M a massa do Sol. Assim, a justificativa para a resposta dada é dada pela Lei de Newton da
Gravitação, e não pela terceira Lei da Kepler, embora, lógico, uma leve à outra.
A velocidade de translação de um planeta é dada por: v 
A terceira Lei de Kepler, T2  k r 3, é mais adequada quando se comparam os períodos de translação entre dois
planetas.
Resposta da questão 4:
[B]
1. Incorreta. De acordo com a lei de Newton da Gravitação: F 
GMm
, sendo d a distância entre o planeta e o
d2
satélite. Para o satélite A, a distância é variável, então a força gravitacional tem intensidade variável.
G mA mB
2. Correta. A energia potencial gravitacional entre os dois satélites é: Epot  
. Se a distância dAB é
dAB
variável, a energia potencial gravitacional do sistema formado por SAe SB também é variável.
3. Incorreta. Pela expressão mostrada no item anterior, a energia potencial gravitacional entre o planeta e o satélite
SA é variável. Tratando-se de sistema conservativo, consequentemente, a energia cinética do satélite S A é variável,
aumentando à medida que o satélite aproxima-se do planeta.
Resposta da questão 5:
[D]
Dados: mT  6  1024 kg; mT  1 1026 kg; dTS  1,5  1011m; dNS  4,5  1012 m.
Da lei de Newton da Gravitação:

G M mT
FST 
 dTS 2


F  G M mN
 SN
 dNS 2

FST G M mT
 dNS 


2
FSN
G M mN
 dTS 
2
 
d 
FST mT

  NS 
FSN mN
 dTS 

2
2

 4,5  1012 
FST 6  1024


  6  10 2  9  102 
 1,5  1011 
FSN 1 1026


FST
 54.
FSN
Resposta da questão 6:
[A]
Considerando órbitas circulares, a força gravitacional age como resultante centrípeta. Sendo m a massa do planeta,
M a massa do Sol e r o raio da órbita do planeta:
FRcent  Fgrav
v

m v2 G M m

r
r2

GM
.
r
Essa expressão final mostra que a velocidade orbital é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio da órbita.
Como a Terra está mais próxima do Sol que Marte, sua velocidade orbital e maior, possuindo, em consequência,
também maior velocidade angular e menor período.
A figura mostra seis posições da Terra e as seis correspondentes posições de Marte, bem como a trajetória de Marte
para um observador situado na Terra. Os intervalos de tempo entre duas posições consecutivas são,
aproximadamente, iguais. Note que devido à maior velocidade orbital da Terra, da posição 1 até a 3, Marte parece
avançar, de 3 a 5 ele parece regredir, tornando a avançar de 5 a 6. Aliás, esse fenômeno foi um dos grandes
argumentos para que o heliocentrismo de Copérnico superasse o geocentrismo de Ptolomeu.
Resposta da questão 7:
[D]
Analisando a questão com base na terceira lei de Kepler, temos:
TA 2
RA3

TD2
RD3

TA 2
RA3

(8TA )2
RB3
Resposta da questão 8:
[C]
3
R 
R
R



 64   B   64  B  3 64  B  4
3
3
3
RA
RA
RA
RB
RA
 RA 
1
64
RB3
Matematicamente, a terceira lei de Kepler pode ser expressa por:
T2
r3
 K , em que T representa o período orbital, r o
raio médio orbital e K uma constante de proporcionalidade.
Como os satélites Io e Europa giram em torno do mesmo centro, que é Júpiter, devido à força gravitacional trocada
com o planeta, podemos escrever que:
T2Europa
r 3Europa

T2Io
r 3Io
T2Europa

5 3
(6,72.10 )
(1,8)2

5 3
(4,20.10 )
 T2Europa  13,27
TEuropa  3,64 dias terrestres.
Resposta da questão 9:
[E]
4
4
2
Dados: C = 40.800 km; r = 1,29 10 km; g = 3,110 km/h .
Para um ponto no equador terrestre, o espaço percorrido ( S) em 24 horas é o perímetro da Terra no Equador (C).
Então:
ΔS 40.800
VE 

Δt
24
 VE  1.700 km / h.
Para o satélite, a aceleração da gravidade (g) num ponto da órbita é a própria aceleração centrípeta (aC).
V2
aC  g  S  VS 
r
VS  20.000 km / h.
r g  1,29  104  3,1 104  4  108

Fazendo a razão entre essas velocidades:
VE
1.700
8,5


VS 20.000 100
 VE  8% VS .
Resposta da questão 10:
[A]

M
Terra : g  G 2  10
R


 4 M
4
M
1
Planeta : g'  G

G

10 
2
2

16 R
4
4
R



 g'  2,5 m / s2.
Resposta da questão 11:
[B]
Pela Lei da Gravitação Universal, podemos escrever:
Terra  FT 
GMTm
Marte  FM 
GMMm
R2T
2
RM
 700
MT
m
1 GMTm
1
 10 
.

x700  280N
2
2
2,5
2,5
RT
 RT 
 2 


G
Resposta da questão 12:
[C]
11
11
Dados: RT= 1,510 m; RJ= 7,510 m.
O período de revolução da Terra é TT = 1 ano terrestre.
Aplicando a expressão dada para a terceira lei de Kepler:
2
R
 TJ 
J

  
T
R
 T
 T
3




3
2 
7,5  1011 
T 
  J 

 1,5  1011 
 1


 TJ2  53
 TJ  125  11,2.
Entre as opções dadas, a resposta mais próxima é: TJ  12 anos terrestres.
Resposta da questão 13:
[B]
24
27
Dados: mT= 6,010 kg; mJ= 2,010
11
11
–11
kg; RT= 1,510 m; RJ= 7,510 m; G = 6,710
No momento de maior proximidade, a distância entre os dois planetas é:
r  RJ  RT  7,5  1011  1,5  1011  r  6  1011 m.
Substituindo os valores na fórmula da força gravitacional:
FG
mT mJ
 F  6,7  1011
r2
6  1024  2  1027
 6  10 
11
2

8  1041

36  1022
F  2,2  1018 N.
Resposta da questão 14:
[B]
24
Dados: Mt = 6,010
−11
kg; G = 6,7 10
2
2
2
N.m /kg ; g = 0,25 m/s .
Da expressão dada:
g=
GM
d=
d2
G Mt

g
6,7  1011  6  1024
 16  1014  4  107 m  d = 4  104 km.
0,25
Resposta da questão 15:
[B]
Na Terra:
gT 
GM
 10 m / s2 .
2
R
Em Netuno:
gN 
G 18M
 4R 
2

gN  11,25 m / s2 .
gN 
18  GM  9
9
 gT  10 

2 
16  R  8
8

2
2
Nm /kg .