Lista 3: Problemas aritméticos MA-224A 26/8/2010 1. Encontrar o

Lista 3: Problemas aritméticos
MA-224A
26/8/2010
1. Encontrar o menor número primo que é divisor de 37 + 73 .
2. Encontrar, se possı́vel, inteiros positivos m ≥ 0 e n ≥ 0 tais que 2n −2m = 2005.
3. Ache todos os pares de inteiros (x, y) tais que x2 + x = y 2 + y + 2011.
4. Sejam dados dois números inteiros a e b quaisquer. Mostre que
também é inteiro.
a2 + b 2 + a + b
2
p2 − 1 p2 + 1
5. Dado um número real p, verifique que os números p,
e
são os
2
2
lados de um triângulo retângulo. Mostre também que se p é um número primo
ı́mpar então a área desse triângulo é um númeor inteiro.
6. Encontre todos os pares númeos inteiros positivos (m, n) tais que 2m − 2n =
1984. Por outro lado, mostre que esse problema não tem solução caso se
substitua 1984 por 1998.
7. No plano R2 seja ax + by + c = 0 a equação de uma reta. Suponha que a
reta passe por dois pontos (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), cujas coordenadas são números
inteiros. Mostre que a reta passa por infinitos pontos de coordenadas inteiras.
8. Mostre que o número (escrito em base 10) 111+2222 +3332 +4444 +5555 +12345
não é um quadrado perfeito. (Olhe os possı́veis algarismos finais dos quadrados
perfeitos.)
9. Sejam n, n + 1 e n + 2 três númeos inteiros consecutivos. Mostre que a soma
n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 é um número multiplo de 9.
10. Para quais números inteiros positivos n o número n2 − 4 é primo?
11. Mostre que se o número inteiro n não é múltiplo de 3 então n2 + 2 é múltiplo
de 3.
12. Mostre que se o número inteiro n não é múltiplo de 5 então n2 + 4 é múltiplo
de 5.
13. Seja d um número inteiro positivo. Mostre que para qualquer potência (d + 1)k
o resto de sua divisão por d é 1.
1
14. Seja n um número inteiro positivo, que se escreve na base 10 como n =
ak ak−1 · · · a1 a0 onde ai é um algarismo de 0 a 9. Defina m = ak + ak−1 +
· · · + a1 + a0 e sejam r1 e r2 os restos da divisão de n e m por 9, respectivamente. Mostre que r1 = r2 . Tire daı́ o critério de divisibilidade por 9. Use
isso para obter o critério de divisibilidade por 3.
15. Generalize o exercı́cio anterior para números escritos numa base b > 2: se n =
ak ak−1 · · · a1 a0 com os algarismos ai de 0 a d − 1 e m = ak + ak−1 + · · · + a1 + a0
então os restos da divisão de n e m por d − 1 são iguais.
16. Encontre o resto da divisão de 415 por 7.
17. Mostre que 220 − 1 é múltiplo de 41.
18. Mostre que 244 − 1 é múltiplo de 89.
19. O dia 20 de outubro de 1979 foi um sábado. Que dia da semana será 20
de outubro de 2019? (Lembre-se dos anos bissextos e que 2000 não foi ano
bissexto.)
20. Seja s a soma de todos os números inteiros entre 1 e 536. Encontre o resto da
divisão se s por 3 e por 9.
21. Seja p um número primo. Mostre que 1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 + 1 é
múltiplo de p. (Sugestão: use o teorema de Fermat ap−1 ≡ 1 mod p, se p é
primo e a não é múltiplo de p.)
22. Encontre todos os número inteiro x tais que i) 5x ≡ 6 mod 11; ii) 2x ≡ 1 mod 7;
iii) 7x ≡ 1 mod 13 iv) 315x ≡ 20 mod 501.
23. Mostre que n (2n + 7) (7n + 1) é múltiplo de 6 para todo inteiro n.
24. Mostre que 36n − 26n é múltiplo de 35 para todo inteiro n ≥ 1.
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