"ângulos internos" é

1
2º Unidade
Capítulo VI
Progressões_____________________________________________________________________3
Capítulo VII
Semelhança de Triângulos__________________________________________________________10
Capítulo VIII
Trigonometria no Triângulo Retângulo_________________________________________________16
Capítulo IX
Figuras Planas___________________________________________________________________26
Capítulo X
Introdução à Estatística_____________________________________________________________39
Questões de ENEM e Vestibulares__________________________________________________48
Organização:
Apoio:
2
Capítulo VI
Determinação De Uma Sequência
Os elementos de uma sequência podem ser determinados através de uma lei de
formação.
Exemplo 1
Vamos determinar os cinco primeiros termos da sequência definida por a n = 3n² + 2, n
∈ ℕ*. an representa o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência, onde n = 1, 2, 3.
Por esse motivo, an é chamado termo geral da sequência.
Atribuindo valores permitidos para n, encontramos os termos procurados:
n = 1 ⇒ a1 = 3 . 1² + 2 ⇒ a1 = 5
n = 2 ⇒ a2 = 3 . 2² + 2 ⇒ a2 = 14
n = 3 ⇒ a3 = 3 . 3² + 2 ⇒ a3 = 29
n = 4 ⇒ a4 = 3 . 4² + 2 ⇒ a4 = 50
n = 5 ⇒ a5 = 3 . 5² + 2 ⇒ a5 = 77
.
.
.
Assim, a sequência procurada é (5, 14, 29, 50, 77, ...)
Exemplo 2
Consideremos a sequência definida por an = 3n – 16, n ∈ ℕ*. Podemos descobrir o
valor de a5 + a6:
a5 = 3 . 5 – 16 = -1 e a6 = 3 . 6 – 16 = 2
Assim, a5 + a6 = -1 + 2 = 1.
Se quisermos saber se o número 113 pertence à sequência, devemos substituir a n por
113 e verificar se a equação obtida tem solução natural:
113 = 3n – 16 ⇒ 3n = 129 ⇒ n = 43
Concluímos, então, que o número 113 pertence à sequência e ocupa a 43ª posição.
Outra maneira de determinarmos os elementos de uma sequência é através da lei de
3
Capítulo VI
recorrência. Essa lei nos permite encontrar um termo qualquer da sequência a partir do
termo anterior.
Exemplo 3
Vamos construir a sequência definida pelas relações:
a1 = 5
an+1 = an + 2, n ∈ ℕ*
(I)
Determinaremos o 2º termo a partir do 1º; o 3º a partir do 2º, e
assim por diante. Para isso, basta atribuirmos valores para n em (I):
n = 1 ⇒ a2 = a1 + 2 ⇒ a2 = 5 + 2 ⇒ a2 = 7
n = 2 ⇒ a3 = a2 + 2 ⇒ a3 = 7 + 2 ⇒ a3 = 9
an+1 = an + 2
significa
que
o
sucessor (an+1) de
um elemento é
igual ao antecessor
(an) mais 2
n = 3 ⇒ a4 = a3 + 2 ⇒ a4 = 9 + 2 ⇒ a4 = 11
n = 4 ⇒ a5 = a4 + 2 ⇒ a5 = 11 + 2 ⇒ a5 = 13
Assim, a sequência procurada é (5, 7, 9, 11, 13, …).
Progressão Aritmética
Observe a seguinte sequência:
(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente
é sempre igual a 3:
7 – 4 = 3; 10 – 7 = 3; 13 – 10 = 3; 16 – 13 = 3; 19 – 16 = 3; 22 – 19 = 3, ...
Podemos observar ainda que, considerando três termos da sequência, o termo central
é dado pela média aritmética entre os outros dois termos:
(a1, a2, a3) ⇒ (4, 7, 10) → Temos: 7=
410
2
(a3, a4, a5) ⇒ (10, 13, 16) → Temos: 13=
1016
2
(a5, a6, a7) ⇒ (16, 19, 22) → Temos: 19=
1622
2
Ou, ainda, o termo central também é dado pela média aritmética dos termos
equidistantes a ele:
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) ⇒ (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) → Temos: 10=
13=
416
719
, 13= 2 ,
2
4 21
10 22
, 16= 2
.
2
4
Capítulo VI
Podemos definir uma Progressão Aritmética (P.A.) como uma sequência de números
reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é
sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada razão da P.A. e é indicada por r.
Vejamos alguns exemplos:
1. Na P.A. (3, 6, 9, 12, …) temos r = 3.


1
1
3
2. Na P.A. − 2 ,−1,− 2 ,−2, ... temos r = − 2 .
3. Na P.A. (-6, -1, 4, 9, …) temos r = 5.
4. Na P.A. (5, 5, 5, 5, …) temos r = 0.
5. Na P.A. (23, 20, 17, 14, …) temos r = -3.
De acordo com o sinal da razão, podemos classificar as progressões aritméticas da
seguinte forma:
a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente, como nos exemplos 1 e 3.
b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente, como nos exemplos 2 e 5.
c) Quando r = 0, todos os termos da P.A. são iguais; nesse caso, dizemos que ela é
constante, como no exemplo 4.
Termo Geral da P.A.
Pretendemos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da
P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão.
Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.A. a uma regra especial de
formação. Temos:
• a2 – a1 = r ⇒ a2 = a1 + r
• a3 – a2 = r ⇒ a3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2r
• a4 – a3 = r ⇒ a4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3r
.
De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
.
.
an = a1 + (n-1)r
Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.A., permite-nos
conhecer qualquer termo da P.A. em função de a 1 e r. Assim, por exemplo, podemos escrever:
a9 = a1 + 8r; a15 = a1 + 14r; a73 = a1 + 72r, e assim por diante.
Exemplo 1
Vamos calcular o 20º termo da P.A. (26, 31, 36, 41, …):
Sabemos que a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5.
5
Capítulo VI
Utilizando a expressão do termo geral, podemos escrever:
a20 = a1 + 19r ⇒ a20 = 26 + 19 . 5 ⇒ a20 = 121
Exemplo 2
ea
Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16
soma do 5º com o 9º termo é igual a 2:
De acordo com o enunciado, temos:
a10 = 16
a5 + a9 = 2
⇔
a1 + 9r = 16
(a1 + 4r)+(a1 + 8r) = 2
⇔
a1 + 9r = 16
2a1 + 12r = 2
Resolvendo o sistema, segue que r = 5 e a1 = -29.
Assim, a P.A. pedida é (-29, -24, -19, -14, …).
Exemplo 3
Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A. (63, 59, 55, 51, ...)
Sabemos que a1 = 63 e r = -4
O temo geral da P.A. é an = a1 + (n-1)r
Então: an = 63 + (n-1)(-4) ⇒ an = 63 -4n + 4 ⇒ an = 67 – 4n
Agora temos condição de descobrir o 1º termo negativo da P.A.
67
Façamos an < 0, isto é, 67 – 4n < 0 ⇒ n > 4 ⇒ n > 16,75.
Como n pertence aos naturais, concluímos que o 1º termo negativo da P.A. é o 17º,
cujo valor é a17 = 67 – 4 . 17 ⇒ a17 = -1.
Exemplo 4
Determinemos x de modo que a sequência (x+5, 4x – 1, x² – 1) seja uma P.A.:
Utilizando a propriedade da média aritmética de três termos consecutivos, podemos
escrever:
4 x−1 =
 x5  x 2−1 
⇒ 8x – 2 = x² + x + 4 ⇒ x² – 7x + 6 = 0.
2
As raízes dessa equação são x = 1 e x = 6.
Podemos verificar que, para x = 1, a P.A. é (6, 3, 0) e, para x = 6, a P.A. é (11, 23, 35)
Soma dos n Primeiros Termos de uma P.A.
Reza a lenda que, em 1787, o diretor de uma escola alemã chamado Büttner pediu aos
seus alunos que somassem os números inteiros de um a cem, pois a turma estava fazendo
muita bagunça. O diretor mal havia enunciado o problema e um garoto de apenas 10 anos de
nome Johann Carl Friedrich Gauss (que futuramente seria conhecido como príncipe dos
matemáticos e considerado por muitos como o maior gênio da Matemática) já havia lhe
6
Capítulo VI
apresentado uma resposta: 5.050. Büttner ficou descrente quanto à sua resposta tão rápida e
só pode ter certeza de sua verossimilhança quando os outros alunos depois de muito tempo,
após terem feito 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 99 + 100, chegaram à mesma conclusão que Gauss. Ao
final da aula, ao ser perguntado sobre seu método para realizar esta tarefa percebeu-se que
este brilhante menino havia descoberto a soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Está curioso para saber como raciocinou Gauss? Você verá que o seu raciocínio foi
bem simples. Acompanhe:
Gauss simplesmente percebeu que a soma dos pares equidistantes das pontas 1 e
100, 2 e 99, 3 e 98, ..., é sempre igual a 101 e, como são 50 pares, bastaria calcular 50 x 101.
Assunto encerrado!
Trocando em miúdos, Gauss somou o primeiro com o último termo dessa sequência

100
(101 = 1 + 100) e multiplicou o resultado pela metade do número de termos 50= 2
.
A partir daí, deduz-se a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma
P.A.:
S n=
a 1a n . n
2
Exemplo
Calculemos a soma dos dez primeiros termos da P.A. (38, 42, 46, …):
Sabemos que a1 = 38 e r = 4.
Precisamos determinar o 10º termo da P.A.:
a10 = a1 + 9r ⇒ a10 = 38 + 9 . 4 ⇒ a10 = 74
Assim, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é:
S 10=
 a1 a n .10
⇒ S 10=3874.5=560
2
Progressão Geométrica
Observe a sequência: (3, 6, 12, 24, 48, ...)
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o
a2 6
a 3 12
a 4 24
= =2 ; = =2 ; = =2 , e assim por diante.
resultado é sempre igual a 2:
a1 3
a2 6
a 3 12
Temos também que, considerando três termos consecutivos dessa sequência, o
quadrado do termo central é igual ao produto dos outros dois. Dizemos que o termo central é a
média geométrica dos extremos.
Assim, temos:
(a1, a2, a3) ⇔ (3, 6, 12) e 6² = 3 . 12
7
Capítulo VI
(a2, a3, a4) ⇔ (6, 12, 24) e 12² = 6 . 24
Analogamente a uma P.A., a idéia da média geométrica pode ser estendida aos termos
equidistantes do termo central:
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) ⇔ (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192) → Temos:12² = 3 . 48; 24² = 6 .
96; 24² = 3 . 192
Portanto, podemos definir a Progressão Geométrica (P.G.) como uma sequência de
números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo
antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada razão da P.G. e é indicada por q.
Vejamos alguns exemplos:
(2, 6, 18, 54, …) é uma P.G. de razão q = 3
(-5, 15, -45, 135, …) é uma P.G. de razão q = -3
5
1
(20, 10, 5, 2 , …) é uma P.G. de razão q = 2
(4, -4, 4, -4, …) é uma P.G. de razão q = -1
Quando q < 0, como nos exemplos 2 e 4, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante.
Termo Geral da P.G.
Vamos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da P.G.
conhecendo apenas o 1º termo (a1) e a razão (q).
Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.G. a uma lei especial de
formação:
Seja (a1, a2, a3, …, an) uma P.G. de razão q. Temos:
•
a2
=q ⇒ a 2=a 1⋅q
a1
a3
2
• a =q ⇒ a 3=a 2⋅q ⇒ a 3=a 1⋅q
2
a4
=q ⇒ a 4=a 3⋅q ⇒ a 4=a 1⋅q 3
• a3
⋮
De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
an = a1 . qn-1
Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.G., permite-nos
conhecer qualquer termo da P.G. em função do 1º termo (a 1) e da razão (q). Assim, temos: a 6 =
a1 . q5; a11 = a1 . q10; a75 = a1 . Q74; e assim por diante.
8
Capítulo VI
Exemplo 1


1
Vamos determinar o 10º termo da P.G. 3 , 1,3,9 , ... :
1
Sabemos que a 1= 3 e q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral, podemos escrever:
1
a10 = a1 . q9 ⇒ a10 = 3 . 39 ⇒ a10 = 38 ⇒ a10 = 6.561
Exemplo 2
1
Numa P.G., o 4º termo é igual a 32 e o 1º termo é igual a 2 . Vamos determinar a
razão da P.G. e, em seguida, obter seu 8º termo:
Como a4 = a1 . q3, vem:
1
32 = 2 . q³ ⇒ q³ = 64 ⇒ q = 4
Usando novamente a expressão do termo geral, determinemos o 8º termo:
14
1
1
2
a8 = a1 . q7 ⇒ a8 = 2 . 47 ⇒ a8 = 2 . (2²)7 ⇒ a8 =
⇒ a8 = 213 = 8.192
2
9
Capítulo VII
Congruência de Triângulos
Dois triângulos serão congruentes se os lados e os ângulos correspondentes são
congruentes.
Lembremos que dois segmentos ou dois ângulos são congruentes se tem a mesma
medida.
Informalmente, podemos dizer que duas figuras planas, em particular dois triângulos,
são congruentes se um deles puder ser deslocado, sem alterar as suas medidas nem a sua
forma, até coincidir com o outro.
No caso da comparação entre dois triângulos, para verificarmos se eles são
congruentes não é necessário saber a medida de todos os seus elementos, basta conhecer
três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Daí nasceu os casos de
congruência (L.L.L., L.A.L., A.L.A., L.A.Ao.).
Resumindo, em dois triângulos quaisquer, eles serão congruentes se ambos:
• Possuírem três lados congruentes, assim os três ângulos, consequentemente,
também serão (caso L.L.L.).
• Possuírem dois lados e o ângulo por eles formados congruentes, assim o
terceiro lado e os outros dois ângulos também serão (caso L.A.L.).
• Possuírem um lado e dois ângulos
adjacentes a esse lado congruentes, assim,
consequentemente, os outros dois lados e o outro
ângulo também serão (caso A.L.A.).
• Possuírem um lado, um ângulo adjacente
e um ângulo oposto a esse lado congruentes,
assim, o outro ângulo e os outros dois lados
também serão (caso L.A.Ao.).
Responda rápido: Qual a
razão
entre
os
lados
correspondentes de dois triângulos
congruentes?
10
Capítulo VII
Exemplo 1
Pelo caso L.A.L., △ABC ≅ △DEF (Lê-se: o triângulo ABC é congruente ao triângulo
DEF), pois AB ≅ DE , AC ≅ DF e 
A≅
D
A
1,8 cm
D
80º
2,2 cm
B
1,8 cm
C
80º
2,2 cm
E
F
Exemplo 2
Pelo caso A.L.A., △ABC ≅ △DEF, pois BC ≅ EF , B ≅ 
E e C ≅ 
F
A
D
60º
50º
3 cm
B
60º
C
50º
3 cm
E
F
Exemplo 3
Pelo caso L.L.L., △ABC ≅ △DEF, pois AB ≅ DE , AC ≅ DF e BC ≅ EF
A
D
3 cm
2 cm
B
4 cm
3 cm
2 cm
C
E
F
4 cm
Exemplo 4
Pelo caso L.A.Ao., △ABC ≅ △DEF, pois BC ≅ EF , B ≅ 
A≅
E e
D
A
D
100º
100º
45º
B
45º
5 cm
C
E
5 cm
F
11
Capítulo VII
Tales e Quéops
O filosofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta
do ano 585 a. C.
Tales de Mileto passava grande parte do
tempo viajando, como era comum aos sábios
daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito,
passou a ser prestigiado pelo faraó Amásis por ter
medido a altura da pirâmide de Quéops sem
precisar escalá-la.
Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que no momento
em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da
pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.
A altura da piramide é a distancia do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura
é a medida do segmento VH .
Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:
1. Quando dois triângulos tem os ângulos iguais, então seus lados correspondentes
formam uma proporção.
2. Os raios solares são paralelos.
3. Já que os raios solares são paralelos, então os ângulos de incidência desses
raios solares num mesmo instante tem a mesma medida.
Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o
comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da
sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela
estaca, sua sombra e um raio solar.
Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles um ângulo reto e um ângulo
de mesma medida (ângulo de incidência do raio solar). Nesse caso, Tales, usando seus
conhecimentos de semelhança de triângulos, foi capaz de calcular a altura da pirâmide.
A Semelhança entre os Triângulos
Imagine que você seja um fotógrafo e um cliente seu lhe pediu para ampliar uma foto.
Como você faria a ampliação sem distorcer a imagem? Bom, se você não tiver conhecimentos
12
Capítulo VII
de semelhança de figuras planas certamente não terá como realizar esse trabalho, daí terá que
procurar outro emprego.
Faça a medição dos lados dos triângulos abaixo com uma régua, e se tiver um
transferidor, calcule os seus ângulos:
D
A
B
C
F
E
Qual é a sua conclusão a partir das medições? O que dizer quanto aos seus lados e
ângulos? Você deve ter percebido que os lados dos triângulos são proporcionais e os ângulos
são congruentes. Pois bem, esses dois triângulos são semelhantes! E é exatamente essa
característica que determina a semelhança entre duas figuras planas quaisquer, em particular
os triângulos, o fato dos seus lados serem proporcionais e seus ângulos congruentes.
A partir das medições, você deve ter concluído que AB =BC = 1,5 cm, BC = 2,1 cm,
=
DE =EF = 4,5 cm, DF = 6,3 cm e 
A =C
D =
F = 45º e 
B =
E = 90º.
Podemos concluir, a partir desses valores, que os lados do triângulo DEF é três vezes
maior que os lados do triângulo ABC, pois a razão (que recebe o nome de razão de
AB
BC
AC
semelhança) entre os lados correspondentes vale 3, ou seja, DE = EF = DF =3 . Lê-se: AB
está para DE assim como BC está para EF , BC está para EF assim como AC está para DF
ou, então, AB está para DE assim como AC está para DF
Enquanto que na congruência de
triângulos a razão de semelhança vale
sempre 1, na semelhança de triângulos
essa razão pode variar.
Portanto, para ampliar uma foto, basta usar seus conhecimentos de semelhança de
figuras e multiplicar as dimensões da foto (comprimento e altura) pela razão de semelhança
que desejar.
Podemos formalizar uma definição para semelhança de triângulos da seguinte
maneira: Dois triângulos ABC e DEF são semelhantes quando tem os ângulos
correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais e denotamos
por: △ABC ~ △DEF
13
Capítulo VII
Critérios de Semelhança
Vimos que, se dois triângulos tem os ângulos respectivamente congruentes, eles tem
os lados respectivamente proporcionais. Portanto, eles são triângulos semelhantes.
Na verdade, para saber se dois triângulos são semelhantes, não é preciso verificar se
eles tem os três ângulos respectivamente congruente e se os lados correspondentes são
proporcionais, pois existem, também, certos casos que estabelecemos para esse
reconhecimento. Vejamos quais são:
• Caso AA (Ângulo-Ângulo)
Nos triângulos, a soma dos ângulos internos é 180º. Assim, se dois ângulos forem
respectivamente congruentes, o mesmo acontecerá com o ângulo restante. Ou seja, basta
verificarmos apenas dois ângulos correspondentes.
A
45º
D
40º
B
45º
C
40º
E
F
=

F = 40 ⇒ 
A =
D = 95º e △ABC ~ △DEF
B =
E = 45º, C
• Caso L.A.L. (Lado-Ângulo-Lado)
Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e ângulos
congruentes compreendidos entre estes lados, então estes dois triângulos são semelhantes.
I
2 cm
J
63º
L
3,4 cm
1 cm
K
M
63º
1,7 cm
N
2 3,4
A =
D =63º ⇒ △IJK ~ △LMN
Temos que: 1 = 1,7 =2 (são proporcionais) e 
• Caso L.L.L. (Lado-Lado-Lado)
Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então estes
triângulos são semelhantes.
14
Capítulo VII
3 cm
Q
R
2,5 cm
1,8 cm
U
0,9 cm
1,25 cm
S
P
3
1,5 cm
T
2,5
1,8
Temos que: 1,5 = 1,25 = 0,9 =2 (são proporcionais) ⇒ △PQR ~ △STU
Retornando ao Problema de Tales
Agora que sabemos reconhecer quando dois
triângulos são semelhantes, vamos entender o que se
passou na cabeça de Tales.
O primeiro conceito de semelhança de
triângulos que Tales aplicou foi o critério de
semelhança AA, pois os dois triângulos imaginários,
como você vê na figura acima, tinham em comum o
ângulo de 90º e o ângulo de incidência solar. Então, já
que esses triângulos são semelhantes, seus lados são
proporcionais, daí vale a relação que resulta na razão
de semelhança. No caso:
altura da pirâmide sombra metade da base da pirâmide
=
altura da estaca
sombra da estaca
Como era fácil calcular a altura da estaca, sua sombra e a sombra da pirâmide
juntamente com a metade da sua base, bastou substituir os valores na relação acima para
poder calcular a altura da pirâmide em qualquer momento.
15
Capítulo VIII
A trigonometria é a parte da Matemática que trata dos cálculos nos triângulos.
Podemos ainda dizer, que a trigonometria relaciona medidas de lados com medidas de
ângulos. Seu significado vem das palavras gregas trigonom (triângulo) e metría (medição).
Apesar da trigonometria tratar dos cálculos em qualquer triângulo, ela nasceu a partir
dos estudos do triângulo retângulo, e para começarmos a estudá-lo precisaremos relembrar
alguns conceitos acerca deste tipo de triângulo:
• Os lados de um triângulo retângulo são
chamados de cateto e hipotenusa.
• De acordo com o teorema de Pitágoras:
(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
• Como a soma dos ângulos internos de
qualquer triângulo é sempre 180º, num triângulo
retângulo um de seus ângulos é reto (90º) e os
outros dois são sempre agudos e complementares
(soma = 90º)
Construindo Triângulos Retângulos Semelhantes
Seja um ângulo agudo x qualquer:
16
Capítulo VIII
Observe que a partir desta construção, podemos desenhar uma infinidade de triângulos
retângulos:
Então, a partir de um ângulo agudo temos condições de desenhar vários triângulos
retângulos:
M
K
I
G
E
C
A
x
Figura 1
•
B
•
D
•
F
•
H
•
•
J
L
Repare que, pelo critério de semelhança AA, todos os triângulos retângulos
desenhados são semelhantes, pois todos tem em comum o ângulo x e o ângulo reto. E como
esses triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais, então valem as seguintes
relações:
BC
DE
FG
HI
JK
LM
Relação 1: AC = AE = AG = AI = AK = AM =... ,
AB AD AF AH
AJ
AL
Relação 2: AC = AE = AG = AI = AK = AM =... e
BC
DE
FG
HI
JK
LM
Relação 3: AB = AD = AF = AH = AJ = AL =...
Relacionando os Lados e os Ângulos de um Triângulo Retângulo
FG
,
HI
Primeiramente, para diferenciar os catetos num triângulo retângulo, os lados BC , DE ,
, JK e LM da figura 1, que estão no lado oposto do ângulo x, são chamados de
17
Capítulo VIII
cateto oposto, e os lados AB , AD , AF , AH , AJ e AL , que estão ao lado do ângulo x, ou
seja, são vizinhos desse ângulo, são chamados de cateto adjacente.
Observando as três relações da folha anterior, percebemos que:
1. A primeira relaciona os catetos opostos ao ângulo x com as hipotenusas.
2. A segunda relaciona os catetos adjacentes ao ângulo x com as hipotenusas.
3. E a relação 3 relaciona os catetos opostos ao ângulo x com os catetos adjacentes
ao ângulo x.
Então, reescrevendo as proporções obtidas na figura 1 usando essa nova
nomenclatura, em relação ao ângulo x, temos:
BC DE cateto oposto
=
=
AC AE
hipotenusa
AB AD cateto adjacente
=
=
AC AE
hipotenusa
BC DE
cateto oposto
=
=
AB AD cateto adjacente
Essas três relações trigonométricas que acabamos de generalizar, pela sua
importância na trigonometria, recebem nomes especiais:
cateto oposto
1. A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se: sen x= hipotenusa
2. A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escreve-se: cos x=
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
3. A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se: tg x= cateto adjacente
18
Capítulo VIII
Entendendo Melhor as Relações Trigonométricas
Seno
Seja uma escada de 15 m de comprimento que está encostada a uma parede num
ponto B e ao solo num ponto C. Em A temos um ângulo reto.
BC1 = 5 m
B
BC2 = 10 m
BC = 15 m
BA1 = 4 m

•
A1
•
A2
BA2 = 8 m
C1
C2
BA = 12 m
A1C1 = 3 m
A2C2 = 6 m
AC = 9 m
•
A
C
Se uma pessoa estiver descendo a escada a partir de B:
• Ao atingir o ponto C1 terá percorrido 5 m, terá descido verticalmente 4 m e estará
afastada da parede 3 m;
• Ao atingir o ponto C2 terá percorrido 10 m, terá descido verticalmente 8 m e estará
afastada da parede 6 m;
• Ao atingir o ponto C terá percorrido 15 m, terá descido verticalmente 12 m e
estará afastada da parede 9 m.
Calculando as razões
A 1 C 1 3 A 2 C 2 6 AC 9
= ,
= ,
=
, verificamos que todas são iguais,
BC 1 5 BC 2 10 BC 15
sendo o valor comum 0,6.
Mudando a inclinação da escada, como os triângulos BA 1C1, BA2C2 e BAC são
semelhantes, as razões continuam iguais entre si, porém o valor comum mudará. Isso deve
significar que esse valor comum das razões depende do ângulo que a escada forma com
a parede.
De fato, indo mais adiante, podemos afirmar que o ângulo de medida  determina o
valor das razões do tipo cateto oposto a  sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos BA1C1,
BA2C2 e BAC da figura. E essa figura é o seno de . No caso da figura:
A 1 C 1 A 2 C 2 AC
=
=
=0,6.
BC 1
BC 2 BC
Ou seja, em geral, para um ângulo agudo  de um triângulo retângulo:
sen =
cateto oposto a 
hipotenusa
19
Capítulo VIII
Cosseno
Voltando à figura da escada, utilizando o mesmo raciocínio observaremos agora as
razões do tipo cateto adjacente ao ângulo  sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos
BA1C1, BA2C2 e BAC. Verificamos que:
BA 1 BA 2 BA
=
=
=0,8.
BC 1 BC 2 BC
Este valor comum das razões é o cosseno de . Daí, num triângulo retângulo:
cos =
catetoadjacente a 
hipotenusa
Tangente
Ainda no problema da escada, calculando as razões do tipo cateto oposto a  sobre
cateto adjacente a  nos triângulos BA1C1, BA2C2 e BAC, obtemos:
A 1 C 1 A 2 C 2 AC
=
=
=0,75.
BA 1
BA 2
BA
E essa razão é a tangente de . Temos, então:
tg =
cateto oposto a 
cateto adjacente a 
Tabela Trigonométrica
Como vimos, para calcular o seno, o cosseno e a
tangente de um ângulo agudo, basta desenhar um
triângulo retângulo que possua esse ângulo, medir com
bastante precisão os seus lados e calcular as raízes.
Vejamos como calcularíamos essas raízes para
um ângulo de 32º:
Vamos utilizar um papel milimetrado (papel
quadriculado onde os lados de cada quadradinho medem
1 milímetro = 1 mm) para tentar ser bastante precisos.
Observe que construímos um ângulo de 32º e o
triângulo OPQ. Medindo seus lados temos:
OP = 50 mm, PQ = 31 mm, OQ = 59 mm
31
sen 32º ≅ 59 = 0,52
50
cos 32º ≅ 59 = 0,84
20
Capítulo VIII
31
tg 32º ≅ 50 = 0,62
No entanto, esses valores, obtidos por processos gráficos, por melhor que seja nosso
desenho, apresentam sempre imprecisões. Além disso, seria muito trabalhoso obter os valores
de senos, cossenos e tangentes de ângulos graficamente, cada vez que precisássemos desses
valores.
Existem processos para calcular senos, cossenos e tangentes com muitas casas
decimais exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para
usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada.
Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica, que está
anexada na última folha.
Nessa tabela, poderemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente com uma
aproximação de 4 casas decimais para todos os ângulos com medidas inteiras entre 1º e 90º.
Exemplo
Um torneiro mecânico precisa moldar uma peça e recebe o projeto a seguir. Todas as
medidas necessárias à fabricação constam na figura. No entanto, como saber exatamente
onde ele deve começar a fazer a inclinação para obter um ângulo de 25°, como mostra o
projeto?
Esse é um exemplo de aplicação da trigonometria dos
triângulos retângulos na indústria.
Para resolver o problema, o que precisamos é
determinar o cateto x do triângulo retângulo a seguir:
Com os dados do projeto, podemos calcular AP:
21
Capítulo VIII
AQ = 50 e BR = 10
Assim, AP =
50−10
=20
2
Sendo o ângulo B de 25° no triângulo ABP, podemos escrever:
tg 25 ° =
cateto oposto
AP 20
=
=
cateto adjacente BP
x
De acordo com a tabela, tg 25° = 0,4663. Usando apenas 3 casas decimais, temos:
0,466=
20
20
x=
x ou
0,466 ≅ 43
Dessa maneira, o torneiro descobre que o comprimento 100 da figura está dividido em
duas partes, uma valendo 43 e a outra 67. Em 67 unidades de comprimento não há
inclinação, e nas outras 43 ele deve inclinar a peça de tal maneira que seu final fique com 14
unidades de comprimento.
Ângulos Notáveis
Apesar de termos à nossa disposição uma tabela com todos os valores de seno,
cosseno e tangente dos ângulos compreendidos entre 1° e 90°, daremos uma atenção especial
a alguns ângulos chamados de notáveis, pois, além de serem geometricamente mais simples,
são também uns dos mais facilmente encontrados no nosso dia a dia. Esses ângulos são os de
30°, 45° e 60°.
O Ângulo de 45°
Uma figura geométrica muito simples e bastante utilizada é o quadrado. Traçando um
segmento de reta unindo dois vértices não consecutivos do quadrado (uma diagonal), dividimos
o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
22
Capítulo VIII
Em qualquer um desses triângulos, dois lados são iguais aos lados do quadrado, a
hipotenusa é igual à diagonal do quadrado, e os dois ângulos agudos são iguais a 45°.
Sabendo que os dois catetos medem ℓ podemos calcular o comprimento d da hipotenusa
usando o Teorema de Pitágoras:
d² = ℓ² + ℓ²
d² = 2ℓ²
d = 2ℓ  d = ℓ  2
2
Assim, para qualquer quadrado de lado ℓ, calculamos facilmente o comprimento da
diagonal multiplicando ℓ por  2 .
Usando as relações trigonométricas, temos condições de descobrir o seno, cosseno e
tangente de 45°:
sen 45 ° =
catetooposto
ℓ
2
=
=
hipotenusa
2
ℓ 2
cos 45° =
cateto adjacente
ℓ
2
=
=
hipotenusa
ℓ 2 2
tg 45 ° =
cateto oposto
ℓ
= =1
cateto adjacente ℓ
Você já observou um par de esquadros? Existem 2 tipos
de esquadro. Um deles é formado por um ângulo reto e dois
ângulos de 45°, e o outro possui um ângulo reto, um ângulo de
30° e outro de 60°.
Esquadro 1
Esquadro 2
23
Capítulo VIII
Os Ângulos de 30° e 60°
Imagine que tenhamos 2 esquadros iguais como o esquadro 2. Se unirmos esses
esquadros pelos catetos graduados, ou seja, com os ângulos de 60° para baixo, formaremos
um triângulo equilátero.
Os dois catetos que estão encostados tornam-se a altura deste triângulo equilátero, e
como todos os seus lados são iguais vamos chamá-los de ℓ.
A palavra equilátero vem do latim aequilateralis (aequi = igual e lateralis
= lado) e recebe esse nome porque todos os seus lados tem valores iguais.
Por conta disso, seus ângulos também são equivalentes e valem 60°. A sua
altura é também mediana (divide o lado oposto em duas partes iguais) e
bissetriz (divide o ângulo do vértice em dois ângulos iguais).
Usando o Teorema de Pitágoras podemos calcular a medida da altura h em função do
lado ℓ:
2

ℓ
ℓ² = h² +
2
h² = ℓ² h² =
ℓ2
4
4ℓ²− ℓ²
4
3ℓ²
ℓ 3
h² = 4 ⇒ h =
2
Assim, conhecendo a medida do lado de um triângulo equilátero, pode-se calcular sua
altura através do resultado que acabamos de encontrar.
Utilizando as razões trigonométricas temos condições de encontrar o seno, cosseno e
tangente dos ângulos de 30° e 60°:
24
Capítulo VIII
ℓ 3
catetooposto
2
3
sen 60 ° =
=
=
hipotenusa
ℓ
2
ℓ
ℓ
cateto adjacente 2 1
cos 60 ° =
= =
hipotenusa
ℓ 2
ℓ
2
ℓ 3
catetooposto
2
tg 60 ° =
=
= 3
catetoadjacente
ℓ
2
ℓ
h
ℓ
2
30
°
ℓ 3
2
ℓ
60
ℓ °
2
ℓ 3
cateto adjacente
2
3
cos 30 ° =
=
=
hipotenusa
ℓ
2
ℓ
cateto oposto 2 1
sen 30 ° =
= =
hipotenusa
ℓ 2
ℓ
catetooposto
2
3
tg 30 ° =
=
=
cateto adjacente ℓ  3
3
2
Podemos resumir os resultados obtidos numa tabela:
seno
cosseno
tangente
30°
45°
60°
1
2
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
1
3
3
3
25
Capítulo IX
Antes de começarmos o estudo de figuras planas, vamos relembrar alguns conceitos
que relacionam ângulos e retas.
Retas
Você já deve saber que duas retas podem ser paralelas ou concorrentes. As retas
paralelas são as que não tem nenhum ponto em comum, ou seja, não se encontram. Já as
concorrentes são aquelas que se cruzam em um ponto.
Retas concorrentes
Retas paralelas
O. P. V.
As retas concorrentes determinam 2 pares de ângulos, ambos opostos pelo vértice
(ponto de interseção das retas).
b
c
a
d
Repare que os ângulos a e b formam um ângulo raso (ângulo de 180°) e que b e c
também formam o mesmo ângulo. Como b é o mesmo nos dois casos, podemos afirmar que a
e c , que são ângulos opostos pelo vértice (O. P. V.) são congruentes. Analogamente,
26
Capítulo IX
concluímos o mesmo para b e d .
Portanto, podemos dizer que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos de Duas Retas com uma Transversal
Agora, consideremos duas retas paralelas r e s cortadas por uma terceira reta t
transversal às outras duas:
t
a
r
d
c
e
s
h
b
f
g
De acordo com o que já aprendemos, podemos concluir que os pares de ângulos a e c
, b e d , e e g , f e h são congruentes pois são opostos pelo vértice.
Como a inclinação da reta s em relação à reta t é a mesma da reta r em relação à t,
 f , a =e , d =h , c= g e, consequentemente,
pois s e r são paralelas, podemos afirmar que b=
 d = f = h .
teremos também a =c =e = g , b=
Por causa das igualdades, esses ângulos se correspondem, então, podemos dizer que
ângulos correspondentes são congruentes.
Polígonos
Podemos dizer, de um modo geral, que polígono é a região do plano limitada por uma
poligonal fechada.
Mas o que poligonal? A poligonal é formada por uma sucessão de pontos consecutivos
não colineares.
Poligonal Aberta
Quando a extremidade do último segmento se liga à origem do primeiro, temos uma
poligonal fechada, que forma um polígono.
27
Capítulo IX
Vejamos alguns exemplos de polígonos:
• Polígonos Simples
• Polígonos Entrelaçados
• Polígonos Convexos: Um polígono é convexo quando o segmento reto que une
dois pontos internos está contido na região interior do polígono.
• Polígono não convexo: Um polígono é não convexo quando o segmento reto
que une dois pontos internos quaisquer pode ter uma parte externa à figura.
Os polígonos convexos são aqueles que são mais encontrados no nosso dia a dia, por
isso são os mais importantes, os mais utilizados e, por causa disso, os mais estudados. A partir
de agora, nos limitaremos a estudá-los.
Os Incas da América do Sul foram
habilidosos construtores em pedra. Observe como
são variados os polígonos empregados em suas
construções.
28
Capítulo IX
Elementos de um Polígono Convexo
Seja o polígono ABCD a seguir:
A
D
B
C
1. Vértices - são os pontos extremos dos segmentos: A, B, C e D
2. Lados - são os segmentos que se unem pelas extremidades: AB , AD , BC e CD ,
3. Diagonal - são os segmentos de retas que unem vértices não consecutivos:
BD e AC
4. Ângulos internos - são os ângulos formados por dois lados consecutivos:
 , B , C e D

A
Alguns polígonos convexos recebem nomes especiais, dependendo do numero de
lados.
Numero de lados
Nomes
Numero de lados
Nomes
3
Triângulo
9
Eneágono
4
Quadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Undecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octógono
20
Icoságono
29
Capítulo IX
Polígonos Regulares
Um polígono convexo é regular, quando tem os lados e os ângulos congruentes. Ex.:
B
AB ≃ BC ≃ CD ≃ DA
C
A
D
Número De Diagonais De Um Polígono
Seja o retângulo ABCD:
B
C
A
D
Tomemos o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro
vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser
desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono
Se k é o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os três vértices
com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A, criaremos uma
fórmula que descreve a quantidade de diagonais a partir de um único vértice.
k = n – 3 (onde n é o número de vértices do polígono)
Aplicando essa fórmula ao retângulo acima temos; k = 4 – 3 = 1. Portanto, para o
vértice A, temos apenas uma diagonal possível a ser traçada.
Agora, aplicando o mesmo raciocínio aos outros vértices, teremos:
a) Para o vértice B: k = 4 – 3 = 1
b) Para o vértice C: k = 4 – 3 = 1
c) Para o vértice D: k = 4 – 3 = 1
Concluímos, então, que em cada vértice sai uma diagonal. Portanto, até agora,
contamos 4 diagonais no total (mesmo número de vértices do polígono). Aprimoraremos a
fórmula anterior para k = n(n-3).
Mas, se repararmos bem, perceberemos que as diagonais foram contadas duas vezes.
Contamos a diagonal AC a partir de A e também a partir de C. O mesmo acontece com a
diagonal BD . Portanto, concluímos que contamos o dobro de diagonais que realmente tem no
retângulo, então aprimoraremos pela última vez a fórmula dividindo o resultado por dois para
corrigir o problema:
d=
n  n−3 
2
30
Capítulo IX
Então, aplicando a fórmula para retângulo encontraremos duas diagonais apenas.
Área dos Polígonos
Digamos que você receba duas ofertas de compra de dois terrenos de mesmo valor. As
plantas dos terrenos estão a seguir:
18 m
20 m
20 m
Terreno do Sr. Y
Terreno do Sr. Z
22 m
26 m
A escolha mais acertada, certamente deverá ser pelo terreno de maior área.
Vamos desenvolver fórmulas para as áreas das figuras geométricas.
Retângulos
3 cm
Consideremos um retângulo de 3 cm por 4 cm. Vamos dividir o comprimento em 4
partes iguais e a largura em 3 partes iguais. Cada quadradinho de 1 cm de lado tem 1 cm² de
área, que corresponde à uma unidade de área.
1
cm²
4 cm
Portanto, se contarmos todos os quadradinhos, o retângulo terá 12 unidades de área
ou 12 cm² de área, que é justamente a multiplicação do comprimento ou base (b) pela largura
ou altura (h).
Então, podemos dizer que a fórmula para o cálculo da área de um retângulo é:
ARETANGULO: b x h
Triângulos
Seja um retângulo qualquer. Tracemos uma diagonal.
31
Capítulo IX
Podemos observar que essa diagonal determina dois triângulos idênticos. Daí,
podemos pensar que a área do retângulo é o dobro da área do triângulo. Portanto, a área do
triângulo vale a metade da área do retângulo. Então,
bxh
ATRIÂNGULO: 2
Podemos pensar também em um triângulo qualquer. Se o duplicarmos o dispormos
como abaixo, formaremos um paralelogramo. Então a área do triângulo será a metade da área
do paralelogramo.
Paralelogramo
Um paralelogramo é todo quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Portanto,
concluímos que o retângulo e o quadrado são paralelogramos. Na realidade, são casos
particulares de paralelogramos.
Para calcular sua área transportaremos uma parte da figura para o outro lado como
mostrado na figura:
Repare que formamos um retângulo, então podemos concluir que a área do
paralelogramo é a mesma da área do retângulo. Então,
APARALELOGRAMO: b x h
32
Capítulo IX
Losango
De acordo com as suas propriedades, um losango possui os quatro lados congruentes
e os ângulos opostos iguais. Ao traçarmos as suas diagonais verificaremos que o losango
possui uma diagonal maior que a outra. No caso do losango abaixo, a diagonal AC ( D) é maior
que a diagonal BD (d).
A
B
D
C
Se repararmos bem, a diagonal menor (d) determina dois triângulos congruentes, pois
 C e os ângulos da base do △ABD e △BCD também são congruentes. Então, podemos
A=
pensar na área do losango como a soma desses triângulos isósceles.
Como já sabemos, área de um triângulo é dada por
bxh
2 , mas as bases desses
triângulos são dadas por d e suas alturas são dada pela metade da diagonal maior (D). Então,
D
dx
2 . Somando as áreas dos triângulos
a área de cada triângulo do losango é dada por
2
obteremos:
dx
2
D
2
dx

D
2
2
 
dx
=2
2
D
2
=d x
D dxD
=
2
2
Portanto, a fórmula da área de um losango qualquer é dada por:
Dxd
ALOSANGO: 2
Trapézio
O trapézio é o único quadrilátero que possui apenas um par de lados opostos
paralelos.
33
Capítulo IX
Assim como fizemos com o losango e o paralelogramo, vamos dividir a figura para
calcular sua área.
Vamos representar as bases do trapézio por B e b e a altura por h:
b
h
B
Desta vez, ao invés de dividirmos a figura em dois triângulos, dividiremos em um
retângulo e um triângulo retângulo. Para calcularmos sua área, basta somarmos essas outras
áreas.
A área do retângulo nesse trapézio é dada por b x h. E a área do triângulo no trapézio é
dada por
 B −b  h
2
. Então somando as áreas temos:
bh+
 B−b  h 2bh +Bh−bh
2
=
2
=
Bh+bh  B+b  h
=
2
2
Dai, concluímos que a área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula:
ATRAPÉZIO:
 B+b  h
2
Voltemos aos problemas dos terrenos:
20 m
Terreno do Sr. Y
18 m
20 m
22 m
Terreno do Sr. Z
A área do terreno do Sr. Y vale 20 x 22 = 440
vale
 2620  18
2
26 m m² e a área do terreno do Sr. Z
=414 m 2 . Portanto, a melhor compra será do terreno retangular, pois tem a
maior área.
Círculo
O Número PI () e o Contorno Do Círculo
A constante  foi encontrada pelos matemático gregos, da escola de Pitágoras, da
seguinte maneira:
34
Capítulo IX
Eles tomaram três discos de tamanhos diferentes, mediram experimentalmente o
contorno e o diâmetro de cada um. Depois, dividiram a medida de cada contorno pelo diâmetro
correspondente. Verificaram, então, que o quociente obtido era quase o mesmo. Assim, ficou
determinado o número constante pelo qual devemos multiplicar o diâmetro, para acharmos o
contorno de uma circunferência qualquer.
A multiplicação pelo diâmetro se deve ao fato de que
como o número π é dado pela razão entre o contorno e o
Você também pode
fazer esse experimento
em casa. Faça as
medições
dos
contornos e diâmetros
de objetos redondos e
coloque em um quadro
como no ao lado,
informando a razão
entre essas medidas.
diâmetro,
encontrados
manualmente
 ,
c
d
compensamos
operando a multiplicação dessa razão pelo diâmetro afim de
encontrarmos o contorno da circunferência, ou seja,
c
c= ×d=πd ⇒c=πd .
d
Como já sabemos, o diâmetro é o segmento de reta,
que passa pelo centro do círculo e o divide em duas metades e
o raio é o segmento de reta que parte do centro da
circunferência em direção a qualquer ponto dela. Concluímos,
então, que o raio é a metade do diâmetro ou que o diâmetro é o
dobro do raio. Portanto, c=πd ⇒ c=π 2r ou, então, c = 2πr.
A fórmula para encontrarmos o comprimento de uma circunferência é:
c = 2πr
Há 100 anos aproximadamente, o matemático William Shanks
calculou o número π com 707 casas decimais. Para realizar essa
tarefa, precisou de 15 anos!
Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o
número π com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.
π = 3,1415926535897932384626433832795028...
Na prática, usa-se apenas 3,14 ou 3,1416 para aproximar o valor de π.
35
Capítulo IX
Área Do Círculo
Consideremos um círculo qualquer com polígonos inscritos nele.
Observe que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono regular inscrito
ao círculo mais seu perímetro vai se aproximando do comprimento da circunferência.
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 5
Figura 3
Figura 6
Observe os polígonos regulares na mesma circunferência:
Imagine que dividamos o quadrado, na figura 2, em quatro triângulos, ligando o centro
da circunferência até seu vértice. Poderemos pensar na sua área como a soma dos triângulos
36
Capítulo IX
isósceles que o determinam. O mesmo podemos pensar no pentágono da figura 3, que pode
ser divido em 3 triângulos. Assim, sucessivamente, podemos pensar em dividir os polígonos
regulares das figuras 4, 5 e 6 em triângulos isósceles.
Nesses termos, percebemos que as áreas desses polígonos vão aumentando e ficando
cada vez mais próximas da área desconhecida do círculo.
Observe como fica a área de um dodecágono inscrito:
ah
Chamando de a o valor do seu lado, sua área fica: 12⋅ 2 .
Então, a área de qualquer polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser
ah
dada por n⋅ 2
Mas n⋅a é o valor do perímetro de uma figura de n lados. Dai, podemos pensar na área
h
desse polígono inscrito como:  perímetro do polígono inscrito × .
2
Então, aumentando cada vez mais o número de lados desse polígono inscrito, a
tendência é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimento da
circunferência, e a altura de cada triângulo formado no polígono regular ficar igual ao raio do
círculo. Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser
indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados:
 perímetro ou comprimento do círculo × r
2
ou
r
2 πr⋅ ⇒ πr 2
2
2
Portanto, a área de um círculo é dado A CIRCULO =πr por:
Área Do Setor Circular
Consideremos um setor de ângulo α e raio r.
37
Capítulo IX
A área do setor é diretamente proporcional à medida do ângulo central.
Como a área de um círculo, que sempre tem 360°, é πr², então a área do setor circular
poderá ser calculada pela regra de três:
Área
Ângulo central
Setor
A
___________________
α°
Círculo
πr²
___________________
360°
A
α
πr 2 α
=
⇒
A
=
⇒ 2
SETORCIRCULAR
360
πr 360
Então, a área do setor circular de qualquer círculo é dada por:
2
A SETOR CIRCULAR=
πr α
360
38
Capítulo X
Variável
Um colégio está interessado em traçar um perfil de seus alunos dos cursos do 2º grau.
Para isso, escolheu uma equipe de pesquisadores que definiu seis diferentes objetos de
estudo: sexo, idade, área da carreira universitária pretendida, número de irmãos, disciplina
favorita e renda familiar mensal. A investigação dos itens acima permitirá à equipe traçar o
perfil desejado.
Para isso, a equipe entrevistou 20 alunos do colégio, os quais transmitiram as
informações pedidas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Algumas variáveis, como sexo, área da carreira universitária pretendida e disciplina
favorita, apresentam como resultado uma qualidade (atributo) ou preferência do estudante
entrevistado. Variáveis dessa natureza recebem o nome de variáveis qualitativas. Se
considerarmos, por exemplo, a variável área da carreira universitária pretendida, diremos que
exatas, humanas e biológicas correspondem às realizações dessa variável.
Outras variáveis, como idade, numero de irmãos e renda familiar mensal, apresentam
como resposta um número real, resultante ou de contagem ou de mensuração. Variáveis
assim definidas são chamadas variáveis quantitativas. Estudando a variável número de
irmãos, por exemplo, dizemos que 0, 1, 2, 3 ou 4 são as realizações ou valores assumidos por
essa variável.
Sexo
Idade
Área da
carreira
universitária
pretendida
Masculino
16
Humanas
2
História
11,2
Masculino
17
Biológicas
3
Biologia
18,5
Feminino
15
Humanas
2
Geografia
12,1
Número de
irmãos
Disciplina
favorita
Renda familiar
mensal (em
salários mínimos)
39
Capítulo X
Masculino
14
Exatas
1
Matemática
11,5
Feminino
14
Exatas
1
Geografia
10
Feminino
15
Biológicas
0
Química
10,7
Masculino
15
Biológicas
0
Biologia
11,6
Masculino
15
Exatas
1
Português
12,4
Masculino
19
Humanas
3
Português
15,9
Feminino
15
Biológicas
1
Química
9,6
Feminino
20
Humanas
4
História
16,3
Masculino
17
Humanas
0
Matemática
12,9
Masculino
16
Humanas
1
História
13,4
Feminino
16
Humanas
2
Geografia
13,2
Feminino
16
Biológicas
2
Matemática
11,7
Feminino
18
Humanas
2
Geografia
17,6
Masculino
15
Exatas
1
Matemática
12,6
Masculino
18
Exatas
3
Física
13,1
Masculino
18
Biológicas
4
Química
15,4
Masculino
14
Biológicas
1
Física
8,7
Tabelas de Frequência
A simples observação dos dados brutos apresentados na tabela anterior não nos
permite explicar o comportamento das variáveis em estudo.
Um primeiro passo a ser dado, na obtenção de informações mais resumidas e precisas
a respeito do comportamento das variáveis, é a construção de tabelas de frequência.
Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que ocorre cada uma de
suas realizações (ou valores). O número obtido é chamado frequência absoluta e indicado por
ni (cada realização de uma variável apresenta um valor para n i).
Considerando as realizações da variável área da carreira pretendida, temos os
seguintes valores de ni:
•
Humanas: 8
•
Biológicas: 7
•
Exatas: 5
A frequência absoluta não é uma medida muito conveniente para a analise dos dados,
especialmente nos casos em que se deseja comparar a distribuição de uma mesma variável ao
longo de populações diferentes (poderíamos estar interessados em comparar a carreira
pretendida por estudantes em diferentes colégios). Assim, precisamos definir uma medida que
leve em consideração o número total de observações colhidas.
Para isso, definimos a frequência relativa (indica-se por ƒi) como a razão entre a
40
Capítulo X
frequência absoluta (ni) e o número total de observações (n), isto é: f i =
ni
n
.
Como ni ≤ n, segue que 0 ≤ ƒi ≤ 1. Por esse motivo é comum expressar ƒi em
porcentagem.
Exemplo 1
Para a variável área da carreira universitária pretendida, construímos a seguinte tabela
de frequência:
Área da carreira
universitária
pretendida
Frequência
absoluta (ni)
Frequência
relativa (ƒi)
Porcentagem
Humanas
8
8
=0,4
20
40,00%
Biológicas
7
7
=0,35
20
35,00%
Exatas
5
5
=0,25
20
25,00%
Total
20
1
100,00%
A construção das tabelas de frequência par as demais variáveis do exemplo acima é
análoga. Muitas vezes, porém, pode ocorrer que os valores assumidos por uma variável
quantitativa variem em determinado intervalo real, não havendo, praticamente, repetição de
valores. Por exemplo, os valores da renda familiar mensal da tabela anterior variam no
intervalo [8,19[ (em salários mínimos). Nesse caso, construímos a tabela de frequência em
classes ou intervalos de valores.
Exemplo 2
Vejamos a tabela de frequência para a variável renda familiar mensal (em salários
mínimos):
Classes de
valores
Frequência
absoluta (ni)
Frequência
ni
relativa
n
Porcentagem
8 Ⱶ 10
2
0,1
10,00%
10 Ⱶ 12
6
0,3
30,00%
12 Ⱶ 14
7
0,35
35,00%
14 Ⱶ 16
2
0,1
10,00%
16 Ⱶ 18
2
0,1
10,00%
18 Ⱶ 20
1
0,05
5,00%

41
Capítulo X
Total
20
1
100,00%
 A notação a b refere-se ao intervalo a,b, que inclui a mas não inclui b.
 A amplitude da classe a b é dada pela diferença b – a. No exemplo anterior,
a amplitude de cada uma das classes é igual a 2.
 Não há regras fixas para a construção das classes da tabela anterior, a
partir dos dados brutos. Dependendo da natureza dos dados, podemos ter
um número maior ou menor de classes. Procuraremos, na medida do
possível, construir classes de mesma amplitude e evitaremos, apenas,
considerar classes de amplitude muito grande ou muito pequena, a fim de
que não haja comprometimento na análise.
Representação Gráfica
Os gráficos constituem poderoso instrumento de análise e interpretação de um
conjunto de dados. Eles aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de
opinião pública, pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde são apenas alguns
exemplos de assuntos em que as representações gráficas assumem um papel fundamental
para explicar o comportamento do objeto de estudo. Os mais poderosos recursos fornecidos
pelos gráficos são a facilidade e a rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por
parte do leitor.
Estudaremos aqui duas representações gráficas: o gráfico de setores e o gráfico de
barras.
Gráfico de Setores
Suponhamos que a variável em estudo apresenta k realizações (ou valores) distintas.
O processo consiste em dividir um círculo em k partes (setores circulares) proporcionais às
frequências das realizações observadas. Mais precisamente, os ângulos dos setores circulares
são proporcionais às realizações da variável.
Exemplo 1
A tabela abaixo relaciona o tipo de transporte utilizado por 240 pessoas de uma
metrópole nacional.
Transporte
Frequência
absoluta (ni)
Metrô
90

Frequência relativa f i =
0,375
ni
n

Porcentagem
37,50%
42
Capítulo X
Ônibus
80
1
≈0,333
3
33,33%
Trem
30
0,125
12,50%
Particular
40
1
≈0,166
6
16,67%
Total
240
1,000
100,00%
Para cada tipo de transporte podemos utilizar a seguinte relação entre a frequência relativa (ou
porcentagem) e o ângulo do setor:
1. metrô: Como sua frequência relativa é 0,375
(ou 37,5%), o ângulo de seu setor circular é 0,375 x
360° = 135°;
17%
38%
1
2. ônibus: 3 ×360 °= 120 °
13%
metrô
ônibus
trem
3. trem: 0,125 x 360° = 45°
particular
1
4. particular: 6 ×360 °= 60 °
33%
Com o auxílio de um transferidor, podemos traçar o
gráfico de setores ao lado.
Gráfico de Barras e Historiograma
Construímos um sistema de eixos coordenados xoy, dispondo, no eixo x, os valores assumidos
pela variável e no eixo y as respectivas frequências (pode-se considerar a frequência absoluta, ou a
frequência relativa, ou ainda a porcentagem).
Exemplo 2
Uma pesquisa levantou aspectos socioeconômicos de 50 famílias paulistanas,
investigando alguns itens de conforto nos domicílios, como o número de aparelhos de TV:
Número de
aparelhos
ni
ƒi
Porcentagem
0
5
0,10
10
1
20
0,40
40
2
15
0,30
30
3
8
0,16
16
4
2
0,04
4
Total
50
1,00
100
Construímos, assim, o seguinte gráfico de barras:
43
Capítulo X
45
40
35
30
(%)
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
Número de TV´s
Quando os dados estão agrupados em classes de intervalos reais, construímos, de
forma análoga, um gráfico denominado histograma.
Exemplo 3
A altura de 80 homens de uma comunidade está distribuída de acordo com a tabela
abaixo:
Altura (metros)
ni
ƒi
Porcentagem
1,60 Ⱶ 1,65
4
0,050
5
1,65 Ⱶ 1,70
12
0,150
15
1,70 Ⱶ 1,75
18
0,225
22,5
1,75 Ⱶ 1,80
26
0,325
32,5
1,80 Ⱶ 1,85
10
0,125
12,5
1,85 Ⱶ 1,90
8
0,100
10
1,90 Ⱶ 1,95
2
0,025
2,5
Total
80
1,000
100
35
30
Porcentagem
25
20
15
10
5
0
1,60 Ⱶ 1,65
1,65 Ⱶ 1,70
1,70 Ⱶ 1,75
1,75 Ⱶ 1,80
1,80 Ⱶ 1,85
1,85 Ⱶ 1,90
1,90 Ⱶ 1,95
altura (m)
44
Capítulo X
Medidas de Centralidade
No item anterior estudamos as representações gráficas, que constituem um importante
recurso na interpretação de um conjunto de dados. Procuraremos, agora, estabelecer para
esses dados medidas (números) que sejam representativas, isto é, que resumam como se
distribuem os valores de uma variável quantitativa. Para isso, será necessário estabelecer um
valor médio ou central e outro valor que indique o grau de variabilidade (em torno do valor
central) dos dados da variável em estudo.
Média Aritmética
Sejam x1, x2,..., xn os valores de n observações de determinada variável X. Definimos a
média aritmética (indicada por x ) como a razão entre a soma de todos os valores observados
e o número total de observações:
x 1 +x 2 ⋯+x n
x =
n
Exemplo 1
As notas finais de 15 alunos de um curso de computação estão apresentadas abaixo.
Qual a média das notas obtidas?
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
7,5
9,0
4,5
4,0
5,5
8,0
8,5
9,0
7,5
7,5
7,0
6,5
7,5
9,0
6,5
Temos:
x =
7,59 4,5 ⋯6,5 107,5
=
≈7,17
15
15
Assim, a nota média da classe é 7,17
A média aritmética é a medida de centralidade mais amplamente usada no cotidiano
(aparece no cálculo de aproveitamento escolar, em pesquisas de opinião pública, nos
índices referentes a saúde, educação etc.
Exemplo 2
Os dados abaixo referem-se ao tempo de vida útil, em anos, de determinado aparelho
eletrônico:
x1
x2
x3
x4
x5
5
5
6
4
20
Calculando a média aritmética, temos:
x =
5 56 4 20 40
=
⇒ x =8 anos
5
5
45
Capítulo X
Assim, concluiríamos que, em média, a vida útil desse aparelho seria de 8 anos.
Porém, o cálculo dessa medida foi muito influenciado por uma observação
discrepante (20 anos), o que provocou uma distorção no tempo médio de vida.
De modo geral, quando há dados discrepantes em um conjunto de observações, a
média aritmética não é uma medida muito apropriada para análise dos dados.
Para contornar problemas dessa natureza, definiremos, a seguir, uma medida de
centralidade mais “resistente” às observações discrepantes, denominada mediana.
Mediana
Sejam x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn os n valores ordenados de uma variável X. A mediana (indicada
por Me) é o valor central desse conjunto de valores.
Notemos que a mediana é o valor tal que o número de observações menores (ou
iguais) a ela é igual ao número de observações maiores (ou iguais) a ela.
Exemplo 3
O controle de qualidade de uma industria forneceu o seguinte número de pecas
defeituosas (por lote de 100 unidades):
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
5
4
9
6
3
8
1
4
5
6
11
Vamos determinar a mediana do número de peças defeituosas. Para isso, ordenamos
esses valores:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
1
3
4
4
5
5
6
6
8
9
11
Como n = 11 é impar, temos Me = x6, isto é, a mediana é igual à 6ª observação. Assim,
Me = 5
Podemos observar, por fim, que há cinco valores menores (ou iguais) a 5 e cinco
valores maiores (ou iguais) a 5.
Exemplo 4
As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas durante
10 dias:
21°C 17°C 19°C 25°C 26°C 19°C 16°C 15°C 15°C 18°C
Determinemos a mediana das temperaturas: como n = 10 é par, temos Me =
x +x
Me= 5 6 , isto é, a mediana é a média entre a 5ª e a 6ª observações, quando elas estão
2
ordenadas. Assim:
46
Capítulo X
15°C 15°C 16°C 17°C 18°C 19°C 19°C 21°C 25°C 26°C
Me=
1819
⇒ Me= 18,5 °C
2
Moda
Moda de um conjunto de valores (indicado por Mo) é a realização mais frequente entre
os valores observados.
Exemplo 5
Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores:
a) 5 – 8 – 11 – 8 – 3 – 4 – 8
A moda é Mo = 8, pois há três observações iguais a 8.
b) 2 – 3 – 9 – 3 – 4 – 2 – 6
Há duas modas: 2 e 3. Dizemos que se trata de uma distribuição bimodal.
c) 1 – 3 – 4 – 6 – 9 – 11 – 2
Nesse caso, todos os valores “aparecem” com a mesma frequência unitária. Assim,
não há moda nessa distribuição.
47
Questões
(ENEM 2008) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em
partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX,
estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por
repetições de padrões similares.
I.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por
meio dos seguintes passos:
II. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
III. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo
anterior e faça três cópias;
IV. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos
vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
V. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura
3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:
48
Questões
(ENEM 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente,
mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de
espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a
A) 465
B) 493
C) 498
D) 538
E) 699
(ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2
metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e
alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
A) 1,16 metros
B) 3,0 metros
C) 5,4 metros
D) 5,6 metros
E) 7,04 metros
(ENEM 1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a
sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
A) 30 cm
B) 45 cm
C) 50 cm
D) 80 cm
E) 90 cm
49
Questões
(
ENEM 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada
para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho
desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em
relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm
B) 3,9 cm × 4,4 cm
C) 20 cm × 25 cm
D) 21 cm × 26 cm
E) 192 cm × 242 cm
(ENEM 2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de
conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a
pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas
valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8
pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na
terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas
pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe:
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8
D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9
(ENEM 2009) Na tabela, são apresentados dados
da cotação mensal do ovo extra branco vendido
no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30
dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007
e 2008.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das
cotações mensais do ovo extra branco nesse período era
50
Questões
igual a:
A) R$ 73,10
B) R$ 81,50
C) R$ 82,00
D) R$ 83,00
E) R$ 85,30
(ENEM 2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica,
em função do número de toneladas produzidas.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em
ppm) e a produção (em toneladas) é:
A) inferior a 0,18
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80
E) superior a 2,80
(ENEM 2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a
França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia
mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países
ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período
2003-2007.
51
Questões
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da
França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor:
A) inferior a 300 milhões de dólares
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares
E) superior a 600 milhões de dólares
(ENEM 2009) O Indicador do CadÚnico (IcadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão
Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre
a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA),
NV
NA
em queTC= NF ,TA= NV , NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do
CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de
cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá
para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a:
A) 10.000
B) 7.500
C) 5.000
D) 4.500
E) 3.000
52