Geodésia.

Geodésia
1. Introdução
A Geodésia é a ciência que estuda o conjunto de métodos e procedimentos
adotados para definir a forma e dimensão da Terra. Etimologicamente, a palavra
Geodésia é de origem grega Geo-Terra e Daisia-medição significando medição
da Terra. Através de observações da superfície terrestre ou fora dela, sua forma e
suas dimensões são determinadas através de coordenadas das posições de pontos,
comprimentos e direções de linhas da superfície terrestre, bem como as variações
de seu campo gravitacional.
Atualmente com a revolução da eletrônica aliada a era dos satélites
artificiais proporcionaram novos e atraentes rumos à Geodésica. Podem-se
enumerar diversas utilidades em outros campos que fogem seu interesse
específico como: monitoramento das marés terrestres, controle do movimento de
placas tectônicas, detecção de movimentos verticais da crosta, controle de grandes
obras de engenharia, tornando difícil definir exatamente geodésica e delimitar
seus campos de aplicação.
2. Divisão da Geodésia
Para fins de atingir seus objetivos a Geodésia é dividida em três ramos.
2.1. Geodésia Geométrica:
determina
as
coordenadas
de pontos,
comprimentos e azimutes sobre a superfície da terra (medidas de ângulos e
distâncias).
2.2. Geodésia Física: mede o campo de gravidade da Terra ou a direção e
magnitude das forças que mantêm os corpos na superfície e atmosfera terrestre.
2.3. Geodésia por Satélite ou Geodésia Celeste: estuda a determinação de
pontos da superfície terrestre ou em volta desta, utilizando técnicas espaciais
de posicionamento através dos satélites artificiais.
3. Modelos da Terra
3.1. Esfera: O modelo esférico pode ser utilizado para representar a
superfície terrestre. Em situações específicas, utiliza uma “esfera particular de
adaptação de Gauss” cujo raio é igual o raio médio da curvatura da Terra.
3.1.1. Sistemas de coordenadas esféricas: Um ponto na superfície terrestre,
considerando o seu formato esférico é definido através de suas coordenadas
curvilíneas, latitude (Φ) e longitude (λ).
Figura 3.1: Sistema de coordenadas esféricas
Latitude Geográfica (Φ) - é o ângulo (em graus, minutos e segundos) formado
pela linha vertical passando perpendicularmente pelo ponto P até o centro de massa
da Terra com sua projeção no plano equatorial. No hemisfério norte a latitude é
positiva e negativa para o hemisfério sul, variando de 0º a ± 90° tendo como origem
o plano do equador.
Longitude Geográfica (λ) - é o ângulo (em graus, minutos e segundos)
formado pelo meridiano do ponto (meridiano do lugar) com o meridiano origem
de Greenwich (meridiano zero), até o seu meridiano oposto chamado de
antimeridiano, variando de 0º a ± 180º, considerada positiva a leste e negativa a
oeste de Greenwich.
3.2. Elipsóide de Revolução: o estudo de uma figura geométrica com um
tratamento matemático menos complexo, levou os geodesista a adotarem o
elipsóide de revolução. Esta figura matemática, teórica, sem existência física,
apresenta um melhor ajuste em relação à superfície real da Terra (superfície da
Terra onde é feito as medições geodésicas) e a figura Geoidal, resultante de
medidas da força da gravidade.
Figura 3.2: Elipsóide de Revolução
Um elipsóide de revolução fica perfeitamente definido por meio de dois
parâmetros, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b figura 3.2. Em Geodésia,
o elipsóide é tradicionalmente definido pelos parâmetros a e achatamento f.
Sendo
α=(a-b)/a
f=1/ α
O elipsóide Hayford foi durante muito tempo o elipsóide adotado no
Brasil, recomendado pela Assembléia Geral da Associação Internacional de
Geodésia, IAG, da União de Geodésia e Geofísica Internacional em Madri, no ano
de 1974, como o Elipsóide de Referência Internacional.
Os parâmetros do Elipsóide de Referência de Hayford são:
a=6.378.388m
f=1/ α=297
O IBGE, a partir de 1976, passou a recomendar a utilização do Elipsóide
de Referência Internacional 1967 (ERI 67), cujos parâmetros são:
a=6.378.160m
f=1/ α=298.25
O atual Sistema Geodésico Brasileiro é as SIRGAS, Sistema de
Referência Geocêntrico para as Américas, implantado e mantido pelo IBGE, a
partir do ano de 2005 em sua realização no ano de 2000 (SIRGAS 2000). Este
sistema tem suas coordenadas dos pontos da superfície terrestre obtida através do
sistema GPS e associado ao elipsóide GRS 80, apresentando as seguintes
características:
a=6.378.137m
f=1/ α =298,25
Tabela 1: Parâmetros de alguns elipsóides terrestres.
Semi-eixo maior
a(m)
Semi-eixo maior
b(m)
Achatamento (f)
BESSEL (1841)
6.377.397,150
6.356.078,971
299,153
CLARKE (1880)
6.378.249,200
6.356.514,924
293,465
HAYFORD (1924)
6.378.388,000
6.356.911,95
297,000
ERI-1967
6.378.160,000
6.356.774,504
298,250
WGS-84 (1984)*
6.378.137,000
6.356.752,298
298,257
GRS80 (1980)*
6.378.137m
Elipsóide
6.356.752,314
298,257
* Elipsóides realizados pelo posicionamento GPS
3.2.1. Sistemas de coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas
As coordenadas Geodésica ou Elipsóidica são a latitude geodésica ou
elipsódica e a longitude geodésica ou elipsóidica, mostradas na figura abaixo.
Figura 3.3: Sistemas de coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas
A linha perpendicular que passa pelo ponto P e chega até o ponto O no
centro do elipsóide é chamada de normal de P. A latitude geodésica ou elipsóidica
φ do ponto P é definida como o ângulo entre a normal ao elipsóide que passa por
P e o plano equatorial elipsóidico. A longitude geodésica ou elipsóidica λ do
ponto P é o ângulo formado entre o meridiano origem e o meridiano de P. A
variação das coordenadas geodésicas é a mesma das coordenadas esféricas.
O segmento PP” é dividido em dois segmentos PP’ e PP”. O segmento PP”
é chamado de Grande Normal e o segmento PP’ Pequena Normal.
3.2.2. Grande Normal e Pequena Normal
Na figura 3.3, o segmento PP’ é a Pequena Normal. Os seus comprimentos
variam com a latitude. Podemos observar que, quando a latitude de um ponto
situado no elipsóide é igual a zero, ou seja. Quando o ponto se encontra no
equador, o comprimento da Grande Normal é igual ao comprimento do semi-eixo
maior (a) do elipsóide. À medida que a latitude vai aumentando, o valor da
Grande Normal também cresce.
A Grande Normal será apresentada por GN ou N, enquanto que a Pequena
Normal por PN.
Calculamos o comprimento da Pequena e Grande Normal pelas seguintes
fórmulas:
Sendo
PN=Pequena Normal
N=Grande Normal
λ= Longitude Geodésica
Φ= Latitude Geodésica
a=Semi-eixo maior
e²=Excentricidade ao quadrado
A excentricidade traduz a divergência entre a elipse e a circunferência. A
excentricidade usada em geodésia é a excentricidade ao quadrado.
e²= (a² - b²)/ a²
Conhecendo-se o valor de N, para um mesmo elipsóide, pode-se calcular PN
multiplicando o valor de N por (1-e²).
3.2.3. Sistemas de coordenadas Geodésicas Cartesianas Tridimensionais e
Elipsoidais.
Figura 3.4 Sistema de coordenadas cartesianas associadas ao sistema
global
As coordenadas geodésicas cartesianas tridimensionais de um ponto de
coordenadas curvilíneas Φ e λ, são as coordenadas retilíneas referidas a um
sistema de eixos cartesianos tridimensionais, conforme a figura a seguir:
Figura 3.4 Sistema de coordenadas cartesianas e elipsoidal
Um sistema de coordenadas cartesianas está associado ao sistema
global e possui as seguintes características:
a) Orígem geocêntrica (o), no centro de massa do Elipsóide.
b) O eixo Z coincide com o eixo de rotação, ou linha Norte Sul geográfico.
c) O plano do equador é perpendicular ao eixo Z e contém os eixos X e Y.
d) O eixo X passa pelo meridiano de Greenwich (MGr), sendo que o plano
XZ é gerado por este meridiano e pelo eixo de rotação da Terra.
e) O eixo Y forma um ângulo de 90°, no sentido anti-horário, com o eixo X.
As relações entre as coordenadas cartesianas e geodésicas são dadas
pelas fórmulas seguintes, (Silva et al,1997):
Para calcular as coordenadas geodésicas cartesianas de um ponto,
deve-se conhecer além das coordenadas elipsóidicas do ponto, os valores da
Grande e Pequena Normal do mesmo ponto.
Antes do desenvolvimento da tecnologia GPS, essas coordenadas não
tinha uma aplicação prática. As coordenadas obtidas pelo rastreador de
satélites são geocêntricas cartesianas ou tridimensionais, geocêntricas
porque são referidas ao centro da Terra, cartesianas tridimensionais porque
referidas a um sistema de três eixos X, Y e Z.
3.3 Geóide
Figura 3.5 Superfície do Geóide
Sabemos que a Terra está em movimento de rotação e sua massa está
distribuída de forma irregular. Desta forma existem infinitas superfícies de
nível de mesma gravidade chamadas de superfícies equipotenciais terrestres
caracterizadas por não ser paralelas e nem tampouco esféricas, achatadas
nos pólos.
O geóide é uma superfície ondulada, não possui uma forma geométrica
conhecida e por isso não é usada para posicionar pontos das redes
geodésicas horizontais na superfície terrestre, pois o seu tratamento em
termos matemático se torna muito complexo em função de sua geometria
irregular. Chamamos de linha de força a linha perpendicular a uma
superfície equipotencial. A reta tangente a linha de força num lugar é
chamada de vertical do lugar e materializado pelo fio de prumo do teodolito.
Podemos definir o Geóide como uma superfície que coincide com o
nível médio dos mares, livre de perturbações, prolongado sob os continentes
e serve como referência para as altitudes ortométricas. Altitude ortométrica
Figura 3.6: Superfície física da Terra e do Geóide
é a distância entre o Geóide e a superfície física da Terra, ao longo da
vertical do ponto considerado. O ponto de origem para as medidas das
altitudes está localizado na cidade de Imbituba, estado de Santa Catarina. A
rede geodésica vertical brasileira utiliza este ponto como referência
altimétrica para suporte em nivelamentos topográficos.
4. Altitudes Geodésicas Geométrica e Ortométrica
Para definir a altura de um ponto situado na superfície topográfica,
isto é, a superfície real com suas elevações e depressões onde são realizadas
as medições de grandezas, tais como: distâncias, ângulos e coordenadas dos
pontos, utiliza-se a altura Geométrica e a Ortométrica.
A altura Ortométrica está relacionada com o geóide e é a distância
contada ao longo da vertical em um ponto na superfície da Terra até o
Geóide, obtida através de nivelamento topográfico. A altitude geométrica ou
altura elipsoidal está relacionada com o Elipsóide e é a distância contada ao
longo da normal até o Elipsóide, determinada pelo sistema GPS.
Figura 3.7: Relação entre as altitudes Geométricas e Ortométricas
Onde
h=altitude Geométrica elipsoidal
H=altitude Ortométrica
d=desvio da vertical
N=altura ou ondulação geoidal
A quantidade N é a medida da separação ou do desnível entre a
superfície do Geóide e o Elipsóide.
Observando a figura acima, nota-se que a linha que passa pelo ponto
A na superfície da Terra chega perpendicularmente ao Elipsóide, já a linha
que passa pelo mesmo ponto atinge o Geóide também na perpendicular.
Essas linhas não são coincidentes, nem paralelas devido às peculiaridades
geométricas de cada superfície, já dito anteriormente (Geóide e Elipsóide).
Sendo assim essas duas linhas formam entre si um ângulo δ, chamado
desvio da vertical.
A relação entre essas alturas é dada através da fórmula:
h=N + Hcosd
O valor de “δ” é sempre menor que 0°01’00”, causando um erro muito
pequeno, próximo de zero (0,4mm). Considerando-se cos(d)=cos(0)=1,
pode-se fazer a seguinte aproximação: a normal e a vertical estão numa
mesma reta, chamada projeção de Helmert (Simões, 19980), porém pela
pequena diferença entre as retas referidas, pode-se considerar:
h=N + H
5. Sistemas de coordenadas Geodésicas Cartesianas Tridimensionais e
Elipsoidais Espaciais.
A altitude geométrica, quando o ponto está situado na superfície
física (real) da Terra, deve ser considerada, pois as coordenadas estarão,
agora, definidas na superfície topográfica. As coordenadas elipsóidicas
espaciais curvilíneas do ponto ficam definidas como Φ, λ e h, latitude,
longitude e altitude Geométrica respectivamente.
Figura 3.8: Coordenadas Geodésicas Elipsóidicas e cartesianas na superfície real da
Terra
P
a
r
a
o
c
á
l
c
ulo das coordenadas Cartesianas Tridimensionais para a superfície
topográfica, deve-se acrescentar à Grande Normal e à Pequena Normal ao
valor de h conforme as fórmulas a seguir:
Os receptores GPS fornecem coordenadas cartesianas e na maioria das
vezes precisamos das coordenadas elipsoidais. As coordenadas curvilíneas
podem ser calculadas em função das cartesianas diretamente por:
Φ= arctg((Z+e’² b sen³u)/p-e² a cos³u)
u= latitude provisória para h=0, u=arctg(Za/pb)
p= raio de paralelo, p=√X² + Y²
e²= primeira extremidade ao quadrado, e²= (a² - b²)/a²
e’²= segunda extremidade ao quadrado, e’²= (a² - b²)/b²
h= (p/cosΦ) – N
N= Grande Normal
λ= arctg(Y/X)