( EXERCITANDO (Aula 8 - Tóp. Único) Nos exercícios 1 e 2, calcule o campo gradiente da função indicada: 1. f ( x, y) x cos( xy) y sen( xy); 2. g( x, y, z) xye xz yz n( xy). Nos exercícios 3 a 6, o campo F é conservativo, encontre o potencial escalar f que satisfaça a condição indicada: 3. F(x, y) (2x, 2y) e f (1,1) 0; 4. F(x, y) (e y ye x , xe y e x ) e f (0,0) 1; 5. F(x, y,z) 2xy z3,x 2 ,3xz2 e f (0, 1,0) 1; 6. F(x, y,z) (y 2 cos x z3 ,2ysen x 4,3xz 2 2) e f (0,0,0) 0. 7. Se r xe1 ye2 ze3 e f (x, y,z) n | r |, mostre que f (x, y,z) r . |r|2 8. Se r xe1 ye2 ze3 e f (x, y, z) | r |1, mostre que f (x, y,z) r . |r|3 Nos exercícios 9 e 10, calcule o divergente do campo vetorial dado: 9. F( x, y) ( x 2 y y 2 , xy 2 ); 10. G( x, y, z) ( x 2 y 2 z, y 2 x 2 z, z 2 x 2 y). 11. Verifique que o campo F( x, y, z) (2xy 2xz, x 2 y 2 y 2 2x, 2xy 3 2x 2 yz z 2 ) solenoidal no seu domínio. Encontre um potencial vetorial do campo F. é 12. Se v é um vetor constante e r xe1 ye2 ze3 , mostre que ( v r ) 0. Encontre um potencial vetorial do campo F( x, y, z) v x r. Nos exercícios 13 e 14, calcule rotacional do campo indicado: 13. F(x, y, z) (xye x , xye y , ze xy ); 14. G( x, y, z) ( x 2 yz, x 2 yz 2 , xy 2 z). Nos exercícios 15 e 16, mostre que os campos dados são irrotacionais: 15. F( x, y, z) ( y 2 cos x z 2 , 2y sen x 4, 2xz 3); 16. G( x, y, z) | r|2 r onde r xe1 ye2 ze3 . 17. Se v é um vetor constante e r xe1 ye2 ze3 , mostre que: (a) ( v r ) 2v; (b) | r |3 (r v) | r |3 (v r). 18. Se r xe1 ye2 ze3 , mostre que: (a) v ( v r ) onde v é um vetor constante; (b) dw w.dr onde w é uma função real de três variáveis. 19. Se r xe1 ye2 ze3 e f : I R R é diferenciável, mostre que: 2 (Aula 8) GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL (a) f | r | f '(| r |) r; |r| (b) f(|r|) f '(| r|) . 20. Se f ( x, y, z) é a distância de um ponto fixo Po a um ponto arbitrário P( x, y, z) , mostre que f ( x, y, z) é um campo vetorial unitário no sentido do vetor PP o . 21. Se r xe1 ye2 ze3 e f (x, y,z) x 3 g , y z x x onde g é diferenciável, mostre que f (x, y,z) 13 r f (x, y,z) . 22. Sejam f uma função diferenciável de u e v, u g( x, y, z) e v h( x, y, z) também diferenciáveis, mostre que os vetores f , g e h são linearmente dependentes. r x e1 ye2 ze3 , ache a solução da equação vetorial f (0,0,0) 3. 23. Sendo | r| r f 0 se f é um campo vetorial radial 24. Se f : A Rm R (m 2,3) é diferenciável e (isto é, f está ao longo de uma reta que contém a origem), mostre que: (a) f é constante sobre qualquer circunferência de centro na origem. Sugestão: mostre que f restrita a uma circunferência, tem derivada nula: (b) f é constante sobre qualquer esfera de centro na origem. 25. Se r xe1 ye2 ze3 e f : I R R é diferenciável, mostre que: (a) f | r|r 3f | r|| r| f ' | r|; 4 f ' | r| f " | r| r se f " existe. | r| (b) f | r| r 26. Use o exercício 25(b) para mostrar que | r |n r n(n 3) | r |n 2 r. 27. Se r xe1 ye2 ze3 e f :I R R é duas vezes diferenciável, mostre que f | r | |r|2 f ' | r | f " | r | e use para calcular 2 | r|n . 2 28. Se r xe1 ye2 ze3 e f : I R R é diferenciável, mostre que f | r|r 0. 29. Se uma função real f : A R m R ( m 2,3 ) tem derivadas parciais de segunda ordem num subconjunto aberto B A, mostre que f f é irrotacional em B. 30. Mostre que a equação de Laplace definida no tópico 4 desta aula pode ser escrita nas formas dadas no exercitando do tópico 2 da aula 4. 31. Demonstre as propriedades dadas no tópico 2 desta aula para o: (a) Gradiente; (b) Divergente; (c) Rotacional. 32. Se f e g são funções reais com derivadas parciais de segunda ordem, mostre que: ( (a) 2 ( fg) f 2 g 2 f g g 2 f ; (b) f 2 g g 2 f ( fg gf ). 33. Se F é um campo vetorial conservativo e de classe C1 num subconjunto aberto B R 3 , mostre que F é irrotacional em B. 34. Se F tem um potencial vetorial de classe C 2 num subconjunto aberto B R 3 , mostre que F é solenoidal em B. 35. Mostre que o produto vetorial de dois campos vetoriais irrotacionais é solenoidal. 36. (a) No exemplo resolvido 6 do tópico 2 desta aula, fazendo g1 (x, y, z) (x), mostre que G(x, y, z) (x), x xo f3 (x, y, z)dx (y), y yo f1 (x o , y, z)dy x xo f 2 (x, y, z)dx ; (b) Mostre que adicionando a G o gradiente de qualquer função com derivadas parciais de primeira ordem, ainda se tem um potencial vetorial de F. 37. Demonstre as identidades vetoriais: (a) ( F G) G F F G; (b) F F 2 F onde 2 F ( ) F; (c) ( F G) F G (G ) F ( F )G onde ( G ) F1 gx F 2 gy F 3 gz Fse G (g1 , g 2 , g 3 ); (d) ( F. G) F ( G) G ( F) ( F )G (G ) F. 38. Dados os campos F f , G vf e H ( G) onde v é um vetor constante e f é solução da equação 2 f m2 f 0 (m é uma constante), mostre que os campos: (a) F, G e H são soluções da equação 2 J m2 J 0; (b) F e G são ortogonais: (c) G e H são solenoidais. 39. Se G f e G (p, q, r), mostre que as componentes do campo G são soluções das equações: 2 g1 f x ry qz , 2 g 2 f y pz rx e 2 g3 f z q x p y . RESPOSTAS (Exercícios Ímpares) 1. f ( x, y) (1 y 2 ) cos xy xy sen xy, (1 x 2 ) sen xy xy cos xy ; 3. f ( x, y) x 2 y 2 ; 5. f ( x, y, z) x 2 y xz 3 1; 9. F( x, y) 4xy; 11. G(x, y, z) x 2 y 2 y 2 2x z (x), x 2 y3 2 x 3 yz 2xz 2 2xyz, (z) ; 3 13. F(x, y, z) xzexy , yzexy , ye y xe x ; 23. f (x, y,z) 1 | r |3 3; 27. n(n 1) | r |n 2 . 3