Tema 13_ Figuras Semelhantes
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FIGURAS SEMELHANTES CONTEÚDOS Polígonos semelhantes Semelhança de triângulos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Observe as imagens a seguir. Figura 1 – Balão I Fonte: Microsoft Office Figura 2 – Balão II Fonte: Microsoft Office Se você fosse descrevê-las, talvez uma das primeiras coisas que iria mencionar é que elas são iguais, não é mesmo? Na verdade, essas figuras são identificadas como semelhantes, vejamos o que significa a semelhança. Olhando para as figuras observamos que elas apresentam o formato de um retângulo. Assim, se todas são retângulos, todos os ângulos são iguais a 90°. A única diferença entre elas é que apresentam medidas de comprimento e altura diferentes. Veja que a figura 1, apresenta altura maior que a figura 2, e a mesma situação é válida entre seus comprimentos. Considere que as figuras apresentam as seguintes medidas: Figura 1: comprimento igual a 8 cm e altura igual a 4 cm. Figura 2: comprimento igual a 4 cm e altura igual a 2 cm. Entre essas medidas observa-se que a razão entre seus comprimentos é igual a razão entre suas alturas. Isto é: 8 4 2 2 4 2 Logo, temos a seguinte proporcionalidade: 8 4 4 2 Por terem os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais, essas figuras são identificadas como semelhantes. Polígonos semelhantes Dados os quadriláteros ABCD e EFGH, pode-se dizer que eles são semelhantes se: Os ângulos correspondentes forem congruentes Os lados correspondentes forem proporcionais Vamos verificar a relação entre as medidas desses polígonos para identificar se há semelhança entre eles. Observe que: Os ângulos Ĥ e B̂ , correspondentes, são congruentes. Os ângulos Ĉ e Ê , correspondentes, são congruentes. Os ângulos  e Ĝ , correspondentes, são congruentes. Os ângulos D̂ e F̂ , correspondentes, são congruentes. Em relação aos lados temos: AB HG Logo: AB HG BC HE CD EF 2 BC HE 2 CD EF DA 2 FG 2 DA FG Sendo os ângulos correspondentes congruentes e os lados também correspondentes proporcionais, podemos afirmar que os dois polígonos são semelhantes. E que a razão de semelhança entre eles é igual a 2. Saiba mais Para representar a semelhança entre os quadriláteros pode-se utilizar o seguinte símbolo: quadrilátero ABCD ̴ quadrilátero EFGH semelhante A razão de semelhança Observe as duas imagens a seguir, veja que na figura 4, a qual é semelhante a figura 3, que sua medida de comprimento não é conhecida. No entanto, sabendo que as figuras são semelhantes, essa medida pode ser facilmente obtida, se conhecida a razão de semelhança. Acompanhe: 9 cm x 6 cm 4 cm Figura 3 – Tower Bridge Fonte: Wikimedia Commons Figura 4 – Tower Bridge Fonte: Wikimedia Commons Relacionando as alturas das figuras temos: 6 cm 4 cm 1,5 cm Portanto, a razão de semelhança entre elas é igual a 1,5 cm. E, para saber o comprimento “x” da figura 4, pode-se aplicar o seguinte cálculo: 9 1,5 x 9 1,5 .x 9 x 1,5 x=6 Ou seja, o comprimento da figura 4 é igual a 6 cm. Relação entre os perímetros Vamos calcular os perímetros dos polígonos ABCD e EFGH. 4 cm ● ● ● 1 cm 2 cm ● 0,5 cm 2 cm 50° 4 cm 2,5 cm 50° 5 cm O perímetro do quadrilátero ABCD é: 4 cm + 4 cm + 1 cm + 5 cm = 14 cm O perímetro do quadrilátero EFGH é: 2 cm + 2 cm + 0,5 cm + 2,5 cm = 7 cm Calculando a razão entre esses perímetros temos: Perímetro ABCD Perímetro EFGH 14 2 7 Relacionando os perímetros com dois lados quaisquer correspondentes, temos a proporcionalidade: Perímetro ABCD Perímetro EFGH AB HG Ou seja, sendo dois polígonos semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer. Razão de semelhança entre áreas Observe os quadriláteros ABCD, EFGH e suas respectivas medidas de área. 4 2 Esses quadriláteros são semelhantes. Vejamos qual é a razão de semelhança entre as áreas desses polígonos: Área ABCD Área EFGH 4 16 1 4 Entre os lados correspondentes, a razão de semelhança é igual a 1 . 2 Observando a relação entre as razões, conclui-se que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os segmentos. Razão entre os segmentos correspondestes: Razão entre as áreas: 1 2 1 4 Triângulos semelhantes Observe os triângulos ABC e DEF, em relação aos seus ângulos, podemos dizer que: B̂ Ê Ĉ F̂  D̂ 6 cm 4,5 cm 2,25 cm 3 cm 3 cm 6 cm Em relação aos lados correspondentes, temos as seguintes razões: BC EF 3 6 1 BA 2 ED 3 6 1 CA 2 FD 2,25 4,5 1 2 Sendo os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais, pode-se dizer que esses triângulos são semelhantes. Saiba mais O símbolo utilizado para relacionar os ângulos indica que eles são congruentes. B̂ Ê Símbolo utilizado para indicar congruência Casos de semelhança entre triângulos Vimos que dois triângulos são identificados como semelhantes se apresentarem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. No entanto, relacionar dois triângulos identificando a semelhança entre eles, pode também ser realizado baseando-se em algumas condições mínimas, vejamos: 1º – Observe os triângulos ABC e DEF. Nele temos: B̂ Ê e Ĉ F̂ Sendo os ângulos indicados congruentes, pode-se afirmar que os triângulos são semelhantes. Neste caso a semelhança é identificada como AA (ângulo – ângulo). Em relação a esse caso de semelhança, pode-se descrever: Se dois triângulos apresentam dois ângulos respectivamente congruentes, esses triângulos são semelhantes. 2º – Observe os triângulos ABC e DEF. Nele temos: B̂ Ê Se BC BA ED EF identifica-se esses triângulos como semelhantes. Esse segundo caso de semelhança é identificado como LAL( lado – ângulo – lado) Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre esses lados são congruentes, esses triângulos são semelhantes. 3º- Observe os triângulos ABC e DEF. Se BC EF BA CA identifica-se esses triângulos como semelhantes. ED FD Esse terceiro caso de semelhança é identificado como LLL ( lado – lado – lado) Se dois triângulos apresentam os lados correspondentes proporcionais, esses triângulos são identificados como semelhantes. ATIVIDADES 1. Dado os triângulos GHI e JKL, conhecendo as medidas de dois de seus lados, e sabendo que os ângulos Ĥ e Ĵ são congruentes, identifique qual é o caso de semelhança entre eles e determine a razão de semelhança. 3 cm 1,5 cm 4 cm 2cm 2. Se dois quadrados são semelhantes e a medida do lado do maior deles é igual a 10 cm, sabendo que a razão de semelhança entre esses polígonos é igual a do lado do menor? 1 2 , qual é a medida 3. Uma fotografia que apresenta o tamanho 10 cm x 15 cm, será ampliada e a razão de semelhança entre as figuras será igual a 3. Após a ampliação, qual será a maior medida da nova fotografia? 4.(ENEM -2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. c) 5,4 metros. 5. Observe nos mapas que entre os estados de São Paulo, Bahia e Rio de Janeiro, foram traçadas linhas que formam um triângulo. O mapa 2 é uma redução do mapa 1, e os polígonos traçados em cada desses mapas são semelhantes, sendo a razão de semelhança entre o mapa 1 e o mapa 2 igual a 2. Se o mapa 1 foi construído na escala 1: 10.000.000, qual é a distância real, em quilômetros, entre certo ponto do estado de São Paulo (Ponto A) e uma determinada cidade (ponto B) no estado da Bahia B x A Figura 5 – Brasil, Mapa 1 Fonte: Microsoft Office 10 cm Figura 6 – Brasil, Mapa 2 Fonte: Microsoft Office 6. No projeto de um empreendimento imobiliário, estão informadas as localizações de um poste de iluminação que ficará na via onde transitará os carros, e de um coqueiro artificial, de 3 metros de altura. Veja a imagem a seguir, que representa um esboço de uma parte do projeto. O ponto A, será o local onde ficará a portaria. Como o projeto ainda não foi finalizado, algumas alterações ainda podem ser realizadas, por exemplo, a distância entre a portaria e o coqueiro ainda não foi definida. A única informação precisa é que a distância entre o coqueiro e o poste terá 6 metros a mais do que a distância entre a portaria e o coqueiro. Além disso, segundo informações do projeto, deseja-se que entre o poste e o coqueiro sejam reservadas algumas vagas para visitantes, cada uma com 3 metros de largura. Se o poste tem 9 metros de altura, considerando as medidas informadas, quantas vagas para visitantes poderão ser construídas? INDICAÇÕES Estude um pouco mais sobre as figuras semelhantes consultando os vídeos disponibilizados nos links a seguir: Introdução à semelhança de triângulos. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/geometry/similarity/intro-to-triangle- similarity/v/similar-triangle-basics Resolução de problemas com triângulos semelhantes. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/geometry/similarity/solving-similar- triangles/v/similarity-example-problems Polígonos semelhantes Disponível em: http://www.somatematica.com.br/fundam/semelhanca/semelhanca.php REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, José Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2015. p. 208-224. IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. 10ª ed. São Paulo: Atual, 2013. INEP.ENEM – 2009. Prova azul. Disponível em:< http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/downloads/2009/dia2_caderno7.pdf>. Acesso em: 17 maio. 2016. 16h. INEP.ENEM – 2013. Prova amarela. Disponível em:< http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2013/caderno_enem2013_do m_amarelo.pdf >. Acesso em: 07 jun. 2016. 10h. MICROSOFT Office for Windows 2009. Version 7. [S.l.]: Microsoft Corporation, 2009. 1 CDROM. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: <http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/ConteudoCEEJA.aspx?MateriaID=78&tipo=Alu no>. Acesso em: 18 jan. 2015. 10h. WIKIMEDIA COMMONS, Tower Bridge 2011. Disponível em:< https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tower_Bridge,London_Getting_Opened_2.jpg>. Acesso em: 07 jun. 2016.10h15min. GABARITO 1. Sendo os ângulos Ĥ e Ĵ congruentes e os lados compreendidos entre esses ângulos proporcionais, o caso de semelhança é o LAL ( lado – ângulo – lado). Para determinar a razão de semelhança verificamos a relação entre os lado GH e KJ. GH 3 2 1,5 KJ A razão de semelhança entre qualquer lado do triângulo GHI e JKL, é igual a 2. 2. Sendo as figuras semelhantes, tem-se a seguinte relação: comprimento do quadrado menor comprimento do quadrado maior 1 comprimento do quadrado menor 2 10 0,5 Comprimento do quadrado menor = 10.0,5 Comprimento do quadrado menor = 5 cm 3. Sendo a razão de semelhança igual a 3, a medida do maior lado da nova fotografia será igual a 45 cm. x 3 15 x 15.3 x 45 4. Para determinar a distância que o paciente deve caminhar para atingir o ponto mais alto, vamos utilizar um desenho para auxiliar na interpretação do problema colocado. x 2,2 m 0,8 m 3,2 m Interpretando o exercício, temos dois triângulos semelhantes, assim, suas medidas podem ser relacionadas da seguinte maneira: 2,2 0,8 x 0,8.x = 2,2.3,2 0,8.x = 7,04 x= 3,2 7,04 8,8 0,8 Se o comprimento total da rampa é igual a 8,8 m e o paciente já caminhou 3,2 m restam ainda 5,6 m. 5. Conhecida a escala utilizada no mapa 1, para saber qual é a distância real, é necessário conhecer a distância, no mapa 1, entre os dois estados. Para tanto, deve-se considerar que esses triângulos são semelhantes e que a medida correspondente a distância entre os dois estados, é informada no mapa 2. Assim temos: medida no mapa 1 2 medida no mapa 1 medida no mapa 2 2 10 medida no mapa 1 2.10 medida no mapa 1 20 cm Se no mapa 1 a distância entre os pontos A e B é de 20 cm, para saber a distância real, basta utilizar a escala dada. 1 10.000.000 20 x 1.x = 20.10.000.000 x = 200.000.000 cm Para transformar essa medida em quilômetros, devemos dividir os 200.000.000 cm por 100.000. 200.000.000 2.000 100.000 A distância entre os pontos A e B é igual a 2.000 km. 6. Observando a imagem apresentada, conclui-se que temos dois triângulos semelhantes ( pelo critério AA). Sendo conhecida as alturas do poste e do coqueiro, sabe-se que a razão de semelhança entre eles é igual a 3. Como a distância entre a portaria e o coqueiro não é informada, podemos identificá-la como x. Logo, a distância entre o coqueiro e o poste será de x + 6. Assim temos: 9 3 3 3 xx6 x 3.x = 2.x + 6 3.x – 2.x = 6 x=6 Se x é igual a 6, a distância entre o coqueiro e o poste será igual a 12 m. Se cada vaga deverá ter uma largura de 3 m, nesse projeto será possível construir 4 vagas.
