Potenciação e radiciação

Módulo 1 • Unidade 8
Potenciação e
radiciação
Para início de conversa...
Discutimos anteriormente as quatro operações aritméticas: adição,
subtração, multiplicação e divisão. Agora trabalharemos com mais duas:
a potenciação e a radiciação. Ambas são úteis em diversas situações, seja
para realizarmos representações numéricas, seja para efetuarmos cálculos
de forma mais rápida. Compreender essas operações e saber utilizá-las
para resolver problemas é importante para o entendimento de diversas
aplicações matemáticas. O problema abaixo retrata bem essa situação.
Com cerca de 51% de brasileiros, o Orkut, comunidade baseada em Redes Sociais criada pelo Google, é um campo fértil
para a boataria, ou para o Hoax, como são chamadas as mensagens de cunho duvidoso que circulam pela Internet.
Na disseminação desses boatos, duas características são importantes: a densidade da rede do internauta e os graus de
separação. A densidade da rede do internauta significa, de forma simples, quantos contatos esse internauta tem. Já o grau
de separação é a distância que separa você de outra pessoa
na rede social. Por exemplo, o grau de separação entre você e
seu amigo é um e entre você e
o amigo de seu amigo é dois.
Por um usuário de Orkut,
com muitos amigos, irá trafegar a maioria das mensagens
que circulam entre os brasileiros. Em outras palavras,
quem tem mais amigos no
Orkut também recebe mais
boatos por e-mail.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
1
Isso porque o Orkut possibilita o envio de mensagens a seus amigos e aos amigos dos seus amigos (grau um e grau dois, respectivamente).
Sendo assim, se você tem 10 amigos e cada amigo seu tem mais dez amigos, um
boato que circula no Orkut tem o potencial de atingir 100 pessoas. Felizmente, o
Orkut permite apenas a comunicação em até dois graus de separação. Se fosse
possível enviar mensagens para toda a minha rede em até cinco graus de separação, um boato como o de um sequestro, enviado por mim a meus 54 amigos do
Orkut, poderia atingir mais de um milhão de pessoas. Um pesadelo.
O texto foi adaptado. A versão completa pode ser encontrada em:
http://informatica.terra.com.br/interna/0,,OI359546-EI1684,00.html
Como você pensa que, ao final do texto, se chegou ao valor de um milhão de pessoas?
Objetivos de aprendizagem
ƒƒ Definir os conceitos de potenciação e radiciação.
ƒƒ Operar com potenciação e radiciação.
ƒƒ Verificar que as duas operações são inversas entre si.
2
Módulo 1 • Unidade 8
Seção 1
Potenciação
Situação problema
Pensemos numa situação em que uma pessoa fica sabendo de um boato, não necessariamente verdadeiro, e gasta 10 minutos para contar para os seus três melhores amigos.
Creio que é assim que as fofocas espalham-se. Imagine que cada um dos três amigos resolve
fazer a mesma coisa e 10 minutos depois contam a novidade para três colegas que ainda não
a conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre a transmitia para três colegas desinformados, gastando, para isso, 10 minutos.
Veja como a fofoca espalha-se e complete a tabela:
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
3
Tempo (minutos)
Novos alunos que ouvem a fofoca
10
20
30
40
50
60
70
3
3x3
3x3x3
a)
Representação em forma
de potência
31
32
Quantos alunos ficaram sabendo do boato no período entre 20 e 30 minutos?
b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato na primeira meia hora?
Atividade
c)
Se, na escola onde estudam, há 364 alunos, em quantos minutos todos os
alunos ficaram sabendo do boato? Lembre-se que a quantidade de pessoas
que ficam sabendo do boato acumula-se. Por exemplo, a partir do momento que a primeira pessoa conta para outras três, já são quatro sabendo do
boato. No segundo momento, já são 1 + 3 +9 e assim sucessivamente.
O caso da disseminação da fofoca mostra uma situação em que a potenciação
pode ser útil. Ela nos auxilia na representação de números grandes e, de certa forma, facilita cálculos com esses números. Além disso, apresenta a evolução da ordem de grandeza
desses números.
A notação an, onde a é um número real e n é um número natural diferente de zero, é a representação de uma potência. a é chamado de base e n é o expoente, com n significando a quantidade de vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.
4
Módulo 1 • Unidade 8
Assim:
24 = 2 x 2 x 2 x 2
36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
510 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Perceba que esta notação facilita a escrita, simplificando a comunicação e a
representação numérica.
Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes afirmações:
a1 = a
a0 = 1, para qualquer número a ≠ 0
a-n =
1
, para qualquer número a ≠ 0 e para qualquer número inteiro n.
an
Fractal é uma forma geométrica irregular que normalmente está dividida em
partes e cada parte é uma cópia reduzida da forma toda. A palavra fractal vem do
latim fractus, que significa quebrado, partido ou, ainda irregular. Vários fractais são
verdadeiras obras de arte. Algumas pessoas chegam a duvidar que, por trás de tanta
beleza, haja fórmulas matemáticas avançadas. Veja alguns exemplos de fractais feitos
em computador, a partir de fórmulas matemáticas. São ou não são muito belas?
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
5
Além desses fractais, construídos com a utilização da Informática, outros mais
simples podem ser encontrados. Um deles é o Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo
matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construído a partir de um triângulo inicial e
uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte central. A cada triângulo
restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo:
Observe que, com base nesse desenho, podemos realizar algumas operações
matemáticas com a utilização da potenciação.
Fase
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
Módulo 1 • Unidade 8
Número de Triângulos
1
30
3
31
9
32
a)
Escreva em forma de potência quantos triângulos haveria na fase 50?
_______________.
b) Que fração do triângulo da fase 1 permanece pintada na fase 5?
________________
c)
E na fase 10? ________________.
A Água em Números
Estoque total de água do planeta: 1,5 bilhão de Km3
Volume mundial disponível para consumo: 9 mil de Km3
Superfície da Terra coberta pela água: 372 milhões de Km3
1,4 bilhão de pessoas carecem de acesso à água potável, o que corresponde
aproximadamente a um sexto da população mundial;
2.400 milhões dos habitantes do planeta não têm acesso a serviços de saneamento adequados, ou seja, o equivalente a 40% dos habitantes do planeta;
Fonte: Departamento de Informação Pública da ONU, DPI/2283/Rev.1, Dezembro de 2002
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
7
a)
Observe que aparecem diversos valores grandes. Veja alguns desses números escritos de outras formas:
ƒƒ 1,5 bilhão de Km3 = 1.500.000.000 de km3 = 1,5 x 109 de km3
ƒƒ 9 mil de km3 = 9.000 de km3 = 9 x 103 de km3
ƒƒ 372 milhões de km3 = 372.000.000 de km3 = 3,72 x 108 de km3
b) No texto, aparecem ainda outros números. Escreva esses números, usando
outras representações:
a) 1,4 bilhão de pessoas =
b)1100 milhões de pessoas =
c) 2400 milhões dos habitantes =
É normal o uso da notação científica, isto é a escrita de um número com auxílio
de potências de base 10. Geralmente, usa-se o seguinte formato:
A x 10n
Nessa fórmula, A é um número maior que 1 e menor que 10, e n é o expoente de 10.
Para escrever um número muito grande em notação científica, procede-se
a divisão sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre
1 e 10, lembrando que ao dividirmos um número por 10 há um deslocamento da vírgula para a esquerda. A quantidade de divisões efetuadas, ou seja, a quantidade de
deslocamentos da vírgula é o expoente do 10. Observe o exemplo:
Hoje vivem na terra cerca de 6 bilhões de habitantes.
6 bilhões = 6.000.000.000 = 6 x 109
8
Módulo 1 • Unidade 8
Você sabia que a massa da Terra é
aproximadamente 6,02 x 1024 kg? Isto representa 6.020.000.000.000.000.000.000.000 kg.
Como vê, a notação inicial é muito mais conveniente. Veja outros valores escritos em
notação científica e escreva-os em sua representação decimal:
a)
Raio da Terra: 6,40 x 106 m =
b) Massa da Lua: 7,44 x 1022 kg =
c)
Distância Terra-Lua (centro a centro): 3,84 x 108 m =
Observe que até agora a notação científica foi utilizada para representar valores muito grandes. Acontece que ela também pode ser utilizada para representar valores muito pequenos.
Em Biologia, Química e tecnologias computacionais, costuma-se fazer muito uso desse tipo
de notação.
Para escrever um número muito pequeno em notação científica, procede-se a multiplicação
sucessiva por 10 até que encontremos um resultado entre 1 e 10, lembrando que ao multiplicarmos um número por 10 há um deslocamento da vírgula para a direita. A quantidade de
multiplicações efetuadas, ou seja, a quantidade de deslocamentos da vírgula é representada
por um número. Esse número com o sinal negativo é o expoente do 10.
O exemplo a seguir mostra porque o sinal do expoente é negativo. Para representar o número
0,000000000000000000000006 em notação científica, poderíamos pensar da seguinte forma:
0,000000000000000000000006=
6
6
=
= 6 × 10 −24
1000000000000000000000000 1024
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
9
Represente os valores seguintes em notação científica:
a)
34000000000000000
b) 1230000000000
c)
0,000000000123
d) 0,000000173
Represente os valores abaixo em notação decimal:
a)
1,23x108
b) 3,4x105
c)
5,3x10-6
d) 1,2x10-8
Seção 2
Radiciação
Situação problema 2:
Ainda com base no que você estudou na seção anterior, tente colocar nos quadrados
os valores que torne as igualdades verdadeiras:
2
a)
3
=9
a)
2
b)
10
= 27
a)
3
= 64
b)
2
c)
4
4
= 1000
b)
3
= 100
c)
Módulo 1 • Unidade 8
= 16
= 81
4
= 64
c)
= 10000
Perceba que nessa atividade você conhecia o resultado da potenciação e queria descobrir a base. Veja o exemplo:
2
= 9
Veja que aqui estávamos procurando um número que elevado ao quadrado (2) tem 9
como resultado. Nesse caso, dizemos que estamos realizando a operação inversa da potenciação. É o que denominamos radiciação e dizemos que a raiz quadrada de 9 é o número que
poderia substituir o quadradinho, no caso 3.
Outro exemplo:
3
= 27
Aqui procuramos um número que elevado ao cubo (3) tem 27 como resultado. A raiz
cúbica de 27 é o número que poderia substituir o quadradinho, 3.
3
27 = 3 porque 33 = 27
Generalizando: se um número A for elevado a um expoente n ( An ) resultando em um
valor B ( An = B ), então a raiz enésima de B ( n B ) será A ( n B = A ), logo:
n
B = A porque An = B
A, B e n devem ser números reais e n deve ser maior que zero.
Os elementos da radiciação possuem nomes específicos, na operação
n A =B
,
n é o índice;
A é o radicando;
é o radical;
B é a raiz.
16 se escreve sem o índice, pois quando o índice é 2 ele não é representado.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
11
Calcule os resultados das seguintes raízes:
16 =
3
27 =
4
256 =
5
32 =
6
1000000 =
Você sabe o que são números irracionais?
Nem sempre conseguimos encontrar um valor inteiro como resultado de uma raiz de um número natural. Por exemplo
5 , onde precisaríamos encontrar um número que elevado ao qua-
drado (2) tem 5 como resultado. Em casos como esse, podemos utilizar a calculadora ou atribuir
uma aproximação para o resultado pretendido.
Números como esse pertencem ao conjunto dos números irracionais, isto é, números que não
podem ser escritos em forma de fração.
Coloque nos  os símbolos = ou ≠.
7
12
a)
25 + 16 
41
b)
100 + 36 
10 + 6
c)
100 ⋅ 36 
10 · 6
d)
102 + 62 
10 + 6
e)
10 + 6 
10 + 6
f )
102 + 62 
136
2
2
Módulo 1 • Unidade 8
Momento de reflexão
Potenciação, radiciação, notação científica. Pois é, muito cálculo e muita coisa para se
pensar. Esses assuntos foram tratados nessa unidade e cada um tem sua importância, seja
para resolver problemas, efetuar cálculos ou para representação numérica de forma diferenciada. Muito disso já pode ter sido visto por você em outros momentos, porém pode ser que
isso já faça algum tempo. Mas, se tudo isso é novidade para você, não ser preocupe, o que
importar é saber reconhecer o que foi aprendido e o que ainda precisa ser reforçado, e escrever sobre isso poder orientar você na busca de ampliação de seu conhecimento. É isso que
propomos aqui, pense e escreva sobre as seguintes questões:
ƒƒ O que foi mais difícil na discussão dos conteúdos tratados?
ƒƒ O que mais chamou a atenção?
ƒƒ Já deparou com esses conteúdos ao estudar outras disciplinas? O que especificamente?
Momento
de
reflexão
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
13
Voltando à conversa inicial...
As operações de Potenciação e Radiciação foram tratadas nessa unidade. Vimos que
a representação de números por meio das potências torna mais simples a representação de
quantidades muito grandes ou muito pequenas. Dizer 5x1012 é bem mais simples e econômico do que escrever 5.000.000.000.000, da mesma forma que 3x10-7 é mais interessante de se
escrever do que 0,0000003.
A radiciação, como inversa da potenciação, foi trabalhada ao mesmo tempo em que
vimos a impossibilidade de se calcular diretamente algumas raízes cujo resultado são números irracionais. Essas podem ser calculadas por aproximação, com o auxílio da calculadora.
Voltando ao problema apresentado inicialmente, sobre o Orkut, primeiramente é importante dizer que quando o autor fala de dois graus de separação ele se refere aos seus
amigos e aos amigos de seus amigos. Considerando cinco graus de separação teremos:
Grau de
separação
Quantidade de novas pessoas
atingidas
Total de pessoas atingidas pelo
boato
1
2
3
4
5
54
54 x 20 = 1.080
1.080 x 20 = 21.600
21.600 x 20 = 432.000
432.000 x 20 = 8.640.000
54
1.080 + 54 = 1.134
21.600 + 1.134 = 22.734
432.000 + 22.734 = 454.734
8.640.000 + 454.734 = 9.094.734
São nove milhões, noventa e quatro mil, setecentos e trinta e quatro pessoas: muita
gente!
Você já pensou em um número que está em todo lugar. Que tal assistir a um filme e
pensar sobre isto? O filme é Número 23 dirigido por Joel Schumacher.
Ao assistir a esse filme, fique atento como a presença dos números influencia as diversas ações da personagem principal.
Referências
Imagens
• http://www.sxc.hu/photo/789420
• http://www.sxc.hu/photo/1260787
• http://www.flickr.com/photos/rosepetal236/2511852611/
• http://www.flickr.com/photos/craft_uas/1693597432/
• http://www.flickr.com/photos/49403380@N00/2437476071/
• http://www.flickr.com/photos/doodle_m/4678606798/
• http://www.sxc.hu/photo/1191367
• http://www.sxc.hu/photo/1093768
• http://www.sxc.hu/photo/1370768
• http://www.sxc.hu/photo/923013
• http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957 • Ivan Prole.
• http://www.sxc.hu/985516_96035528.
Bibliografia consultada
PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemática. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa;
AMARAL, Ana Lúcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Nacional de Inclusão de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.
POZO, Juan Ignacio et al. (Org.); tradução de Beatriz Affonso Neves. A Solução de Problemas: Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
15
16
Módulo 1 • Unidade 8
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
O que
perguntam
por aí?
Atividade 1 (ENEM 2010)
Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados
com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed.
93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através
dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em
litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
a)
10-2
b) 103
c)
104
d) 106
e) 109
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
17
Atividade 2 (ENEM 2011)
18
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
Caia na
Rede!
Na onda dos fractais
Na atividade 1 desta unidade, falamos um pouco sobre os fractais, essas imagens surpreendentes realizadas a partir de padrões matemáticos. Se você ficou interessando em conhecer mais sobre os fractais, tenho duas dicas para te dar.
A primeira dica é o site: www.fractarte.com.br.
Lá você poderá encontrar mais formas parecidas com
as vistas na atividade. Clique no link galeria e visite
as imagens que estão expostas. Caso queria aprender
um pouco mais sobre fractais e como eles são elaborados, clique no link artigos, nele você vai encontrar
muita informação interessante.
Caso você queira ter um fractal só seu, a segunda dica é baixar um arquivo de Excel, disponível
no site: info.abril.com.br/downloads/mandelbrot-macro. Com este arquivo você poderá gerar fractais
para salvar em seu computador.
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
19
Seção 1 – Potenciação
Situação problema
9 alunos
3 + 9 + 27 = 39 alunos
Em 50 minutos todos os alunos da escola ficam sabendo do boato. Observe:
Tempo (minutos)
10
20
30
40
50
Novos alunos que ouvem a fofoca
3
9
27
81
243
3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363
363 +1(o que cria a fofoca) = 364 (número de alunos)
Atividade 1
Fase
Número de triângulos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
a)
349 triângulos
4
3
b)  
4
c)
20
3
 
4
9
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Fase
1
2
Fração pintada
1
3
4
2
3
9 3
= 
16  4 
4
27  3 
= 
64  4 
3
 
4
4
5
3
 
4
5
6
...
...
10
3
 
4
3
9
Atividade 2
a)
1,4 bilhão de pessoas = 1,4 x 109 de pessoas = 1.400.000.000 de pessoas
b) 1100 milhões de pessoas = 1,1 x 109 de pessoas = 1.100.000.000 de pessoas
c)
2400 milhões dos habitantes = 2,4 x 109 dos habitantes = 2.400.000.000 dos
habitantes
Atividade 3
a)
6.400.000 m
b) 74.400.000.000.000.000.000.000 Kg
c)
384.000.000 m
Atividade 4
a)
34000000000000000 = 3,4 x 1016
b) 1230000000000 = 1,23 x 1012
c)
0,000000000123 = 1,23 x 10-10
d) 0,000000173 = 1,73 x 10-7
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
21
Atividade 5
a)
1,23x108 =123000000
b) 3,4x105 = 340000
5,3x10-6 =0,0000053
c)
d) 1,2x10-8 = 0,000000012
Situação problema 2
2
a)
3
3
=9
a)
3
2
b)
8
= 64
10
a)
b) 10
= 1000
b)
3
3
= 100
c)
4
= 64
c) 10
16 = 4
27 = 3
4
256 = 4
5
32 = 2
6
1000000 = 10
Atividade 7
a)
25 + 16 ≠
41
b)
100 + 36 ≠
10 + 6
c)
100 ⋅ 36 =
10 · 6
d)
10 + 6 =
10 + 6
2
2
= 81
4
Atividade 6
3
= 16
4
Seção 2 – Radiciação
22
2
3
2
c)
4
= 27
Anexo • Módulo 1 • Unidade 8
= 10000
e)
102 + 62 ≠
10 + 6
f )
10 + 6
=
136
2
2
O que perguntam por aí?
Atividade 1
Resposta: Letra E
Atividade 2
Resposta: Letra A
Matemática e suas Tecnologias • Matemática
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