02 - Univasf

GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
MATEMÁTICA APLICADA À ZOOTÉCNIA
Discente __________________________________________ CPF
Campus Centro – CPNZ
Turma ZX
Sala NT 03
Data 20 junho de 2016
Lista 02: Funções Econômicas e Limites – Valor 2 Pontos
Problema 01 Segundo uma pesquisa, após 𝑥 meses de constatação da existência de uma
20.000
epidemia, o número de pessoas atingidas por ela é dado por 𝑓(𝑥) = 2+16∗4−2𝑥 . Daqui a quanto
tempo, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de 10 mil? E
de 13 mil?
Problema 02 O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade 𝑃 de um
poluente (medido em 𝑚𝑔/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜) está diminuindo de acordo com a equação 𝑃 = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡 , onde
𝑡 representa o tempo em horas. Se 10% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas:
a) que percentagem do poluente ainda permanece após 12 horas?
b) quanto tempo levará até que o poluente esteja reduzido em 50%?
c) faça um gráfico da poluição versus tempo e identifique os pontos especiais.
Problema 03 Considere a função de demanda dada por 𝐷(𝑥) = √300 − 2𝑥. Obtenha o valor
de 𝑥 para o qual a receita é máxima.
Problema 04 Em uma cidade, estiam-se que o número de habitantes daqui a 𝑡 anos será dado
4
por 𝑁(𝑡) = 50 − 𝑡+2 milhares de pessoas. Determine 𝑁(30) e interprete o resultado.
Problema 05 Quando lixo orgânico é jogado em um lago, a decomposição desse lixo
consome oxigênio. Um modelo do nível de oxigênio 𝑂 (onde 1 é o nível normal) de um lago à
medida que o lixo oxida é 𝑤(𝑧) =
𝑧 2 −𝑧+1
𝑧 2 +1
, 0 ≤ 𝑧 em que 𝑧 é o tempo em semanas.
a) quando o nível de oxigênio é menor? Qual é esse nível?
b) quando o nível de oxigênio é maior? Qual é esse nível?
O ignorante afirma, o sábio dúvida, o sensato reflete. Aristóteles.
1
Problema 06 Mostre que
𝑏
ℎ (𝑥 + ) , 𝑠𝑒 𝑎 > 0
𝑎
ℎ(𝑎𝑥 + 𝑏) = {
𝑏
ℎ (−𝑥 − ) , 𝑠𝑒 𝑎 < 0
𝑎
𝑏
𝑏
O que leva à seguinte expressão ℎ(𝑎𝑥 + 𝑏) = ℎ (𝑥 + 𝑎) ℎ(𝑎) + ℎ (−𝑥 − 𝑎) ℎ(−𝑎), onde
ℎ(𝑥) é a função de Heaviside.
Problema 07 A quantidade existente de 𝑄 após 𝑡 horas a quantidade existente de uma dada
espécie é dada por 𝑄(𝑡) = 100𝑒 𝑘𝑡 , onde 𝑘 é uma constante. Se a quantidade inicial dobrar
em 1 hora quanto tempo levará para se ter 1.120.000 de bactérias?
Problema 08 Num tanque, as variações na população de espécies de peixe 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são
descritas, no período de 10 meses, pelos gráficos abaixo:
Escreva um texto para descrever o que acontece com cada espécie no intervalo de [0,10]
Problema 09 A função de demanda mensal de um produto é 𝑃(𝑥) = 10 − 𝑥, (onde 𝑃 é o
preço e 𝑥 é a quantidade) a função de custo mensal de fabricação do mesmo produto é dado
por 𝐶(𝑥) =
𝑥3
3
− 2𝑥 2 + 10𝑥 + 1. Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?
Problema 10 Uma locadora 𝐴 aluga carro popular nas seguintes condiçoes: uma taxa fixa de
R$ 50,00 e mais R$ 0,30 por quilometro rodado. Suponha que uma outra locadora 𝐵 alugue,
também, carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$ 20,00 e R$ 0,35 por
quilomentro rodado. Expresse o custo de locação em função dos quilomentros rodados. Qual a
locadora que você escoleria para alugar um carro?
O ignorante afirma, o sábio dúvida, o sensato reflete. Aristóteles.
2
Problema 11 Uma loja compra camisetas ao custo de R$ 7,00 a unidade. Estima-se que, se
cada camisa for vendida por R$ 𝑥, os consumidores comprarão 100 − 4𝑥 camisas por mês.
a) estabeleça a fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda de cada
camisa.
b) suponha que a loja não considere centavos nos preços de suas mercadorias, por quanto à
loja deveria vender cada camiseta para o lucro ser máximo?
Problema 12 Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas
são respectivamente, funções lineares do preço: 𝑆 = −20 + 10𝑝 e 𝐷 = 24 − 𝑝. pede-se o
preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação.
Problema 13 Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (8h às 12h) revela que um
operário que chaga para trabalhar às 8h produziu 𝑄(𝑡) = −𝑡 3 + 6𝑡 + 15𝑡 receptores de rádio
𝑡 horas mais tarde. Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima?
Problema 14 Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram
tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o
crescimento, em centímetros, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o
gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2,3) e o que
representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática 𝑦 =
𝛼𝑥−𝑥 2
12
. Um
esboço desses gráficos está representado na figura ao lado.
Determine:
a) A equação da reta que representa o crescimento da
planta A.
b) O um possível valor para a constante 𝛼.
b) O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma
altura considerando 𝛼 =24.
Problema 15 Trinta e cinco estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram
Tupanatinga; 16 Buíque e 11 Lajedo. Desses estudantes, 5 visitaram Tupanatinga e Lajedo e,
desses 5, 3 visitaram também Buíque. O número de estudantes que visitaram Tupanatinga ou
Buíque foi de?
O ignorante afirma, o sábio dúvida, o sensato reflete. Aristóteles.
3
Problema 16 De todos os empregados de uma empresa 30% optaram por um plano de
assistência médica. A empresa tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em
Petrolina e outra em Tupanatinga. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos
empregados trabalham na filial de Petrolina. Sabendo que 20% dos empregados da capital
optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Petrolina o
fizeram qual é a porcentagem dos empregados da filial de Tupanatinga que optaram pelo
plano?
Problema 17 Dada a função quadrática na forma padrão 𝑓(𝑥) = 6 − 7𝑥 + 𝑥 2 , então:
a) calcule as suas raízes, usando a fórmula de Bhaskara;
b) reescreva-a na forma explícita;
c) reescreva-a na forma de Newton, com 𝑐1 = 1 e 𝑐2 = 3.
Problema 18 Uma função produção de uma empresa é dada por 𝑄 = 6𝐿2 − 0,2𝐿3 , onde 𝐿
indica o número de trabalhadores. Encontre o tamanho da força de trabalho que maximiza a
produção e depois esboce o gráfico da função produção.
Nos Problemas 19 – 30 utilize os seus conhecimentos sobre limites, para determinar se o
limite ou determine sua tendência.
19. 𝑙𝑖𝑚
22𝑥 −4∗2𝑥 +4
2𝑥 −2
𝑥→1
22. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥 −3𝑥
𝑥
;
;
23.
5𝜋
)
6
25. 𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑔3 𝑥−3𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥;
6
28. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
21. 𝑙𝑖𝑚 1−𝑒 𝑥 ;
𝑥→0
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥+
𝑥→
2𝑥 −1
20. 𝑙𝑖𝑚 −2𝑥 +1;
𝑠𝑒𝑛(𝑥 𝑛 −1)
𝑥 𝑚 −1
;
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥 )
;
𝑥→0
26. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
29. 𝑙𝑖𝑚𝜋
𝑥→
3
𝑡𝑔𝑥+𝑥
𝑥
𝑥−
𝜋
3
√1−cos(2𝑥)
;
𝑥
𝑥→0
𝑒 2𝑥−1
27. 𝑙𝑖𝑚 1−𝑒 3𝑥;
;
√3−2𝑠𝑒𝑛𝑥
24.𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
;
30. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑡𝑔𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥3
.
Boa Estudo! Sucesso!
O ignorante afirma, o sábio dúvida, o sensato reflete. Aristóteles.
4