INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFRJ 1a Lista de

INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFRJ
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ALGÉBRICA E ÁLGEBRA COMUTATIVA
1a Lista de Exercícios
1. Seja Y = Z(x2 − xy, xz − x). Mostre que Y é a união de três componentes
irredutíveis e calcule os seus ideais primos.
2. Identifique A2 com A1 × A1 da maneira usual. Mostre que a topologia de
Zariski em A2 não coincide com a topologia produto obtida adotando-se a
topologia de Zariski para cada um dos A1 .
3. Mostre que todo aberto não vazio de um espaço topológico irredutível é denso
e irredutível.
4. Seja Y é um subconjunto de um espaço topológico X. Mostre que se Y é
irredutível na topologia induzida então o fecho Y também é irredutível.
5. Use interpolação para mostrar que o ideal de qualquer conjunto algébrico
finito de An pode ser gerado por exatamente n polinômios.
6. Mostre que uma K-álgebra A é isomorfa ao anel de coordenadas de um conjunto algébrico se, e somente se, A é finitamente gerada e não tem elementos
nilpotentes.
7. Seja A uma álgebra afim sobre um corpo K e B uma K-subálgebra de A.
(a) Mostre que se m é um ideal máximo de A, então m∩B é um ideal máximo
de B.
(b) Dê um exemplo em que a recíproca é falsa.
8. Seja √
A uma álgebra afim sobre um corpo K e I 6= A um ideal de A. Mostre
que I é igual à interseção dos ideais máximos que contêm I.
9. Seja A um anel. Mostre que Spec(A) é um √
espaço topológico irredutível para
a topologia de Zariski se, e somente se, A/ A é um domínio.
10. Mostre que todo espaço topológico Hausdorff tem dimensão (no sentido definido em aula) igual a zero.
11. Seja X um espaço topológico e Y ⊆ X um subconjunto fechado de X.
(a) Mostre que dim(Y ) ≤ dim(X).
GEOMETRIA ALGÉBRICA E ÁLGEBRA COMUTATIVA
(b) Suponha que Y é irredutível e que dim(X) < ∞. Mostre que se dim(Y ) =
dim(X), então Y = X.
12. Mostre que Z(xy − 1) não é isomorfa a A1 .
13. Seja Y a curva definida por
Y = {(t3 , t4 , t5 ) : t ∈ K}.
(a)
(b)
(c)
(d)
Mostre que I(Y ) é primo.
Calcule geradores para I(Y ).
Mostre que I(Y ) não pode ser gerado por apenas dois elementos.
Mostre que Y ∼
= A1 .
14. Seja f : X → Y um morfismo entre conjuntos algébricos e considere o conjunto
T = {(p, f (p)) : p ∈ X} ⊂ X × Y.
(a) Mostre que T é um subconjunto fechado de X × Y .
(b) Mostre que T ∼
= X.
15. Mostre que se o polinômio x3 + ax + b tem raízes múltiplas então a curva
plana Z(y 2 − x3 − ax − b) é isomorfa a A1 .
Os exercícios seguintes referem-se à curva elíptica E de equação y 2 = x3 − x
em A2 .
16. Mostre que o anel de coordenadas O(E) de E é um domínio.
17. Mostre que o subanel gerado pela imagem de x em O(E) é isomorfo a um anel
de polinômios em uma variável.
18. Mostre que a aplicação σ : E → E dada por σ(x, y) = (x, −y) define um
automorfismo de E.
19. Dado a ∈ O(E) defina N (a) = aσ(a). Mostre que:
(a) N (a) ∈ K[x];
(b) N (1) = 1 e que
(c) N (ab) = N (a)N (b),
quaisquer que sejam a, b ∈ O(E).
20. Mostre que as unidades de O(E) são os elementos não nulos de K.
21. Mostre que x e y são irredutíveis em O(E) e conclua que este anel não é um
domínio fatorial.
22. Mostre que E não é isomorfa a A1 .