Prova de Seleção para o Curso de Especialização em Ensino de

Prova de Seleção para o Curso de Especialização em Ensino de Matemática-2011
1ª Questão. Uma determinada Universidade realizou dois concursos vestibulares: um
para o curso de matemática e outro para o curso de física. Sabe-se que 3000
estudantes se inscreveram para os dois concursos. Desses, 1800 fizeram prova apenas
para o curso de matemática e que 360 não fizeram prova para o curso de matemática.
(a) Determine quantos estudantes inscritos fizeram a prova para os dois
concursos.
(b) Determine em relação ao total de estudantes que se inscreveram para os dois
concursos, a porcentagem de estudantes inscritos que não fizeram o
vestibular para matemática.
Solução.
Seja x o número de estudantes inscritos que fizeram as provas dos dois concursos, y o
número de estudantes inscritos que fez apenas a prova do concurso de física e z o
número de estudantes inscritos que não fizeram nenhuma das provas dos dois
concursos.
(a) y  z  360; x  y  z  3000  1800  1200. Logo, x  840 .
y  z 360
12


 12%.
(b) A porcentagem será dada por
3000 3000 100
2ª Questão. A negação de “Hoje é terça-feira e amanhã não choverá” é:
(a) Hoje não é terça-feira e amanhã choverá.
(b) Hoje não é terça-feira ou amanhã choverá.
(c) Hoje não é terça-feira, então, amanhã choverá.
(d) Hoje não é terça-feira nem amanhã choverá.
(e) Hoje é terça-feira ou amanhã não choverá.
Solução. (b)
3ª Questão. Uma bola de R$ 280,00 seria comprada por um grupo de rapazes que
dividiram a despesa em partes iguais. Na hora de efetuar o pagamento, três dos
rapazes não puderam contribuir e, por isso, a despesa de cada um dos outros
aumentou em R$ 12,00. Quantos eram os rapazes?
Solução. Se n é o número inicial de rapazes e p a despesa de cada rapaz, temos que:
n. p  280

. Logo, n  10 .

n  3 p  12  280
4ª Questão. Calcule o valor de m para que o sistema abaixo admita soluções
 x  y  z 0

diferentes da trivial  2x  y  z  0 .
3x  my  z  0

Solução. A condição para que o sistema admita soluções não triviais é que
1 1 1
2  1 1  3( 1  m )  0 , ou seja, m  1.
3 m 1
5ª Questão. Seja a função f :    definida por f x   3 x . Determine os valores de
x para os quais f x  1  f  x  4  36 .
Solução.
f x  1  f  x  4  36  3 x1  3 x 4  36  3 x .3 
34
3
x
 36.
Fazendo
y  3x
81
 36  y 2  12 y  27  0  y  9 ou y  3. Logo, x  1 ou x  2 .
y
6ª Questão. A seguir são feitas três afirmações sobre os números inteiros positivos m
e n . Classifique-as em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(a) Se m é divisível por 2 e n é divisível por 3 então m  n é divisível por 6.
temos que 3 y 
(b) Se m é múltiplo de 9, então m 2 é múltiplo de 3.
(c) Se m e n são primos entre si, então m e n são primos.
Solução.
(a) FALSA. 4 é divisível por 2, 9 é divisível por 3, mas 13 não é divisível por 6.
(b) VERDADEIRA. Se m é múltiplo de 9, m  9k  32.k . Elevando ao quadrado a
 
equação anterior obtém-se: m2  34.k 2  m2  3. 33.k 2  m 2 é múltiplo de
3.
(c) FALSA. 4 e 9 são primos entre si, mdc(4,9) = 1, e, no entanto, não são números
primos.
7ª Questão. Resolva a equação log 2 x  1  log 2 x  1  2.
Solução.
x 1
log 2 x  1  log 2 x  1  2  log 2
 2  log 2 x  1  2  x  1  4 .
x 1
Daí, x  9.
8ª Questão. Considere o conjunto S  x  / 1  x  1200 .
(a) Informe quantos múltiplos de 3 existem no conjunto S.
(b) Escolhendo-se, ao acaso, um número do conjunto S, determine a
probabilidade de o número ser múltiplo de 3.
(c) Escolhendo-se, ao acaso, dois números do conjunto S (podendo inclusive serem
iguais), calcule a probabilidade de os dois números escolhidos serem múltiplos
de 3.
Solução.
(a) Os múltipos de três no conjunto S são dados por 3,6,9,...,1200. Portanto,
formam uma PA, de razão igual a 3. Assim, 1200  3  n  1.3  n  400 .
400 1
 .
(b) A probabilidade de o número escolhido ser múltiplo de 3 é
1200 3
1 1 1
(c) A probabilidade de os dois números escolhidos serem múltiplos de 3 é .  .
3 3 9
9ª Questão. O raio de uma praça circular é 200 m. Uma pessoa caminhou do ponto A
ao ponto B , descrevendo um arco de 225º. Responda:
(a) Qual a distância, em metros, que essa pessoa percorreu?
(b) Qual a medida, em radianos, que corresponde ao ângulo descrito?
Solução.
225.400
 250 .
(a) A distância é dada por
360
225 5
 .
(b) A medida em radianos é dada por
180
4



