questão 16 resolução questão 17

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Colégio
PARA QUEM CURSA O 9.O ANO EM 2013
Disciplina:
Prova:
MateMática
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(MACKENZIE – ADAPTADO) – Dois números naturais tem soma 63 e razão 6. Chamando de
x o maior e y o menor desses números então (x + y) (x – y) é divisível por:
a) 2 e 5 ao mesmo tempo
b) somente por 5
c) somente por 3
d) 3 e 5 ao mesmo tempo
e) 5 e 6 ao mesmo tempo
RESOLUÇÃO
Se x e y são os números procurados, temos:
x + y = 63
x + y = 63 (I)
x
€
––– = 6
x = 6y
(II)
y
Substituindo (II) em (I), temos:
6y + y = 63 € 7y = 63 € y = 9 (menor)
Se x = 6y então x = 6 . 9 € x = 54 (maior)
Logo (x + y) (x – y) = (54 + 9) (54 – 9)
= 63 . 45
= 2835
Todo número que termina em 5 ou 0 é divisível por 5.
A soma dos algarismos de 2835 é 2 + 8 + 3 + 5 = 18, que é múltiplo de 3.
Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3, então esse número é divisível por 3.
Resposta: D
QUESTÃO 17
Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento
em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias
de 7 horas de trabalho?
a) 60 operários
b) 70 operários
c) 80 operários
d) 90 operários
e) 100 operários
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
RESOLUÇÃO
Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número
de operários com as demais, temos:
Número de
operários
Número de horas
por dia
Comprimento
Número de dias
25
10
238
17
x
7
686
25
GIP
GDP
GIP
A grandeza “número de operários” é diretamente proporcional ao comprimento e
inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia.
Assim, sendo:
1
25
25
7
10 . 686 . 17
7
238
238
25
25
––– = ––– . –––– . ––– € –––– = ––– . –––– . –––– € x = ––––––––––––– € x = 70
17
x
10
7 . 238
10
686
686
17
x
Resposta: B
QUESTÃO 18
Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 por x + 3, obtêm-se:
a) x3 – 2x2 + x – 12 com resto nulo.
b) x3 – 2x2 + 3 com resto 16.
c) x3 + x2 – 13x + 35 e resto 84.
d) x3 + x2 – 3x + 1 com resto 2.
e) x3 – x2 + x – 7 e resto nulo.
RESOLUÇÃO
Efetuando a divisão entre os polinômios, temos:
x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21
x+3
4
3
– x – 3x
x3 – x2 + x – 7
–––––––––––––––––––––––––
Q = x3 – x2 + x – 7
– x3 – 2x2
+ x3 + 3x2
R=0
––––––––––––––––––––
x2 – 4x
– x2 – 3x
–––––––––––––––
– 7x – 21
+ 7x + 21
––––––––––
0
Resposta: E
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 19
O resultado da expressão:
1
––
5
2
3 . 81
pode ser representado por:
–––––––
1
––
3
243
17
17
a) 3 3
15
b) 315
15
c) 3 9
17
d) 314
e) 3 34
RESOLUÇÃO
Resolvendo a expressão, temos que:
1
––
5
32
32
1
––
5
4
(3 )
4
––
35
32
4
2 + ––
14
5
14
5
17
––– ––
––– – –––
––– 15
.
.
15
. 81
3 5
5
3
5
3
15
17 = 3 =
=
=
=
3
:
3
=
3
=
3
=
3
9
–––––––
–––––––––––
–––––––––
–––––––––
1
5
1
5
––
3
243
––
––
3
––
(35)3
33
3
Resposta: C
QUESTÃO 20
Um grupo de astrônomos australianos se deu ao trabalho de contar as estrelas do Universo
visível. O resultdo é de fazer os matemáticos perderem o fôlego: são 70 sextilhões, ou seja,
o número 7 seguido de:
a) 19 zeros
b) 21 zeros
c) 22 zeros
d) 25 zeros
e) 28 zeros
RESOLUÇÃO
Da direita para a esquerda:
– as três primeiras casas representam unidades.
– as três seguintes representam milhares.
– as outras três representam milhões e assim por diante.
70 sextilhões é assim escrito:
70 000 000 000 000 000 000 000
sexti- quinqui- quadri- trilhões lhões
lhões lhões
bilhões
milhões
milha- unires
dades
O número 7 seguido de 22 zeros.
Resposta: C
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 21
O valor numérico da expressão:
ab + a + b + 1
–––––––––––––– , para a = – 0,8 e b = 19, é:
a2 + 2a + 1
a) 1,2
b) 20
c) 80
d) 90
e) 100
RESOLUÇÃO
Fatorando os polinômios, temos:
ab + a + b + 1
a (b + 1) + (b + 1)
b+1
(b + 1) (a + 1)
a) –––––––––––––– = ––––––––––––––––– = –––––––––––––– = ––––––
a2 + 2 a + 1
(a + 1)2
a+1
(a + 1) (a + 1)
b) Para a = – 0,8 e b = 19,
b+1
19 + 1
–––––– = ––––––––– =
a+1
– 0,8 + 1
temos
20
–––– = 100
0,2
Resposta: E
QUESTÃO 22
(FGV-SP) – Seja n o resultado da operação 3752 – 3742. A soma dos algarismos de n é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
RESOLUÇÃO
Fatorando a diferença de dois quadrados temos que:
3752 – 3742 = (375 + 374) . (375 – 374) = 749 . 1 = 749
Assim, n = 749, e a soma de seus algarismos é 7 + 4 + 9 = 20
Resposta: C
QUESTÃO 23
(OBM) – De 1 a 2007, a soma de todos os números positivos ímpares menos a soma de
todos os números positivos pares é igual a:
a) 1003
b) 1004
c) 2005
d) 2006
e) 2007
RESOLUÇÃO
A soma de todos os números positivos ímpares até 2007, menos a soma dos números
positivos pares até 2007 é:
(1 + 3 + 5 + ... + 2007) – (2 + 4 + 6 + ... + 2006) =
= (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (2005 – 2006) + 2007 =
= (– 1) + (– 1) + (– 1) + ... + (– 1) + 2007 = – 1003 + 2007 = 1004
1444442444443
1003 vezes
Resposta: B
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 24
(PUC-SP – 2004) – Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas,
também retangulares, como mostra a figura abaixo:
Se A1, A2, A3 e A4 são as áreas das salas pretendidas e considerando que A1 + A2 + A3 = 36 m2,
A1 – A2 = 12 m2 e A3 = 2 . A2, a área da quarta sala, em metros quadrados, é:
a) 4
b) 4,5
c) 4,8
d) 5
e) 5,5
RESOLUÇÃO
Em metros quadrados, temos:
1) A partir da figura, temos:
A1 = a . c
A2 = a . d
A1 . A4 = a . b . c . d
€
A3 = b . c
A2 . A3 = a . b . c . d
A4 = b . d
Portanto:
A1 . A4 = A2 . A3 €
A2 . A3
A4 = –––––––
A1
(I)
2) Das equações dadas, tem-se:
A1 + A2 + A3 = 36
A1 – A2 = 12
€
A3 = 2 . A2
€
OBJETIVO
4 . A2 = 24
A1 = 12 + A2 €
A3 = 2A2
A1 + A2 + A3 = 36
A1 = 12 + A2
A3 = 2A2
(II)
€
(12 + A2) + A2 + 2A2 = 36
A1 = 12 + A2
€
A3 = 2 A2
A1 = 18
A2 = 6
A3 = 12
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
3) Substituindo na igualdade (I), vem:
6 . 12
A4 = –––––– = 4
18
Resposta: A
QUESTÃO 25
ABCDEF é um polígono regular:
^
Podemos afirmar que o suplemento de x é igual a:
a) (2 . 52) graus
b) (22 . 3 . 5) graus
d) (24 . 5) graus
e) (2 . 32 . 5) graus
c) (2 . 5 . 7) graus
RESOLUÇÃO
^
^
Sendo r // s // t, então o ângulo x e a são congruentes, por serem correspondentes.
Sendo a^ um ângulo interno do hexágono regular ABCDEF, tem-se:
Soma dos ângulos internos:
Si = (n – 2) . 180°
Si = (6 – 2) . 180°
Si = 4 . 180°
Si = 720°
Valor de cada ângulo interno:
720°
Ai = –––––
6
Ai = 120° \ x = 120°. O suplemento de 120° é igual a
180° – 120° = 60°, que é igual a (22 . 3 . 5)
Resposta: B
QUESTÃO 26
Os números inteiros a, b, c e d são os maiores possíveis e tais que a < 2b, b < 3c e c < 4d.
Se d < 100, então, o maior valor de a será:
a) 2367
b) 2375
c) 2391
d) 2399
e) 2400
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
RESOLUÇÃO
1) Se d < 100, então, o maior valor inteiro de d será 99.
2) Se c < 4d e d = 99, então, c < 396.
3) Se c < 396, então o maior valor inteiro de c será 395.
4) Se b < 3c e c = 395, então b < 1185.
5) Se b < 1185, então o maior valor inteiro de b será 1184.
6) Se a < 2b e b = 1184, então a < 2368.
7) Se a < 2368, então o maior valor inteiro de a será 2367.
Resposta: A
QUESTÃO 27
Quantos dos números abaixo são maiores que 10?
11,
4 7, 5 5, 6 6, 7 2
3 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUÇÃO
Observemos que 10 = 100.
Escrevendo os números dados na forma de um único radical, teremos:
3 11 = 32 . 11 = 99
7 = 42 . 7 = 112
4 5 5 = 52 . 5 = 125
3 = 62 . 3 = 108
6
2 = 72 . 2 = 98
7 100 = 10, são maiores que 10 os números 112, 125, 108, num total de três.
Se Resposta: C
QUESTÃO 28
Duas retas e uma transversal determinam dois ângulos oposto pelo vértice cujas medidas são
2x – 30° e x + 10°.
As medidas dos ângulos obtusos determinados por uma das paralelas e a transversal é igual a:
a) 40°
b) 50°
c) 110°
d) 130°
e) 140°
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
RESOLUÇÃO
Os ângulos o.p.v possuem a mema medida, sendo assim:
2x – 30 = x + 10°
x = 40°
Logo, os ângulos medem:
2 . 40° – 30° = 80° – 30° = 50° (ângulos agudos)
Os ângulos obtusos medem:
180° – 50° = 130°
Resposta: D
QUESTÃO 29
Três semirretas partem de um mesmo ponto, formando três ângulos que são proporcionais
aos números 11, 12 e 13.
O suplemento do maior dos ângulos é:
a) 80°
b) 70°
c) 60°
d) 50°
e) 40°
RESOLUÇÃO
æÆ æÆ
æÆ
Se as semirretas OA, OB e OC partem de um mesmo ponto, a soma da medida dos três
ângulos é igual a 360°. Sejam x, y e z os ângulos procurados proporcionais a 11, 12 e
13 e com soma igual a 360°, temos que:
x + y + z = 360°
x
y
z
––– = ––– = ––– €
11
12
13
x + y + z = 360°
x
y
z
x+y+z
––– = ––– = ––– = ––––––––––––– €
11
12
13
11 + 12 + 13
x
y
z
360°
€ –––– = –––– = –––– = ––––– = 10°
11
12
13
36
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
x
Então –––– = 10° € x = 110°
11
y
–––– = 10° € y = 120°
12
z
–––– = 10° € z = 130°
13
O suplemento de 130° (maior ângulo) é igual a 180° – 130° = 50°
Resposta: D
QUESTÃO 30
(OBM – ADAPTADO) – O gráfico que segue mostra o percentual de acertos numa prova de
60 testes de seis candidatos finalistas de um concurso.
O número médio de questões erradas por esses candidatos nessa prova foi de
a) 14
b) 24
c) 30
d) 32
e) 40
RESOLUÇÃO
Se o total de acertos possíveis era de 100%, então:
O candidato A errou 80% . 60 = 48 questões
O candidato B errou 60% . 60 = 36 questões
O candidato C errou 50% . 60 = 30 questões
O candidato D errou 30% . 60 = 18 questões
O candidato E errou 40% . 60 = 24 questões
O candidato F errou 60% . 60 = 36 questões
Portanto o número médio de questões erradas por esses candidatos foi:
192
48 + 36 + 30 +18 + 24 + 36
––––––––––––––––––––––––– = –––– = 32
6
6
Resposta: D
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO